Calcolo Esempi

$f (x) = x^{2} + 5 x^{3}$

Passaggio 1

Considera la definizione di limite della derivata.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{f (x + h) - f (x)}{h}$

Passaggio 2

Trova i componenti della definizione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Risolvi la funzione per $x = x + h$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.1

Sostituisci la variabile $x$ con $x + h$ nell'espressione.

$f (x + h) = {(x + h)}^{2} + 5 {(x + h)}^{3}$

Passaggio 2.1.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.2.1.1

Riscrivi ${(x + h)}^{2}$ come $(x + h) (x + h)$ .

$f (x + h) = (x + h) (x + h) + 5 {(x + h)}^{3}$

Passaggio 2.1.2.1.2

Espandi $(x + h) (x + h)$ usando il metodo FOIL.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.2.1.2.1

Applica la proprietà distributiva.

$f (x + h) = x (x + h) + h (x + h) + 5 {(x + h)}^{3}$

Passaggio 2.1.2.1.2.2

Applica la proprietà distributiva.

$f (x + h) = x \cdot x + x h + h (x + h) + 5 {(x + h)}^{3}$

Passaggio 2.1.2.1.2.3

Applica la proprietà distributiva.

$f (x + h) = x \cdot x + x h + h x + h \cdot h + 5 {(x + h)}^{3}$

Passaggio 2.1.2.1.3

Semplifica e combina i termini simili.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.2.1.3.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.2.1.3.1.1

Moltiplica $x$ per $x$ .

$f (x + h) = x^{2} + x h + h x + h \cdot h + 5 {(x + h)}^{3}$

Passaggio 2.1.2.1.3.1.2

Moltiplica $h$ per $h$ .

$f (x + h) = x^{2} + x h + h x + h^{2} + 5 {(x + h)}^{3}$

Passaggio 2.1.2.1.3.2

Somma $x h$ e $h x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.2.1.3.2.1

Riordina $x$ e $h$ .

$f (x + h) = x^{2} + h x + h x + h^{2} + 5 {(x + h)}^{3}$

Passaggio 2.1.2.1.3.2.2

Somma $h x$ e $h x$ .

$f (x + h) = x^{2} + 2 h x + h^{2} + 5 {(x + h)}^{3}$

Passaggio 2.1.2.1.4

Usa il teorema binomiale.

$f (x + h) = x^{2} + 2 h x + h^{2} + 5 (x^{3} + 3 x^{2} h + 3 x h^{2} + h^{3})$

Passaggio 2.1.2.1.5

Applica la proprietà distributiva.

$f (x + h) = x^{2} + 2 h x + h^{2} + 5 x^{3} + 5 (3 x^{2} h) + 5 (3 x h^{2}) + 5 h^{3}$

Passaggio 2.1.2.1.6

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.2.1.6.1

Moltiplica $3$ per $5$ .

$f (x + h) = x^{2} + 2 h x + h^{2} + 5 x^{3} + 15 (x^{2} h) + 5 (3 x h^{2}) + 5 h^{3}$

Passaggio 2.1.2.1.6.2

Moltiplica $3$ per $5$ .

$f (x + h) = x^{2} + 2 h x + h^{2} + 5 x^{3} + 15 (x^{2} h) + 15 (x h^{2}) + 5 h^{3}$

Passaggio 2.1.2.1.7

Rimuovi le parentesi.

$f (x + h) = x^{2} + 2 h x + h^{2} + 5 x^{3} + 15 x^{2} h + 15 x h^{2} + 5 h^{3}$

Passaggio 2.1.2.2

La risposta finale è $x^{2} + 2 h x + h^{2} + 5 x^{3} + 15 x^{2} h + 15 x h^{2} + 5 h^{3}$ .

$x^{2} + 2 h x + h^{2} + 5 x^{3} + 15 x^{2} h + 15 x h^{2} + 5 h^{3}$

Passaggio 2.2

Riordina.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Sposta $x^{2}$ .

$x^{2} + 2 h x + h^{2} + 5 x^{3} + 15 h x^{2} + 15 x h^{2} + 5 h^{3}$

Passaggio 2.2.2

Sposta $x$ .

$x^{2} + 2 h x + h^{2} + 5 x^{3} + 15 h x^{2} + 15 h^{2} x + 5 h^{3}$

Passaggio 2.2.3

Sposta $x^{2}$ .

$2 h x + h^{2} + 5 x^{3} + 15 h x^{2} + 15 h^{2} x + 5 h^{3} + x^{2}$

Passaggio 2.2.4

Sposta $2 h x$ .

$h^{2} + 5 x^{3} + 15 h x^{2} + 15 h^{2} x + 5 h^{3} + 2 h x + x^{2}$

Passaggio 2.2.5

Sposta $h^{2}$ .

$5 x^{3} + 15 h x^{2} + 15 h^{2} x + 5 h^{3} + h^{2} + 2 h x + x^{2}$

Passaggio 2.2.6

Sposta $5 x^{3}$ .

