Calcolo Esempi

$f (x) = \frac{\sqrt{9 x^{2} + 1}}{x}$

Passaggio 1

Find the $x$ values where the second derivative is equal to $0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Trova la derivata seconda.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{9 x^{2} + 1}$ come ${(9 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{{(9 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}{x}]$

Passaggio 1.1.1.2

Differenzia usando la regola del quoziente secondo cui $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ è $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ dove $f (x) = {(9 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}$ e $g (x) = x$ .

$\frac{x \frac{d}{d x} [{(9 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}] - {(9 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Passaggio 1.1.1.3

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ e $g (x) = 9 x^{2} + 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1.3.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $9 x^{2} + 1$ .

$\frac{x (\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [9 x^{2} + 1]) - {(9 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Passaggio 1.1.1.3.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ è $n u^{n - 1}$ dove $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{x (\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [9 x^{2} + 1]) - {(9 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Passaggio 1.1.1.3.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $9 x^{2} + 1$ .

$\frac{x (\frac{1}{2} {(9 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [9 x^{2} + 1]) - {(9 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Passaggio 1.1.1.4

Per scrivere $- 1$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$\frac{x (\frac{1}{2} {(9 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [9 x^{2} + 1]) - {(9 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Passaggio 1.1.1.5

$- 1$ e $\frac{2}{2}$ .

$\frac{x (\frac{1}{2} {(9 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [9 x^{2} + 1]) - {(9 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Passaggio 1.1.1.6

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{x (\frac{1}{2} {(9 x^{2} + 1)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [9 x^{2} + 1]) - {(9 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Passaggio 1.1.1.7

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1.7.1

Moltiplica $- 1$ per $2$ .

$\frac{x (\frac{1}{2} {(9 x^{2} + 1)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [9 x^{2} + 1]) - {(9 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Passaggio 1.1.1.7.2

Sottrai $2$ da $1$ .

$\frac{x (\frac{1}{2} {(9 x^{2} + 1)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [9 x^{2} + 1]) - {(9 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Passaggio 1.1.1.8

Riduci le frazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1.8.1

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$\frac{x (\frac{1}{2} {(9 x^{2} + 1)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [9 x^{2} + 1]) - {(9 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Passaggio 1.1.1.8.2

$\frac{1}{2}$ e ${(9 x^{2} + 1)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{x (\frac{{(9 x^{2} + 1)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [9 x^{2} + 1]) - {(9 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Passaggio 1.1.1.8.3

Sposta ${(9 x^{2} + 1)}^{- \frac{1}{2}}$ al denominatore usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{x (\frac{1}{2 {(9 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [9 x^{2} + 1]) - {(9 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Passaggio 1.1.1.8.4

$\frac{1}{2 {(9 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$ e $x$ .

$\frac{\frac{x}{2 {(9 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [9 x^{2} + 1] - {(9 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Passaggio 1.1.1.9

Secondo la regola della somma, la derivata di $9 x^{2} + 1$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [9 x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{\frac{x}{2 {(9 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d x} [9 x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]) - {(9 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Passaggio 1.1.1.10

Poiché $9$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $9 x^{2}$ rispetto a $x$ è $9 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{\frac{x}{2 {(9 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} (9 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]) - {(9 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Passaggio 1.1.1.11

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$\frac{\frac{x}{2 {(9 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} (9 (2 x) + \frac{d}{d x} [1]) - {(9 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Passaggio 1.1.1.12

Moltiplica $2$ per $9$ .

$\frac{\frac{x}{2 {(9 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} (18 x + \frac{d}{d x} [1]) - {(9 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Passaggio 1.1.1.13

Poiché $1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$\frac{\frac{x}{2 {(9 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} (18 x + 0) - {(9 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Passaggio 1.1.1.14

Riduci le frazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1.14.1

Somma $18 x$ e $0$ .

$\frac{\frac{x}{2 {(9 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} (18 x) - {(9 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Passaggio 1.1.1.14.2

$18$ e $\frac{x}{2 {(9 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{\frac{18 x}{2 {(9 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} x - {(9 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Passaggio 1.1.1.14.3

$\frac{18 x}{2 {(9 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$ e $x$ .

$\frac{\frac{18 x \cdot x}{2 {(9 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} - {(9 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Passaggio 1.1.1.15

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$\frac{\frac{18 (x^{1} x)}{2 {(9 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} - {(9 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Passaggio 1.1.1.16

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$\frac{\frac{18 (x^{1} x^{1})}{2 {(9 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} - {(9 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Passaggio 1.1.1.17

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{\frac{18 x^{1 + 1}}{2 {(9 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} - {(9 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Passaggio 1.1.1.18

Somma $1$ e $1$ .

$\frac{\frac{18 x^{2}}{2 {(9 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} - {(9 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Passaggio 1.1.1.19

Scomponi $2$ da $18 x^{2}$ .

$\frac{\frac{2 (9 x^{2})}{2 {(9 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} - {(9 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Passaggio 1.1.1.20

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1.20.1

Scomponi $2$ da $2 {(9 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{\frac{2 (9 x^{2})}{2 ({(9 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}})} - {(9 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Passaggio 1.1.1.20.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{\frac{2 (9 x^{2})}{2 {(9 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} - {(9 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Passaggio 1.1.1.20.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{\frac{9 x^{2}}{{(9 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} - {(9 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Passaggio 1.1.1.21

Moltiplica $\frac{\frac{9 x^{2}}{{(9 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} - {(9 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$ per $\frac{{(9 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}{{(9 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{{(9 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}{{(9 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{\frac{9 x^{2}}{{(9 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} - {(9 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Passaggio 1.1.1.22

Combina.

