Calcolo Esempi

$f (x) = x^{3} - 5 x^{2} + 6$

Passaggio 1

Considera la definizione di limite della derivata.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{f (x + h) - f (x)}{h}$

Passaggio 2

Trova i componenti della definizione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Risolvi la funzione per $x = x + h$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.1

Sostituisci la variabile $x$ con $x + h$ nell'espressione.

$f (x + h) = {(x + h)}^{3} - 5 {(x + h)}^{2} + 6$

Passaggio 2.1.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.2.1.1

Usa il teorema binomiale.

$f (x + h) = x^{3} + 3 x^{2} h + 3 x h^{2} + h^{3} - 5 {(x + h)}^{2} + 6$

Passaggio 2.1.2.1.2

Riscrivi ${(x + h)}^{2}$ come $(x + h) (x + h)$ .

$f (x + h) = x^{3} + 3 x^{2} h + 3 x h^{2} + h^{3} - 5 ((x + h) (x + h)) + 6$

Passaggio 2.1.2.1.3

Espandi $(x + h) (x + h)$ usando il metodo FOIL.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.2.1.3.1

Applica la proprietà distributiva.

$f (x + h) = x^{3} + 3 x^{2} h + 3 x h^{2} + h^{3} - 5 (x (x + h) + h (x + h)) + 6$

Passaggio 2.1.2.1.3.2

Applica la proprietà distributiva.

$f (x + h) = x^{3} + 3 x^{2} h + 3 x h^{2} + h^{3} - 5 (x \cdot x + x h + h (x + h)) + 6$

Passaggio 2.1.2.1.3.3

Applica la proprietà distributiva.

$f (x + h) = x^{3} + 3 x^{2} h + 3 x h^{2} + h^{3} - 5 (x \cdot x + x h + h x + h \cdot h) + 6$

Passaggio 2.1.2.1.4

Semplifica e combina i termini simili.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.2.1.4.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.2.1.4.1.1

Moltiplica $x$ per $x$ .

$f (x + h) = x^{3} + 3 x^{2} h + 3 x h^{2} + h^{3} - 5 (x^{2} + x h + h x + h \cdot h) + 6$

Passaggio 2.1.2.1.4.1.2

Moltiplica $h$ per $h$ .

$f (x + h) = x^{3} + 3 x^{2} h + 3 x h^{2} + h^{3} - 5 (x^{2} + x h + h x + h^{2}) + 6$

Passaggio 2.1.2.1.4.2

Somma $x h$ e $h x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.2.1.4.2.1

Riordina $x$ e $h$ .

$f (x + h) = x^{3} + 3 x^{2} h + 3 x h^{2} + h^{3} - 5 (x^{2} + h x + h x + h^{2}) + 6$

Passaggio 2.1.2.1.4.2.2

Somma $h x$ e $h x$ .

$f (x + h) = x^{3} + 3 x^{2} h + 3 x h^{2} + h^{3} - 5 (x^{2} + 2 h x + h^{2}) + 6$

Passaggio 2.1.2.1.5

Applica la proprietà distributiva.

$f (x + h) = x^{3} + 3 x^{2} h + 3 x h^{2} + h^{3} - 5 x^{2} - 5 (2 h x) - 5 h^{2} + 6$

Passaggio 2.1.2.1.6

Moltiplica $2$ per $- 5$ .

$f (x + h) = x^{3} + 3 x^{2} h + 3 x h^{2} + h^{3} - 5 x^{2} - 10 h x - 5 h^{2} + 6$

Passaggio 2.1.2.2

La risposta finale è $x^{3} + 3 x^{2} h + 3 x h^{2} + h^{3} - 5 x^{2} - 10 h x - 5 h^{2} + 6$ .

$x^{3} + 3 x^{2} h + 3 x h^{2} + h^{3} - 5 x^{2} - 10 h x - 5 h^{2} + 6$

Passaggio 2.2

Riordina.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Sposta $x^{2}$ .

