Calcolo Esempi

$f (x) = 4 x^{3} + 2 x^{2} + x - 1$

Passaggio 1

Considera la definizione di limite della derivata.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{f (x + h) - f (x)}{h}$

Passaggio 2

Trova i componenti della definizione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Risolvi la funzione per $x = x + h$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.1

Sostituisci la variabile $x$ con $x + h$ nell'espressione.

$f (x + h) = 4 {(x + h)}^{3} + 2 {(x + h)}^{2} + x + h - 1$

Passaggio 2.1.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.2.1

Rimuovi le parentesi.

$f (x + h) = 4 {(x + h)}^{3} + 2 {(x + h)}^{2} + x + h - 1$

Passaggio 2.1.2.2

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.2.2.1

Usa il teorema binomiale.

$f (x + h) = 4 (x^{3} + 3 x^{2} h + 3 x h^{2} + h^{3}) + 2 {(x + h)}^{2} + x + h - 1$

Passaggio 2.1.2.2.2

Applica la proprietà distributiva.

$f (x + h) = 4 x^{3} + 4 (3 x^{2} h) + 4 (3 x h^{2}) + 4 h^{3} + 2 {(x + h)}^{2} + x + h - 1$

Passaggio 2.1.2.2.3

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.2.2.3.1

Moltiplica $3$ per $4$ .

$f (x + h) = 4 x^{3} + 12 (x^{2} h) + 4 (3 x h^{2}) + 4 h^{3} + 2 {(x + h)}^{2} + x + h - 1$

Passaggio 2.1.2.2.3.2

Moltiplica $3$ per $4$ .

$f (x + h) = 4 x^{3} + 12 (x^{2} h) + 12 (x h^{2}) + 4 h^{3} + 2 {(x + h)}^{2} + x + h - 1$

Passaggio 2.1.2.2.4

Rimuovi le parentesi.

$f (x + h) = 4 x^{3} + 12 x^{2} h + 12 x h^{2} + 4 h^{3} + 2 {(x + h)}^{2} + x + h - 1$

Passaggio 2.1.2.2.5

Riscrivi ${(x + h)}^{2}$ come $(x + h) (x + h)$ .

$f (x + h) = 4 x^{3} + 12 x^{2} h + 12 x h^{2} + 4 h^{3} + 2 ((x + h) (x + h)) + x + h - 1$

Passaggio 2.1.2.2.6

Espandi $(x + h) (x + h)$ usando il metodo FOIL.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.2.2.6.1

Applica la proprietà distributiva.

$f (x + h) = 4 x^{3} + 12 x^{2} h + 12 x h^{2} + 4 h^{3} + 2 (x (x + h) + h (x + h)) + x + h - 1$

Passaggio 2.1.2.2.6.2

Applica la proprietà distributiva.

$f (x + h) = 4 x^{3} + 12 x^{2} h + 12 x h^{2} + 4 h^{3} + 2 (x \cdot x + x h + h (x + h)) + x + h - 1$

Passaggio 2.1.2.2.6.3

Applica la proprietà distributiva.

$f (x + h) = 4 x^{3} + 12 x^{2} h + 12 x h^{2} + 4 h^{3} + 2 (x \cdot x + x h + h x + h \cdot h) + x + h - 1$

Passaggio 2.1.2.2.7

Semplifica e combina i termini simili.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.2.2.7.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.2.2.7.1.1

Moltiplica $x$ per $x$ .

$f (x + h) = 4 x^{3} + 12 x^{2} h + 12 x h^{2} + 4 h^{3} + 2 (x^{2} + x h + h x + h \cdot h) + x + h - 1$

Passaggio 2.1.2.2.7.1.2

Moltiplica $h$ per $h$ .

$f (x + h) = 4 x^{3} + 12 x^{2} h + 12 x h^{2} + 4 h^{3} + 2 (x^{2} + x h + h x + h^{2}) + x + h - 1$

Passaggio 2.1.2.2.7.2

Somma $x h$ e $h x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.2.2.7.2.1

Riordina $x$ e $h$ .

