Calcolo Esempi

$f (x) = \frac{4 x - 2 x^{2} + 6}{2 x}$

Passaggio 1

Considera la definizione di limite della derivata.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{f (x + h) - f (x)}{h}$

Passaggio 2

Trova i componenti della definizione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Risolvi la funzione per $x = x + h$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.1

Sostituisci la variabile $x$ con $x + h$ nell'espressione.

$f (x + h) = \frac{4 (x + h) - 2 {(x + h)}^{2} + 6}{2 (x + h)}$

Passaggio 2.1.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.2.1

Elimina il fattore comune di $4 (x + h) - 2 {(x + h)}^{2} + 6$ e $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.2.1.1

Scomponi $2$ da $4 (x + h)$ .

$f (x + h) = \frac{2 (2 (x + h)) - 2 {(x + h)}^{2} + 6}{2 (x + h)}$

Passaggio 2.1.2.1.2

Scomponi $2$ da $- 2 {(x + h)}^{2}$ .

$f (x + h) = \frac{2 (2 (x + h)) + 2 (- {(x + h)}^{2}) + 6}{2 (x + h)}$

Passaggio 2.1.2.1.3

Scomponi $2$ da $2 (2 (x + h)) + 2 (- {(x + h)}^{2})$ .

$f (x + h) = \frac{2 (2 (x + h) - {(x + h)}^{2}) + 6}{2 (x + h)}$

Passaggio 2.1.2.1.4

Scomponi $2$ da $6$ .

$f (x + h) = \frac{2 (2 (x + h) - {(x + h)}^{2}) + 2 \cdot 3}{2 (x + h)}$

Passaggio 2.1.2.1.5

Scomponi $2$ da $2 (2 (x + h) - {(x + h)}^{2}) + 2 (3)$ .

$f (x + h) = \frac{2 (2 (x + h) - {(x + h)}^{2} + 3)}{2 (x + h)}$

Passaggio 2.1.2.1.6

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.2.1.6.1

Elimina il fattore comune.

$f (x + h) = \frac{2 (2 (x + h) - {(x + h)}^{2} + 3)}{2 (x + h)}$

Passaggio 2.1.2.1.6.2

Riscrivi l'espressione.

$f (x + h) = \frac{2 (x + h) - {(x + h)}^{2} + 3}{x + h}$

Passaggio 2.1.2.2

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.2.2.1

Sia $u = x + h$ . Sostituisci tutte le occorrenze di $x + h$ con $u$ .

$f (x + h) = \frac{2 u - u^{2} + 3}{x + h}$

Passaggio 2.1.2.2.2

Scomponi mediante raccoglimento.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.2.2.2.1

Riordina i termini.

$f (x + h) = \frac{- u^{2} + 2 u + 3}{x + h}$

Passaggio 2.1.2.2.2.2

Per un polinomio della forma $a x^{2} + b x + c$ , riscrivi il termine centrale come somma di due termini il cui prodotto è $a \cdot c = - 1 \cdot 3 = - 3$ e la cui somma è $b = 2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.2.2.2.2.1

Scomponi $2$ da $2 u$ .

$f (x + h) = \frac{- u^{2} + 2 (u) + 3}{x + h}$

Passaggio 2.1.2.2.2.2.2

Riscrivi $2$ come $- 1$ più $3$ .

$f (x + h) = \frac{- u^{2} + (- 1 + 3) u + 3}{x + h}$

Passaggio 2.1.2.2.2.2.3

Applica la proprietà distributiva.

$f (x + h) = \frac{- u^{2} - 1 u + 3 u + 3}{x + h}$

Passaggio 2.1.2.2.2.3

Metti in evidenza il massimo comune divisore da ciascun gruppo.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.2.2.2.3.1

Raggruppa i primi due termini e gli ultimi due termini.

$f (x + h) = \frac{(- u^{2} - 1 u) + 3 u + 3}{x + h}$

Passaggio 2.1.2.2.2.3.2

Metti in evidenza il massimo comune divisore (M.C.D.) da ciascun gruppo.