$x^{3} + 3 h x^{2} + 3 x h^{2} + h^{3} - 5 x^{2} - 10 h x - 5 h^{2} + 6$

Passaggio 2.2.2

Sposta $x$ .

$x^{3} + 3 h x^{2} + 3 h^{2} x + h^{3} - 5 x^{2} - 10 h x - 5 h^{2} + 6$

Passaggio 2.2.3

Sposta $- 5 x^{2}$ .

$x^{3} + 3 h x^{2} + 3 h^{2} x + h^{3} - 10 h x - 5 h^{2} - 5 x^{2} + 6$

Passaggio 2.2.4

Sposta $- 10 h x$ .

$x^{3} + 3 h x^{2} + 3 h^{2} x + h^{3} - 5 h^{2} - 10 h x - 5 x^{2} + 6$

Passaggio 2.2.5

Sposta $x^{3}$ .

$3 h x^{2} + 3 h^{2} x + h^{3} + x^{3} - 5 h^{2} - 10 h x - 5 x^{2} + 6$

Passaggio 2.2.6

Sposta $3 h x^{2}$ .

$3 h^{2} x + h^{3} + 3 h x^{2} + x^{3} - 5 h^{2} - 10 h x - 5 x^{2} + 6$

Passaggio 2.2.7

Riordina $3 h^{2} x$ e $h^{3}$ .

$h^{3} + 3 h^{2} x + 3 h x^{2} + x^{3} - 5 h^{2} - 10 h x - 5 x^{2} + 6$

Passaggio 2.3

Trova i componenti della definizione.

$f (x + h) = h^{3} + 3 h^{2} x + 3 h x^{2} + x^{3} - 5 h^{2} - 10 h x - 5 x^{2} + 6$

$f (x) = x^{3} - 5 x^{2} + 6$

$f (x + h) = h^{3} + 3 h^{2} x + 3 h x^{2} + x^{3} - 5 h^{2} - 10 h x - 5 x^{2} + 6$

$f (x) = x^{3} - 5 x^{2} + 6$

Passaggio 3

Collega i componenti.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h^{3} + 3 h^{2} x + 3 h x^{2} + x^{3} - 5 h^{2} - 10 h x - 5 x^{2} + 6 - (x^{3} - 5 x^{2} + 6)}{h}$

Passaggio 4

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.1

Applica la proprietà distributiva.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h^{3} + 3 h^{2} x + 3 h x^{2} + x^{3} - 5 h^{2} - 10 h x - 5 x^{2} + 6 - x^{3} - (- 5 x^{2}) - 1 \cdot 6}{h}$

Passaggio 4.1.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.2.1

Moltiplica $- 5$ per $- 1$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h^{3} + 3 h^{2} x + 3 h x^{2} + x^{3} - 5 h^{2} - 10 h x - 5 x^{2} + 6 - x^{3} + 5 x^{2} - 1 \cdot 6}{h}$

Passaggio 4.1.2.2

Moltiplica $- 1$ per $6$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h^{3} + 3 h^{2} x + 3 h x^{2} + x^{3} - 5 h^{2} - 10 h x - 5 x^{2} + 6 - x^{3} + 5 x^{2} - 6}{h}$

Passaggio 4.1.3

Sottrai $x^{3}$ da $x^{3}$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h^{3} + 3 h^{2} x + 3 h x^{2} - 5 h^{2} - 10 h x - 5 x^{2} + 6 + 0 + 5 x^{2} - 6}{h}$

Passaggio 4.1.4

Somma $h^{3}$ e $0$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h^{3} + 3 h^{2} x + 3 h x^{2} - 5 h^{2} - 10 h x - 5 x^{2} + 6 + 5 x^{2} - 6}{h}$

