Calcolo Esempi

$f (x) = \frac{1}{x^{2} - 6 x - 7}$

Passaggio 1

Find the $x$ values where the second derivative is equal to $0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Trova la derivata seconda.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1.1

Riscrivi $\frac{1}{x^{2} - 6 x - 7}$ come ${(x^{2} - 6 x - 7)}^{- 1}$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} ({(x^{2} - 6 x - 7)}^{- 1})$

Passaggio 1.1.1.2

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{- 1}$ e $g (x) = x^{2} - 6 x - 7$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1.2.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $x^{2} - 6 x - 7$ .

$f' (x) = \frac{d}{d u} (u^{- 1}) \frac{d}{d x} (x^{2} - 6 x - 7)$

Passaggio 1.1.1.2.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ è $n u^{n - 1}$ dove $n = - 1$ .

$f' (x) = - u^{- 2} \frac{d}{d x} (x^{2} - 6 x - 7)$

Passaggio 1.1.1.2.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $x^{2} - 6 x - 7$ .

$f' (x) = - {(x^{2} - 6 x - 7)}^{- 2} \frac{d}{d x} (x^{2} - 6 x - 7)$

Passaggio 1.1.1.3

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1.3.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $x^{2} - 6 x - 7$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 6 x] + \frac{d}{d x} [- 7]$ .

$f' (x) = - {(x^{2} - 6 x - 7)}^{- 2} (\frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 6 x) + \frac{d}{d x} (- 7))$

Passaggio 1.1.1.3.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$f' (x) = - {(x^{2} - 6 x - 7)}^{- 2} (2 x + \frac{d}{d x} (- 6 x) + \frac{d}{d x} (- 7))$

Passaggio 1.1.1.3.3

Poiché $- 6$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 6 x$ rispetto a $x$ è $- 6 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f' (x) = - {(x^{2} - 6 x - 7)}^{- 2} (2 x - 6 \frac{d}{d x} x + \frac{d}{d x} (- 7))$

Passaggio 1.1.1.3.4

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$f' (x) = - {(x^{2} - 6 x - 7)}^{- 2} (2 x - 6 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (- 7))$

Passaggio 1.1.1.3.5

Moltiplica $- 6$ per $1$ .

$f' (x) = - {(x^{2} - 6 x - 7)}^{- 2} (2 x - 6 + \frac{d}{d x} (- 7))$

Passaggio 1.1.1.3.6

Poiché $- 7$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 7$ rispetto a $x$ è $0$ .

$f' (x) = - {(x^{2} - 6 x - 7)}^{- 2} (2 x - 6 + 0)$

Passaggio 1.1.1.3.7

Somma $2 x - 6$ e $0$ .

$f' (x) = - {(x^{2} - 6 x - 7)}^{- 2} (2 x - 6)$

Passaggio 1.1.1.4

Riscrivi l'espressione usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f' (x) = - \frac{1}{{(x^{2} - 6 x - 7)}^{2}} \cdot (2 x - 6)$

Passaggio 1.1.1.5

Riordina i fattori di $- \frac{1}{{(x^{2} - 6 x - 7)}^{2}} (2 x - 6)$ .

$f' (x) = - (2 x - 6) \frac{1}{{(x^{2} - 6 x - 7)}^{2}}$

Passaggio 1.1.2

Trova la derivata seconda.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.1

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- (2 x - 6) \frac{1}{{(x^{2} - 6 x - 7)}^{2}}$ rispetto a $x$ è $- \frac{d}{d x} [(2 x - 6) \frac{1}{{(x^{2} - 6 x - 7)}^{2}}]$ .

$f'' (x) = - \frac{d}{d x} ((2 x - 6) (\frac{1}{{(x^{2} - 6 x - 7)}^{2}}))$

Passaggio 1.1.2.2

Differenzia usando la regola del prodotto, che indica che $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ è $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ dove $f (x) = 2 x - 6$ e $g (x) = \frac{1}{{(x^{2} - 6 x - 7)}^{2}}$ .

$f'' (x) = - ((2 x - 6) \frac{d}{d x} (\frac{1}{{(x^{2} - 6 x - 7)}^{2}}) + \frac{1}{{(x^{2} - 6 x - 7)}^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (2 x - 6))$

Passaggio 1.1.2.3

Applica le regole di base degli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.3.1

Riscrivi $\frac{1}{{(x^{2} - 6 x - 7)}^{2}}$ come ${({(x^{2} - 6 x - 7)}^{2})}^{- 1}$ .

$f'' (x) = - ((2 x - 6) \frac{d}{d x} ({({(x^{2} - 6 x - 7)}^{2})}^{- 1}) + \frac{1}{{(x^{2} - 6 x - 7)}^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (2 x - 6))$

Passaggio 1.1.2.3.2

Moltiplica gli esponenti in ${({(x^{2} - 6 x - 7)}^{2})}^{- 1}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.3.2.1

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f'' (x) = - ((2 x - 6) \frac{d}{d x} ({(x^{2} - 6 x - 7)}^{2 \cdot - 1}) + \frac{1}{{(x^{2} - 6 x - 7)}^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (2 x - 6))$

Passaggio 1.1.2.3.2.2

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$f'' (x) = - ((2 x - 6) \frac{d}{d x} ({(x^{2} - 6 x - 7)}^{- 2}) + \frac{1}{{(x^{2} - 6 x - 7)}^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (2 x - 6))$

Passaggio 1.1.2.4

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{- 2}$ e $g (x) = x^{2} - 6 x - 7$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.4.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $x^{2} - 6 x - 7$ .

$f'' (x) = - ((2 x - 6) (\frac{d}{d u} (u^{- 2}) \frac{d}{d x} (x^{2} - 6 x - 7)) + \frac{1}{{(x^{2} - 6 x - 7)}^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (2 x - 6))$

Passaggio 1.1.2.4.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ è $n u^{n - 1}$ dove $n = - 2$ .

$f'' (x) = - ((2 x - 6) (- 2 u^{- 3} \frac{d}{d x} (x^{2} - 6 x - 7)) + \frac{1}{{(x^{2} - 6 x - 7)}^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (2 x - 6))$

Passaggio 1.1.2.4.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $x^{2} - 6 x - 7$ .

$f'' (x) = - ((2 x - 6) (- 2 {(x^{2} - 6 x - 7)}^{- 3} \frac{d}{d x} (x^{2} - 6 x - 7)) + \frac{1}{{(x^{2} - 6 x - 7)}^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (2 x - 6))$

Passaggio 1.1.2.5

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.5.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $x^{2} - 6 x - 7$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 6 x] + \frac{d}{d x} [- 7]$ .

$f'' (x) = - ((2 x - 6) (- 2 {(x^{2} - 6 x - 7)}^{- 3} (\frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 6 x) + \frac{d}{d x} (- 7))) + \frac{1}{{(x^{2} - 6 x - 7)}^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (2 x - 6))$

Passaggio 1.1.2.5.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$f'' (x) = - ((2 x - 6) (- 2 {(x^{2} - 6 x - 7)}^{- 3} (2 x + \frac{d}{d x} (- 6 x) + \frac{d}{d x} (- 7))) + \frac{1}{{(x^{2} - 6 x - 7)}^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (2 x - 6))$

Passaggio 1.1.2.5.3

Poiché $- 6$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 6 x$ rispetto a $x$ è $- 6 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = - ((2 x - 6) (- 2 {(x^{2} - 6 x - 7)}^{- 3} (2 x - 6 \frac{d}{d x} x + \frac{d}{d x} (- 7))) + \frac{1}{{(x^{2} - 6 x - 7)}^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (2 x - 6))$

Passaggio 1.1.2.5.4

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$f'' (x) = - ((2 x - 6) (- 2 {(x^{2} - 6 x - 7)}^{- 3} (2 x - 6 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (- 7))) + \frac{1}{{(x^{2} - 6 x - 7)}^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (2 x - 6))$

Passaggio 1.1.2.5.5

Moltiplica $- 6$ per $1$ .

$f'' (x) = - ((2 x - 6) (- 2 {(x^{2} - 6 x - 7)}^{- 3} (2 x - 6 + \frac{d}{d x} (- 7))) + \frac{1}{{(x^{2} - 6 x - 7)}^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (2 x - 6))$

Passaggio 1.1.2.5.6

Poiché $- 7$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 7$ rispetto a $x$ è $0$ .

