Calcolo Esempi

$f (x) = 4 x^{2} - 5 x$

Passaggio 1

Considera la definizione di limite della derivata.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{f (x + h) - f (x)}{h}$

Passaggio 2

Trova i componenti della definizione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Risolvi la funzione per $x = x + h$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.1

Sostituisci la variabile $x$ con $x + h$ nell'espressione.

$f (x + h) = 4 {(x + h)}^{2} - 5 (x + h)$

Passaggio 2.1.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.2.1.1

Riscrivi ${(x + h)}^{2}$ come $(x + h) (x + h)$ .

$f (x + h) = 4 ((x + h) (x + h)) - 5 (x + h)$

Passaggio 2.1.2.1.2

Espandi $(x + h) (x + h)$ usando il metodo FOIL.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.2.1.2.1

Applica la proprietà distributiva.

$f (x + h) = 4 (x (x + h) + h (x + h)) - 5 (x + h)$

Passaggio 2.1.2.1.2.2

Applica la proprietà distributiva.

$f (x + h) = 4 (x \cdot x + x h + h (x + h)) - 5 (x + h)$

Passaggio 2.1.2.1.2.3

Applica la proprietà distributiva.

$f (x + h) = 4 (x \cdot x + x h + h x + h \cdot h) - 5 (x + h)$

Passaggio 2.1.2.1.3

Semplifica e combina i termini simili.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.2.1.3.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.2.1.3.1.1

Moltiplica $x$ per $x$ .

$f (x + h) = 4 (x^{2} + x h + h x + h \cdot h) - 5 (x + h)$

Passaggio 2.1.2.1.3.1.2

Moltiplica $h$ per $h$ .

$f (x + h) = 4 (x^{2} + x h + h x + h^{2}) - 5 (x + h)$

Passaggio 2.1.2.1.3.2

Somma $x h$ e $h x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.2.1.3.2.1

Riordina $x$ e $h$ .

$f (x + h) = 4 (x^{2} + h x + h x + h^{2}) - 5 (x + h)$

Passaggio 2.1.2.1.3.2.2

Somma $h x$ e $h x$ .

$f (x + h) = 4 (x^{2} + 2 h x + h^{2}) - 5 (x + h)$

Passaggio 2.1.2.1.4

Applica la proprietà distributiva.

$f (x + h) = 4 x^{2} + 4 (2 h x) + 4 h^{2} - 5 (x + h)$

Passaggio 2.1.2.1.5

Moltiplica $2$ per $4$ .

$f (x + h) = 4 x^{2} + 8 (h x) + 4 h^{2} - 5 (x + h)$

Passaggio 2.1.2.1.6

Applica la proprietà distributiva.

$f (x + h) = 4 x^{2} + 8 h x + 4 h^{2} - 5 x - 5 h$

Passaggio 2.1.2.2

La risposta finale è $4 x^{2} + 8 h x + 4 h^{2} - 5 x - 5 h$ .

$4 x^{2} + 8 h x + 4 h^{2} - 5 x - 5 h$

Passaggio 2.2

Riordina.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Sposta $- 5 x$ .

$4 x^{2} + 8 h x + 4 h^{2} - 5 h - 5 x$

Passaggio 2.2.2

Sposta $4 x^{2}$ .

$8 h x + 4 h^{2} + 4 x^{2} - 5 h - 5 x$

Passaggio 2.2.3

Riordina $8 h x$ e $4 h^{2}$ .

$4 h^{2} + 8 h x + 4 x^{2} - 5 h - 5 x$

Passaggio 2.3

Trova i componenti della definizione.