Passaggio 4.1.5

Somma $- 5 x^{2}$ e $5 x^{2}$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h^{3} + 3 h^{2} x + 3 h x^{2} - 5 h^{2} - 10 h x + 0 + 6 - 6}{h}$

Passaggio 4.1.6

Somma $h^{3}$ e $0$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h^{3} + 3 h^{2} x + 3 h x^{2} - 5 h^{2} - 10 h x + 6 - 6}{h}$

Passaggio 4.1.7

Sottrai $6$ da $6$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h^{3} + 3 h^{2} x + 3 h x^{2} - 5 h^{2} - 10 h x + 0}{h}$

Passaggio 4.1.8

Somma $h^{3} + 3 h^{2} x + 3 h x^{2} - 5 h^{2} - 10 h x$ e $0$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h^{3} + 3 h^{2} x + 3 h x^{2} - 5 h^{2} - 10 h x}{h}$

Passaggio 4.1.9

Scomponi $h$ da $h^{3} + 3 h^{2} x + 3 h x^{2} - 5 h^{2} - 10 h x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.9.1

Scomponi $h$ da $h^{3}$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h \cdot h^{2} + 3 h^{2} x + 3 h x^{2} - 5 h^{2} - 10 h x}{h}$

Passaggio 4.1.9.2

Scomponi $h$ da $3 h^{2} x$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h (h^{2}) + h (3 h x) + 3 h x^{2} - 5 h^{2} - 10 h x}{h}$

Passaggio 4.1.9.3

Scomponi $h$ da $3 h x^{2}$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h (h^{2}) + h (3 h x) + h (3 x^{2}) - 5 h^{2} - 10 h x}{h}$

Passaggio 4.1.9.4

Scomponi $h$ da $- 5 h^{2}$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h (h^{2}) + h (3 h x) + h (3 x^{2}) + h (- 5 h) - 10 h x}{h}$

Passaggio 4.1.9.5

Scomponi $h$ da $- 10 h x$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h (h^{2}) + h (3 h x) + h (3 x^{2}) + h (- 5 h) + h (- 10 x)}{h}$

Passaggio 4.1.9.6

Scomponi $h$ da $h (h^{2}) + h (3 h x)$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h (h^{2} + 3 h x) + h (3 x^{2}) + h (- 5 h) + h (- 10 x)}{h}$

Passaggio 4.1.9.7

Scomponi $h$ da $h (h^{2} + 3 h x) + h (3 x^{2})$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h (h^{2} + 3 h x + 3 x^{2}) + h (- 5 h) + h (- 10 x)}{h}$

Passaggio 4.1.9.8

Scomponi $h$ da $h (h^{2} + 3 h x + 3 x^{2}) + h (- 5 h)$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h (h^{2} + 3 h x + 3 x^{2} - 5 h) + h (- 10 x)}{h}$

Passaggio 4.1.9.9

Scomponi $h$ da $h (h^{2} + 3 h x + 3 x^{2} - 5 h) + h (- 10 x)$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h (h^{2} + 3 h x + 3 x^{2} - 5 h - 10 x)}{h}$

Passaggio 4.2

Riduci l'espressione eliminando i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.1

Elimina il fattore comune di $h$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h (h^{2} + 3 h x + 3 x^{2} - 5 h - 10 x)}{h}$

Passaggio 4.2.1.2

Dividi $h^{2} + 3 h x + 3 x^{2} - 5 h - 10 x$ per $1$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} h^{2} + 3 h x + 3 x^{2} - 5 h - 10 x$

Passaggio 4.2.2

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.2.1

Sposta $h$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} h^{2} + 3 x h + 3 x^{2} - 5 h - 10 x$

Passaggio 4.2.2.2

Sposta $- 5 h$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} h^{2} + 3 x h + 3 x^{2} - 10 x - 5 h$

Passaggio 4.2.2.3

Sposta $h^{2}$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} 3 x h + 3 x^{2} + h^{2} - 10 x - 5 h$

Passaggio 4.2.2.4

Riordina $3 x h$ e $3 x^{2}$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} 3 x^{2} + 3 x h + h^{2} - 10 x - 5 h$

Passaggio 5

Dividi il limite usando la regola della somma di limiti quando $h$ tende a $0$ .