$f'' (x) = - ((2 x - 6) (- 2 {(x^{2} - 6 x - 7)}^{- 3} (2 x - 6 + 0)) + \frac{1}{{(x^{2} - 6 x - 7)}^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (2 x - 6))$

Passaggio 1.1.2.5.7

Somma $2 x - 6$ e $0$ .

$f'' (x) = - ((2 x - 6) (- 2 {(x^{2} - 6 x - 7)}^{- 3} (2 x - 6)) + \frac{1}{{(x^{2} - 6 x - 7)}^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (2 x - 6))$

Passaggio 1.1.2.6

Eleva $2 x - 6$ alla potenza di $1$ .

$f'' (x) = - (- 2 {(x^{2} - 6 x - 7)}^{- 3} ((2 x - 6) (2 x - 6)) + \frac{1}{{(x^{2} - 6 x - 7)}^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (2 x - 6))$

Passaggio 1.1.2.7

Eleva $2 x - 6$ alla potenza di $1$ .

$f'' (x) = - (- 2 {(x^{2} - 6 x - 7)}^{- 3} ((2 x - 6) (2 x - 6)) + \frac{1}{{(x^{2} - 6 x - 7)}^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (2 x - 6))$

Passaggio 1.1.2.8

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$f'' (x) = - (- 2 {(x^{2} - 6 x - 7)}^{- 3} {(2 x - 6)}^{1 + 1} + \frac{1}{{(x^{2} - 6 x - 7)}^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (2 x - 6))$

Passaggio 1.1.2.9

Somma $1$ e $1$ .

$f'' (x) = - (- 2 {(x^{2} - 6 x - 7)}^{- 3} {(2 x - 6)}^{2} + \frac{1}{{(x^{2} - 6 x - 7)}^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (2 x - 6))$

Passaggio 1.1.2.10

Secondo la regola della somma, la derivata di $2 x - 6$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 6]$ .

$f'' (x) = - (- 2 {(x^{2} - 6 x - 7)}^{- 3} {(2 x - 6)}^{2} + \frac{1}{{(x^{2} - 6 x - 7)}^{2}} \cdot (\frac{d}{d x} (2 x) + \frac{d}{d x} (- 6)))$

Passaggio 1.1.2.11

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $2 x$ rispetto a $x$ è $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = - (- 2 {(x^{2} - 6 x - 7)}^{- 3} {(2 x - 6)}^{2} + \frac{1}{{(x^{2} - 6 x - 7)}^{2}} \cdot (2 \frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- 6)))$

Passaggio 1.1.2.12

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$f'' (x) = - (- 2 {(x^{2} - 6 x - 7)}^{- 3} {(2 x - 6)}^{2} + \frac{1}{{(x^{2} - 6 x - 7)}^{2}} \cdot (2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (- 6)))$

Passaggio 1.1.2.13

Moltiplica $2$ per $1$ .

$f'' (x) = - (- 2 {(x^{2} - 6 x - 7)}^{- 3} {(2 x - 6)}^{2} + \frac{1}{{(x^{2} - 6 x - 7)}^{2}} \cdot (2 + \frac{d}{d x} (- 6)))$

Passaggio 1.1.2.14

Poiché $- 6$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 6$ rispetto a $x$ è $0$ .

$f'' (x) = - (- 2 {(x^{2} - 6 x - 7)}^{- 3} {(2 x - 6)}^{2} + \frac{1}{{(x^{2} - 6 x - 7)}^{2}} \cdot (2 + 0))$

Passaggio 1.1.2.15

Riduci le frazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.15.1

Somma $2$ e $0$ .

$f'' (x) = - (- 2 {(x^{2} - 6 x - 7)}^{- 3} {(2 x - 6)}^{2} + \frac{1}{{(x^{2} - 6 x - 7)}^{2}} \cdot 2)$

Passaggio 1.1.2.15.2

$\frac{1}{{(x^{2} - 6 x - 7)}^{2}}$ e $2$ .

$f'' (x) = - (- 2 {(x^{2} - 6 x - 7)}^{- 3} {(2 x - 6)}^{2} + \frac{2}{{(x^{2} - 6 x - 7)}^{2}})$

Passaggio 1.1.2.16

Per scrivere $- 2 {(x^{2} - 6 x - 7)}^{- 3} {(2 x - 6)}^{2}$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{{(x^{2} - 6 x - 7)}^{2}}{{(x^{2} - 6 x - 7)}^{2}}$ .

$f'' (x) = - (- 2 {(x^{2} - 6 x - 7)}^{- 3} {(2 x - 6)}^{2} \cdot \frac{{(x^{2} - 6 x - 7)}^{2}}{{(x^{2} - 6 x - 7)}^{2}} + \frac{2}{{(x^{2} - 6 x - 7)}^{2}})$

Passaggio 1.1.2.17

$- 2 {(x^{2} - 6 x - 7)}^{- 3} {(2 x - 6)}^{2}$ e $\frac{{(x^{2} - 6 x - 7)}^{2}}{{(x^{2} - 6 x - 7)}^{2}}$ .

$f'' (x) = - (\frac{- 2 {(x^{2} - 6 x - 7)}^{- 3} {(2 x - 6)}^{2} {(x^{2} - 6 x - 7)}^{2}}{{(x^{2} - 6 x - 7)}^{2}} + \frac{2}{{(x^{2} - 6 x - 7)}^{2}})$

Passaggio 1.1.2.18

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$f'' (x) = - \frac{- 2 {(x^{2} - 6 x - 7)}^{- 3} {(2 x - 6)}^{2} {(x^{2} - 6 x - 7)}^{2} + 2}{{(x^{2} - 6 x - 7)}^{2}}$

Passaggio 1.1.2.19

Moltiplica ${(x^{2} - 6 x - 7)}^{- 3}$ per ${(x^{2} - 6 x - 7)}^{2}$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.19.1

Sposta ${(x^{2} - 6 x - 7)}^{2}$ .

$f'' (x) = - \frac{- 2 ({(x^{2} - 6 x - 7)}^{2} {(x^{2} - 6 x - 7)}^{- 3}) {(2 x - 6)}^{2} + 2}{{(x^{2} - 6 x - 7)}^{2}}$

Passaggio 1.1.2.19.2

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$f'' (x) = - \frac{- 2 {(x^{2} - 6 x - 7)}^{2 - 3} {(2 x - 6)}^{2} + 2}{{(x^{2} - 6 x - 7)}^{2}}$

Passaggio 1.1.2.19.3

Sottrai $3$ da $2$ .

$f'' (x) = - \frac{- 2 {(x^{2} - 6 x - 7)}^{- 1} {(2 x - 6)}^{2} + 2}{{(x^{2} - 6 x - 7)}^{2}}$

Passaggio 1.1.2.20

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.20.1

Riscrivi l'espressione usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (x) = - \frac{- 2 \frac{1}{x^{2} - 6 x - 7} \cdot {(2 x - 6)}^{2} + 2}{{(x^{2} - 6 x - 7)}^{2}}$

Passaggio 1.1.2.20.2

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.20.2.1

Scomponi $x^{2} - 6 x - 7$ usando il metodo AC.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.20.2.1.1

Considera la forma $x^{2} + b x + c$ . Trova una coppia di interi il cui prodotto è $c$ e la cui formula è $b$ . In questo caso, il cui prodotto è $- 7$ e la cui somma è $- 6$ .

$- 7, 1$

Passaggio 1.1.2.20.2.1.2

Scrivi la forma fattorizzata utilizzando questi interi.

$f'' (x) = - \frac{- 2 \frac{1}{(x - 7) (x + 1)} \cdot {(2 x - 6)}^{2} + 2}{{(x^{2} - 6 x - 7)}^{2}}$

Passaggio 1.1.2.20.2.2

$- 2$ e $\frac{1}{(x - 7) (x + 1)}$ .

$f'' (x) = - \frac{\frac{- 2}{(x - 7) (x + 1)} \cdot {(2 x - 6)}^{2} + 2}{{(x^{2} - 6 x - 7)}^{2}}$

Passaggio 1.1.2.20.2.3

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$f'' (x) = - \frac{- \frac{2}{(x - 7) (x + 1)} \cdot {(2 x - 6)}^{2} + 2}{{(x^{2} - 6 x - 7)}^{2}}$

Passaggio 1.1.2.20.2.4

Riscrivi ${(2 x - 6)}^{2}$ come $(2 x - 6) (2 x - 6)$ .

