Calcolo Esempi

$f (x) = x^{5}$

Passaggio 1

Considera la definizione di limite della derivata.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{f (x + h) - f (x)}{h}$

Passaggio 2

Trova i componenti della definizione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Risolvi la funzione per $x = x + h$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.1

Sostituisci la variabile $x$ con $x + h$ nell'espressione.

$f (x + h) = {(x + h)}^{5}$

Passaggio 2.1.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.2.1

Usa il teorema binomiale.

$f (x + h) = x^{5} + 5 x^{4} h + 10 x^{3} h^{2} + 10 x^{2} h^{3} + 5 x h^{4} + h^{5}$

Passaggio 2.1.2.2

La risposta finale è $x^{5} + 5 x^{4} h + 10 x^{3} h^{2} + 10 x^{2} h^{3} + 5 x h^{4} + h^{5}$ .

$x^{5} + 5 x^{4} h + 10 x^{3} h^{2} + 10 x^{2} h^{3} + 5 x h^{4} + h^{5}$

Passaggio 2.2

Riordina.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Sposta $x^{4}$ .

$x^{5} + 5 h x^{4} + 10 x^{3} h^{2} + 10 x^{2} h^{3} + 5 x h^{4} + h^{5}$

Passaggio 2.2.2

Sposta $x^{3}$ .

$x^{5} + 5 h x^{4} + 10 h^{2} x^{3} + 10 x^{2} h^{3} + 5 x h^{4} + h^{5}$

Passaggio 2.2.3

Sposta $x^{2}$ .

$x^{5} + 5 h x^{4} + 10 h^{2} x^{3} + 10 h^{3} x^{2} + 5 x h^{4} + h^{5}$

Passaggio 2.2.4

Sposta $x$ .

$x^{5} + 5 h x^{4} + 10 h^{2} x^{3} + 10 h^{3} x^{2} + 5 h^{4} x + h^{5}$

Passaggio 2.2.5

Sposta $x^{5}$ .

$5 h x^{4} + 10 h^{2} x^{3} + 10 h^{3} x^{2} + 5 h^{4} x + h^{5} + x^{5}$

Passaggio 2.2.6

Sposta $5 h x^{4}$ .

$10 h^{2} x^{3} + 10 h^{3} x^{2} + 5 h^{4} x + h^{5} + 5 h x^{4} + x^{5}$

Passaggio 2.2.7

Sposta $10 h^{2} x^{3}$ .

$10 h^{3} x^{2} + 5 h^{4} x + h^{5} + 10 h^{2} x^{3} + 5 h x^{4} + x^{5}$

Passaggio 2.2.8

Sposta $10 h^{3} x^{2}$ .

$5 h^{4} x + h^{5} + 10 h^{3} x^{2} + 10 h^{2} x^{3} + 5 h x^{4} + x^{5}$

Passaggio 2.2.9

Riordina $5 h^{4} x$ e $h^{5}$ .

$h^{5} + 5 h^{4} x + 10 h^{3} x^{2} + 10 h^{2} x^{3} + 5 h x^{4} + x^{5}$

Passaggio 2.3

Trova i componenti della definizione.

$f (x + h) = h^{5} + 5 h^{4} x + 10 h^{3} x^{2} + 10 h^{2} x^{3} + 5 h x^{4} + x^{5}$

$f (x) = x^{5}$

$f (x + h) = h^{5} + 5 h^{4} x + 10 h^{3} x^{2} + 10 h^{2} x^{3} + 5 h x^{4} + x^{5}$

$f (x) = x^{5}$

Passaggio 3

Collega i componenti.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h^{5} + 5 h^{4} x + 10 h^{3} x^{2} + 10 h^{2} x^{3} + 5 h x^{4} + x^{5} - (x^{5})}{h}$

Passaggio 4

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.1

Sottrai $x^{5}$ da $x^{5}$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h^{5} + 5 h^{4} x + 10 h^{3} x^{2} + 10 h^{2} x^{3} + 5 h x^{4} + 0}{h}$