$f (x + h) = \frac{u (- u - 1) - 3 (- u - 1)}{x + h}$

Passaggio 2.1.2.2.2.4

Scomponi il polinomio mettendo in evidenza il massimo comune divisore, $- u - 1$ .

$f (x + h) = \frac{(- u - 1) (u - 3)}{x + h}$

Passaggio 2.1.2.2.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $x + h$ .

$f (x + h) = \frac{(- (x + h) - 1) (x + h - 3)}{x + h}$

Passaggio 2.1.2.2.4

Applica la proprietà distributiva.

$f (x + h) = \frac{(- x - h - 1) (x + h - 3)}{x + h}$

Passaggio 2.1.2.3

Semplifica tramite esclusione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.2.3.1

Scomponi $- 1$ da $- x$ .

$f (x + h) = \frac{(- (x) - h - 1) (x + h - 3)}{x + h}$

Passaggio 2.1.2.3.2

Scomponi $- 1$ da $- h$ .

$f (x + h) = \frac{(- (x) - (h) - 1) (x + h - 3)}{x + h}$

Passaggio 2.1.2.3.3

Scomponi $- 1$ da $- (x) - (h)$ .

$f (x + h) = \frac{(- (x + h) - 1) (x + h - 3)}{x + h}$

Passaggio 2.1.2.3.4

Riscrivi $- 1$ come $- 1 (1)$ .

$f (x + h) = \frac{(- (x + h) - 1 \cdot 1) (x + h - 3)}{x + h}$

Passaggio 2.1.2.3.5

Scomponi $- 1$ da $- (x + h) - 1 (1)$ .

$f (x + h) = \frac{- (x + h + 1) (x + h - 3)}{x + h}$

Passaggio 2.1.2.3.6

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.2.3.6.1

Riscrivi $- (x + h + 1)$ come $- 1 (x + h + 1)$ .

$f (x + h) = \frac{- 1 (x + h + 1) (x + h - 3)}{x + h}$

Passaggio 2.1.2.3.6.2

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$f (x + h) = - \frac{(x + h + 1) (x + h - 3)}{x + h}$

Passaggio 2.1.2.4

La risposta finale è $- \frac{(x + h + 1) (x + h - 3)}{x + h}$ .

$- \frac{(x + h + 1) (x + h - 3)}{x + h}$

Passaggio 2.2

Trova i componenti della definizione.

$f (x + h) = - \frac{(x + h + 1) (x + h - 3)}{x + h}$

$f (x) = - \frac{(x + 1) (x - 3)}{x}$

$f (x + h) = - \frac{(x + h + 1) (x + h - 3)}{x + h}$

$f (x) = - \frac{(x + 1) (x - 3)}{x}$

Passaggio 3

Collega i componenti.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{- \frac{(x + h + 1) (x + h - 3)}{x + h} - (- \frac{(x + 1) (x - 3)}{x})}{h}$

Passaggio 4

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.1

Moltiplica $- - \frac{(x + 1) (x - 3)}{x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.1.1

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{- \frac{(x + h + 1) (x + h - 3)}{x + h} + 1 (\frac{(x + 1) (x - 3)}{x})}{h}$

Passaggio 4.1.1.2

Moltiplica $\frac{(x + 1) (x - 3)}{x}$ per $1$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{- \frac{(x + h + 1) (x + h - 3)}{x + h} + \frac{(x + 1) (x - 3)}{x}}{h}$

Passaggio 4.1.2

Per scrivere $- \frac{(x + h + 1) (x + h - 3)}{x + h}$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{x}{x}$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{- \frac{(x + h + 1) (x + h - 3)}{x + h} \cdot \frac{x}{x} + \frac{(x + 1) (x - 3)}{x}}{h}$