$f (x + h) = 4 x^{3} + 12 x^{2} h + 12 x h^{2} + 4 h^{3} + 2 (x^{2} + h x + h x + h^{2}) + x + h - 1$

Passaggio 2.1.2.2.7.2.2

Somma $h x$ e $h x$ .

$f (x + h) = 4 x^{3} + 12 x^{2} h + 12 x h^{2} + 4 h^{3} + 2 (x^{2} + 2 h x + h^{2}) + x + h - 1$

Passaggio 2.1.2.2.8

Applica la proprietà distributiva.

$f (x + h) = 4 x^{3} + 12 x^{2} h + 12 x h^{2} + 4 h^{3} + 2 x^{2} + 2 (2 h x) + 2 h^{2} + x + h - 1$

Passaggio 2.1.2.2.9

Moltiplica $2$ per $2$ .

$f (x + h) = 4 x^{3} + 12 x^{2} h + 12 x h^{2} + 4 h^{3} + 2 x^{2} + 4 h x + 2 h^{2} + x + h - 1$

Passaggio 2.1.2.3

La risposta finale è $4 x^{3} + 12 x^{2} h + 12 x h^{2} + 4 h^{3} + 2 x^{2} + 4 h x + 2 h^{2} + x + h - 1$ .

$4 x^{3} + 12 x^{2} h + 12 x h^{2} + 4 h^{3} + 2 x^{2} + 4 h x + 2 h^{2} + x + h - 1$

Passaggio 2.2

Riordina.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Sposta $x^{2}$ .

$4 x^{3} + 12 h x^{2} + 12 x h^{2} + 4 h^{3} + 2 x^{2} + 4 h x + 2 h^{2} + x + h - 1$

Passaggio 2.2.2

Sposta $x$ .

$4 x^{3} + 12 h x^{2} + 12 h^{2} x + 4 h^{3} + 2 x^{2} + 4 h x + 2 h^{2} + x + h - 1$

Passaggio 2.2.3

Sposta $x$ .

$4 x^{3} + 12 h x^{2} + 12 h^{2} x + 4 h^{3} + 2 x^{2} + 4 h x + 2 h^{2} + h + x - 1$

Passaggio 2.2.4

Sposta $2 x^{2}$ .

$4 x^{3} + 12 h x^{2} + 12 h^{2} x + 4 h^{3} + 4 h x + 2 h^{2} + 2 x^{2} + h + x - 1$

Passaggio 2.2.5

Sposta $4 h x$ .

$4 x^{3} + 12 h x^{2} + 12 h^{2} x + 4 h^{3} + 2 h^{2} + 4 h x + 2 x^{2} + h + x - 1$

Passaggio 2.2.6

Sposta $4 x^{3}$ .

$12 h x^{2} + 12 h^{2} x + 4 h^{3} + 4 x^{3} + 2 h^{2} + 4 h x + 2 x^{2} + h + x - 1$

Passaggio 2.2.7

Sposta $12 h x^{2}$ .

$12 h^{2} x + 4 h^{3} + 12 h x^{2} + 4 x^{3} + 2 h^{2} + 4 h x + 2 x^{2} + h + x - 1$

Passaggio 2.2.8

Riordina $12 h^{2} x$ e $4 h^{3}$ .

$4 h^{3} + 12 h^{2} x + 12 h x^{2} + 4 x^{3} + 2 h^{2} + 4 h x + 2 x^{2} + h + x - 1$

Passaggio 2.3

Trova i componenti della definizione.

$f (x + h) = 4 h^{3} + 12 h^{2} x + 12 h x^{2} + 4 x^{3} + 2 h^{2} + 4 h x + 2 x^{2} + h + x - 1$

$f (x) = 4 x^{3} + 2 x^{2} + x - 1$

$f (x + h) = 4 h^{3} + 12 h^{2} x + 12 h x^{2} + 4 x^{3} + 2 h^{2} + 4 h x + 2 x^{2} + h + x - 1$

$f (x) = 4 x^{3} + 2 x^{2} + x - 1$

Passaggio 3

Collega i componenti.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{4 h^{3} + 12 h^{2} x + 12 h x^{2} + 4 x^{3} + 2 h^{2} + 4 h x + 2 x^{2} + h + x - 1 - (4 x^{3} + 2 x^{2} + x - 1)}{h}$

