Calcolo Esempi

$y = \sqrt{2 x}$ , $(2, 8)$

Passaggio 1

Scrivi $y = \sqrt{2 x}$ come funzione.

$f (x) = \sqrt{2 x}$

Passaggio 2

Trova la derivata di $f (x) = \sqrt{2 x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.1

Semplifica tramite esclusione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.1.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{2 x}$ come ${(2 x)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [{(2 x)}^{\frac{1}{2}}]$

Passaggio 2.1.1.2

Scomponi $2$ da $2 x$ .

$\frac{d}{d x} [{(2 (x))}^{\frac{1}{2}}]$

Passaggio 2.1.1.3

Applica la regola del prodotto a $2 (x)$ .

$\frac{d}{d x} [2^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}]$

Passaggio 2.1.2

Poiché $2^{\frac{1}{2}}$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $2^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}$ rispetto a $x$ è $2^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$ .

$2^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$

Passaggio 2.1.3

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = \frac{1}{2}$ .

$2^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1})$

Passaggio 2.1.4

Per scrivere $- 1$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$2^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}})$

Passaggio 2.1.5

$- 1$ e $\frac{2}{2}$ .

$2^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}})$

Passaggio 2.1.6

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$2^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}})$

Passaggio 2.1.7

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.7.1

Moltiplica $- 1$ per $2$ .

$2^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}})$

Passaggio 2.1.7.2

Sottrai $2$ da $1$ .

$2^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}})$

Passaggio 2.1.8

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$2^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}})$

Passaggio 2.1.9

$\frac{1}{2}$ e $x^{- \frac{1}{2}}$ .

$2^{\frac{1}{2}} \frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$

Passaggio 2.1.10

$2^{\frac{1}{2}}$ e $\frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$ .

$\frac{2^{\frac{1}{2}} x^{- \frac{1}{2}}}{2}$

Passaggio 2.1.11

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.11.1

Sposta $2^{\frac{1}{2}}$ al denominatore usando la regola dell'esponente negativo $b^{n} = \frac{1}{b^{- n}}$ .

$\frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2 \cdot 2^{- \frac{1}{2}}}$

Passaggio 2.1.11.2

Sposta $x^{- \frac{1}{2}}$ al denominatore usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{2 \cdot 2^{- \frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 2.1.12

Moltiplica $2$ per $2^{- \frac{1}{2}}$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.12.1

Moltiplica $2$ per $2^{- \frac{1}{2}}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.12.1.1

Eleva $2$ alla potenza di $1$ .

$\frac{1}{2^{1} \cdot 2^{- \frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 2.1.12.1.2

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{1}{2^{1 - \frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 2.1.12.2

Scrivi $1$ come una frazione con un comune denominatore.

$\frac{1}{2^{\frac{2}{2} - \frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 2.1.12.3

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{1}{2^{\frac{2 - 1}{2}} x^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 2.1.12.4

Sottrai $1$ da $2$ .

$f' (x) = \frac{1}{2^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 2.2

La derivata prima di $f (x)$ rispetto a $x$ è $\frac{1}{2^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{1}{2^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 3

Per trovare il valore medio di una funzione, la funzione dovrebbe essere continua sull'intervallo chiuso $[a, b]$ . Per scoprire se $f' (x)$ è continua su $[2, 8]$ o no, calcola il dominio di $f' (x) = \frac{1}{2^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Converti le espressioni con gli esponenti frazionari in radicali.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.1

Applica la regola $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ per riscrivere l'elevazione a potenza come un radicale.

$\frac{1}{\sqrt{2^{1}} x^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 3.1.2

Applica la regola $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ per riscrivere l'elevazione a potenza come un radicale.

$\frac{1}{\sqrt{2^{1}} \sqrt{x^{1}}}$

Passaggio 3.1.3

Qualsiasi cosa elevata a $1$ è la base stessa.

$\frac{1}{\sqrt{2} \sqrt{x^{1}}}$

Passaggio 3.1.4

Qualsiasi cosa elevata a $1$ è la base stessa.

$\frac{1}{\sqrt{2} \sqrt{x}}$

Passaggio 3.2

Imposta il radicando in $\sqrt{x}$ in modo che sia maggiore o uguale a $0$ per individuare dove l'espressione è definita.

$x \geq 0$

Passaggio 3.3

Imposta il denominatore in $\frac{1}{\sqrt{2} \sqrt{x}}$ in modo che sia uguale a $0$ per individuare dove l'espressione è indefinita.

