Calcolo Esempi

$f (x) = 2 \sqrt{x}$

Passaggio 1

Considera la definizione di limite della derivata.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{f (x + h) - f (x)}{h}$

Passaggio 2

Trova i componenti della definizione.

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Passaggio 2.1

Risolvi la funzione per $x = x + h$ .

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Passaggio 2.1.1

Sostituisci la variabile $x$ con $x + h$ nell'espressione.

$f (x + h) = 2 \sqrt{x + h}$

Passaggio 2.1.2

Semplifica il risultato.

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Passaggio 2.1.2.1

Rimuovi le parentesi.

$f (x + h) = 2 \sqrt{x + h}$

Passaggio 2.1.2.2

La risposta finale è $2 \sqrt{x + h}$ .

$2 \sqrt{x + h}$

Passaggio 2.2

Trova i componenti della definizione.

$f (x + h) = 2 \sqrt{x + h}$

$f (x) = 2 \sqrt{x}$

$f (x + h) = 2 \sqrt{x + h}$

$f (x) = 2 \sqrt{x}$

Passaggio 3

Collega i componenti.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{2 \sqrt{x + h} - (2 \sqrt{x})}{h}$

Passaggio 4

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 4.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{x + h}$ come ${(x + h)}^{\frac{1}{2}}$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{2 {(x + h)}^{\frac{1}{2}} - 1 \cdot (2 \sqrt{x})}{h}$

Passaggio 4.2

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{x}$ come $x^{\frac{1}{2}}$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{2 {(x + h)}^{\frac{1}{2}} - 1 \cdot (2 x^{\frac{1}{2}})}{h}$

Passaggio 4.3

Moltiplica $- 1$ per $2$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{2 {(x + h)}^{\frac{1}{2}} - 2 x^{\frac{1}{2}}}{h}$

Passaggio 4.4

Scomponi $2$ da $2 {(x + h)}^{\frac{1}{2}} - 2 x^{\frac{1}{2}}$ .

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Passaggio 4.4.1

Scomponi $2$ da $2 {(x + h)}^{\frac{1}{2}}$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{2 {(x + h)}^{\frac{1}{2}} - 2 x^{\frac{1}{2}}}{h}$

Passaggio 4.4.2

Scomponi $2$ da $- 2 x^{\frac{1}{2}}$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{2 {(x + h)}^{\frac{1}{2}} + 2 (- x^{\frac{1}{2}})}{h}$

Passaggio 4.4.3

Scomponi $2$ da $2 {(x + h)}^{\frac{1}{2}} + 2 (- x^{\frac{1}{2}})$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{2 ({(x + h)}^{\frac{1}{2}} - x^{\frac{1}{2}})}{h}$

Passaggio 5

Poiché non ci sono valori alla sinistra di $0$ nel dominio di $\frac{2 ({(x + h)}^{\frac{1}{2}} - x^{\frac{1}{2}})}{h}$ , il limite non esiste.

$Non esiste$

Passaggio 6