Calcolo Esempi

$f (x) = \frac{27 - 6 x - x^{2}}{x - 3}$

Passaggio 1

Considera la definizione di limite della derivata.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{f (x + h) - f (x)}{h}$

Passaggio 2

Trova i componenti della definizione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Risolvi la funzione per $x = x + h$ .

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Passaggio 2.1.1

Sostituisci la variabile $x$ con $x + h$ nell'espressione.

$f (x + h) = \frac{27 - 6 (x + h) - {(x + h)}^{2}}{(x + h) - 3}$

Passaggio 2.1.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.2.1

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.2.1.1

Scomponi mediante raccoglimento.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.2.1.1.1

Per un polinomio della forma $a x^{2} + b x + c$ , riscrivi il termine centrale come somma di due termini il cui prodotto è $a \cdot c = - 1 \cdot 27 = - 27$ e la cui somma è $b = - 6$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.2.1.1.1.1

Riordina i termini.

$f (x + h) = \frac{- {(x + h)}^{2} + 27 - 6 (x + h)}{x + h - 3}$

Passaggio 2.1.2.1.1.1.2

Riordina $27$ e $- 6 (x + h)$ .

$f (x + h) = \frac{- {(x + h)}^{2} - 6 (x + h) + 27}{x + h - 3}$

Passaggio 2.1.2.1.1.1.3

Riscrivi $- 6$ come $3$ più $- 9$ .

$f (x + h) = \frac{- {(x + h)}^{2} + (3 - 9) (x + h) + 27}{x + h - 3}$

Passaggio 2.1.2.1.1.1.4

Applica la proprietà distributiva.

$f (x + h) = \frac{- {(x + h)}^{2} + 3 (x + h) - 9 (x + h) + 27}{x + h - 3}$

Passaggio 2.1.2.1.1.2

Metti in evidenza il massimo comune divisore da ciascun gruppo.

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Passaggio 2.1.2.1.1.2.1

Raggruppa i primi due termini e gli ultimi due termini.

$f (x + h) = \frac{(- {(x + h)}^{2} + 3 (x + h)) - 9 (x + h) + 27}{x + h - 3}$

Passaggio 2.1.2.1.1.2.2

Metti in evidenza il massimo comune divisore (M.C.D.) da ciascun gruppo.

$f (x + h) = \frac{(x + h) (- (x + h) + 3) + 9 (- (x + h) + 3)}{x + h - 3}$

Passaggio 2.1.2.1.1.3

Scomponi il polinomio mettendo in evidenza il massimo comune divisore, $- (x + h) + 3$ .

$f (x + h) = \frac{(- (x + h) + 3) (x + h + 9)}{x + h - 3}$

Passaggio 2.1.2.1.2

Applica la proprietà distributiva.

$f (x + h) = \frac{(- x - h + 3) (x + h + 9)}{x + h - 3}$

Passaggio 2.1.2.2

Semplifica i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.2.2.1

Elimina il fattore comune di $- x - h + 3$ e $x + h - 3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.2.2.1.1

Scomponi $- 1$ da $- x$ .

$f (x + h) = \frac{(- (x) - h + 3) (x + h + 9)}{x + h - 3}$

Passaggio 2.1.2.2.1.2

Scomponi $- 1$ da $- h$ .

$f (x + h) = \frac{(- (x) - (h) + 3) (x + h + 9)}{x + h - 3}$

Passaggio 2.1.2.2.1.3

Scomponi $- 1$ da $- (x) - (h)$ .

$f (x + h) = \frac{(- (x + h) + 3) (x + h + 9)}{x + h - 3}$

Passaggio 2.1.2.2.1.4

Riscrivi $3$ come $- 1 (- 3)$ .

$f (x + h) = \frac{(- (x + h) - 1 \cdot - 3) (x + h + 9)}{x + h - 3}$

Passaggio 2.1.2.2.1.5

Scomponi $- 1$ da $- (x + h) - 1 (- 3)$ .

$f (x + h) = \frac{- (x + h - 3) (x + h + 9)}{x + h - 3}$

Passaggio 2.1.2.2.1.6

Riscrivi $- (x + h - 3)$ come $- 1 (x + h - 3)$ .

$f (x + h) = \frac{- 1 (x + h - 3) (x + h + 9)}{x + h - 3}$

Passaggio 2.1.2.2.1.7

Elimina il fattore comune.

$f (x + h) = \frac{- 1 (x + h - 3) (x + h + 9)}{x + h - 3}$

Passaggio 2.1.2.2.1.8

Dividi $- 1 (x + h + 9)$ per $1$ .

$f (x + h) = - 1 (x + h + 9)$

Passaggio 2.1.2.2.2

Riscrivi $- 1 (x + h + 9)$ come $- (x + h + 9)$ .

$f (x + h) = - (x + h + 9)$

Passaggio 2.1.2.2.3

Applica la proprietà distributiva.

$f (x + h) = - x - h - 1 \cdot 9$

Passaggio 2.1.2.2.4

Moltiplica $- 1$ per $9$ .

$f (x + h) = - x - h - 9$

Passaggio 2.1.2.3

La risposta finale è $- x - h - 9$ .

$- x - h - 9$

Passaggio 2.2

Riordina $- x$ e $- h$ .

$- h - x - 9$

Passaggio 2.3

Trova i componenti della definizione.

$f (x + h) = - h - x - 9$

$f (x) = - 9 - x$

$f (x + h) = - h - x - 9$

$f (x) = - 9 - x$

Passaggio 3

Collega i componenti.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{- h - x - 9 - (- 9 - x)}{h}$

Passaggio 4

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.1

Applica la proprietà distributiva.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{- h - x - 9 + 9 + x}{h}$

Passaggio 4.1.2

Moltiplica $- 1$ per $- 9$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{- h - x - 9 + 9 + x}{h}$

Passaggio 4.1.3

Moltiplica $- - x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.3.1

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{- h - x - 9 + 9 + 1 x}{h}$

Passaggio 4.1.3.2

Moltiplica $x$ per $1$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{- h - x - 9 + 9 + x}{h}$

Passaggio 4.1.4

Somma $- x$ e $x$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{- h + 0 - 9 + 9}{h}$

Passaggio 4.1.5

Somma $- h$ e $0$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{- h - 9 + 9}{h}$

Passaggio 4.1.6

Somma $- 9$ e $9$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{- h + 0}{h}$

Passaggio 4.1.7

Somma $- h$ e $0$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{- h}{h}$

Passaggio 4.2

Elimina il fattore comune di $h$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.1

Elimina il fattore comune.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{- h}{h}$

Passaggio 4.2.2

Dividi $- 1$ per $1$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} - 1$

Passaggio 5

Calcola il limite di $- 1$ che è costante, mentre $h$ tende a $0$ .

$- 1$

Passaggio 6