Calcolo Esempi

$f (x) = \frac{1}{x^{4}}$

Passaggio 1

Find the $x$ values where the second derivative is equal to $0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Trova la derivata seconda.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1.1

Applica le regole di base degli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1.1.1

Riscrivi $\frac{1}{x^{4}}$ come ${(x^{4})}^{- 1}$ .

$\frac{d}{d x} [{(x^{4})}^{- 1}]$

Passaggio 1.1.1.1.2

Moltiplica gli esponenti in ${(x^{4})}^{- 1}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1.1.2.1

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{d}{d x} [x^{4 \cdot - 1}]$

Passaggio 1.1.1.1.2.2

Moltiplica $4$ per $- 1$ .

$\frac{d}{d x} [x^{- 4}]$

Passaggio 1.1.1.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = - 4$ .

$- 4 x^{- 5}$

Passaggio 1.1.1.3

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1.3.1

Riscrivi l'espressione usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- 4 \frac{1}{x^{5}}$

Passaggio 1.1.1.3.2

Raccogli i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1.3.2.1

$- 4$ e $\frac{1}{x^{5}}$ .

$\frac{- 4}{x^{5}}$

Passaggio 1.1.1.3.2.2

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$f' (x) = - \frac{4}{x^{5}}$

Passaggio 1.1.2

Trova la derivata seconda.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.1

Poiché $- 4$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- \frac{4}{x^{5}}$ rispetto a $x$ è $- 4 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{5}}]$ .

$- 4 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{5}}]$

Passaggio 1.1.2.2

Applica le regole di base degli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.2.1

Riscrivi $\frac{1}{x^{5}}$ come ${(x^{5})}^{- 1}$ .

$- 4 \frac{d}{d x} [{(x^{5})}^{- 1}]$

Passaggio 1.1.2.2.2

Moltiplica gli esponenti in ${(x^{5})}^{- 1}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.2.2.1

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- 4 \frac{d}{d x} [x^{5 \cdot - 1}]$

Passaggio 1.1.2.2.2.2

Moltiplica $5$ per $- 1$ .

$- 4 \frac{d}{d x} [x^{- 5}]$

Passaggio 1.1.2.3

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = - 5$ .

$- 4 (- 5 x^{- 6})$

Passaggio 1.1.2.4

Moltiplica $- 5$ per $- 4$ .

$20 x^{- 6}$

Passaggio 1.1.2.5

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.5.1

Riscrivi l'espressione usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$20 \frac{1}{x^{6}}$

Passaggio 1.1.2.5.2

$20$ e $\frac{1}{x^{6}}$ .

$f'' (x) = \frac{20}{x^{6}}$

Passaggio 1.1.3

La derivata seconda di $f (x)$ rispetto a $x$ è $\frac{20}{x^{6}}$ .

$\frac{20}{x^{6}}$

Passaggio 1.2

Imposta la derivata seconda pari a $0$ , quindi risolvi l'equazione $\frac{20}{x^{6}} = 0$ .

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Passaggio 1.2.1

Imposta la derivata seconda uguale a $0$ .

$\frac{20}{x^{6}} = 0$

Passaggio 1.2.2

Poni il numeratore uguale a zero.

$20 = 0$

Passaggio 1.2.3

Poiché $20 \neq 0$ , non ci sono soluzioni.

Nessuna soluzione

Passaggio 2

Trova il dominio di $f (x) = \frac{1}{x^{4}}$ .

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Passaggio 2.1

Imposta il denominatore in $\frac{1}{x^{4}}$ in modo che sia uguale a $0$ per individuare dove l'espressione è indefinita.

$x^{4} = 0$

Passaggio 2.2

Risolvi per $x$ .

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Passaggio 2.2.1

Trova la radice quadrata specificata di entrambi i lati dell'equazione per eliminare l'esponente sul lato sinistro.

$x = \pm \sqrt[4]{0}$

Passaggio 2.2.2

Semplifica $\pm \sqrt[4]{0}$ .

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Passaggio 2.2.2.1

Riscrivi $0$ come $0^{4}$ .