$\frac{{(9 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} (\frac{9 x^{2}}{{(9 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} - {(9 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])}{{(9 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} x^{2}}$

Passaggio 1.1.1.23

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{{(9 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{9 x^{2}}{{(9 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} + {(9 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} (- {(9 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])}{{(9 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} x^{2}}$

Passaggio 1.1.1.24

Elimina il fattore comune di ${(9 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1.24.1

Elimina il fattore comune.

Passaggio 1.1.1.24.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{9 x^{2} + {(9 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} (- {(9 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])}{{(9 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} x^{2}}$

Passaggio 1.1.1.25

Moltiplica ${(9 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}$ per ${(9 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1.25.1

Sposta ${(9 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{9 x^{2} + {(9 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} {(9 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} (- \frac{d}{d x} [x])}{{(9 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} x^{2}}$

Passaggio 1.1.1.25.2

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{9 x^{2} + {(9 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}} (- \frac{d}{d x} [x])}{{(9 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} x^{2}}$

Passaggio 1.1.1.25.3

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{9 x^{2} + {(9 x^{2} + 1)}^{\frac{1 + 1}{2}} (- \frac{d}{d x} [x])}{{(9 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} x^{2}}$

Passaggio 1.1.1.25.4

Somma $1$ e $1$ .

$\frac{9 x^{2} + {(9 x^{2} + 1)}^{\frac{2}{2}} (- \frac{d}{d x} [x])}{{(9 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} x^{2}}$

Passaggio 1.1.1.25.5

Dividi $2$ per $2$ .

$\frac{9 x^{2} + {(9 x^{2} + 1)}^{1} (- \frac{d}{d x} [x])}{{(9 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} x^{2}}$

Passaggio 1.1.1.26

Semplifica ${(9 x^{2} + 1)}^{1} (- \frac{d}{d x} [x])$ .

$\frac{9 x^{2} + (9 x^{2} + 1) (- \frac{d}{d x} [x])}{{(9 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} x^{2}}$

Passaggio 1.1.1.27

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$\frac{9 x^{2} + (9 x^{2} + 1) (- 1 \cdot 1)}{{(9 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} x^{2}}$

Passaggio 1.1.1.28

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1.28.1

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$\frac{9 x^{2} + (9 x^{2} + 1) \cdot - 1}{{(9 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} x^{2}}$

Passaggio 1.1.1.28.2

Sposta $- 1$ alla sinistra di $9 x^{2} + 1$ .

$\frac{9 x^{2} - 1 \cdot (9 x^{2} + 1)}{{(9 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} x^{2}}$

Passaggio 1.1.1.28.3

Riscrivi $- 1 (9 x^{2} + 1)$ come $- (9 x^{2} + 1)$ .

$\frac{9 x^{2} - (9 x^{2} + 1)}{{(9 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} x^{2}}$

Passaggio 1.1.1.29

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1.29.1

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{9 x^{2} - (9 x^{2}) - 1 \cdot 1}{{(9 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} x^{2}}$

Passaggio 1.1.1.29.2

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1.29.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1.29.2.1.1

Moltiplica $9$ per $- 1$ .

$\frac{9 x^{2} - 9 x^{2} - 1 \cdot 1}{{(9 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} x^{2}}$

Passaggio 1.1.1.29.2.1.2

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$\frac{9 x^{2} - 9 x^{2} - 1}{{(9 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} x^{2}}$

Passaggio 1.1.1.29.2.2

Sottrai $9 x^{2}$ da $9 x^{2}$ .

$\frac{0 - 1}{{(9 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} x^{2}}$

Passaggio 1.1.1.29.2.3

Sottrai $1$ da $0$ .

$\frac{- 1}{{(9 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} x^{2}}$

Passaggio 1.1.1.29.3

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$- \frac{1}{{(9 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} x^{2}}$

Passaggio 1.1.1.29.4

Riordina i fattori in $- \frac{1}{{(9 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} x^{2}}$ .

$f' (x) = - \frac{1}{x^{2} {(9 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 1.1.2

Trova la derivata seconda.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.1

Differenzia usando la regola del prodotto secondo cui $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ è $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ dove $f (x) = - 1$ e $g (x) = \frac{1}{x^{2} {(9 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$- \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2} {(9 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}] + \frac{1}{x^{2} {(9 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Passaggio 1.1.2.2

Riscrivi $\frac{1}{x^{2} {(9 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$ come ${(x^{2} {(9 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

$- \frac{d}{d x} [{(x^{2} {(9 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{- 1}] + \frac{1}{x^{2} {(9 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Passaggio 1.1.2.3

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{- 1}$ e $g (x) = x^{2} {(9 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.3.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u_{1}$ come $x^{2} {(9 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

$- (\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{- 1}] \frac{d}{d x} [x^{2} {(9 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}]) + \frac{1}{x^{2} {(9 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Passaggio 1.1.2.3.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ è $n {u_{1}}^{n - 1}$ dove $n = - 1$ .

$- (- {u_{1}}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{2} {(9 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}]) + \frac{1}{x^{2} {(9 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Passaggio 1.1.2.3.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{1}$ con $x^{2} {(9 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

$- (- {(x^{2} {(9 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{2} {(9 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}]) + \frac{1}{x^{2} {(9 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Passaggio 1.1.2.4

Moltiplica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.4.1

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$1 ({(x^{2} {(9 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{2} {(9 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}]) + \frac{1}{x^{2} {(9 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Passaggio 1.1.2.4.2

Moltiplica ${(x^{2} {(9 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{- 2}$ per $1$ .

