Calcolo Esempi

$f (x) = 5 x^{3} - 3 x^{5}$

Passaggio 1

Considera la definizione di limite della derivata.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{f (x + h) - f (x)}{h}$

Passaggio 2

Trova i componenti della definizione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Risolvi la funzione per $x = x + h$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.1

Sostituisci la variabile $x$ con $x + h$ nell'espressione.

$f (x + h) = 5 {(x + h)}^{3} - 3 {(x + h)}^{5}$

Passaggio 2.1.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.2.1.1

Usa il teorema binomiale.

$f (x + h) = 5 (x^{3} + 3 x^{2} h + 3 x h^{2} + h^{3}) - 3 {(x + h)}^{5}$

Passaggio 2.1.2.1.2

Applica la proprietà distributiva.

$f (x + h) = 5 x^{3} + 5 (3 x^{2} h) + 5 (3 x h^{2}) + 5 h^{3} - 3 {(x + h)}^{5}$

Passaggio 2.1.2.1.3

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.2.1.3.1

Moltiplica $3$ per $5$ .

$f (x + h) = 5 x^{3} + 15 (x^{2} h) + 5 (3 x h^{2}) + 5 h^{3} - 3 {(x + h)}^{5}$

Passaggio 2.1.2.1.3.2

Moltiplica $3$ per $5$ .

$f (x + h) = 5 x^{3} + 15 (x^{2} h) + 15 (x h^{2}) + 5 h^{3} - 3 {(x + h)}^{5}$

Passaggio 2.1.2.1.4

Rimuovi le parentesi.

$f (x + h) = 5 x^{3} + 15 x^{2} h + 15 x h^{2} + 5 h^{3} - 3 {(x + h)}^{5}$

Passaggio 2.1.2.1.5

Usa il teorema binomiale.

$f (x + h) = 5 x^{3} + 15 x^{2} h + 15 x h^{2} + 5 h^{3} - 3 (x^{5} + 5 x^{4} h + 10 x^{3} h^{2} + 10 x^{2} h^{3} + 5 x h^{4} + h^{5})$

Passaggio 2.1.2.1.6

Applica la proprietà distributiva.

$f (x + h) = 5 x^{3} + 15 x^{2} h + 15 x h^{2} + 5 h^{3} - 3 x^{5} - 3 (5 x^{4} h) - 3 (10 x^{3} h^{2}) - 3 (10 x^{2} h^{3}) - 3 (5 x h^{4}) - 3 h^{5}$

Passaggio 2.1.2.1.7

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.2.1.7.1

Moltiplica $5$ per $- 3$ .

$f (x + h) = 5 x^{3} + 15 x^{2} h + 15 x h^{2} + 5 h^{3} - 3 x^{5} - 15 (x^{4} h) - 3 (10 x^{3} h^{2}) - 3 (10 x^{2} h^{3}) - 3 (5 x h^{4}) - 3 h^{5}$

Passaggio 2.1.2.1.7.2

Moltiplica $10$ per $- 3$ .

$f (x + h) = 5 x^{3} + 15 x^{2} h + 15 x h^{2} + 5 h^{3} - 3 x^{5} - 15 (x^{4} h) - 30 (x^{3} h^{2}) - 3 (10 x^{2} h^{3}) - 3 (5 x h^{4}) - 3 h^{5}$

Passaggio 2.1.2.1.7.3

Moltiplica $10$ per $- 3$ .

$f (x + h) = 5 x^{3} + 15 x^{2} h + 15 x h^{2} + 5 h^{3} - 3 x^{5} - 15 (x^{4} h) - 30 (x^{3} h^{2}) - 30 (x^{2} h^{3}) - 3 (5 x h^{4}) - 3 h^{5}$

Passaggio 2.1.2.1.7.4

Moltiplica $5$ per $- 3$ .

