Calcolo Esempi

$f (x) = x^{4}$

Passaggio 1

Considera la definizione di limite della derivata.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{f (x + h) - f (x)}{h}$

Passaggio 2

Trova i componenti della definizione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Risolvi la funzione per $x = x + h$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.1

Sostituisci la variabile $x$ con $x + h$ nell'espressione.

$f (x + h) = {(x + h)}^{4}$

Passaggio 2.1.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.2.1

Usa il teorema binomiale.

$f (x + h) = x^{4} + 4 x^{3} h + 6 x^{2} h^{2} + 4 x h^{3} + h^{4}$

Passaggio 2.1.2.2

La risposta finale è $x^{4} + 4 x^{3} h + 6 x^{2} h^{2} + 4 x h^{3} + h^{4}$ .

$x^{4} + 4 x^{3} h + 6 x^{2} h^{2} + 4 x h^{3} + h^{4}$

Passaggio 2.2

Riordina.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Sposta $x^{3}$ .

$x^{4} + 4 h x^{3} + 6 x^{2} h^{2} + 4 x h^{3} + h^{4}$

Passaggio 2.2.2

Sposta $x^{2}$ .

$x^{4} + 4 h x^{3} + 6 h^{2} x^{2} + 4 x h^{3} + h^{4}$

Passaggio 2.2.3

Sposta $x$ .

$x^{4} + 4 h x^{3} + 6 h^{2} x^{2} + 4 h^{3} x + h^{4}$

Passaggio 2.2.4

Sposta $x^{4}$ .

$4 h x^{3} + 6 h^{2} x^{2} + 4 h^{3} x + h^{4} + x^{4}$

Passaggio 2.2.5

Sposta $4 h x^{3}$ .

$6 h^{2} x^{2} + 4 h^{3} x + h^{4} + 4 h x^{3} + x^{4}$

Passaggio 2.2.6

Sposta $6 h^{2} x^{2}$ .

$4 h^{3} x + h^{4} + 6 h^{2} x^{2} + 4 h x^{3} + x^{4}$

Passaggio 2.2.7

Riordina $4 h^{3} x$ e $h^{4}$ .

$h^{4} + 4 h^{3} x + 6 h^{2} x^{2} + 4 h x^{3} + x^{4}$

Passaggio 2.3

Trova i componenti della definizione.

$f (x + h) = h^{4} + 4 h^{3} x + 6 h^{2} x^{2} + 4 h x^{3} + x^{4}$

$f (x) = x^{4}$

$f (x + h) = h^{4} + 4 h^{3} x + 6 h^{2} x^{2} + 4 h x^{3} + x^{4}$

$f (x) = x^{4}$

Passaggio 3

Collega i componenti.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h^{4} + 4 h^{3} x + 6 h^{2} x^{2} + 4 h x^{3} + x^{4} - (x^{4})}{h}$

Passaggio 4

Semplifica.

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Passaggio 4.1

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 4.1.1

Sottrai $x^{4}$ da $x^{4}$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h^{4} + 4 h^{3} x + 6 h^{2} x^{2} + 4 h x^{3} + 0}{h}$

Passaggio 4.1.2

Somma $h^{4} + 4 h^{3} x + 6 h^{2} x^{2} + 4 h x^{3}$ e $0$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h^{4} + 4 h^{3} x + 6 h^{2} x^{2} + 4 h x^{3}}{h}$

Passaggio 4.1.3

Scomponi $h$ da $h^{4} + 4 h^{3} x + 6 h^{2} x^{2} + 4 h x^{3}$ .

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Passaggio 4.1.3.1

Scomponi $h$ da $h^{4}$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h \cdot h^{3} + 4 h^{3} x + 6 h^{2} x^{2} + 4 h x^{3}}{h}$

Passaggio 4.1.3.2

Scomponi $h$ da $4 h^{3} x$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h (h^{3}) + h (4 h^{2} x) + 6 h^{2} x^{2} + 4 h x^{3}}{h}$

Passaggio 4.1.3.3

Scomponi $h$ da $6 h^{2} x^{2}$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h (h^{3}) + h (4 h^{2} x) + h (6 h x^{2}) + 4 h x^{3}}{h}$

Passaggio 4.1.3.4

Scomponi $h$ da $4 h x^{3}$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h (h^{3}) + h (4 h^{2} x) + h (6 h x^{2}) + h (4 x^{3})}{h}$

Passaggio 4.1.3.5

Scomponi $h$ da $h (h^{3}) + h (4 h^{2} x)$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h (h^{3} + 4 h^{2} x) + h (6 h x^{2}) + h (4 x^{3})}{h}$

Passaggio 4.1.3.6

Scomponi $h$ da $h (h^{3} + 4 h^{2} x) + h (6 h x^{2})$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h (h^{3} + 4 h^{2} x + 6 h x^{2}) + h (4 x^{3})}{h}$

Passaggio 4.1.3.7

Scomponi $h$ da $h (h^{3} + 4 h^{2} x + 6 h x^{2}) + h (4 x^{3})$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h (h^{3} + 4 h^{2} x + 6 h x^{2} + 4 x^{3})}{h}$

Passaggio 4.2

Riduci l'espressione eliminando i fattori comuni.