$15 h x^{2} + 15 h^{2} x + 5 h^{3} + 5 x^{3} + h^{2} + 2 h x + x^{2}$

Passaggio 2.2.7

Sposta $15 h x^{2}$ .

$15 h^{2} x + 5 h^{3} + 15 h x^{2} + 5 x^{3} + h^{2} + 2 h x + x^{2}$

Passaggio 2.2.8

Riordina $15 h^{2} x$ e $5 h^{3}$ .

$5 h^{3} + 15 h^{2} x + 15 h x^{2} + 5 x^{3} + h^{2} + 2 h x + x^{2}$

Passaggio 2.3

Trova i componenti della definizione.

$f (x + h) = 5 h^{3} + 15 h^{2} x + 15 h x^{2} + 5 x^{3} + h^{2} + 2 h x + x^{2}$

$f (x) = x^{2} + 5 x^{3}$

$f (x + h) = 5 h^{3} + 15 h^{2} x + 15 h x^{2} + 5 x^{3} + h^{2} + 2 h x + x^{2}$

$f (x) = x^{2} + 5 x^{3}$

Passaggio 3

Collega i componenti.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{5 h^{3} + 15 h^{2} x + 15 h x^{2} + 5 x^{3} + h^{2} + 2 h x + x^{2} - (x^{2} + 5 x^{3})}{h}$

Passaggio 4

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.1

Applica la proprietà distributiva.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{5 h^{3} + 15 h^{2} x + 15 h x^{2} + 5 x^{3} + h^{2} + 2 h x + x^{2} - x^{2} - (5 x^{3})}{h}$

Passaggio 4.1.2

Moltiplica $5$ per $- 1$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{5 h^{3} + 15 h^{2} x + 15 h x^{2} + 5 x^{3} + h^{2} + 2 h x + x^{2} - x^{2} - 5 x^{3}}{h}$

Passaggio 4.1.3

Sottrai $5 x^{3}$ da $5 x^{3}$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{5 h^{3} + 15 h^{2} x + 15 h x^{2} + h^{2} + 2 h x + x^{2} - x^{2} + 0}{h}$

Passaggio 4.1.4

Somma $5 h^{3} + 15 h^{2} x + 15 h x^{2} + h^{2} + 2 h x + x^{2} - x^{2}$ e $0$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{5 h^{3} + 15 h^{2} x + 15 h x^{2} + h^{2} + 2 h x + x^{2} - x^{2}}{h}$

Passaggio 4.1.5

Sottrai $x^{2}$ da $x^{2}$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{5 h^{3} + 15 h^{2} x + 15 h x^{2} + h^{2} + 2 h x + 0}{h}$

Passaggio 4.1.6

Somma $5 h^{3} + 15 h^{2} x + 15 h x^{2} + h^{2} + 2 h x$ e $0$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{5 h^{3} + 15 h^{2} x + 15 h x^{2} + h^{2} + 2 h x}{h}$

Passaggio 4.1.7

Scomponi $h$ da $5 h^{3} + 15 h^{2} x + 15 h x^{2} + h^{2} + 2 h x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.7.1

Scomponi $h$ da $5 h^{3}$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h (5 h^{2}) + 15 h^{2} x + 15 h x^{2} + h^{2} + 2 h x}{h}$

Passaggio 4.1.7.2

Scomponi $h$ da $15 h^{2} x$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h (5 h^{2}) + h (15 h x) + 15 h x^{2} + h^{2} + 2 h x}{h}$

Passaggio 4.1.7.3

Scomponi $h$ da $15 h x^{2}$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h (5 h^{2}) + h (15 h x) + h (15 x^{2}) + h^{2} + 2 h x}{h}$

Passaggio 4.1.7.4

Scomponi $h$ da $h^{2}$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h (5 h^{2}) + h (15 h x) + h (15 x^{2}) + h (h) + 2 h x}{h}$

Passaggio 4.1.7.5

Scomponi $h$ da $2 h x$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h (5 h^{2}) + h (15 h x) + h (15 x^{2}) + h (h) + h (2 x)}{h}$

Passaggio 4.1.7.6

Scomponi $h$ da $h (5 h^{2}) + h (15 h x)$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h (5 h^{2} + 15 h x) + h (15 x^{2}) + h (h) + h (2 x)}{h}$

Passaggio 4.1.7.7

Scomponi $h$ da $h (5 h^{2} + 15 h x) + h (15 x^{2})$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h (5 h^{2} + 15 h x + 15 x^{2}) + h (h) + h (2 x)}{h}$

Passaggio 4.1.7.8

Scomponi $h$ da $h (5 h^{2} + 15 h x + 15 x^{2}) + h (h)$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h (5 h^{2} + 15 h x + 15 x^{2} + h) + h (2 x)}{h}$

Passaggio 4.1.7.9

Scomponi $h$ da $h (5 h^{2} + 15 h x + 15 x^{2} + h) + h (2 x)$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h (5 h^{2} + 15 h x + 15 x^{2} + h + 2 x)}{h}$