Passaggio 4

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.1

Applica la proprietà distributiva.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{4 h^{3} + 12 h^{2} x + 12 h x^{2} + 4 x^{3} + 2 h^{2} + 4 h x + 2 x^{2} + h + x - 1 - (4 x^{3}) - (2 x^{2}) - x + 1}{h}$

Passaggio 4.1.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.2.1

Moltiplica $4$ per $- 1$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{4 h^{3} + 12 h^{2} x + 12 h x^{2} + 4 x^{3} + 2 h^{2} + 4 h x + 2 x^{2} + h + x - 1 - 4 x^{3} - (2 x^{2}) - x + 1}{h}$

Passaggio 4.1.2.2

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{4 h^{3} + 12 h^{2} x + 12 h x^{2} + 4 x^{3} + 2 h^{2} + 4 h x + 2 x^{2} + h + x - 1 - 4 x^{3} - 2 x^{2} - x + 1}{h}$

Passaggio 4.1.2.3

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{4 h^{3} + 12 h^{2} x + 12 h x^{2} + 4 x^{3} + 2 h^{2} + 4 h x + 2 x^{2} + h + x - 1 - 4 x^{3} - 2 x^{2} - x + 1}{h}$

Passaggio 4.1.3

Sottrai $4 x^{3}$ da $4 x^{3}$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{4 h^{3} + 12 h^{2} x + 12 h x^{2} + 2 h^{2} + 4 h x + 2 x^{2} + h + x - 1 + 0 - 2 x^{2} - x + 1}{h}$

Passaggio 4.1.4

Somma $4 h^{3}$ e $0$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{4 h^{3} + 12 h^{2} x + 12 h x^{2} + 2 h^{2} + 4 h x + 2 x^{2} + h + x - 1 - 2 x^{2} - x + 1}{h}$

Passaggio 4.1.5

Sottrai $2 x^{2}$ da $2 x^{2}$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{4 h^{3} + 12 h^{2} x + 12 h x^{2} + 2 h^{2} + 4 h x + h + x - 1 + 0 - x + 1}{h}$

Passaggio 4.1.6

Somma $4 h^{3}$ e $0$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{4 h^{3} + 12 h^{2} x + 12 h x^{2} + 2 h^{2} + 4 h x + h + x - 1 - x + 1}{h}$

Passaggio 4.1.7

Sottrai $x$ da $x$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{4 h^{3} + 12 h^{2} x + 12 h x^{2} + 2 h^{2} + 4 h x + h + 0 - 1 + 1}{h}$

Passaggio 4.1.8

Somma $4 h^{3}$ e $0$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{4 h^{3} + 12 h^{2} x + 12 h x^{2} + 2 h^{2} + 4 h x + h - 1 + 1}{h}$

Passaggio 4.1.9

Somma $- 1$ e $1$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{4 h^{3} + 12 h^{2} x + 12 h x^{2} + 2 h^{2} + 4 h x + h + 0}{h}$

Passaggio 4.1.10

Somma $4 h^{3} + 12 h^{2} x + 12 h x^{2} + 2 h^{2} + 4 h x + h$ e $0$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{4 h^{3} + 12 h^{2} x + 12 h x^{2} + 2 h^{2} + 4 h x + h}{h}$

Passaggio 4.1.11

Scomponi $h$ da $4 h^{3} + 12 h^{2} x + 12 h x^{2} + 2 h^{2} + 4 h x + h$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.11.1

Scomponi $h$ da $4 h^{3}$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h (4 h^{2}) + 12 h^{2} x + 12 h x^{2} + 2 h^{2} + 4 h x + h}{h}$

Passaggio 4.1.11.2

Scomponi $h$ da $12 h^{2} x$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h (4 h^{2}) + h (12 h x) + 12 h x^{2} + 2 h^{2} + 4 h x + h}{h}$

Passaggio 4.1.11.3

Scomponi $h$ da $12 h x^{2}$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h (4 h^{2}) + h (12 h x) + h (12 x^{2}) + 2 h^{2} + 4 h x + h}{h}$