$f'' (x) = - \frac{- \frac{2}{(x - 7) (x + 1)} \cdot ((2 x - 6) (2 x - 6)) + 2}{{(x^{2} - 6 x - 7)}^{2}}$

Passaggio 1.1.2.20.2.5

Espandi $(2 x - 6) (2 x - 6)$ usando il metodo FOIL.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.20.2.5.1

Applica la proprietà distributiva.

$f'' (x) = - \frac{- \frac{2}{(x - 7) (x + 1)} \cdot (2 x (2 x - 6) - 6 (2 x - 6)) + 2}{{(x^{2} - 6 x - 7)}^{2}}$

Passaggio 1.1.2.20.2.5.2

Applica la proprietà distributiva.

$f'' (x) = - \frac{- \frac{2}{(x - 7) (x + 1)} \cdot (2 x (2 x) + 2 x \cdot - 6 - 6 (2 x - 6)) + 2}{{(x^{2} - 6 x - 7)}^{2}}$

Passaggio 1.1.2.20.2.5.3

Applica la proprietà distributiva.

$f'' (x) = - \frac{- \frac{2}{(x - 7) (x + 1)} \cdot (2 x (2 x) + 2 x \cdot - 6 - 6 (2 x) - 6 \cdot - 6) + 2}{{(x^{2} - 6 x - 7)}^{2}}$

Passaggio 1.1.2.20.2.6

Semplifica e combina i termini simili.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.20.2.6.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.20.2.6.1.1

Riscrivi utilizzando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$f'' (x) = - \frac{- \frac{2}{(x - 7) (x + 1)} \cdot (2 \cdot (2 x \cdot x) + 2 x \cdot - 6 - 6 (2 x) - 6 \cdot - 6) + 2}{{(x^{2} - 6 x - 7)}^{2}}$

Passaggio 1.1.2.20.2.6.1.2

Moltiplica $x$ per $x$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.20.2.6.1.2.1

Sposta $x$ .

$f'' (x) = - \frac{- \frac{2}{(x - 7) (x + 1)} \cdot (2 \cdot (2 (x \cdot x)) + 2 x \cdot - 6 - 6 (2 x) - 6 \cdot - 6) + 2}{{(x^{2} - 6 x - 7)}^{2}}$

Passaggio 1.1.2.20.2.6.1.2.2

Moltiplica $x$ per $x$ .

$f'' (x) = - \frac{- \frac{2}{(x - 7) (x + 1)} \cdot (2 \cdot (2 x^{2}) + 2 x \cdot - 6 - 6 (2 x) - 6 \cdot - 6) + 2}{{(x^{2} - 6 x - 7)}^{2}}$

Passaggio 1.1.2.20.2.6.1.3

Moltiplica $2$ per $2$ .

$f'' (x) = - \frac{- \frac{2}{(x - 7) (x + 1)} \cdot (4 x^{2} + 2 x \cdot - 6 - 6 (2 x) - 6 \cdot - 6) + 2}{{(x^{2} - 6 x - 7)}^{2}}$

Passaggio 1.1.2.20.2.6.1.4

Moltiplica $- 6$ per $2$ .

$f'' (x) = - \frac{- \frac{2}{(x - 7) (x + 1)} \cdot (4 x^{2} - 12 x - 6 (2 x) - 6 \cdot - 6) + 2}{{(x^{2} - 6 x - 7)}^{2}}$

Passaggio 1.1.2.20.2.6.1.5

Moltiplica $2$ per $- 6$ .

$f'' (x) = - \frac{- \frac{2}{(x - 7) (x + 1)} \cdot (4 x^{2} - 12 x - 12 x - 6 \cdot - 6) + 2}{{(x^{2} - 6 x - 7)}^{2}}$

Passaggio 1.1.2.20.2.6.1.6

Moltiplica $- 6$ per $- 6$ .

$f'' (x) = - \frac{- \frac{2}{(x - 7) (x + 1)} \cdot (4 x^{2} - 12 x - 12 x + 36) + 2}{{(x^{2} - 6 x - 7)}^{2}}$

Passaggio 1.1.2.20.2.6.2

Sottrai $12 x$ da $- 12 x$ .

$f'' (x) = - \frac{- \frac{2}{(x - 7) (x + 1)} \cdot (4 x^{2} - 24 x + 36) + 2}{{(x^{2} - 6 x - 7)}^{2}}$

Passaggio 1.1.2.20.2.7

Applica la proprietà distributiva.

$f'' (x) = - \frac{- \frac{2}{(x - 7) (x + 1)} \cdot (4 x^{2}) - \frac{2}{(x - 7) (x + 1)} \cdot (- 24 x) - \frac{2}{(x - 7) (x + 1)} \cdot 36 + 2}{{(x^{2} - 6 x - 7)}^{2}}$

Passaggio 1.1.2.20.2.8

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.20.2.8.1

Moltiplica $- \frac{2}{(x - 7) (x + 1)} (4 x^{2})$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.20.2.8.1.1

Moltiplica $4$ per $- 1$ .

$f'' (x) = - \frac{- 4 \frac{2}{(x - 7) (x + 1)} \cdot x^{2} - \frac{2}{(x - 7) (x + 1)} \cdot (- 24 x) - \frac{2}{(x - 7) (x + 1)} \cdot 36 + 2}{{(x^{2} - 6 x - 7)}^{2}}$

Passaggio 1.1.2.20.2.8.1.2

$- 4$ e $\frac{2}{(x - 7) (x + 1)}$ .

$f'' (x) = - \frac{\frac{- 4 \cdot 2}{(x - 7) (x + 1)} \cdot x^{2} - \frac{2}{(x - 7) (x + 1)} \cdot (- 24 x) - \frac{2}{(x - 7) (x + 1)} \cdot 36 + 2}{{(x^{2} - 6 x - 7)}^{2}}$

Passaggio 1.1.2.20.2.8.1.3

Moltiplica $- 4$ per $2$ .

$f'' (x) = - \frac{\frac{- 8}{(x - 7) (x + 1)} \cdot x^{2} - \frac{2}{(x - 7) (x + 1)} \cdot (- 24 x) - \frac{2}{(x - 7) (x + 1)} \cdot 36 + 2}{{(x^{2} - 6 x - 7)}^{2}}$

Passaggio 1.1.2.20.2.8.1.4

$\frac{- 8}{(x - 7) (x + 1)}$ e $x^{2}$ .

$f'' (x) = - \frac{\frac{- 8 x^{2}}{(x - 7) (x + 1)} - \frac{2}{(x - 7) (x + 1)} \cdot (- 24 x) - \frac{2}{(x - 7) (x + 1)} \cdot 36 + 2}{{(x^{2} - 6 x - 7)}^{2}}$

Passaggio 1.1.2.20.2.8.2

Moltiplica $- \frac{2}{(x - 7) (x + 1)} (- 24 x)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.20.2.8.2.1

Moltiplica $- 24$ per $- 1$ .

$f'' (x) = - \frac{\frac{- 8 x^{2}}{(x - 7) (x + 1)} + 24 (\frac{2}{(x - 7) (x + 1)}) \cdot x - \frac{2}{(x - 7) (x + 1)} \cdot 36 + 2}{{(x^{2} - 6 x - 7)}^{2}}$

Passaggio 1.1.2.20.2.8.2.2

$24$ e $\frac{2}{(x - 7) (x + 1)}$ .

$f'' (x) = - \frac{\frac{- 8 x^{2}}{(x - 7) (x + 1)} + \frac{24 \cdot 2}{(x - 7) (x + 1)} \cdot x - \frac{2}{(x - 7) (x + 1)} \cdot 36 + 2}{{(x^{2} - 6 x - 7)}^{2}}$

Passaggio 1.1.2.20.2.8.2.3

Moltiplica $24$ per $2$ .

$f'' (x) = - \frac{\frac{- 8 x^{2}}{(x - 7) (x + 1)} + \frac{48}{(x - 7) (x + 1)} \cdot x - \frac{2}{(x - 7) (x + 1)} \cdot 36 + 2}{{(x^{2} - 6 x - 7)}^{2}}$

Passaggio 1.1.2.20.2.8.2.4

$\frac{48}{(x - 7) (x + 1)}$ e $x$ .