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Passaggio 4.2.1

Elimina il fattore comune di $h$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h (h^{3} + 4 h^{2} x + 6 h x^{2} + 4 x^{3})}{h}$

Passaggio 4.2.1.2

Dividi $h^{3} + 4 h^{2} x + 6 h x^{2} + 4 x^{3}$ per $1$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} h^{3} + 4 h^{2} x + 6 h x^{2} + 4 x^{3}$

Passaggio 4.2.2

Semplifica l'espressione.

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Passaggio 4.2.2.1

Sposta $h^{2}$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} h^{3} + 4 x h^{2} + 6 h x^{2} + 4 x^{3}$

Passaggio 4.2.2.2

Sposta $h$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} h^{3} + 4 x h^{2} + 6 x^{2} h + 4 x^{3}$

Passaggio 4.2.2.3

Sposta $h^{3}$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} 4 x h^{2} + 6 x^{2} h + 4 x^{3} + h^{3}$

Passaggio 4.2.2.4

Sposta $4 x h^{2}$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} 6 x^{2} h + 4 x^{3} + 4 x h^{2} + h^{3}$

Passaggio 4.2.2.5

Riordina $6 x^{2} h$ e $4 x^{3}$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} 4 x^{3} + 6 x^{2} h + 4 x h^{2} + h^{3}$

Passaggio 5

Dividi il limite usando la regola della somma di limiti quando $h$ tende a $0$ .

$lim_{h \to 0} 4 x^{3} + lim_{h \to 0} 6 x^{2} h + lim_{h \to 0} 4 x h^{2} + lim_{h \to 0} h^{3}$

Passaggio 6

Calcola il limite di $4 x^{3}$ che è costante, mentre $h$ tende a $0$ .

$4 x^{3} + lim_{h \to 0} 6 x^{2} h + lim_{h \to 0} 4 x h^{2} + lim_{h \to 0} h^{3}$

Passaggio 7

Sposta il termine $6 x^{2}$ fuori dal limite perché è costante rispetto a $h$ .

$4 x^{3} + 6 x^{2} lim_{h \to 0} h + lim_{h \to 0} 4 x h^{2} + lim_{h \to 0} h^{3}$

Passaggio 8

Sposta il termine $4 x$ fuori dal limite perché è costante rispetto a $h$ .

$4 x^{3} + 6 x^{2} lim_{h \to 0} h + 4 x lim_{h \to 0} h^{2} + lim_{h \to 0} h^{3}$

Passaggio 9

Sposta l'esponente $2$ da $h^{2}$ fuori dal limite usando la regola di potenza dei limiti.

$4 x^{3} + 6 x^{2} lim_{h \to 0} h + 4 x {(lim_{h \to 0} h)}^{2} + lim_{h \to 0} h^{3}$

Passaggio 10

Sposta l'esponente $3$ da $h^{3}$ fuori dal limite usando la regola di potenza dei limiti.

$4 x^{3} + 6 x^{2} lim_{h \to 0} h + 4 x {(lim_{h \to 0} h)}^{2} + {(lim_{h \to 0} h)}^{3}$

Passaggio 11

Calcola il limite inserendo $0$ per tutte le occorrenze di $h$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.1

Calcola il limite di $h$ inserendo $0$ per $h$ .

$4 x^{3} + 6 x^{2} \cdot 0 + 4 x {(lim_{h \to 0} h)}^{2} + {(lim_{h \to 0} h)}^{3}$

Passaggio 11.2

Calcola il limite di $h$ inserendo $0$ per $h$ .

$4 x^{3} + 6 x^{2} \cdot 0 + 4 x \cdot 0^{2} + {(lim_{h \to 0} h)}^{3}$

Passaggio 11.3

Calcola il limite di $h$ inserendo $0$ per $h$ .

$4 x^{3} + 6 x^{2} \cdot 0 + 4 x \cdot 0^{2} + 0^{3}$

Passaggio 12

Semplifica la risposta.

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Passaggio 12.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 12.1.1

Moltiplica $6 x^{2} \cdot 0$ .

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Passaggio 12.1.1.1

Moltiplica $0$ per $6$ .

$4 x^{3} + 0 x^{2} + 4 x \cdot 0^{2} + 0^{3}$

Passaggio 12.1.1.2

Moltiplica $0$ per $x^{2}$ .

$4 x^{3} + 0 + 4 x \cdot 0^{2} + 0^{3}$

Passaggio 12.1.2

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$4 x^{3} + 0 + 4 x \cdot 0 + 0^{3}$

Passaggio 12.1.3

Moltiplica $4 x \cdot 0$ .

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Passaggio 12.1.3.1

Moltiplica $0$ per $4$ .

$4 x^{3} + 0 + 0 x + 0^{3}$

Passaggio 12.1.3.2

Moltiplica $0$ per $x$ .

$4 x^{3} + 0 + 0 + 0^{3}$

Passaggio 12.1.4

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$4 x^{3} + 0 + 0 + 0$

Passaggio 12.2

Combina i termini opposti in $4 x^{3} + 0 + 0 + 0$ .

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Passaggio 12.2.1

Somma $4 x^{3}$ e $0$ .

$4 x^{3} + 0 + 0$

Passaggio 12.2.2

Somma $4 x^{3}$ e $0$ .

$4 x^{3} + 0$

Passaggio 12.2.3

Somma $4 x^{3}$ e $0$ .

$4 x^{3}$

Passaggio 13