Passaggio 4.1.3

Per scrivere $\frac{(x + 1) (x - 3)}{x}$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{x + h}{x + h}$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{- \frac{(x + h + 1) (x + h - 3)}{x + h} \cdot \frac{x}{x} + \frac{(x + 1) (x - 3)}{x} \cdot \frac{x + h}{x + h}}{h}$

Passaggio 4.1.4

Scrivi ogni espressione con un comune denominatore di $(x + h) x$ , moltiplicando ciascuna per il fattore appropriato di $1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.4.1

Moltiplica $\frac{(x + h + 1) (x + h - 3)}{x + h}$ per $\frac{x}{x}$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{- \frac{(x + h + 1) (x + h - 3) x}{(x + h) x} + \frac{(x + 1) (x - 3)}{x} \cdot \frac{x + h}{x + h}}{h}$

Passaggio 4.1.4.2

Moltiplica $\frac{(x + 1) (x - 3)}{x}$ per $\frac{x + h}{x + h}$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{- \frac{(x + h + 1) (x + h - 3) x}{(x + h) x} + \frac{(x + 1) (x - 3) (x + h)}{x (x + h)}}{h}$

Passaggio 4.1.4.3

Riordina i fattori di $(x + h) x$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{- \frac{(x + h + 1) (x + h - 3) x}{x (x + h)} + \frac{(x + 1) (x - 3) (x + h)}{x (x + h)}}{h}$

Passaggio 4.1.5

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{- (x + h + 1) (x + h - 3) x + (x + 1) (x - 3) (x + h)}{x (x + h)}}{h}$

Passaggio 4.1.6

Riscrivi $\frac{- (x + h + 1) (x + h - 3) x + (x + 1) (x - 3) (x + h)}{x (x + h)}$ in una forma fattorizzata.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.6.1

Applica la proprietà distributiva.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{(- x - h - 1 \cdot 1) (x + h - 3) x + (x + 1) (x - 3) (x + h)}{x (x + h)}}{h}$

Passaggio 4.1.6.2

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{(- x - h - 1) (x + h - 3) x + (x + 1) (x - 3) (x + h)}{x (x + h)}}{h}$

Passaggio 4.1.6.3

Espandi $(- x - h - 1) (x + h - 3)$ moltiplicando ciascun termine della prima espressione per ciascun termine della seconda espressione.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{(- x \cdot x - x h - x \cdot - 3 - h x - h \cdot h - h \cdot - 3 - 1 x - 1 h - 1 \cdot - 3) x + (x + 1) (x - 3) (x + h)}{x (x + h)}}{h}$

Passaggio 4.1.6.4

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.6.4.1

Moltiplica $x$ per $x$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.6.4.1.1

Sposta $x$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{(- (x \cdot x) - x h - x \cdot - 3 - h x - h \cdot h - h \cdot - 3 - 1 x - 1 h - 1 \cdot - 3) x + (x + 1) (x - 3) (x + h)}{x (x + h)}}{h}$

Passaggio 4.1.6.4.1.2

Moltiplica $x$ per $x$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{(- x^{2} - x h - x \cdot - 3 - h x - h \cdot h - h \cdot - 3 - 1 x - 1 h - 1 \cdot - 3) x + (x + 1) (x - 3) (x + h)}{x (x + h)}}{h}$

Passaggio 4.1.6.4.2

Moltiplica $- 3$ per $- 1$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{(- x^{2} - x h + 3 x - h x - h \cdot h - h \cdot - 3 - 1 x - 1 h - 1 \cdot - 3) x + (x + 1) (x - 3) (x + h)}{x (x + h)}}{h}$

Passaggio 4.1.6.4.3

Moltiplica $h$ per $h$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.6.4.3.1

Sposta $h$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{(- x^{2} - x h + 3 x - h x - (h \cdot h) - h \cdot - 3 - 1 x - 1 h - 1 \cdot - 3) x + (x + 1) (x - 3) (x + h)}{x (x + h)}}{h}$

