Calcolo Esempi

$y = x^{2} - 3 x + 1$ , $[0, 2]$

Passaggio 1

Scrivi $y = x^{2} - 3 x + 1$ come funzione.

$f (x) = x^{2} - 3 x + 1$

Passaggio 2

Trova la derivata di $f (x) = x^{2} - 3 x + 1$ .

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Passaggio 2.1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.1

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.1.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $x^{2} - 3 x + 1$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3 x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3 x] + \frac{d}{d x} [1]$

Passaggio 2.1.1.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$2 x + \frac{d}{d x} [- 3 x] + \frac{d}{d x} [1]$

Passaggio 2.1.2

Calcola $\frac{d}{d x} [- 3 x]$ .

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Passaggio 2.1.2.1

Poiché $- 3$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 3 x$ rispetto a $x$ è $- 3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 x - 3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

Passaggio 2.1.2.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$2 x - 3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1]$

Passaggio 2.1.2.3

Moltiplica $- 3$ per $1$ .

$2 x - 3 + \frac{d}{d x} [1]$

Passaggio 2.1.3

Differenzia usando la regola della costante.

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Passaggio 2.1.3.1

Poiché $1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$2 x - 3 + 0$

Passaggio 2.1.3.2

Somma $2 x - 3$ e $0$ .

$f' (x) = 2 x - 3$

Passaggio 2.2

La derivata prima di $f (x)$ rispetto a $x$ è $2 x - 3$ .

$2 x - 3$

Passaggio 3

Il dominio dell'espressione sono tutti i numeri reali tranne nei casi in cui l'espressione sia indefinita. In questo caso, non c'è alcun numero reale che rende l'espressione indefinita.

Notazione degli intervalli:

$(- \infty, \infty)$

Notazione intensiva:

${x | x \in ℝ}$

Passaggio 4

$f' (x)$ è continua su $[0, 2]$ .

$f' (x)$ è continua

Passaggio 5

Il valore medio della funzione $f'$ rispetto all'intervallo $[a, b]$ è definito come $A (x) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$ .

$A (x) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$

Passaggio 6

Sostituisci i valori effettivi nella formula del valore medio di una funzione.

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (\int_{0}^{2} 2 x - 3 d x)$

Passaggio 7

Dividi il singolo integrale in più integrali.

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (\int_{0}^{2} 2 x d x + \int_{0}^{2} - 3 d x)$

Passaggio 8

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , sposta $2$ fuori dall'integrale.

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (2 \int_{0}^{2} x d x + \int_{0}^{2} - 3 d x)$

Passaggio 9

Secondo la regola della potenza, l'intero di $x$ rispetto a $x$ è $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (2 (\frac{1}{2} x^{2}]_{0}^{2}) + \int_{0}^{2} - 3 d x)$

Passaggio 10

$\frac{1}{2}$ e $x^{2}$ .

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (2 (\frac{x^{2}}{2}]_{0}^{2}) + \int_{0}^{2} - 3 d x)$

Passaggio 11

Applica la regola costante.

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (2 (\frac{x^{2}}{2}]_{0}^{2}) + - 3 x]_{0}^{2})$

Passaggio 12

Sostituisci e semplifica.

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Passaggio 12.1

Calcola $\frac{x^{2}}{2}$ per $2$ e per $0$ .

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (2 ((\frac{2^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2}) + - 3 x]_{0}^{2})$

Passaggio 12.2

Calcola $- 3 x$ per $2$ e per $0$ .

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (2 (\frac{2^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2}) - 3 \cdot 2 + 3 \cdot 0)$

Passaggio 12.3

Semplifica.

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Passaggio 12.3.1

Eleva $2$ alla potenza di $2$ .

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (2 (\frac{4}{2} - \frac{0^{2}}{2}) - 3 \cdot 2 + 3 \cdot 0)$

Passaggio 12.3.2

Elimina il fattore comune di $4$ e $2$ .