$f (x + h) = 4 h^{2} + 8 h x + 4 x^{2} - 5 h - 5 x$

$f (x) = 4 x^{2} - 5 x$

$f (x + h) = 4 h^{2} + 8 h x + 4 x^{2} - 5 h - 5 x$

$f (x) = 4 x^{2} - 5 x$

Passaggio 3

Collega i componenti.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{4 h^{2} + 8 h x + 4 x^{2} - 5 h - 5 x - (4 x^{2} - 5 x)}{h}$

Passaggio 4

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.1

Applica la proprietà distributiva.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{4 h^{2} + 8 h x + 4 x^{2} - 5 h - 5 x - (4 x^{2}) - (- 5 x)}{h}$

Passaggio 4.1.2

Moltiplica $4$ per $- 1$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{4 h^{2} + 8 h x + 4 x^{2} - 5 h - 5 x - 4 x^{2} - (- 5 x)}{h}$

Passaggio 4.1.3

Moltiplica $- 5$ per $- 1$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{4 h^{2} + 8 h x + 4 x^{2} - 5 h - 5 x - 4 x^{2} + 5 x}{h}$

Passaggio 4.1.4

Sottrai $4 x^{2}$ da $4 x^{2}$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{4 h^{2} + 8 h x - 5 h - 5 x + 0 + 5 x}{h}$

Passaggio 4.1.5

Somma $4 h^{2}$ e $0$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{4 h^{2} + 8 h x - 5 h - 5 x + 5 x}{h}$

Passaggio 4.1.6

Somma $- 5 x$ e $5 x$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{4 h^{2} + 8 h x - 5 h + 0}{h}$

Passaggio 4.1.7

Somma $4 h^{2} + 8 h x - 5 h$ e $0$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{4 h^{2} + 8 h x - 5 h}{h}$

Passaggio 4.1.8

Scomponi $h$ da $4 h^{2} + 8 h x - 5 h$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.8.1

Scomponi $h$ da $4 h^{2}$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h (4 h) + 8 h x - 5 h}{h}$

Passaggio 4.1.8.2

Scomponi $h$ da $8 h x$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h (4 h) + h (8 x) - 5 h}{h}$

Passaggio 4.1.8.3

Scomponi $h$ da $- 5 h$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h (4 h) + h (8 x) + h \cdot - 5}{h}$

Passaggio 4.1.8.4

Scomponi $h$ da $h (4 h) + h (8 x)$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h (4 h + 8 x) + h \cdot - 5}{h}$

Passaggio 4.1.8.5

Scomponi $h$ da $h (4 h + 8 x) + h \cdot - 5$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h (4 h + 8 x - 5)}{h}$

Passaggio 4.2

Riduci l'espressione eliminando i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.1

Elimina il fattore comune di $h$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h (4 h + 8 x - 5)}{h}$

Passaggio 4.2.1.2

Dividi $4 h + 8 x - 5$ per $1$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} 4 h + 8 x - 5$

Passaggio 4.2.2

Riordina $4 h$ e $8 x$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} 8 x + 4 h - 5$

Passaggio 5

Calcola il limite.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Dividi il limite usando la regola della somma di limiti quando $h$ tende a $0$ .

$lim_{h \to 0} 8 x + lim_{h \to 0} 4 h - lim_{h \to 0} 5$

Passaggio 5.2

Calcola il limite di $8 x$ che è costante, mentre $h$ tende a $0$ .

$8 x + lim_{h \to 0} 4 h - lim_{h \to 0} 5$

Passaggio 5.3

Sposta il termine $4$ fuori dal limite perché è costante rispetto a $h$ .

$8 x + 4 lim_{h \to 0} h - lim_{h \to 0} 5$

Passaggio 5.4

Calcola il limite di $5$ che è costante, mentre $h$ tende a $0$ .

$8 x + 4 lim_{h \to 0} h - 1 \cdot 5$

Passaggio 6

Calcola il limite di $h$ inserendo $0$ per $h$ .

$8 x + 4 \cdot 0 - 1 \cdot 5$

Passaggio 7

Semplifica la risposta.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1.1

Moltiplica $4$ per $0$ .

$8 x + 0 - 1 \cdot 5$

Passaggio 7.1.2

Moltiplica $- 1$ per $5$ .

$8 x + 0 - 5$

Passaggio 7.2

Somma $8 x$ e $0$ .

$8 x - 5$

Passaggio 8