${(x^{2} {(9 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{2} {(9 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}] + \frac{1}{x^{2} {(9 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Passaggio 1.1.2.5

Differenzia usando la regola del prodotto secondo cui $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ è $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ dove $f (x) = x^{2}$ e $g (x) = {(9 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

${(x^{2} {(9 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{- 2} (x^{2} \frac{d}{d x} [{(9 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}] + {(9 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{1}{x^{2} {(9 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Passaggio 1.1.2.6

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ e $g (x) = 9 x^{2} + 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.6.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u_{2}$ come $9 x^{2} + 1$ .

${(x^{2} {(9 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{- 2} (x^{2} (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [9 x^{2} + 1]) + {(9 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{1}{x^{2} {(9 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Passaggio 1.1.2.6.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ è $n {u_{2}}^{n - 1}$ dove $n = \frac{1}{2}$ .

${(x^{2} {(9 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{- 2} (x^{2} (\frac{1}{2} {u_{2}}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [9 x^{2} + 1]) + {(9 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{1}{x^{2} {(9 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Passaggio 1.1.2.6.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{2}$ con $9 x^{2} + 1$ .

${(x^{2} {(9 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{- 2} (x^{2} (\frac{1}{2} {(9 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [9 x^{2} + 1]) + {(9 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{1}{x^{2} {(9 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Passaggio 1.1.2.7

Per scrivere $- 1$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

${(x^{2} {(9 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{- 2} (x^{2} (\frac{1}{2} {(9 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [9 x^{2} + 1]) + {(9 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{1}{x^{2} {(9 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Passaggio 1.1.2.8

$- 1$ e $\frac{2}{2}$ .

${(x^{2} {(9 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{- 2} (x^{2} (\frac{1}{2} {(9 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [9 x^{2} + 1]) + {(9 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{1}{x^{2} {(9 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Passaggio 1.1.2.9

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

${(x^{2} {(9 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{- 2} (x^{2} (\frac{1}{2} {(9 x^{2} + 1)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [9 x^{2} + 1]) + {(9 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{1}{x^{2} {(9 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Passaggio 1.1.2.10

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.10.1

Moltiplica $- 1$ per $2$ .

${(x^{2} {(9 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{- 2} (x^{2} (\frac{1}{2} {(9 x^{2} + 1)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [9 x^{2} + 1]) + {(9 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{1}{x^{2} {(9 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Passaggio 1.1.2.10.2

Sottrai $2$ da $1$ .

${(x^{2} {(9 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{- 2} (x^{2} (\frac{1}{2} {(9 x^{2} + 1)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [9 x^{2} + 1]) + {(9 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{1}{x^{2} {(9 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Passaggio 1.1.2.11

Riduci le frazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.11.1

Sposta il negativo davanti alla frazione.

${(x^{2} {(9 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{- 2} (x^{2} (\frac{1}{2} {(9 x^{2} + 1)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [9 x^{2} + 1]) + {(9 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{1}{x^{2} {(9 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Passaggio 1.1.2.11.2

$\frac{1}{2}$ e ${(9 x^{2} + 1)}^{- \frac{1}{2}}$ .

${(x^{2} {(9 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{- 2} (x^{2} (\frac{{(9 x^{2} + 1)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [9 x^{2} + 1]) + {(9 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{1}{x^{2} {(9 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Passaggio 1.1.2.11.3

Sposta ${(9 x^{2} + 1)}^{- \frac{1}{2}}$ al denominatore usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

${(x^{2} {(9 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{- 2} (x^{2} (\frac{1}{2 {(9 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [9 x^{2} + 1]) + {(9 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{1}{x^{2} {(9 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Passaggio 1.1.2.11.4

$\frac{1}{2 {(9 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$ e $x^{2}$ .

${(x^{2} {(9 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{- 2} (\frac{x^{2}}{2 {(9 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [9 x^{2} + 1] + {(9 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{1}{x^{2} {(9 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Passaggio 1.1.2.12

Secondo la regola della somma, la derivata di $9 x^{2} + 1$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [9 x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

${(x^{2} {(9 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{- 2} (\frac{x^{2}}{2 {(9 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d x} [9 x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]) + {(9 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{1}{x^{2} {(9 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Passaggio 1.1.2.13

Poiché $9$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $9 x^{2}$ rispetto a $x$ è $9 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

${(x^{2} {(9 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{- 2} (\frac{x^{2}}{2 {(9 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} (9 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]) + {(9 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{1}{x^{2} {(9 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Passaggio 1.1.2.14

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

${(x^{2} {(9 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{- 2} (\frac{x^{2}}{2 {(9 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} (9 (2 x) + \frac{d}{d x} [1]) + {(9 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{1}{x^{2} {(9 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Passaggio 1.1.2.15

Moltiplica $2$ per $9$ .

${(x^{2} {(9 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{- 2} (\frac{x^{2}}{2 {(9 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} (18 x + \frac{d}{d x} [1]) + {(9 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{1}{x^{2} {(9 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Passaggio 1.1.2.16

Poiché $1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $1$ rispetto a $x$ è $0$ .

${(x^{2} {(9 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{- 2} (\frac{x^{2}}{2 {(9 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} (18 x + 0) + {(9 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{1}{x^{2} {(9 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Passaggio 1.1.2.17

Riduci le frazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.17.1

Somma $18 x$ e $0$ .

${(x^{2} {(9 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{- 2} (\frac{x^{2}}{2 {(9 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} (18 x) + {(9 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{1}{x^{2} {(9 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Passaggio 1.1.2.17.2

$18$ e $\frac{x^{2}}{2 {(9 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$ .

${(x^{2} {(9 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{- 2} (\frac{18 x^{2}}{2 {(9 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} x + {(9 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{1}{x^{2} {(9 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Passaggio 1.1.2.17.3

$\frac{18 x^{2}}{2 {(9 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$ e $x$ .