$f'' (x) = - \frac{\frac{- 8 x^{2}}{(x - 7) (x + 1)} + \frac{48 x}{(x - 7) (x + 1)} - \frac{2}{(x - 7) (x + 1)} \cdot 36 + 2}{{(x^{2} - 6 x - 7)}^{2}}$

Passaggio 1.1.2.20.2.8.3

Moltiplica $- \frac{2}{(x - 7) (x + 1)} \cdot 36$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.20.2.8.3.1

Moltiplica $36$ per $- 1$ .

$f'' (x) = - \frac{\frac{- 8 x^{2}}{(x - 7) (x + 1)} + \frac{48 x}{(x - 7) (x + 1)} - 36 \frac{2}{(x - 7) (x + 1)} + 2}{{(x^{2} - 6 x - 7)}^{2}}$

Passaggio 1.1.2.20.2.8.3.2

$- 36$ e $\frac{2}{(x - 7) (x + 1)}$ .

$f'' (x) = - \frac{\frac{- 8 x^{2}}{(x - 7) (x + 1)} + \frac{48 x}{(x - 7) (x + 1)} + \frac{- 36 \cdot 2}{(x - 7) (x + 1)} + 2}{{(x^{2} - 6 x - 7)}^{2}}$

Passaggio 1.1.2.20.2.8.3.3

Moltiplica $- 36$ per $2$ .

$f'' (x) = - \frac{\frac{- 8 x^{2}}{(x - 7) (x + 1)} + \frac{48 x}{(x - 7) (x + 1)} + \frac{- 72}{(x - 7) (x + 1)} + 2}{{(x^{2} - 6 x - 7)}^{2}}$

Passaggio 1.1.2.20.2.9

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.20.2.9.1

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$f'' (x) = - \frac{- \frac{(8) x^{2}}{(x - 7) (x + 1)} + \frac{48 x}{(x - 7) (x + 1)} + \frac{- 72}{(x - 7) (x + 1)} + 2}{{(x^{2} - 6 x - 7)}^{2}}$

Passaggio 1.1.2.20.2.9.2

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$f'' (x) = - \frac{- \frac{8 x^{2}}{(x - 7) (x + 1)} + \frac{48 x}{(x - 7) (x + 1)} - \frac{72}{(x - 7) (x + 1)} + 2}{{(x^{2} - 6 x - 7)}^{2}}$

Passaggio 1.1.2.20.3

Raccogli i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.20.3.1

Moltiplica $\frac{- \frac{8 x^{2}}{(x - 7) (x + 1)} + \frac{48 x}{(x - 7) (x + 1)} - \frac{72}{(x - 7) (x + 1)} + 2}{{(x^{2} - 6 x - 7)}^{2}}$ per $\frac{(x - 7) (x + 1)}{(x - 7) (x + 1)}$ .

$f'' (x) = - (\frac{(x - 7) (x + 1)}{(x - 7) (x + 1)} \cdot \frac{- \frac{8 x^{2}}{(x - 7) (x + 1)} + \frac{48 x}{(x - 7) (x + 1)} - \frac{72}{(x - 7) (x + 1)} + 2}{{(x^{2} - 6 x - 7)}^{2}})$

Passaggio 1.1.2.20.3.2

Combina.

$f'' (x) = - \frac{(x - 7) (x + 1) (- \frac{8 x^{2}}{(x - 7) (x + 1)} + \frac{48 x}{(x - 7) (x + 1)} - \frac{72}{(x - 7) (x + 1)} + 2)}{(x - 7) (x + 1) {(x^{2} - 6 x - 7)}^{2}}$

Passaggio 1.1.2.20.3.3

Applica la proprietà distributiva.

$f'' (x) = - \frac{(x - 7) (x + 1) (- \frac{8 x^{2}}{(x - 7) (x + 1)}) + (x - 7) (x + 1) (\frac{48 x}{(x - 7) (x + 1)}) + (x - 7) (x + 1) (- \frac{72}{(x - 7) (x + 1)}) + (x - 7) (x + 1) \cdot 2}{(x - 7) (x + 1) {(x^{2} - 6 x - 7)}^{2}}$

Passaggio 1.1.2.20.3.4

Elimina il fattore comune di $(x - 7) (x + 1)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.20.3.4.1

Elimina il fattore comune.

Passaggio 1.1.2.20.3.4.2

Riscrivi l'espressione.

$f'' (x) = - \frac{(x - 7) (x + 1) (- \frac{8 x^{2}}{(x - 7) (x + 1)}) + 48 x + (x - 7) (x + 1) (- \frac{72}{(x - 7) (x + 1)}) + (x - 7) (x + 1) \cdot 2}{(x - 7) (x + 1) {(x^{2} - 6 x - 7)}^{2}}$

Passaggio 1.1.2.20.3.5

Sposta $2$ alla sinistra di $(x - 7) (x + 1)$ .

$f'' (x) = - \frac{(x - 7) (x + 1) (- \frac{8 x^{2}}{(x - 7) (x + 1)}) + 48 x + (x - 7) (x + 1) (- \frac{72}{(x - 7) (x + 1)}) + 2 (x - 7) (x + 1)}{(x - 7) (x + 1) {(x^{2} - 6 x - 7)}^{2}}$

Passaggio 1.1.2.20.4

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.20.4.1

Riscrivi utilizzando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$f'' (x) = - \frac{- (x - 7) (x + 1) \frac{8 x^{2}}{(x - 7) (x + 1)} + 48 x + (x - 7) (x + 1) (- \frac{72}{(x - 7) (x + 1)}) + 2 (x - 7) (x + 1)}{(x - 7) (x + 1) {(x^{2} - 6 x - 7)}^{2}}$

Passaggio 1.1.2.20.4.2

Elimina il fattore comune di $(x - 7) (x + 1)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.20.4.2.1

Scomponi $(x - 7) (x + 1)$ da $- (x - 7) (x + 1)$ .

$f'' (x) = - \frac{(x - 7) (x + 1) (- 1) (\frac{8 x^{2}}{(x - 7) (x + 1)}) + 48 x + (x - 7) (x + 1) (- \frac{72}{(x - 7) (x + 1)}) + 2 (x - 7) (x + 1)}{(x - 7) (x + 1) {(x^{2} - 6 x - 7)}^{2}}$

Passaggio 1.1.2.20.4.2.2

Elimina il fattore comune.

$f'' (x) = - \frac{(x - 7) (x + 1) \cdot (- 1 \frac{8 x^{2}}{(x - 7) (x + 1)}) + 48 x + (x - 7) (x + 1) (- \frac{72}{(x - 7) (x + 1)}) + 2 (x - 7) (x + 1)}{(x - 7) (x + 1) {(x^{2} - 6 x - 7)}^{2}}$

Passaggio 1.1.2.20.4.2.3

Riscrivi l'espressione.

$f'' (x) = - \frac{- (8 x^{2}) + 48 x + (x - 7) (x + 1) (- \frac{72}{(x - 7) (x + 1)}) + 2 (x - 7) (x + 1)}{(x - 7) (x + 1) {(x^{2} - 6 x - 7)}^{2}}$

Passaggio 1.1.2.20.4.3

Moltiplica $8$ per $- 1$ .

$f'' (x) = - \frac{- 8 x^{2} + 48 x + (x - 7) (x + 1) (- \frac{72}{(x - 7) (x + 1)}) + 2 (x - 7) (x + 1)}{(x - 7) (x + 1) {(x^{2} - 6 x - 7)}^{2}}$

Passaggio 1.1.2.20.4.4

Riscrivi utilizzando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$f'' (x) = - \frac{- 8 x^{2} + 48 x - (x - 7) (x + 1) \frac{72}{(x - 7) (x + 1)} + 2 (x - 7) (x + 1)}{(x - 7) (x + 1) {(x^{2} - 6 x - 7)}^{2}}$

Passaggio 1.1.2.20.4.5

Elimina il fattore comune di $(x - 7) (x + 1)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.20.4.5.1

Scomponi $(x - 7) (x + 1)$ da $- (x - 7) (x + 1)$ .

$f'' (x) = - \frac{- 8 x^{2} + 48 x + (x - 7) (x + 1) (- 1) (\frac{72}{(x - 7) (x + 1)}) + 2 (x - 7) (x + 1)}{(x - 7) (x + 1) {(x^{2} - 6 x - 7)}^{2}}$

Passaggio 1.1.2.20.4.5.2

Elimina il fattore comune.

