Calcolo Esempi

$f (x) = \frac{\cot (x)}{\sin (x)}$

Passaggio 1

Riscrivi $\cot (x)$ in termini di seno e coseno.

$\frac{d}{d x} [\frac{\frac{\cos (x)}{\sin (x)}}{\sin (x)}]$

Passaggio 2

Riscrivi $\frac{\frac{\cos (x)}{\sin (x)}}{\sin (x)}$ come un prodotto.

$\frac{d}{d x} [\frac{\cos (x)}{\sin (x)} \cdot \frac{1}{\sin (x)}]$

Passaggio 3

Semplifica.

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Passaggio 3.1

Converti da $\frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ a $\cot (x)$ .

$\frac{d}{d x} [\cot (x) \frac{1}{\sin (x)}]$

Passaggio 3.2

Converti da $\frac{1}{\sin (x)}$ a $\csc (x)$ .

$\frac{d}{d x} [\cot (x) \csc (x)]$

Passaggio 4

Differenzia usando la regola del prodotto, che indica che $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ è $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ dove $f (x) = \cot (x)$ e $g (x) = \csc (x)$ .

$\cot (x) \frac{d}{d x} [\csc (x)] + \csc (x) \frac{d}{d x} [\cot (x)]$

Passaggio 5

La derivata di $\csc (x)$ rispetto a $x$ è $- \csc (x) \cot (x)$ .

$\cot (x) (- \csc (x) \cot (x)) + \csc (x) \frac{d}{d x} [\cot (x)]$

Passaggio 6

Eleva $\cot (x)$ alla potenza di $1$ .

$- \csc (x) (\cot^{1} (x) \cot (x)) + \csc (x) \frac{d}{d x} [\cot (x)]$

Passaggio 7

Eleva $\cot (x)$ alla potenza di $1$ .

$- \csc (x) (\cot^{1} (x) \cot^{1} (x)) + \csc (x) \frac{d}{d x} [\cot (x)]$

Passaggio 8

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$- \csc (x) {\cot (x)}^{1 + 1} + \csc (x) \frac{d}{d x} [\cot (x)]$

Passaggio 9

Somma $1$ e $1$ .

$- \csc (x) \cot^{2} (x) + \csc (x) \frac{d}{d x} [\cot (x)]$

Passaggio 10

La derivata di $\cot (x)$ rispetto a $x$ è $- \csc^{2} (x)$ .

$- \csc (x) \cot^{2} (x) + \csc (x) (- \csc^{2} (x))$

Passaggio 11

Eleva $\csc (x)$ alla potenza di $1$ .

$- \csc (x) \cot^{2} (x) - (\csc^{1} (x) \csc^{2} (x))$

Passaggio 12

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$- \csc (x) \cot^{2} (x) - {\csc (x)}^{1 + 2}$

Passaggio 13

Somma $1$ e $2$ .

$- \csc (x) \cot^{2} (x) - \csc^{3} (x)$

Passaggio 14

Riordina i termini.

$- \cot^{2} (x) \csc (x) - \csc^{3} (x)$