$f (x + h) = 5 x^{3} + 15 x^{2} h + 15 x h^{2} + 5 h^{3} - 3 x^{5} - 15 (x^{4} h) - 30 (x^{3} h^{2}) - 30 (x^{2} h^{3}) - 15 (x h^{4}) - 3 h^{5}$

Passaggio 2.1.2.1.8

Rimuovi le parentesi.

$f (x + h) = 5 x^{3} + 15 x^{2} h + 15 x h^{2} + 5 h^{3} - 3 x^{5} - 15 x^{4} h - 30 x^{3} h^{2} - 30 x^{2} h^{3} - 15 x h^{4} - 3 h^{5}$

Passaggio 2.1.2.2

La risposta finale è $5 x^{3} + 15 x^{2} h + 15 x h^{2} + 5 h^{3} - 3 x^{5} - 15 x^{4} h - 30 x^{3} h^{2} - 30 x^{2} h^{3} - 15 x h^{4} - 3 h^{5}$ .

$5 x^{3} + 15 x^{2} h + 15 x h^{2} + 5 h^{3} - 3 x^{5} - 15 x^{4} h - 30 x^{3} h^{2} - 30 x^{2} h^{3} - 15 x h^{4} - 3 h^{5}$

Passaggio 2.2

Riordina.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Sposta $x^{2}$ .

$5 x^{3} + 15 h x^{2} + 15 x h^{2} + 5 h^{3} - 3 x^{5} - 15 x^{4} h - 30 x^{3} h^{2} - 30 x^{2} h^{3} - 15 x h^{4} - 3 h^{5}$

Passaggio 2.2.2

Sposta $x$ .

$5 x^{3} + 15 h x^{2} + 15 h^{2} x + 5 h^{3} - 3 x^{5} - 15 x^{4} h - 30 x^{3} h^{2} - 30 x^{2} h^{3} - 15 x h^{4} - 3 h^{5}$

Passaggio 2.2.3

Sposta $x^{4}$ .

$5 x^{3} + 15 h x^{2} + 15 h^{2} x + 5 h^{3} - 3 x^{5} - 15 h x^{4} - 30 x^{3} h^{2} - 30 x^{2} h^{3} - 15 x h^{4} - 3 h^{5}$

Passaggio 2.2.4

Sposta $x^{3}$ .

$5 x^{3} + 15 h x^{2} + 15 h^{2} x + 5 h^{3} - 3 x^{5} - 15 h x^{4} - 30 h^{2} x^{3} - 30 x^{2} h^{3} - 15 x h^{4} - 3 h^{5}$

Passaggio 2.2.5

Sposta $x^{2}$ .

$5 x^{3} + 15 h x^{2} + 15 h^{2} x + 5 h^{3} - 3 x^{5} - 15 h x^{4} - 30 h^{2} x^{3} - 30 h^{3} x^{2} - 15 x h^{4} - 3 h^{5}$

Passaggio 2.2.6

Sposta $x$ .

$5 x^{3} + 15 h x^{2} + 15 h^{2} x + 5 h^{3} - 3 x^{5} - 15 h x^{4} - 30 h^{2} x^{3} - 30 h^{3} x^{2} - 15 h^{4} x - 3 h^{5}$

Passaggio 2.2.7

Sposta $5 x^{3}$ .

$15 h x^{2} + 15 h^{2} x + 5 h^{3} - 3 x^{5} - 15 h x^{4} - 30 h^{2} x^{3} - 30 h^{3} x^{2} - 15 h^{4} x - 3 h^{5} + 5 x^{3}$

Passaggio 2.2.8

Sposta $15 h x^{2}$ .

$15 h^{2} x + 5 h^{3} - 3 x^{5} - 15 h x^{4} - 30 h^{2} x^{3} - 30 h^{3} x^{2} - 15 h^{4} x - 3 h^{5} + 15 h x^{2} + 5 x^{3}$

Passaggio 2.2.9

Sposta $15 h^{2} x$ .