Passaggio 4.1.11.4

Scomponi $h$ da $2 h^{2}$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h (4 h^{2}) + h (12 h x) + h (12 x^{2}) + h (2 h) + 4 h x + h}{h}$

Passaggio 4.1.11.5

Scomponi $h$ da $4 h x$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h (4 h^{2}) + h (12 h x) + h (12 x^{2}) + h (2 h) + h (4 x) + h}{h}$

Passaggio 4.1.11.6

Eleva $h$ alla potenza di $1$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h (4 h^{2}) + h (12 h x) + h (12 x^{2}) + h (2 h) + h (4 x) + h}{h}$

Passaggio 4.1.11.7

Scomponi $h$ da $h^{1}$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h (4 h^{2}) + h (12 h x) + h (12 x^{2}) + h (2 h) + h (4 x) + h \cdot 1}{h}$

Passaggio 4.1.11.8

Scomponi $h$ da $h (4 h^{2}) + h (12 h x)$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h (4 h^{2} + 12 h x) + h (12 x^{2}) + h (2 h) + h (4 x) + h \cdot 1}{h}$

Passaggio 4.1.11.9

Scomponi $h$ da $h (4 h^{2} + 12 h x) + h (12 x^{2})$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h (4 h^{2} + 12 h x + 12 x^{2}) + h (2 h) + h (4 x) + h \cdot 1}{h}$

Passaggio 4.1.11.10

Scomponi $h$ da $h (4 h^{2} + 12 h x + 12 x^{2}) + h (2 h)$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h (4 h^{2} + 12 h x + 12 x^{2} + 2 h) + h (4 x) + h \cdot 1}{h}$

Passaggio 4.1.11.11

Scomponi $h$ da $h (4 h^{2} + 12 h x + 12 x^{2} + 2 h) + h (4 x)$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h (4 h^{2} + 12 h x + 12 x^{2} + 2 h + 4 x) + h \cdot 1}{h}$

Passaggio 4.1.11.12

Scomponi $h$ da $h (4 h^{2} + 12 h x + 12 x^{2} + 2 h + 4 x) + h \cdot 1$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h (4 h^{2} + 12 h x + 12 x^{2} + 2 h + 4 x + 1)}{h}$

Passaggio 4.2

Riduci l'espressione eliminando i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.1

Elimina il fattore comune di $h$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h (4 h^{2} + 12 h x + 12 x^{2} + 2 h + 4 x + 1)}{h}$

Passaggio 4.2.1.2

Dividi $4 h^{2} + 12 h x + 12 x^{2} + 2 h + 4 x + 1$ per $1$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} 4 h^{2} + 12 h x + 12 x^{2} + 2 h + 4 x + 1$

Passaggio 4.2.2

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.2.1

Sposta $h$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} 4 h^{2} + 12 x h + 12 x^{2} + 2 h + 4 x + 1$

Passaggio 4.2.2.2

Sposta $2 h$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} 4 h^{2} + 12 x h + 12 x^{2} + 4 x + 2 h + 1$

Passaggio 4.2.2.3

Sposta $4 h^{2}$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} 12 x h + 12 x^{2} + 4 h^{2} + 4 x + 2 h + 1$

Passaggio 4.2.2.4

Riordina $12 x h$ e $12 x^{2}$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} 12 x^{2} + 12 x h + 4 h^{2} + 4 x + 2 h + 1$

Passaggio 5

Dividi il limite usando la regola della somma di limiti quando $h$ tende a $0$ .

$lim_{h \to 0} 12 x^{2} + lim_{h \to 0} 12 x h + lim_{h \to 0} 4 h^{2} + lim_{h \to 0} 4 x + lim_{h \to 0} 2 h + lim_{h \to 0} 1$

Passaggio 6

Calcola il limite di $12 x^{2}$ che è costante, mentre $h$ tende a $0$ .

$12 x^{2} + lim_{h \to 0} 12 x h + lim_{h \to 0} 4 h^{2} + lim_{h \to 0} 4 x + lim_{h \to 0} 2 h + lim_{h \to 0} 1$

Passaggio 7

Sposta il termine $12 x$ fuori dal limite perché è costante rispetto a $h$ .

