Calcolo Esempi

$\int_{0.25}^{0.5} \frac{1}{\sqrt{25 - 16 x^{2}}} d x$

Passaggio 1

Scrivi l'espressione usando gli esponenti.

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Passaggio 1.1

Riscrivi $25$ come $5^{2}$ .

$\int_{0.25}^{0.5} \frac{1}{\sqrt{5^{2} - 16 x^{2}}} d x$

Passaggio 1.2

Riscrivi $16 x^{2}$ come ${(4 x)}^{2}$ .

$\int_{0.25}^{0.5} \frac{1}{\sqrt{5^{2} - {(4 x)}^{2}}} d x$

Passaggio 2

Sia $u = 4 x$ . Allora $d u = 4 d x$ , quindi $\frac{1}{4} d u = d x$ . Riscrivi usando $u$ e $d$ $u$ .

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Passaggio 2.1

Sia $u = 4 x$ . Trova $\frac{d u}{d x}$ .

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Passaggio 2.1.1

Differenzia $4 x$ .

$\frac{d}{d x} [4 x]$

Passaggio 2.1.2

Poiché $4$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $4 x$ rispetto a $x$ è $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$4 \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 2.1.3

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$4 \cdot 1$

Passaggio 2.1.4

Moltiplica $4$ per $1$ .

$4$

Passaggio 2.2

Sostituisci $x$ con il limite inferiore in $u = 4 x$ .

$u_{lower} = 4 \cdot 0.25$

Passaggio 2.3

Moltiplica $4$ per $0.25$ .

$u_{lower} = 1$

Passaggio 2.4

Sostituisci $x$ con il limite superiore in $u = 4 x$ .

$u_{upper} = 4 \cdot 0.5$

Passaggio 2.5

Moltiplica $4$ per $0.5$ .

$u_{upper} = 2$

Passaggio 2.6

I valori trovati per $u_{lower}$ e $u_{upper}$ saranno usati per calcolare l'integrale definito.

$u_{lower} = 1$

$u_{upper} = 2$

Passaggio 2.7

Riscrivi il problema utilizzando $u$ , $d u$ e i nuovi limiti dell'integrazione.

$\int_{1}^{2} \frac{1}{\sqrt{5^{2} - u^{2}}} \cdot \frac{1}{4} d u$

Passaggio 3

Poiché $\frac{1}{4}$ è costante rispetto a $u$ , sposta $\frac{1}{4}$ fuori dall'integrale.

$\frac{1}{4} \int_{1}^{2} \frac{1}{\sqrt{5^{2} - u^{2}}} d u$

Passaggio 4

L'integrale di $\frac{1}{\sqrt{5^{2} - u^{2}}}$ rispetto a $u$ è $\arcsin (\frac{u}{5})$ .

$\frac{1}{4} \arcsin (\frac{u}{5})]_{1}^{2}$

Passaggio 5

$\frac{1}{4}$ e $\arcsin (\frac{u}{5})]_{1}^{2}$ .

$\frac{\arcsin (\frac{u}{5})]_{1}^{2}}{4}$

Passaggio 6

Sostituisci e semplifica.

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Passaggio 6.1

Calcola $\arcsin (\frac{u}{5})$ per $2$ e per $1$ .

$\frac{(\arcsin (\frac{2}{5})) - \arcsin (\frac{1}{5})}{4}$

Passaggio 6.2

Elimina il fattore comune di $2$ e $5$ .

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Passaggio 6.2.1

Riscrivi $2$ come $1 (2)$ .

$\frac{\arcsin (\frac{1 (2)}{5}) - \arcsin (\frac{1}{5})}{4}$

Passaggio 6.2.2

Elimina i fattori comuni.

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Passaggio 6.2.2.1

Riscrivi $5$ come $1 (5)$ .

$\frac{\arcsin (\frac{1 \cdot 2}{1 \cdot 5}) - \arcsin (\frac{1}{5})}{4}$

Passaggio 6.2.2.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{\arcsin (\frac{1 \cdot 2}{1 \cdot 5}) - \arcsin (\frac{1}{5})}{4}$

Passaggio 6.2.2.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{\arcsin (\frac{2}{5}) - \arcsin (\frac{1}{5})}{4}$

Passaggio 7

Semplifica.

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Passaggio 7.1

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 7.1.1

Calcola $\arcsin (\frac{2}{5})$ .

$\frac{0.41151684 - \arcsin (\frac{1}{5})}{4}$

Passaggio 7.1.2

Calcola $\arcsin (\frac{1}{5})$ .

$\frac{0.41151684 - 1 \cdot 0.20135792}{4}$

Passaggio 7.1.3

Moltiplica $- 1$ per $0.20135792$ .

$\frac{0.41151684 - 0.20135792}{4}$

Passaggio 7.1.4

Sottrai $0.20135792$ da $0.41151684$ .

$\frac{0.21015892}{4}$

Passaggio 7.2

Dividi $0.21015892$ per $4$ .

$0.05253973$

Passaggio 8