$5 h^{3} - 3 x^{5} - 15 h x^{4} - 30 h^{2} x^{3} - 30 h^{3} x^{2} - 15 h^{4} x - 3 h^{5} + 15 h^{2} x + 15 h x^{2} + 5 x^{3}$

Passaggio 2.2.10

Sposta $5 h^{3}$ .

$- 3 x^{5} - 15 h x^{4} - 30 h^{2} x^{3} - 30 h^{3} x^{2} - 15 h^{4} x - 3 h^{5} + 5 h^{3} + 15 h^{2} x + 15 h x^{2} + 5 x^{3}$

Passaggio 2.2.11

Sposta $- 3 x^{5}$ .

$- 15 h x^{4} - 30 h^{2} x^{3} - 30 h^{3} x^{2} - 15 h^{4} x - 3 h^{5} - 3 x^{5} + 5 h^{3} + 15 h^{2} x + 15 h x^{2} + 5 x^{3}$

Passaggio 2.2.12

Sposta $- 15 h x^{4}$ .

$- 30 h^{2} x^{3} - 30 h^{3} x^{2} - 15 h^{4} x - 3 h^{5} - 15 h x^{4} - 3 x^{5} + 5 h^{3} + 15 h^{2} x + 15 h x^{2} + 5 x^{3}$

Passaggio 2.2.13

Sposta $- 30 h^{2} x^{3}$ .

$- 30 h^{3} x^{2} - 15 h^{4} x - 3 h^{5} - 30 h^{2} x^{3} - 15 h x^{4} - 3 x^{5} + 5 h^{3} + 15 h^{2} x + 15 h x^{2} + 5 x^{3}$

Passaggio 2.2.14

Sposta $- 30 h^{3} x^{2}$ .

$- 15 h^{4} x - 3 h^{5} - 30 h^{3} x^{2} - 30 h^{2} x^{3} - 15 h x^{4} - 3 x^{5} + 5 h^{3} + 15 h^{2} x + 15 h x^{2} + 5 x^{3}$

Passaggio 2.2.15

Riordina $- 15 h^{4} x$ e $- 3 h^{5}$ .

$- 3 h^{5} - 15 h^{4} x - 30 h^{3} x^{2} - 30 h^{2} x^{3} - 15 h x^{4} - 3 x^{5} + 5 h^{3} + 15 h^{2} x + 15 h x^{2} + 5 x^{3}$

Passaggio 2.3

Trova i componenti della definizione.

$f (x + h) = - 3 h^{5} - 15 h^{4} x - 30 h^{3} x^{2} - 30 h^{2} x^{3} - 15 h x^{4} - 3 x^{5} + 5 h^{3} + 15 h^{2} x + 15 h x^{2} + 5 x^{3}$

$f (x) = 5 x^{3} - 3 x^{5}$

$f (x + h) = - 3 h^{5} - 15 h^{4} x - 30 h^{3} x^{2} - 30 h^{2} x^{3} - 15 h x^{4} - 3 x^{5} + 5 h^{3} + 15 h^{2} x + 15 h x^{2} + 5 x^{3}$

$f (x) = 5 x^{3} - 3 x^{5}$

Passaggio 3

Collega i componenti.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{- 3 h^{5} - 15 h^{4} x - 30 h^{3} x^{2} - 30 h^{2} x^{3} - 15 h x^{4} - 3 x^{5} + 5 h^{3} + 15 h^{2} x + 15 h x^{2} + 5 x^{3} - (5 x^{3} - 3 x^{5})}{h}$

Passaggio 4

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.1

Applica la proprietà distributiva.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{- 3 h^{5} - 15 h^{4} x - 30 h^{3} x^{2} - 30 h^{2} x^{3} - 15 h x^{4} - 3 x^{5} + 5 h^{3} + 15 h^{2} x + 15 h x^{2} + 5 x^{3} - (5 x^{3}) - (- 3 x^{5})}{h}$

