Calcolo Esempi

$y = 8 x - x^{2}$

Passaggio 1

Considera la definizione di limite della derivata.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{f (x + h) - f (x)}{h}$

Passaggio 2

Trova i componenti della definizione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Risolvi la funzione per $x = x + h$ .

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Passaggio 2.1.1

Sostituisci la variabile $x$ con $x + h$ nell'espressione.

$f (x + h) = 8 (x + h) - {(x + h)}^{2}$

Passaggio 2.1.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.2.1.1

Applica la proprietà distributiva.

$f (x + h) = 8 x + 8 h - {(x + h)}^{2}$

Passaggio 2.1.2.1.2

Riscrivi ${(x + h)}^{2}$ come $(x + h) (x + h)$ .

$f (x + h) = 8 x + 8 h - ((x + h) (x + h))$

Passaggio 2.1.2.1.3

Espandi $(x + h) (x + h)$ usando il metodo FOIL.

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Passaggio 2.1.2.1.3.1

Applica la proprietà distributiva.

$f (x + h) = 8 x + 8 h - (x (x + h) + h (x + h))$

Passaggio 2.1.2.1.3.2

Applica la proprietà distributiva.

$f (x + h) = 8 x + 8 h - (x \cdot x + x h + h (x + h))$

Passaggio 2.1.2.1.3.3

Applica la proprietà distributiva.

$f (x + h) = 8 x + 8 h - (x \cdot x + x h + h x + h \cdot h)$

Passaggio 2.1.2.1.4

Semplifica e combina i termini simili.

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Passaggio 2.1.2.1.4.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.2.1.4.1.1

Moltiplica $x$ per $x$ .

$f (x + h) = 8 x + 8 h - (x^{2} + x h + h x + h \cdot h)$

Passaggio 2.1.2.1.4.1.2

Moltiplica $h$ per $h$ .

$f (x + h) = 8 x + 8 h - (x^{2} + x h + h x + h^{2})$

Passaggio 2.1.2.1.4.2

Somma $x h$ e $h x$ .

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Passaggio 2.1.2.1.4.2.1

Riordina $x$ e $h$ .

$f (x + h) = 8 x + 8 h - (x^{2} + h x + h x + h^{2})$

Passaggio 2.1.2.1.4.2.2

Somma $h x$ e $h x$ .

$f (x + h) = 8 x + 8 h - (x^{2} + 2 h x + h^{2})$

Passaggio 2.1.2.1.5

Applica la proprietà distributiva.

$f (x + h) = 8 x + 8 h - x^{2} - (2 h x) - h^{2}$

Passaggio 2.1.2.1.6

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$f (x + h) = 8 x + 8 h - x^{2} - 2 h x - h^{2}$

Passaggio 2.1.2.2

La risposta finale è $8 x + 8 h - x^{2} - 2 h x - h^{2}$ .

$8 x + 8 h - x^{2} - 2 h x - h^{2}$

Passaggio 2.2

Riordina.

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Passaggio 2.2.1

Sposta $8 x$ .

$8 h - x^{2} - 2 h x - h^{2} + 8 x$

Passaggio 2.2.2

Sposta $8 h$ .

$- x^{2} - 2 h x - h^{2} + 8 h + 8 x$

Passaggio 2.2.3

Sposta $- x^{2}$ .

$- 2 h x - h^{2} - x^{2} + 8 h + 8 x$

Passaggio 2.2.4

Riordina $- 2 h x$ e $- h^{2}$ .

$- h^{2} - 2 h x - x^{2} + 8 h + 8 x$

Passaggio 2.3

Trova i componenti della definizione.

$f (x + h) = - h^{2} - 2 h x - x^{2} + 8 h + 8 x$

$f (x) = 8 x - x^{2}$

$f (x + h) = - h^{2} - 2 h x - x^{2} + 8 h + 8 x$

$f (x) = 8 x - x^{2}$

Passaggio 3

Collega i componenti.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{- h^{2} - 2 h x - x^{2} + 8 h + 8 x - (8 x - x^{2})}{h}$

Passaggio 4

Semplifica.