${(x^{2} {(9 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{- 2} (\frac{18 x^{2} x}{2 {(9 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} + {(9 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{1}{x^{2} {(9 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Passaggio 1.1.2.18

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

${(x^{2} {(9 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{- 2} (\frac{18 (x^{1} x^{2})}{2 {(9 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} + {(9 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{1}{x^{2} {(9 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Passaggio 1.1.2.19

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

${(x^{2} {(9 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{- 2} (\frac{18 x^{1 + 2}}{2 {(9 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} + {(9 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{1}{x^{2} {(9 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Passaggio 1.1.2.20

Somma $1$ e $2$ .

${(x^{2} {(9 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{- 2} (\frac{18 x^{3}}{2 {(9 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} + {(9 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{1}{x^{2} {(9 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Passaggio 1.1.2.21

Scomponi $2$ da $18 x^{3}$ .

${(x^{2} {(9 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{- 2} (\frac{2 (9 x^{3})}{2 {(9 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} + {(9 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{1}{x^{2} {(9 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Passaggio 1.1.2.22

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.22.1

Scomponi $2$ da $2 {(9 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

${(x^{2} {(9 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{- 2} (\frac{2 (9 x^{3})}{2 ({(9 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}})} + {(9 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{1}{x^{2} {(9 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Passaggio 1.1.2.22.2

Elimina il fattore comune.

Passaggio 1.1.2.22.3

Riscrivi l'espressione.

${(x^{2} {(9 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{- 2} (\frac{9 x^{3}}{{(9 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} + {(9 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{1}{x^{2} {(9 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Passaggio 1.1.2.23

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

${(x^{2} {(9 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{- 2} (\frac{9 x^{3}}{{(9 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} + {(9 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} (2 x)) + \frac{1}{x^{2} {(9 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Passaggio 1.1.2.24

Sposta $2$ alla sinistra di ${(9 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

${(x^{2} {(9 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{- 2} (\frac{9 x^{3}}{{(9 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} + 2 \cdot {(9 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} x) + \frac{1}{x^{2} {(9 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Passaggio 1.1.2.25

Combina $\frac{9 x^{3}}{{(9 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$ e $2 {(9 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} x$ usando un comune denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.25.1

Sposta ${(9 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

${(x^{2} {(9 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{- 2} (\frac{9 x^{3}}{{(9 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} + 2 x {(9 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}) + \frac{1}{x^{2} {(9 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Passaggio 1.1.2.25.2

Per scrivere $2 x {(9 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{{(9 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}{{(9 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$ .

${(x^{2} {(9 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{- 2} (\frac{9 x^{3}}{{(9 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{2 x {(9 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} {(9 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}{{(9 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}) + \frac{1}{x^{2} {(9 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Passaggio 1.1.2.25.3

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

${(x^{2} {(9 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{- 2} \frac{9 x^{3} + 2 x {(9 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} {(9 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}{{(9 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{1}{x^{2} {(9 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Passaggio 1.1.2.26

Moltiplica ${(9 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}$ per ${(9 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.26.1

Sposta ${(9 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

${(x^{2} {(9 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{- 2} \frac{9 x^{3} + 2 x ({(9 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} {(9 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}})}{{(9 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{1}{x^{2} {(9 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Passaggio 1.1.2.26.2

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

${(x^{2} {(9 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{- 2} \frac{9 x^{3} + 2 x {(9 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}}}{{(9 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{1}{x^{2} {(9 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Passaggio 1.1.2.26.3

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

${(x^{2} {(9 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{- 2} \frac{9 x^{3} + 2 x {(9 x^{2} + 1)}^{\frac{1 + 1}{2}}}{{(9 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{1}{x^{2} {(9 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Passaggio 1.1.2.26.4

Somma $1$ e $1$ .

${(x^{2} {(9 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{- 2} \frac{9 x^{3} + 2 x {(9 x^{2} + 1)}^{\frac{2}{2}}}{{(9 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{1}{x^{2} {(9 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Passaggio 1.1.2.26.5

Dividi $2$ per $2$ .

${(x^{2} {(9 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{- 2} \frac{9 x^{3} + 2 x {(9 x^{2} + 1)}^{1}}{{(9 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{1}{x^{2} {(9 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Passaggio 1.1.2.27

Riduci le frazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.27.1

Semplifica $2 x {(9 x^{2} + 1)}^{1}$ .

${(x^{2} {(9 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{- 2} \frac{9 x^{3} + 2 x (9 x^{2} + 1)}{{(9 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{1}{x^{2} {(9 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Passaggio 1.1.2.27.2

${(x^{2} {(9 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{- 2}$ e $\frac{9 x^{3} + 2 x (9 x^{2} + 1)}{{(9 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{{(x^{2} {(9 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{- 2} (9 x^{3} + 2 x (9 x^{2} + 1))}{{(9 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{1}{x^{2} {(9 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Passaggio 1.1.2.27.3

Sposta ${(x^{2} {(9 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{- 2}$ al denominatore usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{9 x^{3} + 2 x (9 x^{2} + 1)}{{(9 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} {(x^{2} {(9 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2}} + \frac{1}{x^{2} {(9 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Passaggio 1.1.2.28

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$\frac{9 x^{3} + 2 x (9 x^{2} + 1)}{{(9 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} {(x^{2} {(9 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2}} + \frac{1}{x^{2} {(9 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} \cdot 0$

Passaggio 1.1.2.29

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.29.1

Moltiplica $\frac{1}{x^{2} {(9 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$ per $0$ .

$\frac{9 x^{3} + 2 x (9 x^{2} + 1)}{{(9 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} {(x^{2} {(9 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2}} + 0$

Passaggio 1.1.2.29.2

Somma $\frac{9 x^{3} + 2 x (9 x^{2} + 1)}{{(9 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} {(x^{2} {(9 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2}}$ e $0$ .

