Calcolo Esempi

$15 x^{3}$

Passaggio 1

Considera la definizione di limite della derivata.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{f (x + h) - f (x)}{h}$

Passaggio 2

Trova i componenti della definizione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Risolvi la funzione per $x = x + h$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.1

Sostituisci la variabile $x$ con $x + h$ nell'espressione.

$f (x + h) = 15 {(x + h)}^{3}$

Passaggio 2.1.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.2.1

Usa il teorema binomiale.

$f (x + h) = 15 (x^{3} + 3 x^{2} h + 3 x h^{2} + h^{3})$

Passaggio 2.1.2.2

Applica la proprietà distributiva.

$f (x + h) = 15 x^{3} + 15 (3 x^{2} h) + 15 (3 x h^{2}) + 15 h^{3}$

Passaggio 2.1.2.3

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.2.3.1

Moltiplica $3$ per $15$ .

$f (x + h) = 15 x^{3} + 45 (x^{2} h) + 15 (3 x h^{2}) + 15 h^{3}$

Passaggio 2.1.2.3.2

Moltiplica $3$ per $15$ .

$f (x + h) = 15 x^{3} + 45 (x^{2} h) + 45 (x h^{2}) + 15 h^{3}$

Passaggio 2.1.2.4

Rimuovi le parentesi.

$f (x + h) = 15 x^{3} + 45 x^{2} h + 45 x h^{2} + 15 h^{3}$

Passaggio 2.1.2.5

La risposta finale è $15 x^{3} + 45 x^{2} h + 45 x h^{2} + 15 h^{3}$ .

$15 x^{3} + 45 x^{2} h + 45 x h^{2} + 15 h^{3}$

Passaggio 2.2

Riordina.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Sposta $x^{2}$ .

$15 x^{3} + 45 h x^{2} + 45 x h^{2} + 15 h^{3}$

Passaggio 2.2.2

Sposta $x$ .

$15 x^{3} + 45 h x^{2} + 45 h^{2} x + 15 h^{3}$

Passaggio 2.2.3

Sposta $15 x^{3}$ .

$45 h x^{2} + 45 h^{2} x + 15 h^{3} + 15 x^{3}$

Passaggio 2.2.4

Sposta $45 h x^{2}$ .

$45 h^{2} x + 15 h^{3} + 45 h x^{2} + 15 x^{3}$

Passaggio 2.2.5

Riordina $45 h^{2} x$ e $15 h^{3}$ .

$15 h^{3} + 45 h^{2} x + 45 h x^{2} + 15 x^{3}$

Passaggio 2.3

Trova i componenti della definizione.

$f (x + h) = 15 h^{3} + 45 h^{2} x + 45 h x^{2} + 15 x^{3}$

$f (x) = 15 x^{3}$

$f (x + h) = 15 h^{3} + 45 h^{2} x + 45 h x^{2} + 15 x^{3}$

$f (x) = 15 x^{3}$

Passaggio 3

Collega i componenti.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{15 h^{3} + 45 h^{2} x + 45 h x^{2} + 15 x^{3} - (15 x^{3})}{h}$

Passaggio 4

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.1

Moltiplica $- 1$ per $15$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{15 h^{3} + 45 h^{2} x + 45 h x^{2} + 15 x^{3} - 15 x^{3}}{h}$

Passaggio 4.1.2

Sottrai $15 x^{3}$ da $15 x^{3}$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{15 h^{3} + 45 h^{2} x + 45 h x^{2} + 0}{h}$

Passaggio 4.1.3

Somma $15 h^{3} + 45 h^{2} x + 45 h x^{2}$ e $0$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{15 h^{3} + 45 h^{2} x + 45 h x^{2}}{h}$

Passaggio 4.1.4

Scomponi $15 h$ da $15 h^{3} + 45 h^{2} x + 45 h x^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.4.1

Scomponi $15 h$ da $15 h^{3}$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{15 h \cdot h^{2} + 45 h^{2} x + 45 h x^{2}}{h}$

Passaggio 4.1.4.2

Scomponi $15 h$ da $45 h^{2} x$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{15 h \cdot h^{2} + 15 h (3 h x) + 45 h x^{2}}{h}$

Passaggio 4.1.4.3

Scomponi $15 h$ da $45 h x^{2}$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{15 h \cdot h^{2} + 15 h (3 h x) + 15 h (3 x^{2})}{h}$

