Calcolo Esempi

$f (x) = \cos (x)$

Passaggio 1

Considera la definizione di limite della derivata.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{f (x + h) - f (x)}{h}$

Passaggio 2

Trova i componenti della definizione.

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Passaggio 2.1

Risolvi la funzione per $x = x + h$ .

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Passaggio 2.1.1

Sostituisci la variabile $x$ con $x + h$ nell'espressione.

$f (x + h) = \cos (x + h)$

Passaggio 2.1.2

La risposta finale è $\cos (x + h)$ .

$\cos (x + h)$

Passaggio 2.2

Trova i componenti della definizione.

$f (x + h) = \cos (x + h)$

$f (x) = \cos (x)$

$f (x + h) = \cos (x + h)$

$f (x) = \cos (x)$

Passaggio 3

Collega i componenti.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\cos (x + h) - (\cos (x))}{h}$

Passaggio 4

Applica la regola di de l'Hôpital

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Passaggio 4.1

Calcola il limite del numeratore e il limite del denominatore.

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Passaggio 4.1.1

Trova il limite del numeratore e il limite del denominatore.

$\frac{lim_{h \to 0} \cos (x + h) - (\cos (x))}{lim_{h \to 0} h}$

Passaggio 4.1.2

Calcola il limite del numeratore.

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Passaggio 4.1.2.1

Calcola il limite.

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Passaggio 4.1.2.1.1

Dividi il limite usando la regola della somma di limiti quando $h$ tende a $0$ .

$\frac{lim_{h \to 0} \cos (x + h) - lim_{h \to 0} \cos (x)}{lim_{h \to 0} h}$

Passaggio 4.1.2.1.2

Sposta il limite all'interno della funzione trigonometrica, poiché il coseno è continuo.

$\frac{\cos (lim_{h \to 0} x + h) - lim_{h \to 0} \cos (x)}{lim_{h \to 0} h}$

Passaggio 4.1.2.1.3

Dividi il limite usando la regola della somma di limiti quando $h$ tende a $0$ .

$\frac{\cos (lim_{h \to 0} x + lim_{h \to 0} h) - lim_{h \to 0} \cos (x)}{lim_{h \to 0} h}$

Passaggio 4.1.2.1.4

Calcola il limite di $x$ che è costante, mentre $h$ tende a $0$ .

$\frac{\cos (x + lim_{h \to 0} h) - lim_{h \to 0} \cos (x)}{lim_{h \to 0} h}$

Passaggio 4.1.2.1.5

Calcola il limite di $\cos (x)$ che è costante, mentre $h$ tende a $0$ .

$\frac{\cos (x + lim_{h \to 0} h) - \cos (x)}{lim_{h \to 0} h}$

Passaggio 4.1.2.2

Calcola il limite di $h$ inserendo $0$ per $h$ .

$\frac{\cos (x + 0) - \cos (x)}{lim_{h \to 0} h}$

Passaggio 4.1.2.3

Combina i termini opposti in $\cos (x + 0) - \cos (x)$ .

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Passaggio 4.1.2.3.1

Somma $x$ e $0$ .

$\frac{\cos (x) - \cos (x)}{lim_{h \to 0} h}$

Passaggio 4.1.2.3.2

Sottrai $\cos (x)$ da $\cos (x)$ .

$\frac{0}{lim_{h \to 0} h}$

Passaggio 4.1.3

Calcola il limite di $h$ inserendo $0$ per $h$ .

$\frac{0}{0}$

Passaggio 4.1.4

L'espressione contiene una divisione per $0$ . L'espressione è indefinita.

Indefinito

$\frac{0}{0}$

Passaggio 4.2

Poiché $\frac{0}{0}$ si trova in forma indeterminata, applica la regola di de l'Hôpital. La regola di de l'Hôpital afferma che il limite di un quoziente di funzioni è uguale al limite del quoziente delle loro derivate.

$lim_{h \to 0} \frac{\cos (x + h) - (\cos (x))}{h} = lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d h} [\cos (x + h) - (\cos (x))]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Passaggio 4.3

Trova la derivata del numeratore e del denominatore.

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Passaggio 4.3.1

Differenzia numeratore e denominatore.