$\frac{9 x^{3} + 2 x (9 x^{2} + 1)}{{(9 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} {(x^{2} {(9 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Passaggio 1.1.2.30

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.30.1

Applica la regola del prodotto a $x^{2} {(9 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{9 x^{3} + 2 x (9 x^{2} + 1)}{{(9 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} ({(x^{2})}^{2} {({(9 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2})}$

Passaggio 1.1.2.30.2

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{9 x^{3} + 2 x (9 x^{2}) + 2 x \cdot 1}{{(9 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} ({(x^{2})}^{2} {({(9 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2})}$

Passaggio 1.1.2.30.3

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.30.3.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.30.3.1.1

Riscrivi usando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$\frac{9 x^{3} + 2 \cdot 9 x \cdot x^{2} + 2 x \cdot 1}{{(9 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} ({(x^{2})}^{2} {({(9 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2})}$

Passaggio 1.1.2.30.3.1.2

Moltiplica $x$ per $x^{2}$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.30.3.1.2.1

Sposta $x^{2}$ .

$\frac{9 x^{3} + 2 \cdot 9 (x^{2} x) + 2 x \cdot 1}{{(9 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} ({(x^{2})}^{2} {({(9 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2})}$

Passaggio 1.1.2.30.3.1.2.2

Moltiplica $x^{2}$ per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.30.3.1.2.2.1

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$\frac{9 x^{3} + 2 \cdot 9 (x^{2} x^{1}) + 2 x \cdot 1}{{(9 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} ({(x^{2})}^{2} {({(9 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2})}$

Passaggio 1.1.2.30.3.1.2.2.2

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{9 x^{3} + 2 \cdot 9 x^{2 + 1} + 2 x \cdot 1}{{(9 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} ({(x^{2})}^{2} {({(9 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2})}$

Passaggio 1.1.2.30.3.1.2.3

Somma $2$ e $1$ .

$\frac{9 x^{3} + 2 \cdot 9 x^{3} + 2 x \cdot 1}{{(9 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} ({(x^{2})}^{2} {({(9 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2})}$

Passaggio 1.1.2.30.3.1.3

Moltiplica $2$ per $9$ .

$\frac{9 x^{3} + 18 x^{3} + 2 x \cdot 1}{{(9 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} ({(x^{2})}^{2} {({(9 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2})}$

Passaggio 1.1.2.30.3.1.4

Moltiplica $2$ per $1$ .

$\frac{9 x^{3} + 18 x^{3} + 2 x}{{(9 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} ({(x^{2})}^{2} {({(9 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2})}$

Passaggio 1.1.2.30.3.2

Somma $9 x^{3}$ e $18 x^{3}$ .

$\frac{27 x^{3} + 2 x}{{(9 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} ({(x^{2})}^{2} {({(9 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2})}$

Passaggio 1.1.2.30.4

Raccogli i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.30.4.1

Moltiplica gli esponenti in ${(x^{2})}^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.30.4.1.1

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{27 x^{3} + 2 x}{{(9 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} (x^{2 \cdot 2} {({(9 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2})}$

Passaggio 1.1.2.30.4.1.2

Moltiplica $2$ per $2$ .

$\frac{27 x^{3} + 2 x}{{(9 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} (x^{4} {({(9 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2})}$

Passaggio 1.1.2.30.4.2

Moltiplica gli esponenti in ${({(9 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.30.4.2.1

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{27 x^{3} + 2 x}{{(9 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} (x^{4} {(9 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2} \cdot 2})}$

Passaggio 1.1.2.30.4.2.2

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.30.4.2.2.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{27 x^{3} + 2 x}{{(9 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} (x^{4} {(9 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2} \cdot 2})}$

Passaggio 1.1.2.30.4.2.2.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{27 x^{3} + 2 x}{{(9 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} (x^{4} {(9 x^{2} + 1)}^{1})}$

Passaggio 1.1.2.30.4.3

Semplifica.

$\frac{27 x^{3} + 2 x}{{(9 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} (x^{4} (9 x^{2} + 1))}$

Passaggio 1.1.2.30.4.4

Moltiplica ${(9 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}$ per $9 x^{2} + 1$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.30.4.4.1

Sposta $9 x^{2} + 1$ .

$\frac{27 x^{3} + 2 x}{(9 x^{2} + 1) {(9 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} x^{4}}$

Passaggio 1.1.2.30.4.4.2

Moltiplica $9 x^{2} + 1$ per ${(9 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.30.4.4.2.1

Eleva $9 x^{2} + 1$ alla potenza di $1$ .

$\frac{27 x^{3} + 2 x}{{(9 x^{2} + 1)}^{1} {(9 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} x^{4}}$

Passaggio 1.1.2.30.4.4.2.2

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{27 x^{3} + 2 x}{{(9 x^{2} + 1)}^{1 + \frac{1}{2}} x^{4}}$

Passaggio 1.1.2.30.4.4.3

Scrivi $1$ come una frazione con un comune denominatore.

$\frac{27 x^{3} + 2 x}{{(9 x^{2} + 1)}^{\frac{2}{2} + \frac{1}{2}} x^{4}}$

Passaggio 1.1.2.30.4.4.4

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{27 x^{3} + 2 x}{{(9 x^{2} + 1)}^{\frac{2 + 1}{2}} x^{4}}$

Passaggio 1.1.2.30.4.4.5

Somma $2$ e $1$ .

$\frac{27 x^{3} + 2 x}{{(9 x^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}} x^{4}}$

Passaggio 1.1.2.30.5

Riordina i termini.