$lim_{h \to 0} 3 x^{2} + lim_{h \to 0} 3 x h + lim_{h \to 0} h^{2} - lim_{h \to 0} 10 x - lim_{h \to 0} 5 h$

Passaggio 6

Calcola il limite di $3 x^{2}$ che è costante, mentre $h$ tende a $0$ .

$3 x^{2} + lim_{h \to 0} 3 x h + lim_{h \to 0} h^{2} - lim_{h \to 0} 10 x - lim_{h \to 0} 5 h$

Passaggio 7

Sposta il termine $3 x$ fuori dal limite perché è costante rispetto a $h$ .

$3 x^{2} + 3 x lim_{h \to 0} h + lim_{h \to 0} h^{2} - lim_{h \to 0} 10 x - lim_{h \to 0} 5 h$

Passaggio 8

Sposta l'esponente $2$ da $h^{2}$ fuori dal limite usando la regola di potenza dei limiti.

$3 x^{2} + 3 x lim_{h \to 0} h + {(lim_{h \to 0} h)}^{2} - lim_{h \to 0} 10 x - lim_{h \to 0} 5 h$

Passaggio 9

Calcola il limite di $10 x$ che è costante, mentre $h$ tende a $0$ .

$3 x^{2} + 3 x lim_{h \to 0} h + {(lim_{h \to 0} h)}^{2} - 10 x - lim_{h \to 0} 5 h$

Passaggio 10

Sposta il termine $5$ fuori dal limite perché è costante rispetto a $h$ .

$3 x^{2} + 3 x lim_{h \to 0} h + {(lim_{h \to 0} h)}^{2} - 10 x - 5 lim_{h \to 0} h$

Passaggio 11

Calcola il limite inserendo $0$ per tutte le occorrenze di $h$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.1

Calcola il limite di $h$ inserendo $0$ per $h$ .

$3 x^{2} + 3 x \cdot 0 + {(lim_{h \to 0} h)}^{2} - 10 x - 5 lim_{h \to 0} h$

Passaggio 11.2

Calcola il limite di $h$ inserendo $0$ per $h$ .

$3 x^{2} + 3 x \cdot 0 + 0^{2} - 10 x - 5 lim_{h \to 0} h$

Passaggio 11.3

Calcola il limite di $h$ inserendo $0$ per $h$ .

$3 x^{2} + 3 x \cdot 0 + 0^{2} - 10 x - 5 \cdot 0$

Passaggio 12

Semplifica la risposta.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.1.1

Moltiplica $3 x \cdot 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.1.1.1

Moltiplica $0$ per $3$ .

$3 x^{2} + 0 x + 0^{2} - 10 x - 5 \cdot 0$

Passaggio 12.1.1.2

Moltiplica $0$ per $x$ .

$3 x^{2} + 0 + 0^{2} - 10 x - 5 \cdot 0$

Passaggio 12.1.2

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$3 x^{2} + 0 + 0 - 10 x - 5 \cdot 0$

Passaggio 12.1.3

Moltiplica $- 5$ per $0$ .

$3 x^{2} + 0 + 0 - 10 x + 0$

Passaggio 12.2

Combina i termini opposti in $3 x^{2} + 0 + 0 - 10 x + 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.2.1

Somma $3 x^{2}$ e $0$ .

$3 x^{2} + 0 - 10 x + 0$

Passaggio 12.2.2

Somma $3 x^{2}$ e $0$ .

$3 x^{2} - 10 x + 0$

Passaggio 12.2.3

Somma $3 x^{2} - 10 x$ e $0$ .

$3 x^{2} - 10 x$

Passaggio 13