Passaggio 4.1.2

Somma $h^{5} + 5 h^{4} x + 10 h^{3} x^{2} + 10 h^{2} x^{3} + 5 h x^{4}$ e $0$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h^{5} + 5 h^{4} x + 10 h^{3} x^{2} + 10 h^{2} x^{3} + 5 h x^{4}}{h}$

Passaggio 4.1.3

Scomponi $h$ da $h^{5} + 5 h^{4} x + 10 h^{3} x^{2} + 10 h^{2} x^{3} + 5 h x^{4}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.3.1

Scomponi $h$ da $h^{5}$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h \cdot h^{4} + 5 h^{4} x + 10 h^{3} x^{2} + 10 h^{2} x^{3} + 5 h x^{4}}{h}$

Passaggio 4.1.3.2

Scomponi $h$ da $5 h^{4} x$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h (h^{4}) + h (5 h^{3} x) + 10 h^{3} x^{2} + 10 h^{2} x^{3} + 5 h x^{4}}{h}$

Passaggio 4.1.3.3

Scomponi $h$ da $10 h^{3} x^{2}$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h (h^{4}) + h (5 h^{3} x) + h (10 h^{2} x^{2}) + 10 h^{2} x^{3} + 5 h x^{4}}{h}$

Passaggio 4.1.3.4

Scomponi $h$ da $10 h^{2} x^{3}$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h (h^{4}) + h (5 h^{3} x) + h (10 h^{2} x^{2}) + h (10 h x^{3}) + 5 h x^{4}}{h}$

Passaggio 4.1.3.5

Scomponi $h$ da $5 h x^{4}$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h (h^{4}) + h (5 h^{3} x) + h (10 h^{2} x^{2}) + h (10 h x^{3}) + h (5 x^{4})}{h}$

Passaggio 4.1.3.6

Scomponi $h$ da $h (h^{4}) + h (5 h^{3} x)$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h (h^{4} + 5 h^{3} x) + h (10 h^{2} x^{2}) + h (10 h x^{3}) + h (5 x^{4})}{h}$

Passaggio 4.1.3.7

Scomponi $h$ da $h (h^{4} + 5 h^{3} x) + h (10 h^{2} x^{2})$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h (h^{4} + 5 h^{3} x + 10 h^{2} x^{2}) + h (10 h x^{3}) + h (5 x^{4})}{h}$

Passaggio 4.1.3.8

Scomponi $h$ da $h (h^{4} + 5 h^{3} x + 10 h^{2} x^{2}) + h (10 h x^{3})$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h (h^{4} + 5 h^{3} x + 10 h^{2} x^{2} + 10 h x^{3}) + h (5 x^{4})}{h}$

Passaggio 4.1.3.9

Scomponi $h$ da $h (h^{4} + 5 h^{3} x + 10 h^{2} x^{2} + 10 h x^{3}) + h (5 x^{4})$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h (h^{4} + 5 h^{3} x + 10 h^{2} x^{2} + 10 h x^{3} + 5 x^{4})}{h}$

Passaggio 4.2

Riduci l'espressione eliminando i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.1

Elimina il fattore comune di $h$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h (h^{4} + 5 h^{3} x + 10 h^{2} x^{2} + 10 h x^{3} + 5 x^{4})}{h}$

Passaggio 4.2.1.2

Dividi $h^{4} + 5 h^{3} x + 10 h^{2} x^{2} + 10 h x^{3} + 5 x^{4}$ per $1$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} h^{4} + 5 h^{3} x + 10 h^{2} x^{2} + 10 h x^{3} + 5 x^{4}$

Passaggio 4.2.2

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.2.1

Sposta $h^{3}$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} h^{4} + 5 x h^{3} + 10 h^{2} x^{2} + 10 h x^{3} + 5 x^{4}$