$f'' (x) = - \frac{- 8 x^{2} + 48 x + (x - 7) (x + 1) \cdot (- 1 \frac{72}{(x - 7) (x + 1)}) + 2 (x - 7) (x + 1)}{(x - 7) (x + 1) {(x^{2} - 6 x - 7)}^{2}}$

Passaggio 1.1.2.20.4.5.3

Riscrivi l'espressione.

$f'' (x) = - \frac{- 8 x^{2} + 48 x - 1 \cdot 72 + 2 (x - 7) (x + 1)}{(x - 7) (x + 1) {(x^{2} - 6 x - 7)}^{2}}$

Passaggio 1.1.2.20.4.6

Moltiplica $- 1$ per $72$ .

$f'' (x) = - \frac{- 8 x^{2} + 48 x - 72 + 2 (x - 7) (x + 1)}{(x - 7) (x + 1) {(x^{2} - 6 x - 7)}^{2}}$

Passaggio 1.1.2.20.4.7

Applica la proprietà distributiva.

$f'' (x) = - \frac{- 8 x^{2} + 48 x - 72 + (2 x + 2 \cdot - 7) (x + 1)}{(x - 7) (x + 1) {(x^{2} - 6 x - 7)}^{2}}$

Passaggio 1.1.2.20.4.8

Moltiplica $2$ per $- 7$ .

$f'' (x) = - \frac{- 8 x^{2} + 48 x - 72 + (2 x - 14) (x + 1)}{(x - 7) (x + 1) {(x^{2} - 6 x - 7)}^{2}}$

Passaggio 1.1.2.20.4.9

Espandi $(2 x - 14) (x + 1)$ usando il metodo FOIL.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.20.4.9.1

Applica la proprietà distributiva.

$f'' (x) = - \frac{- 8 x^{2} + 48 x - 72 + 2 x (x + 1) - 14 (x + 1)}{(x - 7) (x + 1) {(x^{2} - 6 x - 7)}^{2}}$

Passaggio 1.1.2.20.4.9.2

Applica la proprietà distributiva.

$f'' (x) = - \frac{- 8 x^{2} + 48 x - 72 + 2 x \cdot x + 2 x \cdot 1 - 14 (x + 1)}{(x - 7) (x + 1) {(x^{2} - 6 x - 7)}^{2}}$

Passaggio 1.1.2.20.4.9.3

Applica la proprietà distributiva.

$f'' (x) = - \frac{- 8 x^{2} + 48 x - 72 + 2 x \cdot x + 2 x \cdot 1 - 14 x - 14 \cdot 1}{(x - 7) (x + 1) {(x^{2} - 6 x - 7)}^{2}}$

Passaggio 1.1.2.20.4.10

Semplifica e combina i termini simili.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.20.4.10.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.20.4.10.1.1

Moltiplica $x$ per $x$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.20.4.10.1.1.1

Sposta $x$ .

$f'' (x) = - \frac{- 8 x^{2} + 48 x - 72 + 2 (x \cdot x) + 2 x \cdot 1 - 14 x - 14 \cdot 1}{(x - 7) (x + 1) {(x^{2} - 6 x - 7)}^{2}}$

Passaggio 1.1.2.20.4.10.1.1.2

Moltiplica $x$ per $x$ .

$f'' (x) = - \frac{- 8 x^{2} + 48 x - 72 + 2 x^{2} + 2 x \cdot 1 - 14 x - 14 \cdot 1}{(x - 7) (x + 1) {(x^{2} - 6 x - 7)}^{2}}$

Passaggio 1.1.2.20.4.10.1.2

Moltiplica $2$ per $1$ .

$f'' (x) = - \frac{- 8 x^{2} + 48 x - 72 + 2 x^{2} + 2 x - 14 x - 14 \cdot 1}{(x - 7) (x + 1) {(x^{2} - 6 x - 7)}^{2}}$

Passaggio 1.1.2.20.4.10.1.3

Moltiplica $- 14$ per $1$ .

$f'' (x) = - \frac{- 8 x^{2} + 48 x - 72 + 2 x^{2} + 2 x - 14 x - 14}{(x - 7) (x + 1) {(x^{2} - 6 x - 7)}^{2}}$

Passaggio 1.1.2.20.4.10.2

Sottrai $14 x$ da $2 x$ .

$f'' (x) = - \frac{- 8 x^{2} + 48 x - 72 + 2 x^{2} - 12 x - 14}{(x - 7) (x + 1) {(x^{2} - 6 x - 7)}^{2}}$

Passaggio 1.1.2.20.4.11

Somma $- 8 x^{2}$ e $2 x^{2}$ .

$f'' (x) = - \frac{- 6 x^{2} + 48 x - 72 - 12 x - 14}{(x - 7) (x + 1) {(x^{2} - 6 x - 7)}^{2}}$

Passaggio 1.1.2.20.4.12

Sottrai $12 x$ da $48 x$ .

$f'' (x) = - \frac{- 6 x^{2} + 36 x - 72 - 14}{(x - 7) (x + 1) {(x^{2} - 6 x - 7)}^{2}}$

Passaggio 1.1.2.20.4.13

Sottrai $14$ da $- 72$ .

$f'' (x) = - \frac{- 6 x^{2} + 36 x - 86}{(x - 7) (x + 1) {(x^{2} - 6 x - 7)}^{2}}$

Passaggio 1.1.2.20.4.14

Scomponi $2$ da $- 6 x^{2} + 36 x - 86$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.20.4.14.1

Scomponi $2$ da $- 6 x^{2}$ .

$f'' (x) = - \frac{2 (- 3 x^{2}) + 36 x - 86}{(x - 7) (x + 1) {(x^{2} - 6 x - 7)}^{2}}$

Passaggio 1.1.2.20.4.14.2

Scomponi $2$ da $36 x$ .

$f'' (x) = - \frac{2 (- 3 x^{2}) + 2 (18 x) - 86}{(x - 7) (x + 1) {(x^{2} - 6 x - 7)}^{2}}$

Passaggio 1.1.2.20.4.14.3

Scomponi $2$ da $- 86$ .

$f'' (x) = - \frac{2 (- 3 x^{2}) + 2 (18 x) + 2 (- 43)}{(x - 7) (x + 1) {(x^{2} - 6 x - 7)}^{2}}$

Passaggio 1.1.2.20.4.14.4

Scomponi $2$ da $2 (- 3 x^{2}) + 2 (18 x)$ .

$f'' (x) = - \frac{2 (- 3 x^{2} + 18 x) + 2 (- 43)}{(x - 7) (x + 1) {(x^{2} - 6 x - 7)}^{2}}$

Passaggio 1.1.2.20.4.14.5

Scomponi $2$ da $2 (- 3 x^{2} + 18 x) + 2 (- 43)$ .

$f'' (x) = - \frac{2 (- 3 x^{2} + 18 x - 43)}{(x - 7) (x + 1) {(x^{2} - 6 x - 7)}^{2}}$

Passaggio 1.1.2.20.5

Semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.20.5.1

Scomponi $x^{2} - 6 x - 7$ usando il metodo AC.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.20.5.1.1

Considera la forma $x^{2} + b x + c$ . Trova una coppia di interi il cui prodotto è $c$ e la cui formula è $b$ . In questo caso, il cui prodotto è $- 7$ e la cui somma è $- 6$ .

$- 7, 1$

Passaggio 1.1.2.20.5.1.2

Scrivi la forma fattorizzata utilizzando questi interi.

$f'' (x) = - \frac{2 (- 3 x^{2} + 18 x - 43)}{(x - 7) (x + 1) {((x - 7) (x + 1))}^{2}}$

Passaggio 1.1.2.20.5.2

Applica la regola del prodotto a $(x - 7) (x + 1)$ .

$f'' (x) = - \frac{2 (- 3 x^{2} + 18 x - 43)}{(x - 7) (x + 1) {(x - 7)}^{2} {(x + 1)}^{2}}$

Passaggio 1.1.2.20.5.3

Raccogli gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.20.5.3.1

Moltiplica $x - 7$ per ${(x - 7)}^{2}$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.20.5.3.1.1

Sposta ${(x - 7)}^{2}$ .

$f'' (x) = - \frac{2 (- 3 x^{2} + 18 x - 43)}{{(x - 7)}^{2} (x - 7) (x + 1) {(x + 1)}^{2}}$

Passaggio 1.1.2.20.5.3.1.2

Moltiplica ${(x - 7)}^{2}$ per $x - 7$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.20.5.3.1.2.1

Eleva $x - 7$ alla potenza di $1$ .

