Calcolo Esempi

$f (x) = \frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + 1$ , $[0, 4]$

Passaggio 1

Verifica se $f (x) = \frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + 1$ è continua.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Per determinare se la funzione è continua in $[0, 4]$ o no, trova il dominio di $f (x) = \frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1

Applica la regola $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ per riscrivere l'elevazione a potenza come un radicale.

$\frac{2}{3} \sqrt{x^{3}} + 1$

Passaggio 1.1.2

Imposta il radicando in $\sqrt{x^{3}}$ in modo che sia maggiore o uguale a $0$ per individuare dove l'espressione è definita.

$x^{3} \geq 0$

Passaggio 1.1.3

Risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.3.1

Trova la radice quadrata specificata di entrambi i lati della diseguaglianza per eliminare l'esponente sul lato sinistro.

$\sqrt[3]{x^{3}} \geq \sqrt[3]{0}$

Passaggio 1.1.3.2

Semplifica l'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.3.2.1

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.3.2.1.1

Estrai i termini dal radicale.

$x \geq \sqrt[3]{0}$

Passaggio 1.1.3.2.2

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.3.2.2.1

Semplifica $\sqrt[3]{0}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.3.2.2.1.1

Riscrivi $0$ come $0^{3}$ .

$x \geq \sqrt[3]{0^{3}}$

Passaggio 1.1.3.2.2.1.2

Estrai i termini dal radicale.

$x \geq 0$

Passaggio 1.1.4

Il dominio è formato da tutti i valori di $x$ che rendono definita l'espressione.

Notazione degli intervalli:

$[0, \infty)$

Notazione intensiva:

${x | x \geq 0}$

Notazione degli intervalli:

$[0, \infty)$

Notazione intensiva:

${x | x \geq 0}$

Passaggio 1.2

$f (x)$ è continua su $[0, 4]$ .

La funzione è continua.

Passaggio 2

Verifica se $f (x) = \frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + 1$ è differenziabile.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Trova la derivata.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.1.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + 1$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}}] + \frac{d}{d x} [1]$

Passaggio 2.1.1.2

Calcola $\frac{d}{d x} [\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.1.2.1

Poiché $\frac{2}{3}$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}}$ rispetto a $x$ è $\frac{2}{3} \frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{2}}]$ .

$\frac{2}{3} \frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{2}}] + \frac{d}{d x} [1]$

Passaggio 2.1.1.2.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = \frac{3}{2}$ .

$\frac{2}{3} (\frac{3}{2} x^{\frac{3}{2} - 1}) + \frac{d}{d x} [1]$

Passaggio 2.1.1.2.3

Per scrivere $- 1$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$\frac{2}{3} (\frac{3}{2} x^{\frac{3}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}) + \frac{d}{d x} [1]$

Passaggio 2.1.1.2.4

$- 1$ e $\frac{2}{2}$ .

$\frac{2}{3} (\frac{3}{2} x^{\frac{3}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}) + \frac{d}{d x} [1]$

Passaggio 2.1.1.2.5

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{2}{3} (\frac{3}{2} x^{\frac{3 - 1 \cdot 2}{2}}) + \frac{d}{d x} [1]$

Passaggio 2.1.1.2.6

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.1.2.6.1

Moltiplica $- 1$ per $2$ .

$\frac{2}{3} (\frac{3}{2} x^{\frac{3 - 2}{2}}) + \frac{d}{d x} [1]$

Passaggio 2.1.1.2.6.2

Sottrai $2$ da $3$ .

$\frac{2}{3} (\frac{3}{2} x^{\frac{1}{2}}) + \frac{d}{d x} [1]$

Passaggio 2.1.1.2.7

$\frac{3}{2}$ e $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{2}{3} \cdot \frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2} + \frac{d}{d x} [1]$

Passaggio 2.1.1.2.8

Moltiplica $\frac{2}{3}$ per $\frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2}$ .

$\frac{2 (3 x^{\frac{1}{2}})}{3 \cdot 2} + \frac{d}{d x} [1]$

Passaggio 2.1.1.2.9

Moltiplica $3$ per $2$ .

$\frac{6 x^{\frac{1}{2}}}{3 \cdot 2} + \frac{d}{d x} [1]$

Passaggio 2.1.1.2.10

Moltiplica $3$ per $2$ .