$\frac{27 x^{3} + 2 x}{x^{4} {(9 x^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}}$

Passaggio 1.1.2.30.6

Scomponi $x$ da $27 x^{3} + 2 x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.30.6.1

Scomponi $x$ da $27 x^{3}$ .

$\frac{x (27 x^{2}) + 2 x}{x^{4} {(9 x^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}}$

Passaggio 1.1.2.30.6.2

Scomponi $x$ da $2 x$ .

$\frac{x (27 x^{2}) + x \cdot 2}{x^{4} {(9 x^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}}$

Passaggio 1.1.2.30.6.3

Scomponi $x$ da $x (27 x^{2}) + x \cdot 2$ .

$\frac{x (27 x^{2} + 2)}{x^{4} {(9 x^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}}$

Passaggio 1.1.2.30.7

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.30.7.1

Scomponi $x$ da $x^{4} {(9 x^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{x (27 x^{2} + 2)}{x (x^{3} {(9 x^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}})}$

Passaggio 1.1.2.30.7.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{x (27 x^{2} + 2)}{x (x^{3} {(9 x^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}})}$

Passaggio 1.1.2.30.7.3

Riscrivi l'espressione.

$f'' (x) = \frac{27 x^{2} + 2}{x^{3} {(9 x^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}}$

Passaggio 1.1.3

La derivata seconda di $f (x)$ rispetto a $x$ è $\frac{27 x^{2} + 2}{x^{3} {(9 x^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}}$ .

$\frac{27 x^{2} + 2}{x^{3} {(9 x^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}}$

Passaggio 1.2

Imposta la derivata seconda pari a $0$ , quindi risolvi l'equazione $\frac{27 x^{2} + 2}{x^{3} {(9 x^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}} = 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1

Imposta la derivata seconda uguale a $0$ .

$\frac{27 x^{2} + 2}{x^{3} {(9 x^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}} = 0$

Passaggio 1.2.2

Poni il numeratore uguale a zero.

$27 x^{2} + 2 = 0$

Passaggio 1.2.3

Risolvi l'equazione per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.3.1

Sottrai $2$ da entrambi i lati dell'equazione.

$27 x^{2} = - 2$

Passaggio 1.2.3.2

Dividi per $27$ ciascun termine in $27 x^{2} = - 2$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.3.2.1

Dividi per $27$ ciascun termine in $27 x^{2} = - 2$ .

$\frac{27 x^{2}}{27} = \frac{- 2}{27}$

Passaggio 1.2.3.2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.3.2.2.1

Elimina il fattore comune di $27$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.3.2.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{27 x^{2}}{27} = \frac{- 2}{27}$

Passaggio 1.2.3.2.2.1.2

Dividi $x^{2}$ per $1$ .

$x^{2} = \frac{- 2}{27}$

Passaggio 1.2.3.2.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.3.2.3.1

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$x^{2} = - \frac{2}{27}$

Passaggio 1.2.3.3

Trova la radice quadrata specificata di entrambi i lati dell'equazione per eliminare l'esponente sul lato sinistro.

$x = \pm \sqrt{- \frac{2}{27}}$

Passaggio 1.2.3.4

Semplifica $\pm \sqrt{- \frac{2}{27}}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.3.4.1

Riscrivi $- \frac{2}{27}$ come ${(\frac{i}{3})}^{2} \frac{2}{3}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.3.4.1.1

Riscrivi $- 1$ come $i^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{i^{2} \frac{2}{27}}$

Passaggio 1.2.3.4.1.2

Scomponi la potenza perfetta $1^{2}$ su $2$ .

$x = \pm \sqrt{i^{2} \frac{1^{2} \cdot 2}{27}}$

Passaggio 1.2.3.4.1.3

Scomponi la potenza perfetta $3^{2}$ su $27$ .

$x = \pm \sqrt{i^{2} \frac{1^{2} \cdot 2}{3^{2} \cdot 3}}$

Passaggio 1.2.3.4.1.4

Riordina la frazione $\frac{1^{2} \cdot 2}{3^{2} \cdot 3}$ .

$x = \pm \sqrt{i^{2} ({(\frac{1}{3})}^{2} \frac{2}{3})}$

Passaggio 1.2.3.4.1.5

Riscrivi $i^{2} {(\frac{1}{3})}^{2}$ come ${(\frac{i}{3})}^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{{(\frac{i}{3})}^{2} \frac{2}{3}}$

Passaggio 1.2.3.4.2

Estrai i termini dal radicale.

$x = \pm \frac{i}{3} \sqrt{\frac{2}{3}}$

Passaggio 1.2.3.4.3

Riscrivi $\sqrt{\frac{2}{3}}$ come $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}$ .

$x = \pm \frac{i}{3} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}$

Passaggio 1.2.3.4.4

Moltiplica $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}$ per $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$x = \pm \frac{i}{3} (\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}})$

Passaggio 1.2.3.4.5

Combina e semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.3.4.5.1

Moltiplica $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}$ per $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$x = \pm \frac{i}{3} \cdot \frac{\sqrt{2} \sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}}$

Passaggio 1.2.3.4.5.2

Eleva $\sqrt{3}$ alla potenza di $1$ .

$x = \pm \frac{i}{3} \cdot \frac{\sqrt{2} \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} \sqrt{3}}$

Passaggio 1.2.3.4.5.3

Eleva $\sqrt{3}$ alla potenza di $1$ .

$x = \pm \frac{i}{3} \cdot \frac{\sqrt{2} \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} {\sqrt{3}}^{1}}$

Passaggio 1.2.3.4.5.4

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$x = \pm \frac{i}{3} \cdot \frac{\sqrt{2} \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1 + 1}}$

Passaggio 1.2.3.4.5.5

Somma $1$ e $1$ .