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d h} [\cos (x + h) - (\cos (x))]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Passaggio 4.3.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $\cos (x + h) - (\cos (x))$ rispetto a $h$ è $\frac{d}{d h} [\cos (x + h)] + \frac{d}{d h} [- (\cos (x))]$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d h} [\cos (x + h)] + \frac{d}{d h} [- (\cos (x))]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Passaggio 4.3.3

Calcola $\frac{d}{d h} [\cos (x + h)]$ .

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Passaggio 4.3.3.1

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d h} [f (g (h))]$ è $f' (g (h)) g' (h)$ dove $f (h) = \cos (h)$ e $g (h) = x + h$ .

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Passaggio 4.3.3.1.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $x + h$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d u} [\cos (u)] \frac{d}{d h} [x + h] + \frac{d}{d h} [- (\cos (x))]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Passaggio 4.3.3.1.2

La derivata di $\cos (u)$ rispetto a $u$ è $- \sin (u)$ .

$lim_{h \to 0} \frac{- \sin (u) \frac{d}{d h} [x + h] + \frac{d}{d h} [- (\cos (x))]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Passaggio 4.3.3.1.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $x + h$ .

$lim_{h \to 0} \frac{- \sin (x + h) \frac{d}{d h} [x + h] + \frac{d}{d h} [- (\cos (x))]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Passaggio 4.3.3.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $x + h$ rispetto a $h$ è $\frac{d}{d h} [x] + \frac{d}{d h} [h]$ .

$lim_{h \to 0} \frac{- \sin (x + h) (\frac{d}{d h} [x] + \frac{d}{d h} [h]) + \frac{d}{d h} [- (\cos (x))]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Passaggio 4.3.3.3

Poiché $x$ è costante rispetto a $h$ , la derivata di $x$ rispetto a $h$ è $0$ .

$lim_{h \to 0} \frac{- \sin (x + h) (0 + \frac{d}{d h} [h]) + \frac{d}{d h} [- (\cos (x))]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Passaggio 4.3.3.4

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d h} [h^{n}]$ è $n h^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$lim_{h \to 0} \frac{- \sin (x + h) (0 + 1) + \frac{d}{d h} [- (\cos (x))]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Passaggio 4.3.3.5

Somma $0$ e $1$ .

$lim_{h \to 0} \frac{- \sin (x + h) \cdot 1 + \frac{d}{d h} [- (\cos (x))]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Passaggio 4.3.3.6

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$lim_{h \to 0} \frac{- \sin (x + h) + \frac{d}{d h} [- (\cos (x))]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Passaggio 4.3.4

Poiché $- \cos (x)$ è costante rispetto a $h$ , la derivata di $- \cos (x)$ rispetto a $h$ è $0$ .

$lim_{h \to 0} \frac{- \sin (x + h) + 0}{\frac{d}{d h} [h]}$

Passaggio 4.3.5

Somma $- \sin (x + h)$ e $0$ .

$lim_{h \to 0} \frac{- \sin (x + h)}{\frac{d}{d h} [h]}$

Passaggio 4.3.6

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d h} [h^{n}]$ è $n h^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$lim_{h \to 0} \frac{- \sin (x + h)}{1}$

Passaggio 4.4

Dividi $- \sin (x + h)$ per $1$ .

$lim_{h \to 0} - \sin (x + h)$

Passaggio 5

Calcola il limite.

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Passaggio 5.1

Sposta il termine $- 1$ fuori dal limite perché è costante rispetto a $h$ .

$- lim_{h \to 0} \sin (x + h)$

Passaggio 5.2

Sposta il limite all'interno della funzione trigonometrica, poiché il seno è continuo.

$- \sin (lim_{h \to 0} x + h)$

Passaggio 5.3

Dividi il limite usando la regola della somma di limiti quando $h$ tende a $0$ .

$- \sin (lim_{h \to 0} x + lim_{h \to 0} h)$

Passaggio 5.4

Calcola il limite di $x$ che è costante, mentre $h$ tende a $0$ .

$- \sin (x + lim_{h \to 0} h)$

Passaggio 6

Calcola il limite di $h$ inserendo $0$ per $h$ .

$- \sin (x + 0)$

Passaggio 7

Somma $x$ e $0$ .

$- \sin (x)$

Passaggio 8