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Passaggio 4.1

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 4.1.1

Applica la proprietà distributiva.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{- h^{2} - 2 h x - x^{2} + 8 h + 8 x - (8 x) + x^{2}}{h}$

Passaggio 4.1.2

Moltiplica $8$ per $- 1$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{- h^{2} - 2 h x - x^{2} + 8 h + 8 x - 8 x + x^{2}}{h}$

Passaggio 4.1.3

Moltiplica $- - x^{2}$ .

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Passaggio 4.1.3.1

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{- h^{2} - 2 h x - x^{2} + 8 h + 8 x - 8 x + 1 x^{2}}{h}$

Passaggio 4.1.3.2

Moltiplica $x^{2}$ per $1$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{- h^{2} - 2 h x - x^{2} + 8 h + 8 x - 8 x + x^{2}}{h}$

Passaggio 4.1.4

Somma $- x^{2}$ e $x^{2}$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{- h^{2} - 2 h x + 8 h + 8 x - 8 x + 0}{h}$

Passaggio 4.1.5

Somma $- h^{2} - 2 h x + 8 h + 8 x - 8 x$ e $0$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{- h^{2} - 2 h x + 8 h + 8 x - 8 x}{h}$

Passaggio 4.1.6

Sottrai $8 x$ da $8 x$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{- h^{2} - 2 h x + 8 h + 0}{h}$

Passaggio 4.1.7

Somma $- h^{2} - 2 h x + 8 h$ e $0$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{- h^{2} - 2 h x + 8 h}{h}$

Passaggio 4.1.8

Scomponi $h$ da $- h^{2} - 2 h x + 8 h$ .

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Passaggio 4.1.8.1

Scomponi $h$ da $- h^{2}$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h (- h) - 2 h x + 8 h}{h}$

Passaggio 4.1.8.2

Scomponi $h$ da $- 2 h x$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h (- h) + h (- 2 x) + 8 h}{h}$

Passaggio 4.1.8.3

Scomponi $h$ da $8 h$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h (- h) + h (- 2 x) + h \cdot 8}{h}$

Passaggio 4.1.8.4

Scomponi $h$ da $h (- h) + h (- 2 x)$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h (- h - 2 x) + h \cdot 8}{h}$

Passaggio 4.1.8.5

Scomponi $h$ da $h (- h - 2 x) + h \cdot 8$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h (- h - 2 x + 8)}{h}$

Passaggio 4.2

Riduci l'espressione eliminando i fattori comuni.

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Passaggio 4.2.1

Elimina il fattore comune di $h$ .

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Passaggio 4.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h (- h - 2 x + 8)}{h}$

Passaggio 4.2.1.2

Dividi $- h - 2 x + 8$ per $1$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} - h - 2 x + 8$

Passaggio 4.2.2

Riordina $- h$ e $- 2 x$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} - 2 x - h + 8$

Passaggio 5

Dividi il limite usando la regola della somma di limiti quando $h$ tende a $0$ .

$- lim_{h \to 0} 2 x - lim_{h \to 0} h + lim_{h \to 0} 8$

Passaggio 6

Calcola il limite di $2 x$ che è costante, mentre $h$ tende a $0$ .

$- 2 x - lim_{h \to 0} h + lim_{h \to 0} 8$

Passaggio 7

Calcola il limite di $8$ che è costante, mentre $h$ tende a $0$ .

$- 2 x - lim_{h \to 0} h + 8$

Passaggio 8

Semplifica l'espressione.

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Passaggio 8.1

Calcola il limite di $h$ inserendo $0$ per $h$ .

$- 2 x + 0 + 8$

Passaggio 8.2

Somma $- 2 x$ e $0$ .

$- 2 x + 8$

Passaggio 9