Passaggio 4.1.6.4.3.2

Moltiplica $h$ per $h$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{(- x^{2} - x h + 3 x - h x - h^{2} - h \cdot - 3 - 1 x - 1 h - 1 \cdot - 3) x + (x + 1) (x - 3) (x + h)}{x (x + h)}}{h}$

Passaggio 4.1.6.4.4

Moltiplica $- 3$ per $- 1$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{(- x^{2} - x h + 3 x - h x - h^{2} + 3 h - 1 x - 1 h - 1 \cdot - 3) x + (x + 1) (x - 3) (x + h)}{x (x + h)}}{h}$

Passaggio 4.1.6.4.5

Riscrivi $- 1 x$ come $- x$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{(- x^{2} - x h + 3 x - h x - h^{2} + 3 h - x - 1 h - 1 \cdot - 3) x + (x + 1) (x - 3) (x + h)}{x (x + h)}}{h}$

Passaggio 4.1.6.4.6

Riscrivi $- 1 h$ come $- h$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{(- x^{2} - x h + 3 x - h x - h^{2} + 3 h - x - h - 1 \cdot - 3) x + (x + 1) (x - 3) (x + h)}{x (x + h)}}{h}$

Passaggio 4.1.6.4.7

Moltiplica $- 1$ per $- 3$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{(- x^{2} - x h + 3 x - h x - h^{2} + 3 h - x - h + 3) x + (x + 1) (x - 3) (x + h)}{x (x + h)}}{h}$

Passaggio 4.1.6.5

Sottrai $h x$ da $- x h$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.6.5.1

Sposta $h$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{(- x^{2} - x h - 1 x h + 3 x - h^{2} + 3 h - x - h + 3) x + (x + 1) (x - 3) (x + h)}{x (x + h)}}{h}$

Passaggio 4.1.6.5.2

Sottrai $x h$ da $- x h$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{(- x^{2} - 2 x h + 3 x - h^{2} + 3 h - x - h + 3) x + (x + 1) (x - 3) (x + h)}{x (x + h)}}{h}$

Passaggio 4.1.6.6

Sottrai $x$ da $3 x$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{(- x^{2} - 2 x h + 2 x - h^{2} + 3 h - h + 3) x + (x + 1) (x - 3) (x + h)}{x (x + h)}}{h}$

Passaggio 4.1.6.7

Sottrai $h$ da $3 h$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{(- x^{2} - 2 x h + 2 x - h^{2} + 2 h + 3) x + (x + 1) (x - 3) (x + h)}{x (x + h)}}{h}$

Passaggio 4.1.6.8

Applica la proprietà distributiva.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{- x^{2} x - 2 x h x + 2 x \cdot x - h^{2} x + 2 h x + 3 x + (x + 1) (x - 3) (x + h)}{x (x + h)}}{h}$

Passaggio 4.1.6.9

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.6.9.1

Moltiplica $x^{2}$ per $x$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.6.9.1.1

Sposta $x$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{- (x \cdot x^{2}) - 2 x h x + 2 x \cdot x - h^{2} x + 2 h x + 3 x + (x + 1) (x - 3) (x + h)}{x (x + h)}}{h}$

Passaggio 4.1.6.9.1.2

Moltiplica $x$ per $x^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.6.9.1.2.1

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{- (x \cdot x^{2}) - 2 x h x + 2 x \cdot x - h^{2} x + 2 h x + 3 x + (x + 1) (x - 3) (x + h)}{x (x + h)}}{h}$

Passaggio 4.1.6.9.1.2.2

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{- x^{1 + 2} - 2 x h x + 2 x \cdot x - h^{2} x + 2 h x + 3 x + (x + 1) (x - 3) (x + h)}{x (x + h)}}{h}$

Passaggio 4.1.6.9.1.3

Somma $1$ e $2$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{- x^{3} - 2 x h x + 2 x \cdot x - h^{2} x + 2 h x + 3 x + (x + 1) (x - 3) (x + h)}{x (x + h)}}{h}$