$\sqrt{2} \sqrt{x} = 0$

Passaggio 3.4

Risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.1

Per rimuovere il radicale sul lato sinistro dell'equazione, eleva al quadrato entrambi i lati dell'equazione.

${(\sqrt{2} \sqrt{x})}^{2} = 0^{2}$

Passaggio 3.4.2

Semplifica ogni lato dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.2.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{x}$ come $x^{\frac{1}{2}}$ .

${(\sqrt{2} x^{\frac{1}{2}})}^{2} = 0^{2}$

Passaggio 3.4.2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.2.2.1

Semplifica ${(\sqrt{2} x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.2.2.1.1

Applica la regola del prodotto a $\sqrt{2} x^{\frac{1}{2}}$ .

${\sqrt{2}}^{2} {(x^{\frac{1}{2}})}^{2} = 0^{2}$

Passaggio 3.4.2.2.1.2

Riscrivi ${\sqrt{2}}^{2}$ come $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.2.2.1.2.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{2}$ come $2^{\frac{1}{2}}$ .

${(2^{\frac{1}{2}})}^{2} {(x^{\frac{1}{2}})}^{2} = 0^{2}$

Passaggio 3.4.2.2.1.2.2

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$2^{\frac{1}{2} \cdot 2} {(x^{\frac{1}{2}})}^{2} = 0^{2}$

Passaggio 3.4.2.2.1.2.3

$\frac{1}{2}$ e $2$ .

$2^{\frac{2}{2}} {(x^{\frac{1}{2}})}^{2} = 0^{2}$

Passaggio 3.4.2.2.1.2.4

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.2.2.1.2.4.1

Elimina il fattore comune.

$2^{\frac{2}{2}} {(x^{\frac{1}{2}})}^{2} = 0^{2}$

Passaggio 3.4.2.2.1.2.4.2

Riscrivi l'espressione.

$2^{1} {(x^{\frac{1}{2}})}^{2} = 0^{2}$

Passaggio 3.4.2.2.1.2.5

Calcola l'esponente.

$2 {(x^{\frac{1}{2}})}^{2} = 0^{2}$

Passaggio 3.4.2.2.1.3

Moltiplica gli esponenti in ${(x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.2.2.1.3.1

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$2 x^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 0^{2}$

Passaggio 3.4.2.2.1.3.2

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.2.2.1.3.2.1

Elimina il fattore comune.

$2 x^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 0^{2}$

Passaggio 3.4.2.2.1.3.2.2

Riscrivi l'espressione.

$2 x^{1} = 0^{2}$

Passaggio 3.4.2.2.1.4

Semplifica.

$2 x = 0^{2}$

Passaggio 3.4.2.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.2.3.1

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$2 x = 0$

Passaggio 3.4.3

Dividi per $2$ ciascun termine in $2 x = 0$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.3.1

Dividi per $2$ ciascun termine in $2 x = 0$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{0}{2}$

Passaggio 3.4.3.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.3.2.1

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.3.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{2 x}{2} = \frac{0}{2}$

Passaggio 3.4.3.2.1.2

Dividi $x$ per $1$ .

$x = \frac{0}{2}$

Passaggio 3.4.3.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.3.3.1

Dividi $0$ per $2$ .

$x = 0$

Passaggio 3.5

Il dominio è formato da tutti i valori di $x$ che rendono definita l'espressione.

Notazione degli intervalli:

$(0, \infty)$

Notazione intensiva:

${x | x > 0}$

Notazione degli intervalli:

$(0, \infty)$

Notazione intensiva:

${x | x > 0}$

Passaggio 4

$f' (x)$ è continua su $[2, 8]$ .

$f' (x)$ è continua

Passaggio 5

Il valore medio della funzione $f'$ rispetto all'intervallo $[a, b]$ è definito come $A (x) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$ .

$A (x) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$

Passaggio 6

Sostituisci i valori effettivi nella formula del valore medio di una funzione.

$A (x) = \frac{1}{8 - 2} (\int_{2}^{8} \frac{1}{2^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}} d x)$

Passaggio 7

Poiché $\frac{1}{2^{\frac{1}{2}}}$ è costante rispetto a $x$ , sposta $\frac{1}{2^{\frac{1}{2}}}$ fuori dall'integrale.

$A (x) = \frac{1}{8 - 2} (\frac{1}{2^{\frac{1}{2}}} \cdot \int_{2}^{8} \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} d x)$

Passaggio 8

Applica le regole di base degli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.1

Sposta $x^{\frac{1}{2}}$ fuori dal denominatore elevandolo alla potenza di $- 1$ .