Passaggio 4.1.2

Moltiplica $5$ per $- 1$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{- 3 h^{5} - 15 h^{4} x - 30 h^{3} x^{2} - 30 h^{2} x^{3} - 15 h x^{4} - 3 x^{5} + 5 h^{3} + 15 h^{2} x + 15 h x^{2} + 5 x^{3} - 5 x^{3} - (- 3 x^{5})}{h}$

Passaggio 4.1.3

Moltiplica $- 3$ per $- 1$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{- 3 h^{5} - 15 h^{4} x - 30 h^{3} x^{2} - 30 h^{2} x^{3} - 15 h x^{4} - 3 x^{5} + 5 h^{3} + 15 h^{2} x + 15 h x^{2} + 5 x^{3} - 5 x^{3} + 3 x^{5}}{h}$

Passaggio 4.1.4

Somma $- 3 x^{5}$ e $3 x^{5}$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{- 3 h^{5} - 15 h^{4} x - 30 h^{3} x^{2} - 30 h^{2} x^{3} - 15 h x^{4} + 5 h^{3} + 15 h^{2} x + 15 h x^{2} + 5 x^{3} - 5 x^{3} + 0}{h}$

Passaggio 4.1.5

Somma $- 3 h^{5} - 15 h^{4} x - 30 h^{3} x^{2} - 30 h^{2} x^{3} - 15 h x^{4} + 5 h^{3} + 15 h^{2} x + 15 h x^{2} + 5 x^{3} - 5 x^{3}$ e $0$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{- 3 h^{5} - 15 h^{4} x - 30 h^{3} x^{2} - 30 h^{2} x^{3} - 15 h x^{4} + 5 h^{3} + 15 h^{2} x + 15 h x^{2} + 5 x^{3} - 5 x^{3}}{h}$

Passaggio 4.1.6

Sottrai $5 x^{3}$ da $5 x^{3}$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{- 3 h^{5} - 15 h^{4} x - 30 h^{3} x^{2} - 30 h^{2} x^{3} - 15 h x^{4} + 5 h^{3} + 15 h^{2} x + 15 h x^{2} + 0}{h}$

Passaggio 4.1.7

Somma $- 3 h^{5} - 15 h^{4} x - 30 h^{3} x^{2} - 30 h^{2} x^{3} - 15 h x^{4} + 5 h^{3} + 15 h^{2} x + 15 h x^{2}$ e $0$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{- 3 h^{5} - 15 h^{4} x - 30 h^{3} x^{2} - 30 h^{2} x^{3} - 15 h x^{4} + 5 h^{3} + 15 h^{2} x + 15 h x^{2}}{h}$

Passaggio 4.1.8

Scomponi $h$ da $- 3 h^{5} - 15 h^{4} x - 30 h^{3} x^{2} - 30 h^{2} x^{3} - 15 h x^{4} + 5 h^{3} + 15 h^{2} x + 15 h x^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.8.1

Scomponi $h$ da $- 3 h^{5}$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h (- 3 h^{4}) - 15 h^{4} x - 30 h^{3} x^{2} - 30 h^{2} x^{3} - 15 h x^{4} + 5 h^{3} + 15 h^{2} x + 15 h x^{2}}{h}$

Passaggio 4.1.8.2

Scomponi $h$ da $- 15 h^{4} x$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h (- 3 h^{4}) + h (- 15 h^{3} x) - 30 h^{3} x^{2} - 30 h^{2} x^{3} - 15 h x^{4} + 5 h^{3} + 15 h^{2} x + 15 h x^{2}}{h}$

Passaggio 4.1.8.3

Scomponi $h$ da $- 30 h^{3} x^{2}$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h (- 3 h^{4}) + h (- 15 h^{3} x) + h (- 30 h^{2} x^{2}) - 30 h^{2} x^{3} - 15 h x^{4} + 5 h^{3} + 15 h^{2} x + 15 h x^{2}}{h}$