$f'' (x) = - \frac{2 (- 3 x^{2} + 18 x - 43)}{{(x - 7)}^{2} (x - 7) (x + 1) {(x + 1)}^{2}}$

Passaggio 1.1.2.20.5.3.1.2.2

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$f'' (x) = - \frac{2 (- 3 x^{2} + 18 x - 43)}{{(x - 7)}^{2 + 1} (x + 1) {(x + 1)}^{2}}$

Passaggio 1.1.2.20.5.3.1.3

Somma $2$ e $1$ .

$f'' (x) = - \frac{2 (- 3 x^{2} + 18 x - 43)}{{(x - 7)}^{3} (x + 1) {(x + 1)}^{2}}$

Passaggio 1.1.2.20.5.3.2

Moltiplica $x + 1$ per ${(x + 1)}^{2}$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.20.5.3.2.1

Sposta ${(x + 1)}^{2}$ .

$f'' (x) = - \frac{2 (- 3 x^{2} + 18 x - 43)}{{(x - 7)}^{3} ({(x + 1)}^{2} (x + 1))}$

Passaggio 1.1.2.20.5.3.2.2

Moltiplica ${(x + 1)}^{2}$ per $x + 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.20.5.3.2.2.1

Eleva $x + 1$ alla potenza di $1$ .

$f'' (x) = - \frac{2 (- 3 x^{2} + 18 x - 43)}{{(x - 7)}^{3} ({(x + 1)}^{2} (x + 1))}$

Passaggio 1.1.2.20.5.3.2.2.2

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$f'' (x) = - \frac{2 (- 3 x^{2} + 18 x - 43)}{{(x - 7)}^{3} {(x + 1)}^{2 + 1}}$

Passaggio 1.1.2.20.5.3.2.3

Somma $2$ e $1$ .

$f'' (x) = - \frac{2 (- 3 x^{2} + 18 x - 43)}{{(x - 7)}^{3} {(x + 1)}^{3}}$

Passaggio 1.1.2.20.6

Scomponi $- 1$ da $- 3 x^{2}$ .

$f'' (x) = - \frac{2 (- (3 x^{2}) + 18 x - 43)}{{(x - 7)}^{3} {(x + 1)}^{3}}$

Passaggio 1.1.2.20.7

Scomponi $- 1$ da $18 x$ .

$f'' (x) = - \frac{2 (- (3 x^{2}) - (- 18 x) - 43)}{{(x - 7)}^{3} {(x + 1)}^{3}}$

Passaggio 1.1.2.20.8

Scomponi $- 1$ da $- (3 x^{2}) - (- 18 x)$ .

$f'' (x) = - \frac{2 (- (3 x^{2} - 18 x) - 43)}{{(x - 7)}^{3} {(x + 1)}^{3}}$

Passaggio 1.1.2.20.9

Riscrivi $- 43$ come $- 1 (43)$ .

$f'' (x) = - \frac{2 (- (3 x^{2} - 18 x) - 1 \cdot 43)}{{(x - 7)}^{3} {(x + 1)}^{3}}$

Passaggio 1.1.2.20.10

Scomponi $- 1$ da $- (3 x^{2} - 18 x) - 1 (43)$ .

$f'' (x) = - \frac{2 (- (3 x^{2} - 18 x + 43))}{{(x - 7)}^{3} {(x + 1)}^{3}}$

Passaggio 1.1.2.20.11

Riscrivi $- (3 x^{2} - 18 x + 43)$ come $- 1 (3 x^{2} - 18 x + 43)$ .

$f'' (x) = - \frac{2 (- 1 (3 x^{2} - 18 x + 43))}{{(x - 7)}^{3} {(x + 1)}^{3}}$

Passaggio 1.1.2.20.12

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$f'' (x) = \frac{2 (3 x^{2} - 18 x + 43)}{{(x - 7)}^{3} {(x + 1)}^{3}}$

Passaggio 1.1.2.20.13

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$f'' (x) = 1 (\frac{2 (3 x^{2} - 18 x + 43)}{{(x - 7)}^{3} {(x + 1)}^{3}})$

Passaggio 1.1.2.20.14

Moltiplica $\frac{2 (3 x^{2} - 18 x + 43)}{{(x - 7)}^{3} {(x + 1)}^{3}}$ per $1$ .

$f'' (x) = \frac{2 (3 x^{2} - 18 x + 43)}{{(x - 7)}^{3} {(x + 1)}^{3}}$

Passaggio 1.1.3

La derivata seconda di $f (x)$ rispetto a $x$ è $\frac{2 (3 x^{2} - 18 x + 43)}{{(x - 7)}^{3} {(x + 1)}^{3}}$ .

$\frac{2 (3 x^{2} - 18 x + 43)}{{(x - 7)}^{3} {(x + 1)}^{3}}$

Passaggio 1.2

Imposta la derivata seconda pari a $0$ , quindi risolvi l'equazione $\frac{2 (3 x^{2} - 18 x + 43)}{{(x - 7)}^{3} {(x + 1)}^{3}} = 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1

Imposta la derivata seconda uguale a $0$ .

$\frac{2 (3 x^{2} - 18 x + 43)}{{(x - 7)}^{3} {(x + 1)}^{3}} = 0$

Passaggio 1.2.2

Poni il numeratore uguale a zero.

$2 (3 x^{2} - 18 x + 43) = 0$

Passaggio 1.2.3

Risolvi l'equazione per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.3.1

Dividi per $2$ ciascun termine in $2 (3 x^{2} - 18 x + 43) = 0$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.3.1.1

Dividi per $2$ ciascun termine in $2 (3 x^{2} - 18 x + 43) = 0$ .

$\frac{2 (3 x^{2} - 18 x + 43)}{2} = \frac{0}{2}$

Passaggio 1.2.3.1.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.3.1.2.1

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.3.1.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{2 (3 x^{2} - 18 x + 43)}{2} = \frac{0}{2}$

Passaggio 1.2.3.1.2.1.2

Dividi $3 x^{2} - 18 x + 43$ per $1$ .

$3 x^{2} - 18 x + 43 = \frac{0}{2}$

Passaggio 1.2.3.1.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.3.1.3.1

Dividi $0$ per $2$ .

$3 x^{2} - 18 x + 43 = 0$

Passaggio 1.2.3.2

Utilizza la formula quadratica per trovare le soluzioni.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Passaggio 1.2.3.3

Sostituisci i valori $a = 3$ , $b = - 18$ e $c = 43$ nella formula quadratica e risolvi per $x$ .

$\frac{18 \pm \sqrt{{(- 18)}^{2} - 4 \cdot (3 \cdot 43)}}{2 \cdot 3}$

Passaggio 1.2.3.4

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.3.4.1

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.3.4.1.1

Eleva $- 18$ alla potenza di $2$ .

$x = \frac{18 \pm \sqrt{324 - 4 \cdot 3 \cdot 43}}{2 \cdot 3}$

Passaggio 1.2.3.4.1.2

Moltiplica $- 4 \cdot 3 \cdot 43$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.3.4.1.2.1

Moltiplica $- 4$ per $3$ .

$x = \frac{18 \pm \sqrt{324 - 12 \cdot 43}}{2 \cdot 3}$

Passaggio 1.2.3.4.1.2.2

Moltiplica $- 12$ per $43$ .

$x = \frac{18 \pm \sqrt{324 - 516}}{2 \cdot 3}$

Passaggio 1.2.3.4.1.3

Sottrai $516$ da $324$ .

$x = \frac{18 \pm \sqrt{- 192}}{2 \cdot 3}$

Passaggio 1.2.3.4.1.4

Riscrivi $- 192$ come $- 1 (192)$ .

$x = \frac{18 \pm \sqrt{- 1 \cdot 192}}{2 \cdot 3}$

Passaggio 1.2.3.4.1.5

Riscrivi $\sqrt{- 1 (192)}$ come $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{192}$ .

$x = \frac{18 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{192}}{2 \cdot 3}$

Passaggio 1.2.3.4.1.6

Riscrivi $\sqrt{- 1}$ come $i$ .