$A (x) = \frac{1}{8 - 2} (\frac{1}{2^{\frac{1}{2}}} \cdot \int_{2}^{8} {(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d x)$

Passaggio 8.2

Moltiplica gli esponenti in ${(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.2.1

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$A (x) = \frac{1}{8 - 2} (\frac{1}{2^{\frac{1}{2}}} \cdot \int_{2}^{8} x^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d x)$

Passaggio 8.2.2

$\frac{1}{2}$ e $- 1$ .

$A (x) = \frac{1}{8 - 2} (\frac{1}{2^{\frac{1}{2}}} \cdot \int_{2}^{8} x^{\frac{- 1}{2}} d x)$

Passaggio 8.2.3

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$A (x) = \frac{1}{8 - 2} (\frac{1}{2^{\frac{1}{2}}} \cdot \int_{2}^{8} x^{- \frac{1}{2}} d x)$

Passaggio 9

Secondo la regola della potenza, l'intero di $x^{- \frac{1}{2}}$ rispetto a $x$ è $2 x^{\frac{1}{2}}$ .

$A (x) = \frac{1}{8 - 2} (\frac{1}{2^{\frac{1}{2}}} \cdot 2 x^{\frac{1}{2}}]_{2}^{8})$

Passaggio 10

Sostituisci e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.1

Calcola $2 x^{\frac{1}{2}}$ per $8$ e per $2$ .

$A (x) = \frac{1}{8 - 2} (\frac{1}{2^{\frac{1}{2}}} \cdot ((2 \cdot 8^{\frac{1}{2}}) - 2 \cdot 2^{\frac{1}{2}}))$

Passaggio 10.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.2.1

Riscrivi $8$ come $2^{3}$ .

$A (x) = \frac{1}{8 - 2} (\frac{1}{2^{\frac{1}{2}}} \cdot (2 \cdot {(2^{3})}^{\frac{1}{2}} - 2 \cdot 2^{\frac{1}{2}}))$

Passaggio 10.2.2

Moltiplica gli esponenti in ${(2^{3})}^{\frac{1}{2}}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.2.2.1

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$A (x) = \frac{1}{8 - 2} (\frac{1}{2^{\frac{1}{2}}} \cdot (2 \cdot 2^{3 (\frac{1}{2})} - 2 \cdot 2^{\frac{1}{2}}))$

Passaggio 10.2.2.2

$3$ e $\frac{1}{2}$ .

$A (x) = \frac{1}{8 - 2} (\frac{1}{2^{\frac{1}{2}}} \cdot (2 \cdot 2^{\frac{3}{2}} - 2 \cdot 2^{\frac{1}{2}}))$

Passaggio 10.2.3

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$A (x) = \frac{1}{8 - 2} (\frac{1}{2^{\frac{1}{2}}} \cdot (2^{1 + \frac{3}{2}} - 2 \cdot 2^{\frac{1}{2}}))$

Passaggio 10.2.4

Scrivi $1$ come una frazione con un comune denominatore.

$A (x) = \frac{1}{8 - 2} (\frac{1}{2^{\frac{1}{2}}} \cdot (2^{\frac{2}{2} + \frac{3}{2}} - 2 \cdot 2^{\frac{1}{2}}))$

Passaggio 10.2.5

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$A (x) = \frac{1}{8 - 2} (\frac{1}{2^{\frac{1}{2}}} \cdot (2^{\frac{2 + 3}{2}} - 2 \cdot 2^{\frac{1}{2}}))$

Passaggio 10.2.6

Somma $2$ e $3$ .

$A (x) = \frac{1}{8 - 2} (\frac{1}{2^{\frac{1}{2}}} \cdot (2^{\frac{5}{2}} - 2 \cdot 2^{\frac{1}{2}}))$

Passaggio 10.2.7

Metti in evidenza il valore negativo.

$A (x) = \frac{1}{8 - 2} (\frac{1}{2^{\frac{1}{2}}} \cdot (2^{\frac{5}{2}} - (2 \cdot 2^{\frac{1}{2}})))$

Passaggio 10.2.8

Eleva $2$ alla potenza di $1$ .

$A (x) = \frac{1}{8 - 2} (\frac{1}{2^{\frac{1}{2}}} \cdot (2^{\frac{5}{2}} - (2 \cdot 2^{\frac{1}{2}})))$

Passaggio 10.2.9

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$A (x) = \frac{1}{8 - 2} (\frac{1}{2^{\frac{1}{2}}} \cdot (2^{\frac{5}{2}} - 2^{1 + \frac{1}{2}}))$

Passaggio 10.2.10

Scrivi $1$ come una frazione con un comune denominatore.