Passaggio 4.1.4.4

Scomponi $15 h$ da $15 h \cdot h^{2} + 15 h (3 h x)$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{15 h (h^{2} + 3 h x) + 15 h (3 x^{2})}{h}$

Passaggio 4.1.4.5

Scomponi $15 h$ da $15 h (h^{2} + 3 h x) + 15 h (3 x^{2})$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{15 h (h^{2} + 3 h x + 3 x^{2})}{h}$

Passaggio 4.2

Semplifica i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.1

Elimina il fattore comune di $h$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{15 h (h^{2} + 3 h x + 3 x^{2})}{h}$

Passaggio 4.2.1.2

Dividi $15 (h^{2} + 3 h x + 3 x^{2})$ per $1$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} 15 (h^{2} + 3 h x + 3 x^{2})$

Passaggio 4.2.2

Applica la proprietà distributiva.

$f' (x) = lim_{h \to 0} 15 h^{2} + 15 (3 h x) + 15 (3 x^{2})$

Passaggio 4.3

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.1

Moltiplica $3$ per $15$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} 15 h^{2} + 45 (h x) + 15 (3 x^{2})$

Passaggio 4.3.2

Moltiplica $3$ per $15$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} 15 h^{2} + 45 (h x) + 45 x^{2}$

Passaggio 4.4

Sposta $h$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} 15 h^{2} + 45 x h + 45 x^{2}$

Passaggio 4.5

Sposta $15 h^{2}$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} 45 x h + 45 x^{2} + 15 h^{2}$

Passaggio 4.6

Riordina $45 x h$ e $45 x^{2}$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} 45 x^{2} + 45 x h + 15 h^{2}$

Passaggio 5

Dividi il limite usando la regola della somma di limiti quando $h$ tende a $0$ .

$lim_{h \to 0} 45 x^{2} + lim_{h \to 0} 45 x h + lim_{h \to 0} 15 h^{2}$

Passaggio 6

Calcola il limite di $45 x^{2}$ che è costante, mentre $h$ tende a $0$ .

$45 x^{2} + lim_{h \to 0} 45 x h + lim_{h \to 0} 15 h^{2}$

Passaggio 7

Sposta il termine $45 x$ fuori dal limite perché è costante rispetto a $h$ .

$45 x^{2} + 45 x lim_{h \to 0} h + lim_{h \to 0} 15 h^{2}$

Passaggio 8

Sposta il termine $15$ fuori dal limite perché è costante rispetto a $h$ .

$45 x^{2} + 45 x lim_{h \to 0} h + 15 lim_{h \to 0} h^{2}$

Passaggio 9

Sposta l'esponente $2$ da $h^{2}$ fuori dal limite usando la regola di potenza dei limiti.

$45 x^{2} + 45 x lim_{h \to 0} h + 15 {(lim_{h \to 0} h)}^{2}$

Passaggio 10

Calcola il limite inserendo $0$ per tutte le occorrenze di $h$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.1

Calcola il limite di $h$ inserendo $0$ per $h$ .

$45 x^{2} + 45 x \cdot 0 + 15 {(lim_{h \to 0} h)}^{2}$

Passaggio 10.2

Calcola il limite di $h$ inserendo $0$ per $h$ .

$45 x^{2} + 45 x \cdot 0 + 15 \cdot 0^{2}$

Passaggio 11

Semplifica la risposta.

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Passaggio 11.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.1.1

Moltiplica $45 x \cdot 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.1.1.1

Moltiplica $0$ per $45$ .

$45 x^{2} + 0 x + 15 \cdot 0^{2}$

Passaggio 11.1.1.2

Moltiplica $0$ per $x$ .

$45 x^{2} + 0 + 15 \cdot 0^{2}$

Passaggio 11.1.2

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$45 x^{2} + 0 + 15 \cdot 0$

Passaggio 11.1.3

Moltiplica $15$ per $0$ .

$45 x^{2} + 0 + 0$

Passaggio 11.2

Combina i termini opposti in $45 x^{2} + 0 + 0$ .

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Passaggio 11.2.1

Somma $45 x^{2}$ e $0$ .

$45 x^{2} + 0$

Passaggio 11.2.2

Somma $45 x^{2}$ e $0$ .

$45 x^{2}$

Passaggio 12