$x = \pm \frac{i}{3} \cdot \frac{\sqrt{2} \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{2}}$

Passaggio 1.2.3.4.5.6

Riscrivi ${\sqrt{3}}^{2}$ come $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.3.4.5.6.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{3}$ come $3^{\frac{1}{2}}$ .

$x = \pm \frac{i}{3} \cdot \frac{\sqrt{2} \sqrt{3}}{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Passaggio 1.2.3.4.5.6.2

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x = \pm \frac{i}{3} \cdot \frac{\sqrt{2} \sqrt{3}}{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Passaggio 1.2.3.4.5.6.3

$\frac{1}{2}$ e $2$ .

$x = \pm \frac{i}{3} \cdot \frac{\sqrt{2} \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

Passaggio 1.2.3.4.5.6.4

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.3.4.5.6.4.1

Elimina il fattore comune.

$x = \pm \frac{i}{3} \cdot \frac{\sqrt{2} \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

Passaggio 1.2.3.4.5.6.4.2

Riscrivi l'espressione.

$x = \pm \frac{i}{3} \cdot \frac{\sqrt{2} \sqrt{3}}{3^{1}}$

Passaggio 1.2.3.4.5.6.5

Calcola l'esponente.

$x = \pm \frac{i}{3} \cdot \frac{\sqrt{2} \sqrt{3}}{3}$

Passaggio 1.2.3.4.6

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.3.4.6.1

Combina usando la regola del prodotto per i radicali.

$x = \pm \frac{i}{3} \cdot \frac{\sqrt{2 \cdot 3}}{3}$

Passaggio 1.2.3.4.6.2

Moltiplica $2$ per $3$ .

$x = \pm \frac{i}{3} \cdot \frac{\sqrt{6}}{3}$

Passaggio 1.2.3.4.7

Moltiplica $\frac{i}{3} \cdot \frac{\sqrt{6}}{3}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.3.4.7.1

Moltiplica $\frac{i}{3}$ per $\frac{\sqrt{6}}{3}$ .

$x = \pm \frac{i \sqrt{6}}{3 \cdot 3}$

Passaggio 1.2.3.4.7.2

Moltiplica $3$ per $3$ .

$x = \pm \frac{i \sqrt{6}}{9}$

Passaggio 1.2.3.5

La soluzione completa è il risultato delle porzioni positiva e negativa della soluzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.3.5.1

Per prima cosa, usa il valore positivo di $\pm$ per trovare la prima soluzione.

$x = \frac{i \sqrt{6}}{9}$

Passaggio 1.2.3.5.2

Ora, usa il valore negativo del $\pm$ per trovare la seconda soluzione.

$x = - \frac{i \sqrt{6}}{9}$

Passaggio 1.2.3.5.3

La soluzione completa è il risultato delle porzioni positiva e negativa della soluzione.

$x = \frac{i \sqrt{6}}{9}, - \frac{i \sqrt{6}}{9}$

Passaggio 2

Trova il dominio di $f (x) = \frac{\sqrt{9 x^{2} + 1}}{x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Imposta il radicando in $\sqrt{9 x^{2} + 1}$ in modo che sia maggiore o uguale a $0$ per individuare dove l'espressione è definita.

$9 x^{2} + 1 \geq 0$

Passaggio 2.2

Risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Sottrai $1$ da entrambi i lati della diseguaglianza.

$9 x^{2} \geq - 1$

Passaggio 2.2.2

Dividi per $9$ ciascun termine in $9 x^{2} \geq - 1$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.2.1

Dividi per $9$ ciascun termine in $9 x^{2} \geq - 1$ .

$\frac{9 x^{2}}{9} \geq \frac{- 1}{9}$

Passaggio 2.2.2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.2.2.1

Elimina il fattore comune di $9$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.2.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{9 x^{2}}{9} \geq \frac{- 1}{9}$

Passaggio 2.2.2.2.1.2

Dividi $x^{2}$ per $1$ .

$x^{2} \geq \frac{- 1}{9}$

Passaggio 2.2.2.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.2.3.1

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$x^{2} \geq - \frac{1}{9}$

Passaggio 2.2.3

Poiché il lato sinistro presenta una potenza pari, è sempre positivo per tutti i numeri reali.

Tutti i numeri reali

Passaggio 2.3

Imposta il denominatore in $\frac{\sqrt{9 x^{2} + 1}}{x}$ in modo che sia uguale a $0$ per individuare dove l'espressione è indefinita.

$x = 0$

Passaggio 2.4

Il dominio è formato da tutti i valori di $x$ che rendono definita l'espressione.

Notazione degli intervalli:

$(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$

Notazione intensiva:

${x | x \neq 0}$

Notazione degli intervalli:

$(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$

Notazione intensiva:

${x | x \neq 0}$

Passaggio 3

Crea intervalli attorno ai valori di $x$ per cui la derivata seconda è zero o indefinita.

$(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$

Passaggio 4

Sostituisci qualsiasi numero dell'intervallo $(- \infty, 0)$ nella derivata seconda e calcola per determinare la concavità.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Sostituisci la variabile $x$ con $- 2$ nell'espressione.

$f'' (- 2) = \frac{27 {(- 2)}^{2} + 2}{{(- 2)}^{3} {(9 {(- 2)}^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}}$

Passaggio 4.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.1

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.1.1

Eleva $- 2$ alla potenza di $2$ .

$f'' (- 2) = \frac{27 \cdot 4 + 2}{{(- 2)}^{3} {(9 {(- 2)}^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}}$

Passaggio 4.2.1.2

Moltiplica $27$ per $4$ .

