Calcolo Esempi

$y = \frac{3}{x - 2}$ , $[4, 7]$

Passaggio 1

Trova la derivata.

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Passaggio 1.1

Trova la derivata prima.

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Passaggio 1.1.1

Differenzia usando la regola multipla costante.

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Passaggio 1.1.1.1

Poiché $3$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $\frac{3}{x - 2}$ rispetto a $x$ è $3 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x - 2}]$ .

$3 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x - 2}]$

Passaggio 1.1.1.2

Riscrivi $\frac{1}{x - 2}$ come ${(x - 2)}^{- 1}$ .

$3 \frac{d}{d x} [{(x - 2)}^{- 1}]$

Passaggio 1.1.2

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{- 1}$ e $g (x) = x - 2$ .

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Passaggio 1.1.2.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $x - 2$ .

$3 (\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [x - 2])$

Passaggio 1.1.2.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ è $n u^{n - 1}$ dove $n = - 1$ .

$3 (- u^{- 2} \frac{d}{d x} [x - 2])$

Passaggio 1.1.2.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $x - 2$ .

$3 (- {(x - 2)}^{- 2} \frac{d}{d x} [x - 2])$

Passaggio 1.1.3

Differenzia.

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Passaggio 1.1.3.1

Moltiplica $- 1$ per $3$ .

$- 3 ({(x - 2)}^{- 2} \frac{d}{d x} [x - 2])$

Passaggio 1.1.3.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $x - 2$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]$ .

$- 3 {(x - 2)}^{- 2} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2])$

Passaggio 1.1.3.3

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$- 3 {(x - 2)}^{- 2} (1 + \frac{d}{d x} [- 2])$

Passaggio 1.1.3.4

Poiché $- 2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 2$ rispetto a $x$ è $0$ .

$- 3 {(x - 2)}^{- 2} (1 + 0)$

Passaggio 1.1.3.5

Semplifica l'espressione.

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Passaggio 1.1.3.5.1

Somma $1$ e $0$ .

$- 3 {(x - 2)}^{- 2} \cdot 1$

Passaggio 1.1.3.5.2

Moltiplica $- 3$ per $1$ .

$- 3 {(x - 2)}^{- 2}$

Passaggio 1.1.4

Semplifica.

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Passaggio 1.1.4.1

Riscrivi l'espressione usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- 3 \frac{1}{{(x - 2)}^{2}}$

Passaggio 1.1.4.2

Raccogli i termini.

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Passaggio 1.1.4.2.1

$- 3$ e $\frac{1}{{(x - 2)}^{2}}$ .

$\frac{- 3}{{(x - 2)}^{2}}$

Passaggio 1.1.4.2.2

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$f' (x) = - \frac{3}{{(x - 2)}^{2}}$

Passaggio 1.2

La derivata prima di $f (x)$ rispetto a $x$ è $- \frac{3}{{(x - 2)}^{2}}$ .

$- \frac{3}{{(x - 2)}^{2}}$

Passaggio 2

Definisci se la derivata è continua su $[4, 7]$ .

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Passaggio 2.1

Per determinare se la funzione è continua in $[4, 7]$ o no, trova il dominio di $f' (x) = - \frac{3}{{(x - 2)}^{2}}$ .

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Passaggio 2.1.1

Imposta il denominatore in $\frac{3}{{(x - 2)}^{2}}$ in modo che sia uguale a $0$ per individuare dove l'espressione è indefinita.

${(x - 2)}^{2} = 0$

Passaggio 2.1.2

Risolvi per $x$ .

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Passaggio 2.1.2.1

Poni $x - 2$ uguale a $0$ .

$x - 2 = 0$

Passaggio 2.1.2.2

Somma $2$ a entrambi i lati dell'equazione.

$x = 2$

Passaggio 2.1.3

Il dominio è formato da tutti i valori di $x$ che rendono definita l'espressione.

Notazione degli intervalli:

$(- \infty, 2) \cup (2, \infty)$

Notazione intensiva:

${x | x \neq 2}$

Notazione degli intervalli:

$(- \infty, 2) \cup (2, \infty)$

Notazione intensiva:

${x | x \neq 2}$

Passaggio 2.2

$f' (x)$ è continua su $[4, 7]$ .

La funzione è continua.

Passaggio 3

La funzione è differenziabile su $[4, 7]$ perché la derivata è continua su $[4, 7]$ .

La funzione è differenziabile.

Passaggio 4