$\frac{6 x^{\frac{1}{2}}}{6} + \frac{d}{d x} [1]$

Passaggio 2.1.1.2.11

Elimina il fattore comune.

$\frac{6 x^{\frac{1}{2}}}{6} + \frac{d}{d x} [1]$

Passaggio 2.1.1.2.12

Dividi $x^{\frac{1}{2}}$ per $1$ .

$x^{\frac{1}{2}} + \frac{d}{d x} [1]$

Passaggio 2.1.1.3

Differenzia usando la regola della costante.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.1.3.1

Poiché $1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$x^{\frac{1}{2}} + 0$

Passaggio 2.1.1.3.2

Somma $x^{\frac{1}{2}}$ e $0$ .

$f' (x) = x^{\frac{1}{2}}$

Passaggio 2.1.2

La derivata prima di $f (x)$ rispetto a $x$ è $x^{\frac{1}{2}}$ .

$x^{\frac{1}{2}}$

Passaggio 2.2

Definisci se la derivata è continua su $[0, 4]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Per determinare se la funzione è continua in $[0, 4]$ o no, trova il dominio di $f' (x) = x^{\frac{1}{2}}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1.1

Converti le espressioni con gli esponenti frazionari in radicali.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1.1.1

Applica la regola $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ per riscrivere l'elevazione a potenza come un radicale.

$\sqrt{x^{1}}$

Passaggio 2.2.1.1.2

Qualsiasi cosa elevata a $1$ è la base stessa.

$\sqrt{x}$

Passaggio 2.2.1.2

Imposta il radicando in $\sqrt{x}$ in modo che sia maggiore o uguale a $0$ per individuare dove l'espressione è definita.

$x \geq 0$

Passaggio 2.2.1.3

Il dominio è formato da tutti i valori di $x$ che rendono definita l'espressione.

Notazione degli intervalli:

$[0, \infty)$

Notazione intensiva:

${x | x \geq 0}$

Notazione degli intervalli:

$[0, \infty)$

Notazione intensiva:

${x | x \geq 0}$

Passaggio 2.2.2

$f' (x)$ è continua su $[0, 4]$ .

La funzione è continua.

Passaggio 2.3

La funzione è differenziabile su $[0, 4]$ perché la derivata è continua su $[0, 4]$ .

La funzione è differenziabile.

Passaggio 3

Affinché la lunghezza dell'arco sia garantita, la funzione e la sua derivata devono essere entrambe continue sull'intervallo chiuso $[0, 4]$ .

La funzione e la sua derivata sono continue sull'intervallo chiuso $[0, 4]$ .

Passaggio 4

Trova la derivata di $f (x) = \frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + 1$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}}] + \frac{d}{d x} [1]$

Passaggio 4.2

Calcola $\frac{d}{d x} [\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.1

Poiché $\frac{2}{3}$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}}$ rispetto a $x$ è $\frac{2}{3} \frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{2}}]$ .

$\frac{2}{3} \frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{2}}] + \frac{d}{d x} [1]$

Passaggio 4.2.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = \frac{3}{2}$ .

$\frac{2}{3} (\frac{3}{2} x^{\frac{3}{2} - 1}) + \frac{d}{d x} [1]$

Passaggio 4.2.3

Per scrivere $- 1$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$\frac{2}{3} (\frac{3}{2} x^{\frac{3}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}) + \frac{d}{d x} [1]$

Passaggio 4.2.4

$- 1$ e $\frac{2}{2}$ .

$\frac{2}{3} (\frac{3}{2} x^{\frac{3}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}) + \frac{d}{d x} [1]$

Passaggio 4.2.5

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{2}{3} (\frac{3}{2} x^{\frac{3 - 1 \cdot 2}{2}}) + \frac{d}{d x} [1]$

Passaggio 4.2.6

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.6.1

Moltiplica $- 1$ per $2$ .

$\frac{2}{3} (\frac{3}{2} x^{\frac{3 - 2}{2}}) + \frac{d}{d x} [1]$

Passaggio 4.2.6.2

Sottrai $2$ da $3$ .