Passaggio 4.1.6.9.2

Moltiplica $x$ per $x$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.6.9.2.1

Sposta $x$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{- x^{3} - 2 (x \cdot x) h + 2 x \cdot x - h^{2} x + 2 h x + 3 x + (x + 1) (x - 3) (x + h)}{x (x + h)}}{h}$

Passaggio 4.1.6.9.2.2

Moltiplica $x$ per $x$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{- x^{3} - 2 x^{2} h + 2 x \cdot x - h^{2} x + 2 h x + 3 x + (x + 1) (x - 3) (x + h)}{x (x + h)}}{h}$

Passaggio 4.1.6.9.3

Moltiplica $x$ per $x$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.6.9.3.1

Sposta $x$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{- x^{3} - 2 x^{2} h + 2 (x \cdot x) - h^{2} x + 2 h x + 3 x + (x + 1) (x - 3) (x + h)}{x (x + h)}}{h}$

Passaggio 4.1.6.9.3.2

Moltiplica $x$ per $x$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{- x^{3} - 2 x^{2} h + 2 x^{2} - h^{2} x + 2 h x + 3 x + (x + 1) (x - 3) (x + h)}{x (x + h)}}{h}$

Passaggio 4.1.6.10

Espandi $(x + 1) (x - 3)$ usando il metodo FOIL.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.6.10.1

Applica la proprietà distributiva.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{- x^{3} - 2 x^{2} h + 2 x^{2} - h^{2} x + 2 h x + 3 x + (x (x - 3) + 1 (x - 3)) (x + h)}{x (x + h)}}{h}$

Passaggio 4.1.6.10.2

Applica la proprietà distributiva.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{- x^{3} - 2 x^{2} h + 2 x^{2} - h^{2} x + 2 h x + 3 x + (x \cdot x + x \cdot - 3 + 1 (x - 3)) (x + h)}{x (x + h)}}{h}$

Passaggio 4.1.6.10.3

Applica la proprietà distributiva.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{- x^{3} - 2 x^{2} h + 2 x^{2} - h^{2} x + 2 h x + 3 x + (x \cdot x + x \cdot - 3 + 1 x + 1 \cdot - 3) (x + h)}{x (x + h)}}{h}$

Passaggio 4.1.6.11

Semplifica e combina i termini simili.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.6.11.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.6.11.1.1

Moltiplica $x$ per $x$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{- x^{3} - 2 x^{2} h + 2 x^{2} - h^{2} x + 2 h x + 3 x + (x^{2} + x \cdot - 3 + 1 x + 1 \cdot - 3) (x + h)}{x (x + h)}}{h}$

Passaggio 4.1.6.11.1.2

Sposta $- 3$ alla sinistra di $x$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{- x^{3} - 2 x^{2} h + 2 x^{2} - h^{2} x + 2 h x + 3 x + (x^{2} - 3 \cdot x + 1 x + 1 \cdot - 3) (x + h)}{x (x + h)}}{h}$

Passaggio 4.1.6.11.1.3

Moltiplica $x$ per $1$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{- x^{3} - 2 x^{2} h + 2 x^{2} - h^{2} x + 2 h x + 3 x + (x^{2} - 3 x + x + 1 \cdot - 3) (x + h)}{x (x + h)}}{h}$

Passaggio 4.1.6.11.1.4

Moltiplica $- 3$ per $1$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{- x^{3} - 2 x^{2} h + 2 x^{2} - h^{2} x + 2 h x + 3 x + (x^{2} - 3 x + x - 3) (x + h)}{x (x + h)}}{h}$

Passaggio 4.1.6.11.2

Somma $- 3 x$ e $x$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{- x^{3} - 2 x^{2} h + 2 x^{2} - h^{2} x + 2 h x + 3 x + (x^{2} - 2 x - 3) (x + h)}{x (x + h)}}{h}$