Passaggio 4.1.8.4

Scomponi $h$ da $- 30 h^{2} x^{3}$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h (- 3 h^{4}) + h (- 15 h^{3} x) + h (- 30 h^{2} x^{2}) + h (- 30 h x^{3}) - 15 h x^{4} + 5 h^{3} + 15 h^{2} x + 15 h x^{2}}{h}$

Passaggio 4.1.8.5

Scomponi $h$ da $- 15 h x^{4}$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h (- 3 h^{4}) + h (- 15 h^{3} x) + h (- 30 h^{2} x^{2}) + h (- 30 h x^{3}) + h (- 15 x^{4}) + 5 h^{3} + 15 h^{2} x + 15 h x^{2}}{h}$

Passaggio 4.1.8.6

Scomponi $h$ da $5 h^{3}$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h (- 3 h^{4}) + h (- 15 h^{3} x) + h (- 30 h^{2} x^{2}) + h (- 30 h x^{3}) + h (- 15 x^{4}) + h (5 h^{2}) + 15 h^{2} x + 15 h x^{2}}{h}$

Passaggio 4.1.8.7

Scomponi $h$ da $15 h^{2} x$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h (- 3 h^{4}) + h (- 15 h^{3} x) + h (- 30 h^{2} x^{2}) + h (- 30 h x^{3}) + h (- 15 x^{4}) + h (5 h^{2}) + h (15 h x) + 15 h x^{2}}{h}$

Passaggio 4.1.8.8

Scomponi $h$ da $15 h x^{2}$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h (- 3 h^{4}) + h (- 15 h^{3} x) + h (- 30 h^{2} x^{2}) + h (- 30 h x^{3}) + h (- 15 x^{4}) + h (5 h^{2}) + h (15 h x) + h (15 x^{2})}{h}$

Passaggio 4.1.8.9

Scomponi $h$ da $h (- 3 h^{4}) + h (- 15 h^{3} x)$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h (- 3 h^{4} - 15 h^{3} x) + h (- 30 h^{2} x^{2}) + h (- 30 h x^{3}) + h (- 15 x^{4}) + h (5 h^{2}) + h (15 h x) + h (15 x^{2})}{h}$

Passaggio 4.1.8.10

Scomponi $h$ da $h (- 3 h^{4} - 15 h^{3} x) + h (- 30 h^{2} x^{2})$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h (- 3 h^{4} - 15 h^{3} x - 30 h^{2} x^{2}) + h (- 30 h x^{3}) + h (- 15 x^{4}) + h (5 h^{2}) + h (15 h x) + h (15 x^{2})}{h}$

Passaggio 4.1.8.11

Scomponi $h$ da $h (- 3 h^{4} - 15 h^{3} x - 30 h^{2} x^{2}) + h (- 30 h x^{3})$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h (- 3 h^{4} - 15 h^{3} x - 30 h^{2} x^{2} - 30 h x^{3}) + h (- 15 x^{4}) + h (5 h^{2}) + h (15 h x) + h (15 x^{2})}{h}$

Passaggio 4.1.8.12

Scomponi $h$ da $h (- 3 h^{4} - 15 h^{3} x - 30 h^{2} x^{2} - 30 h x^{3}) + h (- 15 x^{4})$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h (- 3 h^{4} - 15 h^{3} x - 30 h^{2} x^{2} - 30 h x^{3} - 15 x^{4}) + h (5 h^{2}) + h (15 h x) + h (15 x^{2})}{h}$

Passaggio 4.1.8.13

Scomponi $h$ da $h (- 3 h^{4} - 15 h^{3} x - 30 h^{2} x^{2} - 30 h x^{3} - 15 x^{4}) + h (5 h^{2})$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h (- 3 h^{4} - 15 h^{3} x - 30 h^{2} x^{2} - 30 h x^{3} - 15 x^{4} + 5 h^{2}) + h (15 h x) + h (15 x^{2})}{h}$