$x = \frac{18 \pm i \cdot \sqrt{192}}{2 \cdot 3}$

Passaggio 1.2.3.4.1.7

Riscrivi $192$ come $8^{2} \cdot 3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.3.4.1.7.1

Scomponi $64$ da $192$ .

$x = \frac{18 \pm i \cdot \sqrt{64 (3)}}{2 \cdot 3}$

Passaggio 1.2.3.4.1.7.2

Riscrivi $64$ come $8^{2}$ .

$x = \frac{18 \pm i \cdot \sqrt{8^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 3}$

Passaggio 1.2.3.4.1.8

Estrai i termini dal radicale.

$x = \frac{18 \pm i \cdot (8 \sqrt{3})}{2 \cdot 3}$

Passaggio 1.2.3.4.1.9

Sposta $8$ alla sinistra di $i$ .

$x = \frac{18 \pm 8 i \sqrt{3}}{2 \cdot 3}$

Passaggio 1.2.3.4.2

Moltiplica $2$ per $3$ .

$x = \frac{18 \pm 8 i \sqrt{3}}{6}$

Passaggio 1.2.3.4.3

Semplifica $\frac{18 \pm 8 i \sqrt{3}}{6}$ .

$x = \frac{9 \pm 4 i \sqrt{3}}{3}$

Passaggio 1.2.3.5

Semplifica l'espressione per risolvere per la porzione $+$ di $\pm$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.3.5.1

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.3.5.1.1

Eleva $- 18$ alla potenza di $2$ .

$x = \frac{18 \pm \sqrt{324 - 4 \cdot 3 \cdot 43}}{2 \cdot 3}$

Passaggio 1.2.3.5.1.2

Moltiplica $- 4 \cdot 3 \cdot 43$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.3.5.1.2.1

Moltiplica $- 4$ per $3$ .

$x = \frac{18 \pm \sqrt{324 - 12 \cdot 43}}{2 \cdot 3}$

Passaggio 1.2.3.5.1.2.2

Moltiplica $- 12$ per $43$ .

$x = \frac{18 \pm \sqrt{324 - 516}}{2 \cdot 3}$

Passaggio 1.2.3.5.1.3

Sottrai $516$ da $324$ .

$x = \frac{18 \pm \sqrt{- 192}}{2 \cdot 3}$

Passaggio 1.2.3.5.1.4

Riscrivi $- 192$ come $- 1 (192)$ .

$x = \frac{18 \pm \sqrt{- 1 \cdot 192}}{2 \cdot 3}$

Passaggio 1.2.3.5.1.5

Riscrivi $\sqrt{- 1 (192)}$ come $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{192}$ .

$x = \frac{18 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{192}}{2 \cdot 3}$

Passaggio 1.2.3.5.1.6

Riscrivi $\sqrt{- 1}$ come $i$ .

$x = \frac{18 \pm i \cdot \sqrt{192}}{2 \cdot 3}$

Passaggio 1.2.3.5.1.7

Riscrivi $192$ come $8^{2} \cdot 3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.3.5.1.7.1

Scomponi $64$ da $192$ .

$x = \frac{18 \pm i \cdot \sqrt{64 (3)}}{2 \cdot 3}$

Passaggio 1.2.3.5.1.7.2

Riscrivi $64$ come $8^{2}$ .

$x = \frac{18 \pm i \cdot \sqrt{8^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 3}$

Passaggio 1.2.3.5.1.8

Estrai i termini dal radicale.

$x = \frac{18 \pm i \cdot (8 \sqrt{3})}{2 \cdot 3}$

Passaggio 1.2.3.5.1.9

Sposta $8$ alla sinistra di $i$ .

$x = \frac{18 \pm 8 i \sqrt{3}}{2 \cdot 3}$

Passaggio 1.2.3.5.2

Moltiplica $2$ per $3$ .

$x = \frac{18 \pm 8 i \sqrt{3}}{6}$

Passaggio 1.2.3.5.3

Semplifica $\frac{18 \pm 8 i \sqrt{3}}{6}$ .

$x = \frac{9 \pm 4 i \sqrt{3}}{3}$

Passaggio 1.2.3.5.4

Cambia da $\pm$ a $+$ .

$x = \frac{9 + 4 i \sqrt{3}}{3}$

Passaggio 1.2.3.6

Semplifica l'espressione per risolvere per la porzione $-$ di $\pm$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.3.6.1

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.3.6.1.1

Eleva $- 18$ alla potenza di $2$ .

$x = \frac{18 \pm \sqrt{324 - 4 \cdot 3 \cdot 43}}{2 \cdot 3}$

Passaggio 1.2.3.6.1.2

Moltiplica $- 4 \cdot 3 \cdot 43$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.3.6.1.2.1

Moltiplica $- 4$ per $3$ .

$x = \frac{18 \pm \sqrt{324 - 12 \cdot 43}}{2 \cdot 3}$

Passaggio 1.2.3.6.1.2.2

Moltiplica $- 12$ per $43$ .

$x = \frac{18 \pm \sqrt{324 - 516}}{2 \cdot 3}$

Passaggio 1.2.3.6.1.3

Sottrai $516$ da $324$ .

$x = \frac{18 \pm \sqrt{- 192}}{2 \cdot 3}$

Passaggio 1.2.3.6.1.4

Riscrivi $- 192$ come $- 1 (192)$ .

$x = \frac{18 \pm \sqrt{- 1 \cdot 192}}{2 \cdot 3}$

Passaggio 1.2.3.6.1.5

Riscrivi $\sqrt{- 1 (192)}$ come $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{192}$ .

$x = \frac{18 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{192}}{2 \cdot 3}$

Passaggio 1.2.3.6.1.6

Riscrivi $\sqrt{- 1}$ come $i$ .

$x = \frac{18 \pm i \cdot \sqrt{192}}{2 \cdot 3}$

Passaggio 1.2.3.6.1.7

Riscrivi $192$ come $8^{2} \cdot 3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.3.6.1.7.1

Scomponi $64$ da $192$ .

$x = \frac{18 \pm i \cdot \sqrt{64 (3)}}{2 \cdot 3}$

Passaggio 1.2.3.6.1.7.2

Riscrivi $64$ come $8^{2}$ .

$x = \frac{18 \pm i \cdot \sqrt{8^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 3}$

Passaggio 1.2.3.6.1.8

Estrai i termini dal radicale.

$x = \frac{18 \pm i \cdot (8 \sqrt{3})}{2 \cdot 3}$

Passaggio 1.2.3.6.1.9

Sposta $8$ alla sinistra di $i$ .

$x = \frac{18 \pm 8 i \sqrt{3}}{2 \cdot 3}$

Passaggio 1.2.3.6.2

Moltiplica $2$ per $3$ .

$x = \frac{18 \pm 8 i \sqrt{3}}{6}$

Passaggio 1.2.3.6.3

Semplifica $\frac{18 \pm 8 i \sqrt{3}}{6}$ .

$x = \frac{9 \pm 4 i \sqrt{3}}{3}$

Passaggio 1.2.3.6.4

Cambia da $\pm$ a $-$ .

$x = \frac{9 - 4 i \sqrt{3}}{3}$

Passaggio 1.2.3.7

La risposta finale è la combinazione di entrambe le soluzioni.

$x = \frac{9 + 4 i \sqrt{3}}{3}, \frac{9 - 4 i \sqrt{3}}{3}$

Passaggio 2

Trova il dominio di $f (x) = \frac{1}{x^{2} - 6 x - 7}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Imposta il denominatore in $\frac{1}{x^{2} - 6 x - 7}$ in modo che sia uguale a $0$ per individuare dove l'espressione è indefinita.

$x^{2} - 6 x - 7 = 0$

Passaggio 2.2

Risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Scomponi $x^{2} - 6 x - 7$ usando il metodo AC.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1.1

Considera la forma $x^{2} + b x + c$ . Trova una coppia di interi il cui prodotto è $c$ e la cui formula è $b$ . In questo caso, il cui prodotto è $- 7$ e la cui somma è $- 6$ .

$- 7, 1$

Passaggio 2.2.1.2

Scrivi la forma fattorizzata utilizzando questi interi.

$(x - 7) (x + 1) = 0$

Passaggio 2.2.2

Se qualsiasi singolo fattore nel lato sinistro dell'equazione è uguale a $0$ , l'intera espressione sarà uguale a $0$ .

$x - 7 = 0$

$x + 1 = 0$

Passaggio 2.2.3

Imposta $x - 7$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.3.1

Imposta $x - 7$ uguale a $0$ .