$12 x^{2} + 12 x lim_{h \to 0} h + lim_{h \to 0} 4 h^{2} + lim_{h \to 0} 4 x + lim_{h \to 0} 2 h + lim_{h \to 0} 1$

Passaggio 8

Sposta il termine $4$ fuori dal limite perché è costante rispetto a $h$ .

$12 x^{2} + 12 x lim_{h \to 0} h + 4 lim_{h \to 0} h^{2} + lim_{h \to 0} 4 x + lim_{h \to 0} 2 h + lim_{h \to 0} 1$

Passaggio 9

Sposta l'esponente $2$ da $h^{2}$ fuori dal limite usando la regola di potenza dei limiti.

$12 x^{2} + 12 x lim_{h \to 0} h + 4 {(lim_{h \to 0} h)}^{2} + lim_{h \to 0} 4 x + lim_{h \to 0} 2 h + lim_{h \to 0} 1$

Passaggio 10

Calcola il limite di $4 x$ che è costante, mentre $h$ tende a $0$ .

$12 x^{2} + 12 x lim_{h \to 0} h + 4 {(lim_{h \to 0} h)}^{2} + 4 x + lim_{h \to 0} 2 h + lim_{h \to 0} 1$

Passaggio 11

Sposta il termine $2$ fuori dal limite perché è costante rispetto a $h$ .

$12 x^{2} + 12 x lim_{h \to 0} h + 4 {(lim_{h \to 0} h)}^{2} + 4 x + 2 lim_{h \to 0} h + lim_{h \to 0} 1$

Passaggio 12

Calcola il limite di $1$ che è costante, mentre $h$ tende a $0$ .

$12 x^{2} + 12 x lim_{h \to 0} h + 4 {(lim_{h \to 0} h)}^{2} + 4 x + 2 lim_{h \to 0} h + 1$

Passaggio 13

Calcola il limite inserendo $0$ per tutte le occorrenze di $h$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.1

Calcola il limite di $h$ inserendo $0$ per $h$ .

$12 x^{2} + 12 x \cdot 0 + 4 {(lim_{h \to 0} h)}^{2} + 4 x + 2 lim_{h \to 0} h + 1$

Passaggio 13.2

Calcola il limite di $h$ inserendo $0$ per $h$ .

$12 x^{2} + 12 x \cdot 0 + 4 \cdot 0^{2} + 4 x + 2 lim_{h \to 0} h + 1$

Passaggio 13.3

Calcola il limite di $h$ inserendo $0$ per $h$ .

$12 x^{2} + 12 x \cdot 0 + 4 \cdot 0^{2} + 4 x + 2 \cdot 0 + 1$

Passaggio 14

Semplifica la risposta.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 14.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 14.1.1

Moltiplica $12 x \cdot 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 14.1.1.1

Moltiplica $0$ per $12$ .

$12 x^{2} + 0 x + 4 \cdot 0^{2} + 4 x + 2 \cdot 0 + 1$

Passaggio 14.1.1.2

Moltiplica $0$ per $x$ .

$12 x^{2} + 0 + 4 \cdot 0^{2} + 4 x + 2 \cdot 0 + 1$

Passaggio 14.1.2

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$12 x^{2} + 0 + 4 \cdot 0 + 4 x + 2 \cdot 0 + 1$

Passaggio 14.1.3

Moltiplica $4$ per $0$ .

$12 x^{2} + 0 + 0 + 4 x + 2 \cdot 0 + 1$

Passaggio 14.1.4

Moltiplica $2$ per $0$ .

$12 x^{2} + 0 + 0 + 4 x + 0 + 1$

Passaggio 14.2

Combina i termini opposti in $12 x^{2} + 0 + 0 + 4 x + 0 + 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 14.2.1

Somma $12 x^{2}$ e $0$ .

$12 x^{2} + 0 + 4 x + 0 + 1$

Passaggio 14.2.2

Somma $12 x^{2}$ e $0$ .

$12 x^{2} + 4 x + 0 + 1$

Passaggio 14.2.3

Somma $12 x^{2} + 4 x$ e $0$ .

$12 x^{2} + 4 x + 1$

Passaggio 15