Calcolo Esempi

$f (x) = x^{3} - 3 x$

Passaggio 1

Considera la definizione di limite della derivata.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{f (x + h) - f (x)}{h}$

Passaggio 2

Trova i componenti della definizione.

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Passaggio 2.1

Risolvi la funzione per $x = x + h$ .

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Passaggio 2.1.1

Sostituisci la variabile $x$ con $x + h$ nell'espressione.

$f (x + h) = {(x + h)}^{3} - 3 (x + h)$

Passaggio 2.1.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.2.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 2.1.2.1.1

Usa il teorema binomiale.

$f (x + h) = x^{3} + 3 x^{2} h + 3 x h^{2} + h^{3} - 3 (x + h)$

Passaggio 2.1.2.1.2

Applica la proprietà distributiva.

$f (x + h) = x^{3} + 3 x^{2} h + 3 x h^{2} + h^{3} - 3 x - 3 h$

Passaggio 2.1.2.2

La risposta finale è $x^{3} + 3 x^{2} h + 3 x h^{2} + h^{3} - 3 x - 3 h$ .

$x^{3} + 3 x^{2} h + 3 x h^{2} + h^{3} - 3 x - 3 h$

Passaggio 2.2

Riordina.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Sposta $x^{2}$ .

$x^{3} + 3 h x^{2} + 3 x h^{2} + h^{3} - 3 x - 3 h$

Passaggio 2.2.2

Sposta $x$ .

$x^{3} + 3 h x^{2} + 3 h^{2} x + h^{3} - 3 x - 3 h$

Passaggio 2.2.3

Sposta $- 3 x$ .

$x^{3} + 3 h x^{2} + 3 h^{2} x + h^{3} - 3 h - 3 x$

Passaggio 2.2.4

Sposta $x^{3}$ .

$3 h x^{2} + 3 h^{2} x + h^{3} + x^{3} - 3 h - 3 x$

Passaggio 2.2.5

Sposta $3 h x^{2}$ .

$3 h^{2} x + h^{3} + 3 h x^{2} + x^{3} - 3 h - 3 x$

Passaggio 2.2.6

Riordina $3 h^{2} x$ e $h^{3}$ .

$h^{3} + 3 h^{2} x + 3 h x^{2} + x^{3} - 3 h - 3 x$

Passaggio 2.3

Trova i componenti della definizione.

$f (x + h) = h^{3} + 3 h^{2} x + 3 h x^{2} + x^{3} - 3 h - 3 x$

$f (x) = x^{3} - 3 x$

$f (x + h) = h^{3} + 3 h^{2} x + 3 h x^{2} + x^{3} - 3 h - 3 x$

$f (x) = x^{3} - 3 x$

Passaggio 3

Collega i componenti.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h^{3} + 3 h^{2} x + 3 h x^{2} + x^{3} - 3 h - 3 x - (x^{3} - 3 x)}{h}$

Passaggio 4

Semplifica.

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Passaggio 4.1

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 4.1.1

Applica la proprietà distributiva.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h^{3} + 3 h^{2} x + 3 h x^{2} + x^{3} - 3 h - 3 x - x^{3} - (- 3 x)}{h}$

Passaggio 4.1.2

Moltiplica $- 3$ per $- 1$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h^{3} + 3 h^{2} x + 3 h x^{2} + x^{3} - 3 h - 3 x - x^{3} + 3 x}{h}$

Passaggio 4.1.3

Sottrai $x^{3}$ da $x^{3}$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h^{3} + 3 h^{2} x + 3 h x^{2} - 3 h - 3 x + 0 + 3 x}{h}$

Passaggio 4.1.4

Somma $h^{3}$ e $0$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h^{3} + 3 h^{2} x + 3 h x^{2} - 3 h - 3 x + 3 x}{h}$

Passaggio 4.1.5

Somma $- 3 x$ e $3 x$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h^{3} + 3 h^{2} x + 3 h x^{2} - 3 h + 0}{h}$

Passaggio 4.1.6

Somma $h^{3} + 3 h^{2} x + 3 h x^{2} - 3 h$ e $0$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h^{3} + 3 h^{2} x + 3 h x^{2} - 3 h}{h}$

Passaggio 4.1.7

Scomponi $h$ da $h^{3} + 3 h^{2} x + 3 h x^{2} - 3 h$ .