$f'' (- 2) = \frac{108 + 2}{{(- 2)}^{3} {(9 {(- 2)}^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}}$

Passaggio 4.2.1.3

Somma $108$ e $2$ .

$f'' (- 2) = \frac{110}{{(- 2)}^{3} {(9 {(- 2)}^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}}$

Passaggio 4.2.2

Semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.2.1

Eleva $- 2$ alla potenza di $3$ .

$f'' (- 2) = \frac{110}{- 8 {(9 {(- 2)}^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}}$

Passaggio 4.2.2.2

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.2.2.1

Eleva $- 2$ alla potenza di $2$ .

$f'' (- 2) = \frac{110}{- 8 {(9 \cdot 4 + 1)}^{\frac{3}{2}}}$

Passaggio 4.2.2.2.2

Moltiplica $9$ per $4$ .

$f'' (- 2) = \frac{110}{- 8 {(36 + 1)}^{\frac{3}{2}}}$

Passaggio 4.2.2.3

Somma $36$ e $1$ .

$f'' (- 2) = \frac{110}{- 8 \cdot 37^{\frac{3}{2}}}$

Passaggio 4.2.3

Scomponi $2$ da $110$ .

$f'' (- 2) = \frac{2 (55)}{- 8 \cdot 37^{\frac{3}{2}}}$

Passaggio 4.2.4

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.4.1

Scomponi $2$ da $- 8 \cdot 37^{\frac{3}{2}}$ .

$f'' (- 2) = \frac{2 (55)}{2 (- 4 \cdot 37^{\frac{3}{2}})}$

Passaggio 4.2.4.2

Elimina il fattore comune.

$f'' (- 2) = \frac{2 \cdot 55}{2 (- 4 \cdot 37^{\frac{3}{2}})}$

Passaggio 4.2.4.3

Riscrivi l'espressione.

$f'' (- 2) = \frac{55}{- 4 \cdot 37^{\frac{3}{2}}}$

Passaggio 4.2.5

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$f'' (- 2) = - \frac{55}{4 \cdot 37^{\frac{3}{2}}}$

Passaggio 4.2.6

La risposta finale è $- \frac{55}{4 \cdot 37^{\frac{3}{2}}}$ .

$- \frac{55}{4 \cdot 37^{\frac{3}{2}}}$

Passaggio 4.3

Il grafico è una funzione concava sull'intervallo $(- \infty, 0)$ perché $f'' (- 2)$ è negativo.

Funzione concava su $(- \infty, 0)$ poiché $f'' (x)$ è negativo

Passaggio 5

Sostituisci qualsiasi numero dell'intervallo $(0, \infty)$ nella derivata seconda e calcola per determinare la concavità.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Sostituisci la variabile $x$ con $2$ nell'espressione.

$f'' (2) = \frac{27 {(2)}^{2} + 2}{{(2)}^{3} {(9 {(2)}^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}}$

Passaggio 5.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1.1

Eleva $2$ alla potenza di $2$ .

$f'' (2) = \frac{27 \cdot 4 + 2}{2^{3} {(9 \cdot 2^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}}$

Passaggio 5.2.1.2

Moltiplica $27$ per $4$ .

$f'' (2) = \frac{108 + 2}{2^{3} {(9 \cdot 2^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}}$

Passaggio 5.2.1.3

Somma $108$ e $2$ .

$f'' (2) = \frac{110}{2^{3} {(9 \cdot 2^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}}$

Passaggio 5.2.2

Semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.2.1

Eleva $2$ alla potenza di $3$ .

$f'' (2) = \frac{110}{8 {(9 \cdot 2^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}}$

Passaggio 5.2.2.2

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.2.2.1

Eleva $2$ alla potenza di $2$ .

$f'' (2) = \frac{110}{8 {(9 \cdot 4 + 1)}^{\frac{3}{2}}}$

Passaggio 5.2.2.2.2

Moltiplica $9$ per $4$ .

$f'' (2) = \frac{110}{8 {(36 + 1)}^{\frac{3}{2}}}$

Passaggio 5.2.2.3

Somma $36$ e $1$ .

$f'' (2) = \frac{110}{8 \cdot 37^{\frac{3}{2}}}$

Passaggio 5.2.3

Scomponi $2$ da $110$ .

$f'' (2) = \frac{2 (55)}{8 \cdot 37^{\frac{3}{2}}}$

Passaggio 5.2.4

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.4.1

Scomponi $2$ da $8 \cdot 37^{\frac{3}{2}}$ .

$f'' (2) = \frac{2 (55)}{2 (4 \cdot 37^{\frac{3}{2}})}$

Passaggio 5.2.4.2

Elimina il fattore comune.

$f'' (2) = \frac{2 \cdot 55}{2 (4 \cdot 37^{\frac{3}{2}})}$

Passaggio 5.2.4.3

Riscrivi l'espressione.

$f'' (2) = \frac{55}{4 \cdot 37^{\frac{3}{2}}}$

Passaggio 5.2.5

La risposta finale è $\frac{55}{4 \cdot 37^{\frac{3}{2}}}$ .

$\frac{55}{4 \cdot 37^{\frac{3}{2}}}$

Passaggio 5.3

Il grafico è una funzione convessa sull'intervallo $(0, \infty)$ perché $f'' (2)$ è positivo.

Funzione convessa su $(0, \infty)$ poiché $f'' (x)$ è positivo

Passaggio 6

Il grafico è una funzione concava quando la derivata seconda è negativa, mentre è una funzione convessa quando la derivata seconda è positiva.

Funzione concava su $(- \infty, 0)$ poiché $f'' (x)$ è negativo

Funzione convessa su $(0, \infty)$ poiché $f'' (x)$ è positivo

Passaggio 7