Passaggio 4.1.8.14

Scomponi $h$ da $h (- 3 h^{4} - 15 h^{3} x - 30 h^{2} x^{2} - 30 h x^{3} - 15 x^{4} + 5 h^{2}) + h (15 h x)$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h (- 3 h^{4} - 15 h^{3} x - 30 h^{2} x^{2} - 30 h x^{3} - 15 x^{4} + 5 h^{2} + 15 h x) + h (15 x^{2})}{h}$

Passaggio 4.1.8.15

Scomponi $h$ da $h (- 3 h^{4} - 15 h^{3} x - 30 h^{2} x^{2} - 30 h x^{3} - 15 x^{4} + 5 h^{2} + 15 h x) + h (15 x^{2})$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h (- 3 h^{4} - 15 h^{3} x - 30 h^{2} x^{2} - 30 h x^{3} - 15 x^{4} + 5 h^{2} + 15 h x + 15 x^{2})}{h}$

Passaggio 4.2

Riduci l'espressione eliminando i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.1

Elimina il fattore comune di $h$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h (- 3 h^{4} - 15 h^{3} x - 30 h^{2} x^{2} - 30 h x^{3} - 15 x^{4} + 5 h^{2} + 15 h x + 15 x^{2})}{h}$

Passaggio 4.2.1.2

Dividi $- 3 h^{4} - 15 h^{3} x - 30 h^{2} x^{2} - 30 h x^{3} - 15 x^{4} + 5 h^{2} + 15 h x + 15 x^{2}$ per $1$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} - 3 h^{4} - 15 h^{3} x - 30 h^{2} x^{2} - 30 h x^{3} - 15 x^{4} + 5 h^{2} + 15 h x + 15 x^{2}$

Passaggio 4.2.2

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.2.1

Sposta $h^{3}$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} - 3 h^{4} - 15 x h^{3} - 30 h^{2} x^{2} - 30 h x^{3} - 15 x^{4} + 5 h^{2} + 15 h x + 15 x^{2}$

Passaggio 4.2.2.2

Sposta $h^{2}$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} - 3 h^{4} - 15 x h^{3} - 30 x^{2} h^{2} - 30 h x^{3} - 15 x^{4} + 5 h^{2} + 15 h x + 15 x^{2}$

Passaggio 4.2.2.3

Sposta $h$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} - 3 h^{4} - 15 x h^{3} - 30 x^{2} h^{2} - 30 x^{3} h - 15 x^{4} + 5 h^{2} + 15 h x + 15 x^{2}$

Passaggio 4.2.2.4

Sposta $h$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} - 3 h^{4} - 15 x h^{3} - 30 x^{2} h^{2} - 30 x^{3} h - 15 x^{4} + 5 h^{2} + 15 x h + 15 x^{2}$

Passaggio 4.2.2.5

Sposta $5 h^{2}$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} - 3 h^{4} - 15 x h^{3} - 30 x^{2} h^{2} - 30 x^{3} h - 15 x^{4} + 15 x h + 15 x^{2} + 5 h^{2}$

Passaggio 4.2.2.6

Sposta $15 x h$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} - 3 h^{4} - 15 x h^{3} - 30 x^{2} h^{2} - 30 x^{3} h - 15 x^{4} + 15 x^{2} + 15 x h + 5 h^{2}$

Passaggio 4.2.2.7

Sposta $- 3 h^{4}$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} - 15 x h^{3} - 30 x^{2} h^{2} - 30 x^{3} h - 15 x^{4} - 3 h^{4} + 15 x^{2} + 15 x h + 5 h^{2}$

Passaggio 4.2.2.8

Sposta $- 15 x h^{3}$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} - 30 x^{2} h^{2} - 30 x^{3} h - 15 x^{4} - 15 x h^{3} - 3 h^{4} + 15 x^{2} + 15 x h + 5 h^{2}$