Passaggio 4.1.6.12

Espandi $(x^{2} - 2 x - 3) (x + h)$ moltiplicando ciascun termine della prima espressione per ciascun termine della seconda espressione.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{- x^{3} - 2 x^{2} h + 2 x^{2} - h^{2} x + 2 h x + 3 x + x^{2} x + x^{2} h - 2 x \cdot x - 2 x h - 3 x - 3 h}{x (x + h)}}{h}$

Passaggio 4.1.6.13

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.6.13.1

Moltiplica $x^{2}$ per $x$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.6.13.1.1

Moltiplica $x^{2}$ per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.6.13.1.1.1

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{- x^{3} - 2 x^{2} h + 2 x^{2} - h^{2} x + 2 h x + 3 x + x^{2} x + x^{2} h - 2 x \cdot x - 2 x h - 3 x - 3 h}{x (x + h)}}{h}$

Passaggio 4.1.6.13.1.1.2

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{- x^{3} - 2 x^{2} h + 2 x^{2} - h^{2} x + 2 h x + 3 x + x^{2 + 1} + x^{2} h - 2 x \cdot x - 2 x h - 3 x - 3 h}{x (x + h)}}{h}$

Passaggio 4.1.6.13.1.2

Somma $2$ e $1$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{- x^{3} - 2 x^{2} h + 2 x^{2} - h^{2} x + 2 h x + 3 x + x^{3} + x^{2} h - 2 x \cdot x - 2 x h - 3 x - 3 h}{x (x + h)}}{h}$

Passaggio 4.1.6.13.2

Moltiplica $x$ per $x$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.6.13.2.1

Sposta $x$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{- x^{3} - 2 x^{2} h + 2 x^{2} - h^{2} x + 2 h x + 3 x + x^{3} + x^{2} h - 2 (x \cdot x) - 2 x h - 3 x - 3 h}{x (x + h)}}{h}$

Passaggio 4.1.6.13.2.2

Moltiplica $x$ per $x$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{- x^{3} - 2 x^{2} h + 2 x^{2} - h^{2} x + 2 h x + 3 x + x^{3} + x^{2} h - 2 x^{2} - 2 x h - 3 x - 3 h}{x (x + h)}}{h}$

Passaggio 4.1.6.14

Somma $- x^{3}$ e $x^{3}$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{- 2 x^{2} h + 2 x^{2} - h^{2} x + 2 h x + 3 x + 0 + x^{2} h - 2 x^{2} - 2 x h - 3 x - 3 h}{x (x + h)}}{h}$

Passaggio 4.1.6.15

Somma $- 2 x^{2} h$ e $0$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{- 2 x^{2} h + 2 x^{2} - h^{2} x + 2 h x + 3 x + x^{2} h - 2 x^{2} - 2 x h - 3 x - 3 h}{x (x + h)}}{h}$

Passaggio 4.1.6.16

Somma $- 2 x^{2} h$ e $x^{2} h$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{- x^{2} h + 2 x^{2} - h^{2} x + 2 h x + 3 x - 2 x^{2} - 2 x h - 3 x - 3 h}{x (x + h)}}{h}$

Passaggio 4.1.6.17

Sottrai $2 x^{2}$ da $2 x^{2}$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{- x^{2} h - h^{2} x + 2 h x + 3 x + 0 - 2 x h - 3 x - 3 h}{x (x + h)}}{h}$

Passaggio 4.1.6.18

Somma $- x^{2} h$ e $0$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{- x^{2} h - h^{2} x + 2 h x + 3 x - 2 x h - 3 x - 3 h}{x (x + h)}}{h}$

Passaggio 4.1.6.19

Sottrai $2 x h$ da $2 h x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.6.19.1

Sposta $h$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{- x^{2} h - h^{2} x + 3 x + 2 x h - 2 x h - 3 x - 3 h}{x (x + h)}}{h}$