Passaggio 4.2

Riduci l'espressione eliminando i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.1

Elimina il fattore comune di $h$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h (5 h^{2} + 15 h x + 15 x^{2} + h + 2 x)}{h}$

Passaggio 4.2.1.2

Dividi $5 h^{2} + 15 h x + 15 x^{2} + h + 2 x$ per $1$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} 5 h^{2} + 15 h x + 15 x^{2} + h + 2 x$

Passaggio 4.2.2

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.2.1

Sposta $h$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} 5 h^{2} + 15 x h + 15 x^{2} + h + 2 x$

Passaggio 4.2.2.2

Sposta $h$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} 5 h^{2} + 15 x h + 15 x^{2} + 2 x + h$

Passaggio 4.2.2.3

Sposta $5 h^{2}$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} 15 x h + 15 x^{2} + 5 h^{2} + 2 x + h$

Passaggio 4.2.2.4

Riordina $15 x h$ e $15 x^{2}$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} 15 x^{2} + 15 x h + 5 h^{2} + 2 x + h$

Passaggio 5

Dividi il limite usando la regola della somma di limiti quando $h$ tende a $0$ .

$lim_{h \to 0} 15 x^{2} + lim_{h \to 0} 15 x h + lim_{h \to 0} 5 h^{2} + lim_{h \to 0} 2 x + lim_{h \to 0} h$

Passaggio 6

Calcola il limite di $15 x^{2}$ che è costante, mentre $h$ tende a $0$ .

$15 x^{2} + lim_{h \to 0} 15 x h + lim_{h \to 0} 5 h^{2} + lim_{h \to 0} 2 x + lim_{h \to 0} h$

Passaggio 7

Sposta il termine $15 x$ fuori dal limite perché è costante rispetto a $h$ .

$15 x^{2} + 15 x lim_{h \to 0} h + lim_{h \to 0} 5 h^{2} + lim_{h \to 0} 2 x + lim_{h \to 0} h$

Passaggio 8

Sposta il termine $5$ fuori dal limite perché è costante rispetto a $h$ .

$15 x^{2} + 15 x lim_{h \to 0} h + 5 lim_{h \to 0} h^{2} + lim_{h \to 0} 2 x + lim_{h \to 0} h$

Passaggio 9

Sposta l'esponente $2$ da $h^{2}$ fuori dal limite usando la regola di potenza dei limiti.

$15 x^{2} + 15 x lim_{h \to 0} h + 5 {(lim_{h \to 0} h)}^{2} + lim_{h \to 0} 2 x + lim_{h \to 0} h$

Passaggio 10

Calcola il limite di $2 x$ che è costante, mentre $h$ tende a $0$ .

$15 x^{2} + 15 x lim_{h \to 0} h + 5 {(lim_{h \to 0} h)}^{2} + 2 x + lim_{h \to 0} h$

Passaggio 11

Calcola il limite inserendo $0$ per tutte le occorrenze di $h$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.1

Calcola il limite di $h$ inserendo $0$ per $h$ .

$15 x^{2} + 15 x \cdot 0 + 5 {(lim_{h \to 0} h)}^{2} + 2 x + lim_{h \to 0} h$

Passaggio 11.2

Calcola il limite di $h$ inserendo $0$ per $h$ .

$15 x^{2} + 15 x \cdot 0 + 5 \cdot 0^{2} + 2 x + lim_{h \to 0} h$

Passaggio 11.3

Calcola il limite di $h$ inserendo $0$ per $h$ .

$15 x^{2} + 15 x \cdot 0 + 5 \cdot 0^{2} + 2 x + 0$

Passaggio 12

Semplifica la risposta.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.1

Somma $15 x^{2} + 15 x \cdot 0 + 5 \cdot 0^{2} + 2 x$ e $0$ .

$15 x^{2} + 15 x \cdot 0 + 5 \cdot 0^{2} + 2 x$

Passaggio 12.2

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.2.1

Moltiplica $15 x \cdot 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.2.1.1

Moltiplica $0$ per $15$ .

$15 x^{2} + 0 x + 5 \cdot 0^{2} + 2 x$

Passaggio 12.2.1.2

Moltiplica $0$ per $x$ .

$15 x^{2} + 0 + 5 \cdot 0^{2} + 2 x$

Passaggio 12.2.2

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$15 x^{2} + 0 + 5 \cdot 0 + 2 x$

Passaggio 12.2.3

Moltiplica $5$ per $0$ .

$15 x^{2} + 0 + 0 + 2 x$

Passaggio 12.3

Combina i termini opposti in $15 x^{2} + 0 + 0 + 2 x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.3.1

Somma $15 x^{2}$ e $0$ .

$15 x^{2} + 0 + 2 x$

Passaggio 12.3.2

Somma $15 x^{2}$ e $0$ .

$15 x^{2} + 2 x$

Passaggio 13