Calcolo Esempi

$y = \frac{3}{x - 2}$ , $[4, 7]$

Passaggio 1

Scrivi $y = \frac{3}{x - 2}$ come funzione.

$f (x) = \frac{3}{x - 2}$

Passaggio 2

Per trovare il valore medio di una funzione, la funzione dovrebbe essere continua sull'intervallo chiuso $[a, b]$ . Per scoprire se $f (x)$ è continua su $[4, 7]$ o no, calcola il dominio di $f (x) = \frac{3}{x - 2}$ .

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Passaggio 2.1

Imposta il denominatore in $\frac{3}{x - 2}$ in modo che sia uguale a $0$ per individuare dove l'espressione è indefinita.

$x - 2 = 0$

Passaggio 2.2

Somma $2$ a entrambi i lati dell'equazione.

$x = 2$

Passaggio 2.3

Il dominio è formato da tutti i valori di $x$ che rendono definita l'espressione.

Notazione degli intervalli:

$(- \infty, 2) \cup (2, \infty)$

Notazione intensiva:

${x | x \neq 2}$

Notazione degli intervalli:

$(- \infty, 2) \cup (2, \infty)$

Notazione intensiva:

${x | x \neq 2}$

Passaggio 3

$f (x)$ è continua su $[4, 7]$ .

$f (x)$ è continua

Passaggio 4

Il valore medio della funzione $f$ rispetto all'intervallo $[a, b]$ è definito come $A (x) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$ .

$A (x) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$

Passaggio 5

Sostituisci i valori effettivi nella formula del valore medio di una funzione.

$A (x) = \frac{1}{7 - 4} (\int_{4}^{7} \frac{3}{x - 2} d x)$

Passaggio 6

Poiché $3$ è costante rispetto a $x$ , sposta $3$ fuori dall'integrale.

$A (x) = \frac{1}{7 - 4} (3 \int_{4}^{7} \frac{1}{x - 2} d x)$

Passaggio 7

Sia $u = x - 2$ . Allora $d u = d x$ . Riscrivi usando $u$ e $d$ $u$ .

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Passaggio 7.1

Sia $u = x - 2$ . Trova $\frac{d u}{d x}$ .

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Passaggio 7.1.1

Differenzia $x - 2$ .

$\frac{d}{d x} [x - 2]$

Passaggio 7.1.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $x - 2$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]$

Passaggio 7.1.3

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [- 2]$

Passaggio 7.1.4

Poiché $- 2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 2$ rispetto a $x$ è $0$ .

$1 + 0$

Passaggio 7.1.5

Somma $1$ e $0$ .

$1$

Passaggio 7.2

Sostituisci $x$ con il limite inferiore in $u = x - 2$ .

$u_{lower} = 4 - 2$

Passaggio 7.3

Sottrai $2$ da $4$ .

$u_{lower} = 2$

Passaggio 7.4

Sostituisci $x$ con il limite superiore in $u = x - 2$ .

$u_{upper} = 7 - 2$

Passaggio 7.5

Sottrai $2$ da $7$ .

$u_{upper} = 5$

Passaggio 7.6

I valori trovati per $u_{lower}$ e $u_{upper}$ saranno usati per calcolare l'integrale definito.

$u_{lower} = 2$

$u_{upper} = 5$

Passaggio 7.7

Riscrivi il problema utilizzando $u$ , $d u$ e i nuovi limiti dell'integrazione.

$A (x) = \frac{1}{7 - 4} (3 \int_{2}^{5} \frac{1}{u} d u)$

Passaggio 8

L'integrale di $\frac{1}{u}$ rispetto a $u$ è $\ln (| u |)$ .

$A (x) = \frac{1}{7 - 4} (3 (\ln (| u |)]_{2}^{5}))$

Passaggio 9

Calcola $\ln (| u |)$ per $5$ e per $2$ .

$A (x) = \frac{1}{7 - 4} (3 (\ln (| 5 |) - \ln (| 2 |)))$

Passaggio 10

Utilizza la proprietà del quoziente dei logaritmi, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$A (x) = \frac{1}{7 - 4} (3 \ln (\frac{| 5 |}{| 2 |}))$

Passaggio 11

Semplifica.

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Passaggio 11.1

Il valore assoluto è la distanza tra un numero e zero. La distanza tra $0$ e $5$ è $5$ .

$A (x) = \frac{1}{7 - 4} (3 \ln (\frac{5}{| 2 |}))$

Passaggio 11.2

Il valore assoluto è la distanza tra un numero e zero. La distanza tra $0$ e $2$ è $2$ .

$A (x) = \frac{1}{7 - 4} (3 \ln (\frac{5}{2}))$

Passaggio 12

Sottrai $4$ da $7$ .

$A (x) = \frac{1}{3} \cdot (3 \ln (\frac{5}{2}))$

Passaggio 13

Elimina il fattore comune di $3$ .

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Passaggio 13.1

Scomponi $3$ da $3 \ln (\frac{5}{2})$ .

$A (x) = \frac{1}{3} \cdot (3 (\ln (\frac{5}{2})))$

Passaggio 13.2

Elimina il fattore comune.

$A (x) = \frac{1}{3} \cdot (3 \ln (\frac{5}{2}))$

Passaggio 13.3

Riscrivi l'espressione.

$A (x) = \ln (\frac{5}{2})$

Passaggio 14