$\frac{2}{3} (\frac{3}{2} x^{\frac{1}{2}}) + \frac{d}{d x} [1]$

Passaggio 4.2.7

$\frac{3}{2}$ e $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{2}{3} \cdot \frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2} + \frac{d}{d x} [1]$

Passaggio 4.2.8

Moltiplica $\frac{2}{3}$ per $\frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2}$ .

$\frac{2 (3 x^{\frac{1}{2}})}{3 \cdot 2} + \frac{d}{d x} [1]$

Passaggio 4.2.9

Moltiplica $3$ per $2$ .

$\frac{6 x^{\frac{1}{2}}}{3 \cdot 2} + \frac{d}{d x} [1]$

Passaggio 4.2.10

Moltiplica $3$ per $2$ .

$\frac{6 x^{\frac{1}{2}}}{6} + \frac{d}{d x} [1]$

Passaggio 4.2.11

Elimina il fattore comune.

$\frac{6 x^{\frac{1}{2}}}{6} + \frac{d}{d x} [1]$

Passaggio 4.2.12

Dividi $x^{\frac{1}{2}}$ per $1$ .

$x^{\frac{1}{2}} + \frac{d}{d x} [1]$

Passaggio 4.3

Differenzia usando la regola della costante.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.1

Poiché $1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$x^{\frac{1}{2}} + 0$

Passaggio 4.3.2

Somma $x^{\frac{1}{2}}$ e $0$ .

$x^{\frac{1}{2}}$

Passaggio 5

Per calcolare la lunghezza dell'arco di una funzione, usa la formula $L = \int_{a}^{b} \sqrt{1 + {(f' (x))}^{2}} d x$ .

$\int_{0}^{4} \sqrt{1 + {(x^{\frac{1}{2}})}^{2}} d x$

Passaggio 6

Calcola l'integrale.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Sia $u = 1 + x$ . Allora $d u = d x$ . Riscrivi usando $u$ e $d$ $u$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1.1

Sia $u = 1 + x$ . Trova $\frac{d u}{d x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1.1.1

Differenzia $1 + x$ .

$\frac{d}{d x} [1 + x]$

Passaggio 6.1.1.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $1 + x$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 6.1.1.3

Poiché $1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 6.1.1.4

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$0 + 1$

Passaggio 6.1.1.5

Somma $0$ e $1$ .

$1$

Passaggio 6.1.2

Sostituisci il limite inferiore a $x$ in $u = 1 + x$ .

$u_{lower} = 1 + 0$

Passaggio 6.1.3

Somma $1$ e $0$ .

$u_{lower} = 1$

Passaggio 6.1.4

Sostituisci il limite superiore a $x$ in $u = 1 + x$ .

$u_{upper} = 1 + 4$

Passaggio 6.1.5

Somma $1$ e $4$ .

$u_{upper} = 5$

Passaggio 6.1.6

I valori trovati per $u_{lower}$ e $u_{upper}$ saranno usati per calcolare l'integrale definito.

$u_{lower} = 1$

$u_{upper} = 5$

Passaggio 6.1.7

Riscrivi il problema usando $u$ , $d u$ e i nuovi limiti dell'integrazione.

$\int_{1}^{5} \sqrt{u} d u$

Passaggio 6.2

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{u}$ come $u^{\frac{1}{2}}$ .

$\int_{1}^{5} u^{\frac{1}{2}} d u$

Passaggio 6.3

Secondo la regola della potenza, l'intero di $u^{\frac{1}{2}}$ rispetto a $u$ è $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}]_{1}^{5}$

Passaggio 6.4

Sostituisci e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.4.1

Calcola $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ per $5$ e per $1$ .

$(\frac{2}{3} \cdot 5^{\frac{3}{2}}) - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}}$

Passaggio 6.4.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.4.2.1

$\frac{2}{3}$ e $5^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{2 \cdot 5^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}}$

Passaggio 6.4.2.2

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$\frac{2 \cdot 5^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2}{3} \cdot 1$

Passaggio 6.4.2.3

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$\frac{2 \cdot 5^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2}{3}$

Passaggio 7

Il risultato può essere mostrato in più forme.

Forma esatta:

$\frac{2 \cdot 5^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2}{3}$

Forma decimale:

$6.78689325 \dots$

Passaggio 8