Passaggio 4.2.2.2

Sposta $h^{2}$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} h^{4} + 5 x h^{3} + 10 x^{2} h^{2} + 10 h x^{3} + 5 x^{4}$

Passaggio 4.2.2.3

Sposta $h$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} h^{4} + 5 x h^{3} + 10 x^{2} h^{2} + 10 x^{3} h + 5 x^{4}$

Passaggio 4.2.2.4

Sposta $h^{4}$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} 5 x h^{3} + 10 x^{2} h^{2} + 10 x^{3} h + 5 x^{4} + h^{4}$

Passaggio 4.2.2.5

Sposta $5 x h^{3}$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} 10 x^{2} h^{2} + 10 x^{3} h + 5 x^{4} + 5 x h^{3} + h^{4}$

Passaggio 4.2.2.6

Sposta $10 x^{2} h^{2}$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} 10 x^{3} h + 5 x^{4} + 10 x^{2} h^{2} + 5 x h^{3} + h^{4}$

Passaggio 4.2.2.7

Riordina $10 x^{3} h$ e $5 x^{4}$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} 5 x^{4} + 10 x^{3} h + 10 x^{2} h^{2} + 5 x h^{3} + h^{4}$

Passaggio 5

Dividi il limite usando la regola della somma di limiti quando $h$ tende a $0$ .

$lim_{h \to 0} 5 x^{4} + lim_{h \to 0} 10 x^{3} h + lim_{h \to 0} 10 x^{2} h^{2} + lim_{h \to 0} 5 x h^{3} + lim_{h \to 0} h^{4}$

Passaggio 6

Calcola il limite di $5 x^{4}$ che è costante, mentre $h$ tende a $0$ .

$5 x^{4} + lim_{h \to 0} 10 x^{3} h + lim_{h \to 0} 10 x^{2} h^{2} + lim_{h \to 0} 5 x h^{3} + lim_{h \to 0} h^{4}$

Passaggio 7

Sposta il termine $10 x^{3}$ fuori dal limite perché è costante rispetto a $h$ .

$5 x^{4} + 10 x^{3} lim_{h \to 0} h + lim_{h \to 0} 10 x^{2} h^{2} + lim_{h \to 0} 5 x h^{3} + lim_{h \to 0} h^{4}$

Passaggio 8

Sposta il termine $10 x^{2}$ fuori dal limite perché è costante rispetto a $h$ .

$5 x^{4} + 10 x^{3} lim_{h \to 0} h + 10 x^{2} lim_{h \to 0} h^{2} + lim_{h \to 0} 5 x h^{3} + lim_{h \to 0} h^{4}$

Passaggio 9

Sposta l'esponente $2$ da $h^{2}$ fuori dal limite usando la regola di potenza dei limiti.

$5 x^{4} + 10 x^{3} lim_{h \to 0} h + 10 x^{2} {(lim_{h \to 0} h)}^{2} + lim_{h \to 0} 5 x h^{3} + lim_{h \to 0} h^{4}$

Passaggio 10

Sposta il termine $5 x$ fuori dal limite perché è costante rispetto a $h$ .

$5 x^{4} + 10 x^{3} lim_{h \to 0} h + 10 x^{2} {(lim_{h \to 0} h)}^{2} + 5 x lim_{h \to 0} h^{3} + lim_{h \to 0} h^{4}$

Passaggio 11

Sposta l'esponente $3$ da $h^{3}$ fuori dal limite usando la regola di potenza dei limiti.

$5 x^{4} + 10 x^{3} lim_{h \to 0} h + 10 x^{2} {(lim_{h \to 0} h)}^{2} + 5 x {(lim_{h \to 0} h)}^{3} + lim_{h \to 0} h^{4}$

Passaggio 12

Sposta l'esponente $4$ da $h^{4}$ fuori dal limite usando la regola di potenza dei limiti.