$A (x) = \frac{1}{8 - 2} (\frac{1}{2^{\frac{1}{2}}} \cdot (2^{\frac{5}{2}} - 2^{\frac{2}{2} + \frac{1}{2}}))$

Passaggio 10.2.11

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$A (x) = \frac{1}{8 - 2} (\frac{1}{2^{\frac{1}{2}}} \cdot (2^{\frac{5}{2}} - 2^{\frac{2 + 1}{2}}))$

Passaggio 10.2.12

Somma $2$ e $1$ .

$A (x) = \frac{1}{8 - 2} (\frac{1}{2^{\frac{1}{2}}} \cdot (2^{\frac{5}{2}} - 2^{\frac{3}{2}}))$

Passaggio 11

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.1

Applica la proprietà distributiva.

$A (x) = \frac{1}{8 - 2} (\frac{1}{2^{\frac{1}{2}}} \cdot 2^{\frac{5}{2}} + \frac{1}{2^{\frac{1}{2}}} \cdot (- 2^{\frac{3}{2}}))$

Passaggio 11.2

Elimina il fattore comune di $2^{\frac{1}{2}}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.2.1

Scomponi $2^{\frac{1}{2}}$ da $2^{\frac{5}{2}}$ .

$A (x) = \frac{1}{8 - 2} (\frac{1}{2^{\frac{1}{2}}} \cdot (2^{\frac{1}{2}} \cdot 2^{\frac{4}{2}}) + \frac{1}{2^{\frac{1}{2}}} \cdot (- 2^{\frac{3}{2}}))$

Passaggio 11.2.2

Elimina il fattore comune.

$A (x) = \frac{1}{8 - 2} (\frac{1}{2^{\frac{1}{2}}} \cdot (2^{\frac{1}{2}} \cdot 2^{\frac{4}{2}}) + \frac{1}{2^{\frac{1}{2}}} \cdot (- 2^{\frac{3}{2}}))$

Passaggio 11.2.3

Riscrivi l'espressione.

$A (x) = \frac{1}{8 - 2} (2^{\frac{4}{2}} + \frac{1}{2^{\frac{1}{2}}} \cdot (- 2^{\frac{3}{2}}))$

Passaggio 11.3

Elimina il fattore comune di $2^{\frac{1}{2}}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.3.1

Scomponi $2^{\frac{1}{2}}$ da $- 2^{\frac{3}{2}}$ .

$A (x) = \frac{1}{8 - 2} (2^{\frac{4}{2}} + \frac{1}{2^{\frac{1}{2}}} \cdot (2^{\frac{1}{2}} (- 2^{\frac{2}{2}})))$

Passaggio 11.3.2

Elimina il fattore comune.

$A (x) = \frac{1}{8 - 2} (2^{\frac{4}{2}} + \frac{1}{2^{\frac{1}{2}}} \cdot (2^{\frac{1}{2}} (- 2^{\frac{2}{2}})))$

Passaggio 11.3.3

Riscrivi l'espressione.

$A (x) = \frac{1}{8 - 2} (2^{\frac{4}{2}} - 2^{\frac{2}{2}})$

Passaggio 11.4

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.4.1

Dividi $4$ per $2$ .

$A (x) = \frac{1}{8 - 2} (2^{2} - 2^{\frac{2}{2}})$

Passaggio 11.4.2

Eleva $2$ alla potenza di $2$ .

$A (x) = \frac{1}{8 - 2} (4 - 2^{\frac{2}{2}})$

Passaggio 11.4.3

Dividi $2$ per $2$ .

$A (x) = \frac{1}{8 - 2} (4 - 2)$

Passaggio 11.4.4

Calcola l'esponente.

$A (x) = \frac{1}{8 - 2} (4 - 1 \cdot 2)$

Passaggio 11.4.5

Moltiplica $- 1$ per $2$ .

$A (x) = \frac{1}{8 - 2} (4 - 2)$

Passaggio 11.5

Sottrai $2$ da $4$ .

$A (x) = \frac{1}{8 - 2} (2)$

Passaggio 12

Sottrai $2$ da $8$ .

$A (x) = \frac{1}{6} \cdot 2$

Passaggio 13

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.1

Scomponi $2$ da $6$ .

$A (x) = \frac{1}{2 (3)} \cdot 2$

Passaggio 13.2

Elimina il fattore comune.

$A (x) = \frac{1}{2 \cdot 3} \cdot 2$

Passaggio 13.3

Riscrivi l'espressione.

$A (x) = \frac{1}{3}$

Passaggio 14