Calcolo Esempi

$y = \frac{1}{x^{2}}$

Passaggio 1

Considera la definizione di limite della derivata.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{f (x + h) - f (x)}{h}$

Passaggio 2

Trova i componenti della definizione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Risolvi la funzione per $x = x + h$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.1

Sostituisci la variabile $x$ con $x + h$ nell'espressione.

$f (x + h) = \frac{1}{{(x + h)}^{2}}$

Passaggio 2.1.2

La risposta finale è $\frac{1}{{(x + h)}^{2}}$ .

$\frac{1}{{(x + h)}^{2}}$

Passaggio 2.2

Trova i componenti della definizione.

$f (x + h) = \frac{1}{{(x + h)}^{2}}$

$f (x) = \frac{1}{x^{2}}$

$f (x + h) = \frac{1}{{(x + h)}^{2}}$

$f (x) = \frac{1}{x^{2}}$

Passaggio 3

Collega i componenti.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{1}{{(x + h)}^{2}} - (\frac{1}{x^{2}})}{h}$

Passaggio 4

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.1

Riscrivi $1$ come $1^{2}$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{1^{2}}{{(x + h)}^{2}} - \frac{1}{x^{2}}}{h}$

Passaggio 4.1.2

Riscrivi $\frac{1^{2}}{{(x + h)}^{2}}$ come ${(\frac{1}{x + h})}^{2}$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{{(\frac{1}{x + h})}^{2} - \frac{1}{x^{2}}}{h}$

Passaggio 4.1.3

Riscrivi $\frac{1}{x^{2}}$ come ${(\frac{1}{x})}^{2}$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{{(\frac{1}{x + h})}^{2} - {(\frac{1}{x})}^{2}}{h}$

Passaggio 4.1.4

Poiché entrambi i termini sono dei quadrati perfetti, fattorizza utilizzando la formula della differenza di quadrati, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ dove $a = \frac{1}{x + h}$ e $b = \frac{1}{x}$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{(\frac{1}{x + h} + \frac{1}{x}) (\frac{1}{x + h} - \frac{1}{x})}{h}$

Passaggio 4.1.5

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.5.1

Per scrivere $\frac{1}{x + h}$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{x}{x}$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{(\frac{1}{x + h} \cdot \frac{x}{x} + \frac{1}{x}) (\frac{1}{x + h} - \frac{1}{x})}{h}$

Passaggio 4.1.5.2

Per scrivere $\frac{1}{x}$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{x + h}{x + h}$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{(\frac{1}{x + h} \cdot \frac{x}{x} + \frac{1}{x} \cdot \frac{x + h}{x + h}) (\frac{1}{x + h} - \frac{1}{x})}{h}$

Passaggio 4.1.5.3

Scrivi ogni espressione con un comune denominatore di $(x + h) x$ , moltiplicando ciascuna per il fattore appropriato di $1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.5.3.1

Moltiplica $\frac{1}{x + h}$ per $\frac{x}{x}$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{(\frac{x}{(x + h) x} + \frac{1}{x} \cdot \frac{x + h}{x + h}) (\frac{1}{x + h} - \frac{1}{x})}{h}$

Passaggio 4.1.5.3.2

Moltiplica $\frac{1}{x}$ per $\frac{x + h}{x + h}$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{(\frac{x}{(x + h) x} + \frac{x + h}{x (x + h)}) (\frac{1}{x + h} - \frac{1}{x})}{h}$

Passaggio 4.1.5.3.3

Riordina i fattori di $(x + h) x$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{(\frac{x}{x (x + h)} + \frac{x + h}{x (x + h)}) (\frac{1}{x + h} - \frac{1}{x})}{h}$

Passaggio 4.1.5.4

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{x + x + h}{x (x + h)} \cdot (\frac{1}{x + h} - \frac{1}{x})}{h}$

Passaggio 4.1.5.5

Somma $x$ e $x$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{2 x + h}{x (x + h)} \cdot (\frac{1}{x + h} - \frac{1}{x})}{h}$

Passaggio 4.1.5.6

Per scrivere $\frac{1}{x + h}$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{x}{x}$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{2 x + h}{x (x + h)} \cdot (\frac{1}{x + h} \cdot \frac{x}{x} - \frac{1}{x})}{h}$

Passaggio 4.1.5.7

Per scrivere $- \frac{1}{x}$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{x + h}{x + h}$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{2 x + h}{x (x + h)} \cdot (\frac{1}{x + h} \cdot \frac{x}{x} - \frac{1}{x} \cdot \frac{x + h}{x + h})}{h}$

Passaggio 4.1.5.8

Scrivi ogni espressione con un comune denominatore di $(x + h) x$ , moltiplicando ciascuna per il fattore appropriato di $1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.5.8.1