$5 x^{4} + 10 x^{3} lim_{h \to 0} h + 10 x^{2} {(lim_{h \to 0} h)}^{2} + 5 x {(lim_{h \to 0} h)}^{3} + {(lim_{h \to 0} h)}^{4}$

Passaggio 13

Calcola il limite inserendo $0$ per tutte le occorrenze di $h$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.1

Calcola il limite di $h$ inserendo $0$ per $h$ .

$5 x^{4} + 10 x^{3} \cdot 0 + 10 x^{2} {(lim_{h \to 0} h)}^{2} + 5 x {(lim_{h \to 0} h)}^{3} + {(lim_{h \to 0} h)}^{4}$

Passaggio 13.2

Calcola il limite di $h$ inserendo $0$ per $h$ .

$5 x^{4} + 10 x^{3} \cdot 0 + 10 x^{2} \cdot 0^{2} + 5 x {(lim_{h \to 0} h)}^{3} + {(lim_{h \to 0} h)}^{4}$

Passaggio 13.3

Calcola il limite di $h$ inserendo $0$ per $h$ .

$5 x^{4} + 10 x^{3} \cdot 0 + 10 x^{2} \cdot 0^{2} + 5 x \cdot 0^{3} + {(lim_{h \to 0} h)}^{4}$

Passaggio 13.4

Calcola il limite di $h$ inserendo $0$ per $h$ .

$5 x^{4} + 10 x^{3} \cdot 0 + 10 x^{2} \cdot 0^{2} + 5 x \cdot 0^{3} + 0^{4}$

Passaggio 14

Semplifica la risposta.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 14.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 14.1.1

Moltiplica $10 x^{3} \cdot 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 14.1.1.1

Moltiplica $0$ per $10$ .

$5 x^{4} + 0 x^{3} + 10 x^{2} \cdot 0^{2} + 5 x \cdot 0^{3} + 0^{4}$

Passaggio 14.1.1.2

Moltiplica $0$ per $x^{3}$ .

$5 x^{4} + 0 + 10 x^{2} \cdot 0^{2} + 5 x \cdot 0^{3} + 0^{4}$

Passaggio 14.1.2

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$5 x^{4} + 0 + 10 x^{2} \cdot 0 + 5 x \cdot 0^{3} + 0^{4}$

Passaggio 14.1.3

Moltiplica $10 x^{2} \cdot 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 14.1.3.1

Moltiplica $0$ per $10$ .

$5 x^{4} + 0 + 0 x^{2} + 5 x \cdot 0^{3} + 0^{4}$

Passaggio 14.1.3.2

Moltiplica $0$ per $x^{2}$ .

$5 x^{4} + 0 + 0 + 5 x \cdot 0^{3} + 0^{4}$

Passaggio 14.1.4

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$5 x^{4} + 0 + 0 + 5 x \cdot 0 + 0^{4}$

Passaggio 14.1.5

Moltiplica $5 x \cdot 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 14.1.5.1

Moltiplica $0$ per $5$ .

$5 x^{4} + 0 + 0 + 0 x + 0^{4}$

Passaggio 14.1.5.2

Moltiplica $0$ per $x$ .

$5 x^{4} + 0 + 0 + 0 + 0^{4}$

Passaggio 14.1.6

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$5 x^{4} + 0 + 0 + 0 + 0$

Passaggio 14.2

Combina i termini opposti in $5 x^{4} + 0 + 0 + 0 + 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 14.2.1

Somma $5 x^{4}$ e $0$ .

$5 x^{4} + 0 + 0 + 0$

Passaggio 14.2.2

Somma $5 x^{4}$ e $0$ .

$5 x^{4} + 0 + 0$

Passaggio 14.2.3

Somma $5 x^{4}$ e $0$ .

$5 x^{4} + 0$

Passaggio 14.2.4

Somma $5 x^{4}$ e $0$ .

$5 x^{4}$

Passaggio 15