Calcolo Esempi

$f (x) = \frac{2 x}{3} + 3 x$ , $- 1 < x < - 0$

Passaggio 1

Trova la derivata di $f (x) = \frac{2 x}{3} + 3 x$ .

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Passaggio 1.1

Trova la derivata prima.

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Passaggio 1.1.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $\frac{2 x}{3} + 3 x$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [\frac{2 x}{3}] + \frac{d}{d x} [3 x]$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{2 x}{3}] + \frac{d}{d x} [3 x]$

Passaggio 1.1.2

Calcola $\frac{d}{d x} [\frac{2 x}{3}]$ .

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Passaggio 1.1.2.1

Poiché $\frac{2}{3}$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $\frac{2 x}{3}$ rispetto a $x$ è $\frac{2}{3} \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{2}{3} \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3 x]$

Passaggio 1.1.2.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$\frac{2}{3} \cdot 1 + \frac{d}{d x} [3 x]$

Passaggio 1.1.2.3

Moltiplica $\frac{2}{3}$ per $1$ .

$\frac{2}{3} + \frac{d}{d x} [3 x]$

Passaggio 1.1.3

Calcola $\frac{d}{d x} [3 x]$ .

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Passaggio 1.1.3.1

Poiché $3$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $3 x$ rispetto a $x$ è $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{2}{3} + 3 \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 1.1.3.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$\frac{2}{3} + 3 \cdot 1$

Passaggio 1.1.3.3

Moltiplica $3$ per $1$ .

$\frac{2}{3} + 3$

Passaggio 1.1.4

Raccogli i termini.

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Passaggio 1.1.4.1

Per scrivere $3$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{3}{3}$ .

$\frac{2}{3} + 3 \cdot \frac{3}{3}$

Passaggio 1.1.4.2

$3$ e $\frac{3}{3}$ .

$\frac{2}{3} + \frac{3 \cdot 3}{3}$

Passaggio 1.1.4.3

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{2 + 3 \cdot 3}{3}$

Passaggio 1.1.4.4

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 1.1.4.4.1

Moltiplica $3$ per $3$ .

$\frac{2 + 9}{3}$

Passaggio 1.1.4.4.2

Somma $2$ e $9$ .

$f' (x) = \frac{11}{3}$

Passaggio 1.2

La derivata prima di $f (x)$ rispetto a $x$ è $\frac{11}{3}$ .

$\frac{11}{3}$

Passaggio 2

Il dominio dell'espressione sono tutti i numeri reali tranne nei casi in cui l'espressione sia indefinita. In questo caso, non c'è alcun numero reale che rende l'espressione indefinita.

Notazione degli intervalli:

$(- \infty, \infty)$

Notazione intensiva:

${x | x \in ℝ}$

Passaggio 3

$f' (x)$ è continua su $[- 1, 0]$ .

$f' (x)$ è continua

Passaggio 4

Il valore medio della funzione $f'$ rispetto all'intervallo $[a, b]$ è definito come $A (x) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$ .

$A (x) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$

Passaggio 5

Sostituisci i valori effettivi nella formula del valore medio di una funzione.

$A (x) = \frac{1}{0 + 1} (\int_{- 1}^{0} \frac{11}{3} d x)$

Passaggio 6

Applica la regola costante.

$A (x) = \frac{1}{0 + 1} (\frac{11}{3} x]_{- 1}^{0})$

Passaggio 7

Sostituisci e semplifica.

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Passaggio 7.1

Calcola $\frac{11}{3} x$ per $0$ e per $- 1$ .

$A (x) = \frac{1}{0 + 1} ((\frac{11}{3} \cdot 0) - \frac{11}{3} \cdot - 1)$

Passaggio 7.2

Semplifica.

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Passaggio 7.2.1

Moltiplica $\frac{11}{3}$ per $0$ .

$A (x) = \frac{1}{0 + 1} (0 - \frac{11}{3} \cdot - 1)$

Passaggio 7.2.2

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$A (x) = \frac{1}{0 + 1} (0 + 1 (\frac{11}{3}))$

Passaggio 7.2.3

Moltiplica $\frac{11}{3}$ per $1$ .

$A (x) = \frac{1}{0 + 1} (0 + \frac{11}{3})$

Passaggio 7.2.4

Somma $0$ e $\frac{11}{3}$ .

$A (x) = \frac{1}{0 + 1} (\frac{11}{3})$

Passaggio 8

Somma $0$ e $1$ .

$A (x) = \frac{1}{1} \cdot \frac{11}{3}$

Passaggio 9

Elimina il fattore comune di $1$ .

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Passaggio 9.1

Elimina il fattore comune.

$A (x) = \frac{1}{1} \cdot \frac{11}{3}$

Passaggio 9.2

Riscrivi l'espressione.

$A (x) = 1 \cdot \frac{11}{3}$

Passaggio 10

Moltiplica $\frac{11}{3}$ per $1$ .

$A (x) = \frac{11}{3}$

Passaggio 11