$x = \pm \sqrt[4]{0^{4}}$

Passaggio 2.2.2.2

Estrai i termini dal radicale, presupponendo numeri reali positivi.

$x = \pm 0$

Passaggio 2.2.2.3

Più o meno $0$ è $0$ .

$x = 0$

Passaggio 2.3

Il dominio è formato da tutti i valori di $x$ che rendono definita l'espressione.

Notazione degli intervalli:

$(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$

Notazione intensiva:

${x | x \neq 0}$

Notazione degli intervalli:

$(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$

Notazione intensiva:

${x | x \neq 0}$

Passaggio 3

Crea intervalli attorno ai valori di $x$ per cui la derivata seconda è zero o indefinita.

$(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$

Passaggio 4

Sostituisci qualsiasi numero dell'intervallo $(- \infty, 0)$ nella derivata seconda e calcola per determinare la concavità.

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Passaggio 4.1

Sostituisci la variabile $x$ con $- 2$ nell'espressione.

$f'' (- 2) = \frac{20}{{(- 2)}^{6}}$

Passaggio 4.2

Semplifica il risultato.

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Passaggio 4.2.1

Eleva $- 2$ alla potenza di $6$ .

$f'' (- 2) = \frac{20}{64}$

Passaggio 4.2.2

Elimina il fattore comune di $20$ e $64$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.2.1

Scomponi $4$ da $20$ .

$f'' (- 2) = \frac{4 (5)}{64}$

Passaggio 4.2.2.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.2.2.1

Scomponi $4$ da $64$ .

$f'' (- 2) = \frac{4 \cdot 5}{4 \cdot 16}$

Passaggio 4.2.2.2.2

Elimina il fattore comune.

$f'' (- 2) = \frac{4 \cdot 5}{4 \cdot 16}$

Passaggio 4.2.2.2.3

Riscrivi l'espressione.

$f'' (- 2) = \frac{5}{16}$

Passaggio 4.2.3

La risposta finale è $\frac{5}{16}$ .

$\frac{5}{16}$

Passaggio 4.3

Il grafico è una funzione convessa sull'intervallo $(- \infty, 0)$ perché $f'' (- 2)$ è positivo.

Funzione convessa su $(- \infty, 0)$ poiché $f'' (x)$ è positivo

Passaggio 5

Sostituisci qualsiasi numero dell'intervallo $(0, \infty)$ nella derivata seconda e calcola per determinare la concavità.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Sostituisci la variabile $x$ con $2$ nell'espressione.

$f'' (2) = \frac{20}{{(2)}^{6}}$

Passaggio 5.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1

Eleva $2$ alla potenza di $6$ .

$f'' (2) = \frac{20}{64}$

Passaggio 5.2.2

Elimina il fattore comune di $20$ e $64$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.2.1

Scomponi $4$ da $20$ .

$f'' (2) = \frac{4 (5)}{64}$

Passaggio 5.2.2.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.2.2.1

Scomponi $4$ da $64$ .

$f'' (2) = \frac{4 \cdot 5}{4 \cdot 16}$

Passaggio 5.2.2.2.2

Elimina il fattore comune.

$f'' (2) = \frac{4 \cdot 5}{4 \cdot 16}$

Passaggio 5.2.2.2.3

Riscrivi l'espressione.

$f'' (2) = \frac{5}{16}$

Passaggio 5.2.3

La risposta finale è $\frac{5}{16}$ .

$\frac{5}{16}$

Passaggio 5.3

Il grafico è una funzione convessa sull'intervallo $(0, \infty)$ perché $f'' (2)$ è positivo.

Funzione convessa su $(0, \infty)$ poiché $f'' (x)$ è positivo

Passaggio 6

Il grafico è una funzione concava quando la derivata seconda è negativa, mentre è una funzione convessa quando la derivata seconda è positiva.

Funzione convessa su $(- \infty, 0)$ poiché $f'' (x)$ è positivo

Funzione convessa su $(0, \infty)$ poiché $f'' (x)$ è positivo

Passaggio 7