Passaggio 4.1.6.19.2

Sottrai $2 x h$ da $2 x h$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{- x^{2} h - h^{2} x + 3 x + 0 - 3 x - 3 h}{x (x + h)}}{h}$

Passaggio 4.1.6.20

Somma $- x^{2} h$ e $0$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{- x^{2} h - h^{2} x + 3 x - 3 x - 3 h}{x (x + h)}}{h}$

Passaggio 4.1.6.21

Sottrai $3 x$ da $3 x$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{- x^{2} h - h^{2} x + 0 - 3 h}{x (x + h)}}{h}$

Passaggio 4.1.6.22

Somma $- x^{2} h$ e $0$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{- x^{2} h - h^{2} x - 3 h}{x (x + h)}}{h}$

Passaggio 4.1.6.23

Scomponi $h$ da $- x^{2} h - h^{2} x - 3 h$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.6.23.1

Scomponi $h$ da $- x^{2} h$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{h (- x^{2}) - h^{2} x - 3 h}{x (x + h)}}{h}$

Passaggio 4.1.6.23.2

Scomponi $h$ da $- h^{2} x$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{h (- x^{2}) + h (- h x) - 3 h}{x (x + h)}}{h}$

Passaggio 4.1.6.23.3

Scomponi $h$ da $- 3 h$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{h (- x^{2}) + h (- h x) + h \cdot - 3}{x (x + h)}}{h}$

Passaggio 4.1.6.23.4

Scomponi $h$ da $h (- x^{2}) + h (- h x)$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{h (- x^{2} - h x) + h \cdot - 3}{x (x + h)}}{h}$

Passaggio 4.1.6.23.5

Scomponi $h$ da $h (- x^{2} - h x) + h \cdot - 3$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{h (- x^{2} - h x - 3)}{x (x + h)}}{h}$

Passaggio 4.2

Moltiplica il numeratore per il reciproco del denominatore.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h (- x^{2} - h x - 3)}{x (x + h)} \cdot \frac{1}{h}$

Passaggio 4.3

Combina.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h (- x^{2} - h x - 3) \cdot 1}{x (x + h) h}$

Passaggio 4.4

Elimina il fattore comune di $h$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.4.1

Elimina il fattore comune.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h (- x^{2} - h x - 3) \cdot 1}{x (x + h) h}$

Passaggio 4.4.2

Riscrivi l'espressione.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{(- x^{2} - h x - 3) \cdot 1}{x (x + h)}$

Passaggio 4.5

Moltiplica $- x^{2} - h x - 3$ per $1$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{- x^{2} - h x - 3}{x (x + h)}$

Passaggio 4.6

Scomponi $- 1$ da $- x^{2}$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{- (x^{2}) - h x - 3}{x (x + h)}$

Passaggio 4.7

Scomponi $- 1$ da $- h x$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{- (x^{2}) - (h x) - 3}{x (x + h)}$

Passaggio 4.8

Scomponi $- 1$ da $- (x^{2}) - (h x)$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{- (x^{2} + h x) - 3}{x (x + h)}$

Passaggio 4.9

Riscrivi $- 3$ come $- 1 (3)$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{- (x^{2} + h x) - 1 \cdot 3}{x (x + h)}$

Passaggio 4.10

Scomponi $- 1$ da $- (x^{2} + h x) - 1 (3)$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{- (x^{2} + h x + 3)}{x (x + h)}$

Passaggio 4.11

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.11.1

Riscrivi $- (x^{2} + h x + 3)$ come $- 1 (x^{2} + h x + 3)$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{- 1 (x^{2} + h x + 3)}{x (x + h)}$

Passaggio 4.11.2

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$f' (x) = lim_{h \to 0} - \frac{x^{2} + h x + 3}{x (x + h)}$

Passaggio 5

Sposta il termine $- 1$ fuori dal limite perché è costante rispetto a $h$ .

$- lim_{h \to 0} \frac{x^{2} + h x + 3}{x (x + h)}$

Passaggio 6

Sposta il termine $\frac{1}{x}$ fuori dal limite perché è costante rispetto a $h$ .