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Passaggio 4.1.7.1

Scomponi $h$ da $h^{3}$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h \cdot h^{2} + 3 h^{2} x + 3 h x^{2} - 3 h}{h}$

Passaggio 4.1.7.2

Scomponi $h$ da $3 h^{2} x$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h (h^{2}) + h (3 h x) + 3 h x^{2} - 3 h}{h}$

Passaggio 4.1.7.3

Scomponi $h$ da $3 h x^{2}$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h (h^{2}) + h (3 h x) + h (3 x^{2}) - 3 h}{h}$

Passaggio 4.1.7.4

Scomponi $h$ da $- 3 h$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h (h^{2}) + h (3 h x) + h (3 x^{2}) + h \cdot - 3}{h}$

Passaggio 4.1.7.5

Scomponi $h$ da $h (h^{2}) + h (3 h x)$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h (h^{2} + 3 h x) + h (3 x^{2}) + h \cdot - 3}{h}$

Passaggio 4.1.7.6

Scomponi $h$ da $h (h^{2} + 3 h x) + h (3 x^{2})$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h (h^{2} + 3 h x + 3 x^{2}) + h \cdot - 3}{h}$

Passaggio 4.1.7.7

Scomponi $h$ da $h (h^{2} + 3 h x + 3 x^{2}) + h \cdot - 3$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h (h^{2} + 3 h x + 3 x^{2} - 3)}{h}$

Passaggio 4.2

Riduci l'espressione eliminando i fattori comuni.

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Passaggio 4.2.1

Elimina il fattore comune di $h$ .

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Passaggio 4.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h (h^{2} + 3 h x + 3 x^{2} - 3)}{h}$

Passaggio 4.2.1.2

Dividi $h^{2} + 3 h x + 3 x^{2} - 3$ per $1$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} h^{2} + 3 h x + 3 x^{2} - 3$

Passaggio 4.2.2

Semplifica l'espressione.

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Passaggio 4.2.2.1

Sposta $h$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} h^{2} + 3 x h + 3 x^{2} - 3$

Passaggio 4.2.2.2

Sposta $h^{2}$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} 3 x h + 3 x^{2} + h^{2} - 3$

Passaggio 4.2.2.3

Riordina $3 x h$ e $3 x^{2}$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} 3 x^{2} + 3 x h + h^{2} - 3$

Passaggio 5

Dividi il limite usando la regola della somma di limiti quando $h$ tende a $0$ .

$lim_{h \to 0} 3 x^{2} + lim_{h \to 0} 3 x h + lim_{h \to 0} h^{2} - lim_{h \to 0} 3$

Passaggio 6

Calcola il limite di $3 x^{2}$ che è costante, mentre $h$ tende a $0$ .

$3 x^{2} + lim_{h \to 0} 3 x h + lim_{h \to 0} h^{2} - lim_{h \to 0} 3$

Passaggio 7

Sposta il termine $3 x$ fuori dal limite perché è costante rispetto a $h$ .

$3 x^{2} + 3 x lim_{h \to 0} h + lim_{h \to 0} h^{2} - lim_{h \to 0} 3$

Passaggio 8

Sposta l'esponente $2$ da $h^{2}$ fuori dal limite usando la regola di potenza dei limiti.

$3 x^{2} + 3 x lim_{h \to 0} h + {(lim_{h \to 0} h)}^{2} - lim_{h \to 0} 3$

Passaggio 9

Calcola il limite di $3$ che è costante, mentre $h$ tende a $0$ .

$3 x^{2} + 3 x lim_{h \to 0} h + {(lim_{h \to 0} h)}^{2} - 1 \cdot 3$

Passaggio 10

Calcola il limite inserendo $0$ per tutte le occorrenze di $h$ .

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Passaggio 10.1

Calcola il limite di $h$ inserendo $0$ per $h$ .

$3 x^{2} + 3 x \cdot 0 + {(lim_{h \to 0} h)}^{2} - 1 \cdot 3$

Passaggio 10.2

Calcola il limite di $h$ inserendo $0$ per $h$ .

$3 x^{2} + 3 x \cdot 0 + 0^{2} - 1 \cdot 3$

Passaggio 11

Semplifica la risposta.

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Passaggio 11.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 11.1.1

Moltiplica $3 x \cdot 0$ .

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Passaggio 11.1.1.1

Moltiplica $0$ per $3$ .

$3 x^{2} + 0 x + 0^{2} - 1 \cdot 3$

Passaggio 11.1.1.2

Moltiplica $0$ per $x$ .

$3 x^{2} + 0 + 0^{2} - 1 \cdot 3$

Passaggio 11.1.2

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$3 x^{2} + 0 + 0 - 1 \cdot 3$

Passaggio 11.1.3

Moltiplica $- 1$ per $3$ .

$3 x^{2} + 0 + 0 - 3$

Passaggio 11.2

Combina i termini opposti in $3 x^{2} + 0 + 0 - 3$ .

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Passaggio 11.2.1

Somma $3 x^{2}$ e $0$ .

$3 x^{2} + 0 - 3$

Passaggio 11.2.2

Somma $3 x^{2}$ e $0$ .

$3 x^{2} - 3$

Passaggio 12