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Passaggio 12.3.2.1

Scomponi $2$ da $4$ .

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (2 (\frac{2 \cdot 2}{2} - \frac{0^{2}}{2}) - 3 \cdot 2 + 3 \cdot 0)$

Passaggio 12.3.2.2

Elimina i fattori comuni.

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Passaggio 12.3.2.2.1

Scomponi $2$ da $2$ .

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (2 (\frac{2 \cdot 2}{2 (1)} - \frac{0^{2}}{2}) - 3 \cdot 2 + 3 \cdot 0)$

Passaggio 12.3.2.2.2

Elimina il fattore comune.

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (2 (\frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1} - \frac{0^{2}}{2}) - 3 \cdot 2 + 3 \cdot 0)$

Passaggio 12.3.2.2.3

Riscrivi l'espressione.

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (2 (\frac{2}{1} - \frac{0^{2}}{2}) - 3 \cdot 2 + 3 \cdot 0)$

Passaggio 12.3.2.2.4

Dividi $2$ per $1$ .

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (2 (2 - \frac{0^{2}}{2}) - 3 \cdot 2 + 3 \cdot 0)$

Passaggio 12.3.3

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (2 (2 - \frac{0}{2}) - 3 \cdot 2 + 3 \cdot 0)$

Passaggio 12.3.4

Elimina il fattore comune di $0$ e $2$ .

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Passaggio 12.3.4.1

Scomponi $2$ da $0$ .

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (2 (2 - \frac{2 (0)}{2}) - 3 \cdot 2 + 3 \cdot 0)$

Passaggio 12.3.4.2

Elimina i fattori comuni.

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Passaggio 12.3.4.2.1

Scomponi $2$ da $2$ .

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (2 (2 - \frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1}) - 3 \cdot 2 + 3 \cdot 0)$

Passaggio 12.3.4.2.2

Elimina il fattore comune.

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (2 (2 - \frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1}) - 3 \cdot 2 + 3 \cdot 0)$

Passaggio 12.3.4.2.3

Riscrivi l'espressione.

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (2 (2 - \frac{0}{1}) - 3 \cdot 2 + 3 \cdot 0)$

Passaggio 12.3.4.2.4

Dividi $0$ per $1$ .

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (2 (2 - 0) - 3 \cdot 2 + 3 \cdot 0)$

Passaggio 12.3.5

Moltiplica $- 1$ per $0$ .

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (2 (2 + 0) - 3 \cdot 2 + 3 \cdot 0)$

Passaggio 12.3.6

Somma $2$ e $0$ .

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (2 \cdot 2 - 3 \cdot 2 + 3 \cdot 0)$

Passaggio 12.3.7

Moltiplica $2$ per $2$ .

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (4 - 3 \cdot 2 + 3 \cdot 0)$

Passaggio 12.3.8

Moltiplica $- 3$ per $2$ .

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (4 - 6 + 3 \cdot 0)$

Passaggio 12.3.9

Moltiplica $3$ per $0$ .

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (4 - 6 + 0)$

Passaggio 12.3.10

Somma $- 6$ e $0$ .

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (4 - 6)$

Passaggio 12.3.11

Sottrai $6$ da $4$ .

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (- 2)$

Passaggio 13

Semplifica il denominatore.

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Passaggio 13.1

Moltiplica $- 1$ per $0$ .

$A (x) = \frac{1}{2 + 0} \cdot - 2$

Passaggio 13.2

Somma $2$ e $0$ .

$A (x) = \frac{1}{2} \cdot - 2$

Passaggio 14

Elimina il fattore comune di $2$ .

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Passaggio 14.1

Scomponi $2$ da $- 2$ .

$A (x) = \frac{1}{2} \cdot (2 (- 1))$

Passaggio 14.2

Elimina il fattore comune.

$A (x) = \frac{1}{2} \cdot (2 \cdot - 1)$

Passaggio 14.3

Riscrivi l'espressione.

$A (x) = - 1$

Passaggio 15