Calcolo Esempi

$y = 3 x^{\frac{2}{3}} - 2 x$ , $[- 1, 1]$

Passaggio 1

Scrivi $y = 3 x^{\frac{2}{3}} - 2 x$ come funzione.

$f (x) = 3 x^{\frac{2}{3}} - 2 x$

Passaggio 2

Per trovare il valore medio di una funzione, la funzione dovrebbe essere continua sull'intervallo chiuso $[a, b]$ . Per scoprire se $f (x)$ è continua su $[- 1, 1]$ o no, calcola il dominio di $f (x) = 3 x^{\frac{2}{3}} - 2 x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Applica la regola $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ per riscrivere l'elevazione a potenza come un radicale.

$3 \sqrt[3]{x^{2}} - 2 x$

Passaggio 2.2

Il dominio dell'espressione sono tutti i numeri reali tranne nei casi in cui l'espressione sia indefinita. In questo caso, non c'è alcun numero reale che rende l'espressione indefinita.

Notazione degli intervalli:

$(- \infty, \infty)$

Notazione intensiva:

${x | x \in ℝ}$

Notazione degli intervalli:

$(- \infty, \infty)$

Notazione intensiva:

${x | x \in ℝ}$

Passaggio 3

$f (x)$ è continua su $[- 1, 1]$ .

$f (x)$ è continua

Passaggio 4

Il valore medio della funzione $f$ rispetto all'intervallo $[a, b]$ è definito come $A (x) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$ .

$A (x) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$

Passaggio 5

Sostituisci i valori effettivi nella formula del valore medio di una funzione.

$A (x) = \frac{1}{1 + 1} (\int_{- 1}^{1} 3 x^{\frac{2}{3}} - 2 x d x)$

Passaggio 6

Dividi il singolo integrale in più integrali.

$A (x) = \frac{1}{1 + 1} (\int_{- 1}^{1} 3 x^{\frac{2}{3}} d x + \int_{- 1}^{1} - 2 x d x)$

Passaggio 7

Poiché $3$ è costante rispetto a $x$ , sposta $3$ fuori dall'integrale.

$A (x) = \frac{1}{1 + 1} (3 \int_{- 1}^{1} x^{\frac{2}{3}} d x + \int_{- 1}^{1} - 2 x d x)$

Passaggio 8

Secondo la regola di potenza, l'intero di $x^{\frac{2}{3}}$ rispetto a $x$ è $\frac{3}{5} x^{\frac{5}{3}}$ .

$A (x) = \frac{1}{1 + 1} (3 (\frac{3}{5} x^{\frac{5}{3}}]_{- 1}^{1}) + \int_{- 1}^{1} - 2 x d x)$

Passaggio 9

$\frac{3}{5}$ e $x^{\frac{5}{3}}$ .

$A (x) = \frac{1}{1 + 1} (3 (\frac{3 x^{\frac{5}{3}}}{5}]_{- 1}^{1}) + \int_{- 1}^{1} - 2 x d x)$

Passaggio 10

Poiché $- 2$ è costante rispetto a $x$ , sposta $- 2$ fuori dall'integrale.

$A (x) = \frac{1}{1 + 1} (3 (\frac{3 x^{\frac{5}{3}}}{5}]_{- 1}^{1}) - 2 \int_{- 1}^{1} x d x)$

Passaggio 11

Secondo la regola di potenza, l'intero di $x$ rispetto a $x$ è $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$A (x) = \frac{1}{1 + 1} (3 (\frac{3 x^{\frac{5}{3}}}{5}]_{- 1}^{1}) - 2 (\frac{1}{2} x^{2}]_{- 1}^{1}))$

Passaggio 12

Semplifica la risposta.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.1

$\frac{1}{2}$ e $x^{2}$ .

$A (x) = \frac{1}{1 + 1} (3 (\frac{3 x^{\frac{5}{3}}}{5}]_{- 1}^{1}) - 2 (\frac{x^{2}}{2}]_{- 1}^{1}))$

Passaggio 12.2

Sostituisci e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.2.1

Calcola $\frac{3 x^{\frac{5}{3}}}{5}$ per $1$ e per $- 1$ .

$A (x) = \frac{1}{1 + 1} (3 ((\frac{3 \cdot 1^{\frac{5}{3}}}{5}) - \frac{3 {(- 1)}^{\frac{5}{3}}}{5}) - 2 (\frac{x^{2}}{2}]_{- 1}^{1}))$

Passaggio 12.2.2

Calcola $\frac{x^{2}}{2}$ per $1$ e per $- 1$ .

$A (x) = \frac{1}{1 + 1} (3 (\frac{3 \cdot 1^{\frac{5}{3}}}{5} - \frac{3 {(- 1)}^{\frac{5}{3}}}{5}) - 2 (\frac{1^{2}}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}))$

Passaggio 12.2.3

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.2.3.1

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$A (x) = \frac{1}{1 + 1} (3 (\frac{3 \cdot 1}{5} - \frac{3 {(- 1)}^{\frac{5}{3}}}{5}) - 2 (\frac{1^{2}}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}))$

Passaggio 12.2.3.2

Moltiplica $3$ per $1$ .

$A (x) = \frac{1}{1 + 1} (3 (\frac{3}{5} - \frac{3 {(- 1)}^{\frac{5}{3}}}{5}) - 2 (\frac{1^{2}}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}))$

Passaggio 12.2.3.3

Riscrivi $- 1$ come ${(- 1)}^{3}$ .