Moltiplica $\frac{1}{x + h}$ per $\frac{x}{x}$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{2 x + h}{x (x + h)} \cdot (\frac{x}{(x + h) x} - \frac{1}{x} \cdot \frac{x + h}{x + h})}{h}$

Passaggio 4.1.5.8.2

Moltiplica $\frac{1}{x}$ per $\frac{x + h}{x + h}$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{2 x + h}{x (x + h)} \cdot (\frac{x}{(x + h) x} - \frac{x + h}{x (x + h)})}{h}$

Passaggio 4.1.5.8.3

Riordina i fattori di $(x + h) x$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{2 x + h}{x (x + h)} \cdot (\frac{x}{x (x + h)} - \frac{x + h}{x (x + h)})}{h}$

Passaggio 4.1.5.9

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{2 x + h}{x (x + h)} \cdot \frac{x - (x + h)}{x (x + h)}}{h}$

Passaggio 4.1.5.10

Riscrivi $\frac{x - (x + h)}{x (x + h)}$ in una forma fattorizzata.

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Passaggio 4.1.5.10.1

Applica la proprietà distributiva.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{2 x + h}{x (x + h)} \cdot \frac{x - x - h}{x (x + h)}}{h}$

Passaggio 4.1.5.10.2

Sottrai $x$ da $x$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{2 x + h}{x (x + h)} \cdot \frac{0 - h}{x (x + h)}}{h}$

Passaggio 4.1.5.10.3

Sottrai $h$ da $0$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{2 x + h}{x (x + h)} \cdot \frac{- h}{x (x + h)}}{h}$

Passaggio 4.1.6

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{2 x + h}{x (x + h)} \cdot (- 1 \frac{h}{x (x + h)})}{h}$

Passaggio 4.1.7

Raccogli gli esponenti.

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Passaggio 4.1.7.1

Metti in evidenza il valore negativo.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{- (\frac{2 x + h}{x (x + h)} \cdot \frac{h}{x (x + h)})}{h}$

Passaggio 4.1.7.2

Moltiplica $\frac{2 x + h}{x (x + h)}$ per $\frac{h}{x (x + h)}$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{- \frac{(2 x + h) h}{x (x + h) (x (x + h))}}{h}$

Passaggio 4.1.7.3

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{- \frac{(2 x + h) h}{x \cdot x (x + h) (x + h)}}{h}$

Passaggio 4.1.7.4

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{- \frac{(2 x + h) h}{x \cdot x (x + h) (x + h)}}{h}$

Passaggio 4.1.7.5

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{- \frac{(2 x + h) h}{x^{1 + 1} (x + h) (x + h)}}{h}$

Passaggio 4.1.7.6

Somma $1$ e $1$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{- \frac{(2 x + h) h}{x^{2} (x + h) (x + h)}}{h}$

Passaggio 4.1.7.7

Eleva $x + h$ alla potenza di $1$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{- \frac{(2 x + h) h}{x^{2} ((x + h) (x + h))}}{h}$

Passaggio 4.1.7.8

Eleva $x + h$ alla potenza di $1$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{- \frac{(2 x + h) h}{x^{2} ((x + h) (x + h))}}{h}$

Passaggio 4.1.7.9

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{- \frac{(2 x + h) h}{x^{2} {(x + h)}^{1 + 1}}}{h}$

Passaggio 4.1.7.10

Somma $1$ e $1$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{- \frac{(2 x + h) h}{x^{2} {(x + h)}^{2}}}{h}$

Passaggio 4.2

Moltiplica il numeratore per il reciproco del denominatore.

$f' (x) = lim_{h \to 0} - \frac{(2 x + h) h}{x^{2} {(x + h)}^{2}} \cdot \frac{1}{h}$

Passaggio 4.3

Elimina il fattore comune di $h$ .

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Passaggio 4.3.1

Sposta il negativo all'inizio di $- \frac{(2 x + h) h}{x^{2} {(x + h)}^{2}}$ nel numeratore.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{- (2 x + h) h}{x^{2} {(x + h)}^{2}} \cdot \frac{1}{h}$

Passaggio 4.3.2

Scomponi $h$ da $- (2 x + h) h$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h (- (2 x + h))}{x^{2} {(x + h)}^{2}} \cdot \frac{1}{h}$

Passaggio 4.3.3

Elimina il fattore comune.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h (- (2 x + h))}{x^{2} {(x + h)}^{2}} \cdot \frac{1}{h}$

Passaggio 4.3.4

Riscrivi l'espressione.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{- (2 x + h)}{x^{2} {(x + h)}^{2}}$

Passaggio 4.4

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$f' (x) = lim_{h \to 0} - \frac{2 x + h}{x^{2} {(x + h)}^{2}}$

Passaggio 5

Sposta il termine $- 1$ fuori dal limite perché è costante rispetto a $h$ .

