Calcolo Esempi

$f (x) = \frac{1}{x}$

Passaggio 1

Considera la definizione di limite della derivata.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{f (x + h) - f (x)}{h}$

Passaggio 2

Trova i componenti della definizione.

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Passaggio 2.1

Risolvi la funzione per $x = x + h$ .

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Passaggio 2.1.1

Sostituisci la variabile $x$ con $x + h$ nell'espressione.

$f (x + h) = \frac{1}{x + h}$

Passaggio 2.1.2

La risposta finale è $\frac{1}{x + h}$ .

$\frac{1}{x + h}$

Passaggio 2.2

Trova i componenti della definizione.

$f (x + h) = \frac{1}{x + h}$

$f (x) = \frac{1}{x}$

$f (x + h) = \frac{1}{x + h}$

$f (x) = \frac{1}{x}$

Passaggio 3

Collega i componenti.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{1}{x + h} - (\frac{1}{x})}{h}$

Passaggio 4

Semplifica.

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Passaggio 4.1

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 4.1.1

Per scrivere $\frac{1}{x + h}$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{x}{x}$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{1}{x + h} \cdot \frac{x}{x} - \frac{1}{x}}{h}$

Passaggio 4.1.2

Per scrivere $- \frac{1}{x}$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{x + h}{x + h}$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{1}{x + h} \cdot \frac{x}{x} - \frac{1}{x} \cdot \frac{x + h}{x + h}}{h}$

Passaggio 4.1.3

Scrivi ogni espressione con un comune denominatore di $(x + h) x$ , moltiplicando ciascuna per il fattore appropriato di $1$ .

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Passaggio 4.1.3.1

Moltiplica $\frac{1}{x + h}$ per $\frac{x}{x}$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{x}{(x + h) x} - \frac{1}{x} \cdot \frac{x + h}{x + h}}{h}$

Passaggio 4.1.3.2

Moltiplica $\frac{1}{x}$ per $\frac{x + h}{x + h}$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{x}{(x + h) x} - \frac{x + h}{x (x + h)}}{h}$

Passaggio 4.1.3.3

Riordina i fattori di $(x + h) x$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{x}{x (x + h)} - \frac{x + h}{x (x + h)}}{h}$

Passaggio 4.1.4

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{x - (x + h)}{x (x + h)}}{h}$

Passaggio 4.1.5

Riscrivi $\frac{x - (x + h)}{x (x + h)}$ in una forma fattorizzata.

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Passaggio 4.1.5.1

Applica la proprietà distributiva.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{x - x - h}{x (x + h)}}{h}$

Passaggio 4.1.5.2

Sottrai $x$ da $x$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{0 - h}{x (x + h)}}{h}$

Passaggio 4.1.5.3

Sottrai $h$ da $0$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{- h}{x (x + h)}}{h}$

Passaggio 4.1.6

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{- \frac{h}{x (x + h)}}{h}$

Passaggio 4.2

Moltiplica il numeratore per il reciproco del denominatore.

$f' (x) = lim_{h \to 0} - \frac{h}{x (x + h)} \cdot \frac{1}{h}$

Passaggio 4.3

Elimina il fattore comune di $h$ .

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Passaggio 4.3.1

Sposta il negativo all'inizio di $- \frac{h}{x (x + h)}$ nel numeratore.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{- h}{x (x + h)} \cdot \frac{1}{h}$

Passaggio 4.3.2

Scomponi $h$ da $- h$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h \cdot - 1}{x (x + h)} \cdot \frac{1}{h}$

Passaggio 4.3.3

Elimina il fattore comune.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h \cdot - 1}{x (x + h)} \cdot \frac{1}{h}$

Passaggio 4.3.4

Riscrivi l'espressione.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{- 1}{x (x + h)}$

Passaggio 4.4

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$f' (x) = lim_{h \to 0} - \frac{1}{x (x + h)}$

Passaggio 5

Calcola il limite.

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Passaggio 5.1

Sposta il termine $- 1$ fuori dal limite perché è costante rispetto a $h$ .

$- lim_{h \to 0} \frac{1}{x (x + h)}$

Passaggio 5.2

Sposta il termine $\frac{1}{x}$ fuori dal limite perché è costante rispetto a $h$ .

$- \frac{1}{x} lim_{h \to 0} \frac{1}{x + h}$

Passaggio 5.3

Dividi il limite usando la regola del quoziente dei limiti quando $h$ tende a $0$ .

$- \frac{1}{x} \cdot \frac{lim_{h \to 0} 1}{lim_{h \to 0} x + h}$

Passaggio 5.4

Calcola il limite di $1$ che è costante, mentre $h$ tende a $0$ .

$- \frac{1}{x} \cdot \frac{1}{lim_{h \to 0} x + h}$

Passaggio 5.5

Dividi il limite usando la regola della somma di limiti quando $h$ tende a $0$ .

$- \frac{1}{x} \cdot \frac{1}{lim_{h \to 0} x + lim_{h \to 0} h}$

Passaggio 5.6

Calcola il limite di $x$ che è costante, mentre $h$ tende a $0$ .

$- \frac{1}{x} \cdot \frac{1}{x + lim_{h \to 0} h}$

Passaggio 6

Calcola il limite di $h$ inserendo $0$ per $h$ .

$- \frac{1}{x} \cdot \frac{1}{x + 0}$

Passaggio 7

Semplifica la risposta.

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Passaggio 7.1

Somma $x$ e $0$ .

$- \frac{1}{x} \cdot \frac{1}{x}$

Passaggio 7.2

Moltiplica $- \frac{1}{x} \cdot \frac{1}{x}$ .

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Passaggio 7.2.1

Moltiplica $\frac{1}{x}$ per $\frac{1}{x}$ .

$- \frac{1}{x \cdot x}$

Passaggio 7.2.2

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$- \frac{1}{x^{1} x}$

Passaggio 7.2.3

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$- \frac{1}{x^{1} x^{1}}$

Passaggio 7.2.4

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$- \frac{1}{x^{1 + 1}}$

Passaggio 7.2.5

Somma $1$ e $1$ .

$- \frac{1}{x^{2}}$

Passaggio 8