$- \frac{1}{x} lim_{h \to 0} \frac{x^{2} + h x + 3}{x + h}$

Passaggio 7

Dividi il limite usando la regola del quoziente dei limiti quando $h$ tende a $0$ .

$- \frac{1}{x} \cdot \frac{lim_{h \to 0} x^{2} + h x + 3}{lim_{h \to 0} x + h}$

Passaggio 8

Dividi il limite usando la regola della somma di limiti quando $h$ tende a $0$ .

$- \frac{1}{x} \cdot \frac{lim_{h \to 0} x^{2} + lim_{h \to 0} h x + lim_{h \to 0} 3}{lim_{h \to 0} x + h}$

Passaggio 9

Calcola il limite di $x^{2}$ che è costante, mentre $h$ tende a $0$ .

$- \frac{1}{x} \cdot \frac{x^{2} + lim_{h \to 0} h x + lim_{h \to 0} 3}{lim_{h \to 0} x + h}$

Passaggio 10

Sposta il termine $x$ fuori dal limite perché è costante rispetto a $h$ .

$- \frac{1}{x} \cdot \frac{x^{2} + x lim_{h \to 0} h + lim_{h \to 0} 3}{lim_{h \to 0} x + h}$

Passaggio 11

Calcola il limite di $3$ che è costante, mentre $h$ tende a $0$ .

$- \frac{1}{x} \cdot \frac{x^{2} + x lim_{h \to 0} h + 3}{lim_{h \to 0} x + h}$

Passaggio 12

Dividi il limite usando la regola della somma di limiti quando $h$ tende a $0$ .

$- \frac{1}{x} \cdot \frac{x^{2} + x lim_{h \to 0} h + 3}{lim_{h \to 0} x + lim_{h \to 0} h}$

Passaggio 13

Calcola il limite di $x$ che è costante, mentre $h$ tende a $0$ .

$- \frac{1}{x} \cdot \frac{x^{2} + x lim_{h \to 0} h + 3}{x + lim_{h \to 0} h}$

Passaggio 14

Calcola il limite inserendo $0$ per tutte le occorrenze di $h$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 14.1

Calcola il limite di $h$ inserendo $0$ per $h$ .

$- \frac{1}{x} \cdot \frac{x^{2} + x \cdot 0 + 3}{x + lim_{h \to 0} h}$

Passaggio 14.2

Calcola il limite di $h$ inserendo $0$ per $h$ .

$- \frac{1}{x} \cdot \frac{x^{2} + x \cdot 0 + 3}{x + 0}$

Passaggio 15

Semplifica la risposta.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 15.1

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 15.1.1

Moltiplica $x$ per $0$ .

$- \frac{1}{x} \cdot \frac{x^{2} + 0 + 3}{x + 0}$

Passaggio 15.1.2

Somma $x^{2}$ e $0$ .

$- \frac{1}{x} \cdot \frac{x^{2} + 3}{x + 0}$

Passaggio 15.2

Somma $x$ e $0$ .

$- \frac{1}{x} \cdot \frac{x^{2} + 3}{x}$

Passaggio 15.3

Moltiplica $- \frac{1}{x} \cdot \frac{x^{2} + 3}{x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 15.3.1

Moltiplica $\frac{x^{2} + 3}{x}$ per $\frac{1}{x}$ .

$- \frac{x^{2} + 3}{x \cdot x}$

Passaggio 15.3.2

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$- \frac{x^{2} + 3}{x^{1} x}$

Passaggio 15.3.3

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$- \frac{x^{2} + 3}{x^{1} x^{1}}$

Passaggio 15.3.4

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$- \frac{x^{2} + 3}{x^{1 + 1}}$

Passaggio 15.3.5

Somma $1$ e $1$ .

$- \frac{x^{2} + 3}{x^{2}}$

Passaggio 16