Passaggio 4.2.2.9

Sposta $- 30 x^{2} h^{2}$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} - 30 x^{3} h - 15 x^{4} - 30 x^{2} h^{2} - 15 x h^{3} - 3 h^{4} + 15 x^{2} + 15 x h + 5 h^{2}$

Passaggio 4.2.2.10

Riordina $- 30 x^{3} h$ e $- 15 x^{4}$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} - 15 x^{4} - 30 x^{3} h - 30 x^{2} h^{2} - 15 x h^{3} - 3 h^{4} + 15 x^{2} + 15 x h + 5 h^{2}$

Passaggio 5

Dividi il limite usando la regola della somma di limiti quando $h$ tende a $0$ .

$- lim_{h \to 0} 15 x^{4} - lim_{h \to 0} 30 x^{3} h - lim_{h \to 0} 30 x^{2} h^{2} - lim_{h \to 0} 15 x h^{3} - lim_{h \to 0} 3 h^{4} + lim_{h \to 0} 15 x^{2} + lim_{h \to 0} 15 x h + lim_{h \to 0} 5 h^{2}$

Passaggio 6

Calcola il limite di $15 x^{4}$ che è costante, mentre $h$ tende a $0$ .

$- 15 x^{4} - lim_{h \to 0} 30 x^{3} h - lim_{h \to 0} 30 x^{2} h^{2} - lim_{h \to 0} 15 x h^{3} - lim_{h \to 0} 3 h^{4} + lim_{h \to 0} 15 x^{2} + lim_{h \to 0} 15 x h + lim_{h \to 0} 5 h^{2}$

Passaggio 7

Sposta il termine $30 x^{3}$ fuori dal limite perché è costante rispetto a $h$ .

$- 15 x^{4} - 1 \cdot 30 x^{3} lim_{h \to 0} h - lim_{h \to 0} 30 x^{2} h^{2} - lim_{h \to 0} 15 x h^{3} - lim_{h \to 0} 3 h^{4} + lim_{h \to 0} 15 x^{2} + lim_{h \to 0} 15 x h + lim_{h \to 0} 5 h^{2}$

Passaggio 8

Sposta il termine $30 x^{2}$ fuori dal limite perché è costante rispetto a $h$ .

$- 15 x^{4} - 1 \cdot 30 x^{3} lim_{h \to 0} h - 1 \cdot 30 x^{2} lim_{h \to 0} h^{2} - lim_{h \to 0} 15 x h^{3} - lim_{h \to 0} 3 h^{4} + lim_{h \to 0} 15 x^{2} + lim_{h \to 0} 15 x h + lim_{h \to 0} 5 h^{2}$

Passaggio 9

Sposta l'esponente $2$ da $h^{2}$ fuori dal limite usando la regola di potenza dei limiti.

$- 15 x^{4} - 1 \cdot 30 x^{3} lim_{h \to 0} h - 1 \cdot 30 x^{2} {(lim_{h \to 0} h)}^{2} - lim_{h \to 0} 15 x h^{3} - lim_{h \to 0} 3 h^{4} + lim_{h \to 0} 15 x^{2} + lim_{h \to 0} 15 x h + lim_{h \to 0} 5 h^{2}$

Passaggio 10

Sposta il termine $15 x$ fuori dal limite perché è costante rispetto a $h$ .

$- 15 x^{4} - 1 \cdot 30 x^{3} lim_{h \to 0} h - 1 \cdot 30 x^{2} {(lim_{h \to 0} h)}^{2} - 1 \cdot 15 x lim_{h \to 0} h^{3} - lim_{h \to 0} 3 h^{4} + lim_{h \to 0} 15 x^{2} + lim_{h \to 0} 15 x h + lim_{h \to 0} 5 h^{2}$

Passaggio 11

Sposta l'esponente $3$ da $h^{3}$ fuori dal limite usando la regola di potenza dei limiti.