$- lim_{h \to 0} \frac{2 x + h}{x^{2} {(x + h)}^{2}}$

Passaggio 6

Sposta il termine $\frac{1}{x^{2}}$ fuori dal limite perché è costante rispetto a $h$ .

$- \frac{1}{x^{2}} lim_{h \to 0} \frac{2 x + h}{{(x + h)}^{2}}$

Passaggio 7

Dividi il limite usando la regola del quoziente dei limiti quando $h$ tende a $0$ .

$- \frac{1}{x^{2}} \cdot \frac{lim_{h \to 0} 2 x + h}{lim_{h \to 0} {(x + h)}^{2}}$

Passaggio 8

Dividi il limite usando la regola della somma di limiti quando $h$ tende a $0$ .

$- \frac{1}{x^{2}} \cdot \frac{lim_{h \to 0} 2 x + lim_{h \to 0} h}{lim_{h \to 0} {(x + h)}^{2}}$

Passaggio 9

Calcola il limite di $2 x$ che è costante, mentre $h$ tende a $0$ .

$- \frac{1}{x^{2}} \cdot \frac{2 x + lim_{h \to 0} h}{lim_{h \to 0} {(x + h)}^{2}}$

Passaggio 10

Sposta l'esponente $2$ da ${(x + h)}^{2}$ fuori dal limite usando la regola di potenza dei limiti.

$- \frac{1}{x^{2}} \cdot \frac{2 x + lim_{h \to 0} h}{{(lim_{h \to 0} x + h)}^{2}}$

Passaggio 11

Dividi il limite usando la regola della somma di limiti quando $h$ tende a $0$ .

$- \frac{1}{x^{2}} \cdot \frac{2 x + lim_{h \to 0} h}{{(lim_{h \to 0} x + lim_{h \to 0} h)}^{2}}$

Passaggio 12

Calcola il limite di $x$ che è costante, mentre $h$ tende a $0$ .

$- \frac{1}{x^{2}} \cdot \frac{2 x + lim_{h \to 0} h}{{(x + lim_{h \to 0} h)}^{2}}$

Passaggio 13

Calcola il limite inserendo $0$ per tutte le occorrenze di $h$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.1

Calcola il limite di $h$ inserendo $0$ per $h$ .

$- \frac{1}{x^{2}} \cdot \frac{2 x + 0}{{(x + lim_{h \to 0} h)}^{2}}$

Passaggio 13.2

Calcola il limite di $h$ inserendo $0$ per $h$ .

$- \frac{1}{x^{2}} \cdot \frac{2 x + 0}{{(x + 0)}^{2}}$

Passaggio 14

Semplifica la risposta.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 14.1

Somma $2 x$ e $0$ .

$- \frac{1}{x^{2}} \cdot \frac{2 x}{{(x + 0)}^{2}}$

Passaggio 14.2

Somma $x$ e $0$ .

$- \frac{1}{x^{2}} \cdot \frac{2 x}{x^{2}}$

Passaggio 14.3

Elimina il fattore comune di $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 14.3.1

Sposta il negativo all'inizio di $- \frac{1}{x^{2}}$ nel numeratore.

$\frac{- 1}{x^{2}} \cdot \frac{2 x}{x^{2}}$

Passaggio 14.3.2

Scomponi $x$ da $x^{2}$ .

$\frac{- 1}{x \cdot x} \cdot \frac{2 x}{x^{2}}$

Passaggio 14.3.3

Scomponi $x$ da $2 x$ .

$\frac{- 1}{x \cdot x} \cdot \frac{x \cdot 2}{x^{2}}$

Passaggio 14.3.4

Elimina il fattore comune.

$\frac{- 1}{x \cdot x} \cdot \frac{x \cdot 2}{x^{2}}$

Passaggio 14.3.5

Riscrivi l'espressione.

$\frac{- 1}{x} \cdot \frac{2}{x^{2}}$

Passaggio 14.4

Moltiplica $\frac{- 1}{x}$ per $\frac{2}{x^{2}}$ .

$\frac{- 1 \cdot 2}{x \cdot x^{2}}$

Passaggio 14.5

Moltiplica $- 1$ per $2$ .

$\frac{- 2}{x \cdot x^{2}}$

Passaggio 14.6

Moltiplica $x$ per $x^{2}$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 14.6.1

Moltiplica $x$ per $x^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 14.6.1.1

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$\frac{- 2}{x^{1} x^{2}}$

Passaggio 14.6.1.2

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{- 2}{x^{1 + 2}}$

Passaggio 14.6.2

Somma $1$ e $2$ .

$\frac{- 2}{x^{3}}$

Passaggio 14.7

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$- \frac{2}{x^{3}}$

Passaggio 15