Calcolo Esempi

$f (θ) = θ \cos (θ) \sin (θ)$

Passaggio 1

Differenzia usando la regola del prodotto, che indica che $\frac{d}{d θ} [f (θ) g (θ)]$ è $f (θ) \frac{d}{d θ} [g (θ)] + g (θ) \frac{d}{d θ} [f (θ)]$ dove $f (θ) = θ \cos (θ)$ e $g (θ) = \sin (θ)$ .

$θ \cos (θ) \frac{d}{d θ} [\sin (θ)] + \sin (θ) \frac{d}{d θ} [θ \cos (θ)]$

Passaggio 2

La derivata di $\sin (θ)$ rispetto a $θ$ è $\cos (θ)$ .

$θ \cos (θ) \cos (θ) + \sin (θ) \frac{d}{d θ} [θ \cos (θ)]$

Passaggio 3

Eleva $\cos (θ)$ alla potenza di $1$ .

$θ (\cos^{1} (θ) \cos (θ)) + \sin (θ) \frac{d}{d θ} [θ \cos (θ)]$

Passaggio 4

Eleva $\cos (θ)$ alla potenza di $1$ .

$θ (\cos^{1} (θ) \cos^{1} (θ)) + \sin (θ) \frac{d}{d θ} [θ \cos (θ)]$

Passaggio 5

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$θ {\cos (θ)}^{1 + 1} + \sin (θ) \frac{d}{d θ} [θ \cos (θ)]$

Passaggio 6

Somma $1$ e $1$ .

$θ \cos^{2} (θ) + \sin (θ) \frac{d}{d θ} [θ \cos (θ)]$

Passaggio 7

Differenzia usando la regola del prodotto, che indica che $\frac{d}{d θ} [f (θ) g (θ)]$ è $f (θ) \frac{d}{d θ} [g (θ)] + g (θ) \frac{d}{d θ} [f (θ)]$ dove $f (θ) = θ$ e $g (θ) = \cos (θ)$ .

$θ \cos^{2} (θ) + \sin (θ) (θ \frac{d}{d θ} [\cos (θ)] + \cos (θ) \frac{d}{d θ} [θ])$

Passaggio 8

La derivata di $\cos (θ)$ rispetto a $θ$ è $- \sin (θ)$ .

$θ \cos^{2} (θ) + \sin (θ) (θ (- \sin (θ)) + \cos (θ) \frac{d}{d θ} [θ])$

Passaggio 9

Differenzia usando la regola di potenza.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.1

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d θ} [θ^{n}]$ è $n θ^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$θ \cos^{2} (θ) + \sin (θ) (θ (- \sin (θ)) + \cos (θ) \cdot 1)$

Passaggio 9.2

Moltiplica $\cos (θ)$ per $1$ .

$θ \cos^{2} (θ) + \sin (θ) (θ (- \sin (θ)) + \cos (θ))$

Passaggio 10

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.1

Applica la proprietà distributiva.

$θ \cos^{2} (θ) + \sin (θ) (θ (- \sin (θ))) + \sin (θ) \cos (θ)$

Passaggio 10.2

Raccogli i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.2.1

Eleva $\sin (θ)$ alla potenza di $1$ .

$θ \cos^{2} (θ) + θ (- (\sin^{1} (θ) \sin (θ))) + \sin (θ) \cos (θ)$

Passaggio 10.2.2

Eleva $\sin (θ)$ alla potenza di $1$ .

$θ \cos^{2} (θ) + θ (- (\sin^{1} (θ) \sin^{1} (θ))) + \sin (θ) \cos (θ)$

Passaggio 10.2.3

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$θ \cos^{2} (θ) + θ (- {\sin (θ)}^{1 + 1}) + \sin (θ) \cos (θ)$

Passaggio 10.2.4

Somma $1$ e $1$ .

$θ \cos^{2} (θ) + θ (- \sin^{2} (θ)) + \sin (θ) \cos (θ)$

Passaggio 10.3

Riordina i termini.

$θ \cos^{2} (θ) - θ \sin^{2} (θ) + \cos (θ) \sin (θ)$