$- 15 x^{4} - 1 \cdot 30 x^{3} lim_{h \to 0} h - 1 \cdot 30 x^{2} {(lim_{h \to 0} h)}^{2} - 1 \cdot 15 x {(lim_{h \to 0} h)}^{3} - lim_{h \to 0} 3 h^{4} + lim_{h \to 0} 15 x^{2} + lim_{h \to 0} 15 x h + lim_{h \to 0} 5 h^{2}$

Passaggio 12

Sposta il termine $3$ fuori dal limite perché è costante rispetto a $h$ .

$- 15 x^{4} - 1 \cdot 30 x^{3} lim_{h \to 0} h - 1 \cdot 30 x^{2} {(lim_{h \to 0} h)}^{2} - 1 \cdot 15 x {(lim_{h \to 0} h)}^{3} - 3 lim_{h \to 0} h^{4} + lim_{h \to 0} 15 x^{2} + lim_{h \to 0} 15 x h + lim_{h \to 0} 5 h^{2}$

Passaggio 13

Sposta l'esponente $4$ da $h^{4}$ fuori dal limite usando la regola di potenza dei limiti.

$- 15 x^{4} - 1 \cdot 30 x^{3} lim_{h \to 0} h - 1 \cdot 30 x^{2} {(lim_{h \to 0} h)}^{2} - 1 \cdot 15 x {(lim_{h \to 0} h)}^{3} - 3 {(lim_{h \to 0} h)}^{4} + lim_{h \to 0} 15 x^{2} + lim_{h \to 0} 15 x h + lim_{h \to 0} 5 h^{2}$

Passaggio 14

Calcola il limite di $15 x^{2}$ che è costante, mentre $h$ tende a $0$ .

$- 15 x^{4} - 1 \cdot 30 x^{3} lim_{h \to 0} h - 1 \cdot 30 x^{2} {(lim_{h \to 0} h)}^{2} - 1 \cdot 15 x {(lim_{h \to 0} h)}^{3} - 3 {(lim_{h \to 0} h)}^{4} + 15 x^{2} + lim_{h \to 0} 15 x h + lim_{h \to 0} 5 h^{2}$

Passaggio 15

Sposta il termine $15 x$ fuori dal limite perché è costante rispetto a $h$ .

$- 15 x^{4} - 1 \cdot 30 x^{3} lim_{h \to 0} h - 1 \cdot 30 x^{2} {(lim_{h \to 0} h)}^{2} - 1 \cdot 15 x {(lim_{h \to 0} h)}^{3} - 3 {(lim_{h \to 0} h)}^{4} + 15 x^{2} + 15 x lim_{h \to 0} h + lim_{h \to 0} 5 h^{2}$

Passaggio 16

Sposta il termine $5$ fuori dal limite perché è costante rispetto a $h$ .

$- 15 x^{4} - 1 \cdot 30 x^{3} lim_{h \to 0} h - 1 \cdot 30 x^{2} {(lim_{h \to 0} h)}^{2} - 1 \cdot 15 x {(lim_{h \to 0} h)}^{3} - 3 {(lim_{h \to 0} h)}^{4} + 15 x^{2} + 15 x lim_{h \to 0} h + 5 lim_{h \to 0} h^{2}$

Passaggio 17

Sposta l'esponente $2$ da $h^{2}$ fuori dal limite usando la regola di potenza dei limiti.

$- 15 x^{4} - 1 \cdot 30 x^{3} lim_{h \to 0} h - 1 \cdot 30 x^{2} {(lim_{h \to 0} h)}^{2} - 1 \cdot 15 x {(lim_{h \to 0} h)}^{3} - 3 {(lim_{h \to 0} h)}^{4} + 15 x^{2} + 15 x lim_{h \to 0} h + 5 {(lim_{h \to 0} h)}^{2}$

Passaggio 18

Calcola il limite inserendo $0$ per tutte le occorrenze di $h$ .

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Passaggio 18.1