$A (x) = \frac{1}{1 + 1} (3 (\frac{3}{5} - \frac{3 {({(- 1)}^{3})}^{\frac{5}{3}}}{5}) - 2 (\frac{1^{2}}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}))$

Passaggio 12.2.3.4

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$A (x) = \frac{1}{1 + 1} (3 (\frac{3}{5} - \frac{3 {(- 1)}^{3 (\frac{5}{3})}}{5}) - 2 (\frac{1^{2}}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}))$

Passaggio 12.2.3.5

Elimina il fattore comune di $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.2.3.5.1

Elimina il fattore comune.

$A (x) = \frac{1}{1 + 1} (3 (\frac{3}{5} - \frac{3 {(- 1)}^{3 (\frac{5}{3})}}{5}) - 2 (\frac{1^{2}}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}))$

Passaggio 12.2.3.5.2

Riscrivi l'espressione.

$A (x) = \frac{1}{1 + 1} (3 (\frac{3}{5} - \frac{3 {(- 1)}^{5}}{5}) - 2 (\frac{1^{2}}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}))$

Passaggio 12.2.3.6

Eleva $- 1$ alla potenza di $5$ .

$A (x) = \frac{1}{1 + 1} (3 (\frac{3}{5} - \frac{3 \cdot - 1}{5}) - 2 (\frac{1^{2}}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}))$

Passaggio 12.2.3.7

Moltiplica $3$ per $- 1$ .

$A (x) = \frac{1}{1 + 1} (3 (\frac{3}{5} - \frac{- 3}{5}) - 2 (\frac{1^{2}}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}))$

Passaggio 12.2.3.8

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$A (x) = \frac{1}{1 + 1} (3 (\frac{3}{5} + \frac{3}{5}) - 2 (\frac{1^{2}}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}))$

Passaggio 12.2.3.9

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$A (x) = \frac{1}{1 + 1} (3 (\frac{3}{5} + 1 (\frac{3}{5})) - 2 (\frac{1^{2}}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}))$

Passaggio 12.2.3.10

Moltiplica $\frac{3}{5}$ per $1$ .

$A (x) = \frac{1}{1 + 1} (3 (\frac{3}{5} + \frac{3}{5}) - 2 (\frac{1^{2}}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}))$

Passaggio 12.2.3.11

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$A (x) = \frac{1}{1 + 1} (3 (\frac{3 + 3}{5}) - 2 (\frac{1^{2}}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}))$

Passaggio 12.2.3.12

Somma $3$ e $3$ .

$A (x) = \frac{1}{1 + 1} (3 (\frac{6}{5}) - 2 (\frac{1^{2}}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}))$

Passaggio 12.2.3.13

$3$ e $\frac{6}{5}$ .

$A (x) = \frac{1}{1 + 1} (\frac{3 \cdot 6}{5} - 2 (\frac{1^{2}}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}))$

Passaggio 12.2.3.14

Moltiplica $3$ per $6$ .

$A (x) = \frac{1}{1 + 1} (\frac{18}{5} - 2 (\frac{1^{2}}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}))$

Passaggio 12.2.3.15

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$A (x) = \frac{1}{1 + 1} (\frac{18}{5} - 2 (\frac{1}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}))$

Passaggio 12.2.3.16

Eleva $- 1$ alla potenza di $2$ .

$A (x) = \frac{1}{1 + 1} (\frac{18}{5} - 2 (\frac{1}{2} - \frac{1}{2}))$

Passaggio 12.2.3.17

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$A (x) = \frac{1}{1 + 1} (\frac{18}{5} - 2 \frac{1 - 1}{2})$

Passaggio 12.2.3.18

Sottrai $1$ da $1$ .

$A (x) = \frac{1}{1 + 1} (\frac{18}{5} - 2 (\frac{0}{2}))$

Passaggio 12.2.3.19

Elimina il fattore comune di $0$ e $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.2.3.19.1

Scomponi $2$ da $0$ .

$A (x) = \frac{1}{1 + 1} (\frac{18}{5} - 2 \frac{2 (0)}{2})$

Passaggio 12.2.3.19.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.2.3.19.2.1

Scomponi $2$ da $2$ .

$A (x) = \frac{1}{1 + 1} (\frac{18}{5} - 2 \frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1})$

Passaggio 12.2.3.19.2.2

Elimina il fattore comune.

$A (x) = \frac{1}{1 + 1} (\frac{18}{5} - 2 \frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1})$

Passaggio 12.2.3.19.2.3

Riscrivi l'espressione.

$A (x) = \frac{1}{1 + 1} (\frac{18}{5} - 2 (\frac{0}{1}))$

Passaggio 12.2.3.19.2.4

Dividi $0$ per $1$ .

$A (x) = \frac{1}{1 + 1} (\frac{18}{5} - 2 \cdot 0)$

Passaggio 12.2.3.20

Moltiplica $- 2$ per $0$ .

$A (x) = \frac{1}{1 + 1} (\frac{18}{5} + 0)$

Passaggio 12.2.3.21

Somma $\frac{18}{5}$ e $0$ .

$A (x) = \frac{1}{1 + 1} (\frac{18}{5})$

Passaggio 13

Somma $1$ e $1$ .

$A (x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{18}{5}$

Passaggio 14

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 14.1

Scomponi $2$ da $18$ .

$A (x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{2 (9)}{5}$

Passaggio 14.2

Elimina il fattore comune.

$A (x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{2 \cdot 9}{5}$

Passaggio 14.3

Riscrivi l'espressione.

$A (x) = \frac{9}{5}$

Passaggio 15