$x - 7 = 0$

Passaggio 2.2.3.2

Somma $7$ a entrambi i lati dell'equazione.

$x = 7$

Passaggio 2.2.4

Imposta $x + 1$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.4.1

Imposta $x + 1$ uguale a $0$ .

$x + 1 = 0$

Passaggio 2.2.4.2

Sottrai $1$ da entrambi i lati dell'equazione.

$x = - 1$

Passaggio 2.2.5

La soluzione finale è data da tutti i valori che rendono $(x - 7) (x + 1) = 0$ vera.

$x = 7, - 1$

Passaggio 2.3

Il dominio è formato da tutti i valori di $x$ che rendono definita l'espressione.

Notazione degli intervalli:

$(- \infty, - 1) \cup (- 1, 7) \cup (7, \infty)$

Notazione intensiva:

${x | x \neq - 1, 7}$

Notazione degli intervalli:

$(- \infty, - 1) \cup (- 1, 7) \cup (7, \infty)$

Notazione intensiva:

${x | x \neq - 1, 7}$

Passaggio 3

Crea intervalli attorno ai valori di $x$ per cui la derivata seconda è zero o indefinita.

$(- \infty, - 1) \cup (- 1, 7) \cup (7, \infty)$

Passaggio 4

Sostituisci qualsiasi numero dell'intervallo $(- \infty, - 1)$ nella derivata seconda e calcola per determinare la concavità.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Sostituisci la variabile $x$ con $- 4$ nell'espressione.

$f'' (- 4) = \frac{2 (3 {(- 4)}^{2} - 18 \cdot - 4 + 43)}{{((- 4) - 7)}^{3} {((- 4) + 1)}^{3}}$

Passaggio 4.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.1

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.1.1

Eleva $- 4$ alla potenza di $2$ .

$f'' (- 4) = \frac{2 (3 \cdot 16 - 18 \cdot - 4 + 43)}{{(- 4 - 7)}^{3} {(- 4 + 1)}^{3}}$

Passaggio 4.2.1.2

Moltiplica $3$ per $16$ .

$f'' (- 4) = \frac{2 (48 - 18 \cdot - 4 + 43)}{{(- 4 - 7)}^{3} {(- 4 + 1)}^{3}}$

Passaggio 4.2.1.3

Moltiplica $- 18$ per $- 4$ .

$f'' (- 4) = \frac{2 (48 + 72 + 43)}{{(- 4 - 7)}^{3} {(- 4 + 1)}^{3}}$

Passaggio 4.2.1.4

Somma $48$ e $72$ .

$f'' (- 4) = \frac{2 (120 + 43)}{{(- 4 - 7)}^{3} {(- 4 + 1)}^{3}}$

Passaggio 4.2.1.5

Somma $120$ e $43$ .

$f'' (- 4) = \frac{2 \cdot 163}{{(- 4 - 7)}^{3} {(- 4 + 1)}^{3}}$

Passaggio 4.2.2

Semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.2.1

Sottrai $7$ da $- 4$ .

$f'' (- 4) = \frac{2 \cdot 163}{{(- 11)}^{3} {(- 4 + 1)}^{3}}$

Passaggio 4.2.2.2

Somma $- 4$ e $1$ .

$f'' (- 4) = \frac{2 \cdot 163}{{(- 11)}^{3} {(- 3)}^{3}}$

Passaggio 4.2.2.3

Eleva $- 11$ alla potenza di $3$ .

$f'' (- 4) = \frac{2 \cdot 163}{- 1331 {(- 3)}^{3}}$

Passaggio 4.2.2.4

Eleva $- 3$ alla potenza di $3$ .

$f'' (- 4) = \frac{2 \cdot 163}{- 1331 \cdot - 27}$

Passaggio 4.2.3

Moltiplica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.3.1

Moltiplica $2$ per $163$ .

$f'' (- 4) = \frac{326}{- 1331 \cdot - 27}$

Passaggio 4.2.3.2

Moltiplica $- 1331$ per $- 27$ .

$f'' (- 4) = \frac{326}{35937}$

Passaggio 4.2.4

La risposta finale è $\frac{326}{35937}$ .

$\frac{326}{35937}$

Passaggio 4.3

Il grafico è una funzione convessa sull'intervallo $(- \infty, - 1)$ perché $f'' (- 4)$ è positivo.

Funzione convessa su $(- \infty, - 1)$ poiché $f'' (x)$ è positivo

Passaggio 5

Sostituisci qualsiasi numero dell'intervallo $(- 1, 7)$ nella derivata seconda e calcola per determinare la concavità.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Sostituisci la variabile $x$ con $0$ nell'espressione.

$f'' (0) = \frac{2 (3 {(0)}^{2} - 18 \cdot 0 + 43)}{{((0) - 7)}^{3} {((0) + 1)}^{3}}$

Passaggio 5.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1.1

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$f'' (0) = \frac{2 (3 \cdot 0 - 18 \cdot 0 + 43)}{{(0 - 7)}^{3} {(0 + 1)}^{3}}$

Passaggio 5.2.1.2

Moltiplica $3$ per $0$ .

$f'' (0) = \frac{2 (0 - 18 \cdot 0 + 43)}{{(0 - 7)}^{3} {(0 + 1)}^{3}}$

Passaggio 5.2.1.3

Moltiplica $- 18$ per $0$ .

$f'' (0) = \frac{2 (0 + 0 + 43)}{{(0 - 7)}^{3} {(0 + 1)}^{3}}$

Passaggio 5.2.1.4

Somma $0$ e $0$ .

$f'' (0) = \frac{2 (0 + 43)}{{(0 - 7)}^{3} {(0 + 1)}^{3}}$

Passaggio 5.2.1.5

Somma $0$ e $43$ .

$f'' (0) = \frac{2 \cdot 43}{{(0 - 7)}^{3} {(0 + 1)}^{3}}$

Passaggio 5.2.2

Semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.2.1

Sottrai $7$ da $0$ .

$f'' (0) = \frac{2 \cdot 43}{{(- 7)}^{3} {(0 + 1)}^{3}}$

Passaggio 5.2.2.2

Somma $0$ e $1$ .

$f'' (0) = \frac{2 \cdot 43}{{(- 7)}^{3} \cdot 1^{3}}$

Passaggio 5.2.2.3

Eleva $- 7$ alla potenza di $3$ .

$f'' (0) = \frac{2 \cdot 43}{- 343 \cdot 1^{3}}$

Passaggio 5.2.2.4

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$f'' (0) = \frac{2 \cdot 43}{- 343 \cdot 1}$

Passaggio 5.2.3

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.3.1

Moltiplica $2$ per $43$ .

$f'' (0) = \frac{86}{- 343 \cdot 1}$

Passaggio 5.2.3.2

Moltiplica $- 343$ per $1$ .

$f'' (0) = \frac{86}{- 343}$

Passaggio 5.2.3.3

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$f'' (0) = - \frac{86}{343}$

Passaggio 5.2.4

La risposta finale è $- \frac{86}{343}$ .

$- \frac{86}{343}$

Passaggio 5.3

Il grafico è una funzione concava sull'intervallo $(- 1, 7)$ perché $f'' (0)$ è negativo.

Funzione concava su $(- 1, 7)$ poiché $f'' (x)$ è negativo

Passaggio 6

Sostituisci qualsiasi numero dell'intervallo $(7, \infty)$ nella derivata seconda e calcola per determinare la concavità.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Sostituisci la variabile $x$ con $10$ nell'espressione.

$f'' (10) = \frac{2 (3 {(10)}^{2} - 18 \cdot 10 + 43)}{{((10) - 7)}^{3} {((10) + 1)}^{3}}$

Passaggio 6.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.1

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.1.1

Moltiplica $- 18$ per $10$ .

$f'' (10) = \frac{2 (3 \cdot 10^{2} - 180 + 43)}{{(10 - 7)}^{3} {(10 + 1)}^{3}}$

Passaggio 6.2.1.2

Somma $- 180$ e $43$ .

$f'' (10) = \frac{2 (3 \cdot 10^{2} - 137)}{{(10 - 7)}^{3} {(10 + 1)}^{3}}$

Passaggio 6.2.1.3

Convert $- 137$ to scientific notation.

$f'' (10) = \frac{2 (3 \cdot 10^{2} - 1.37 \cdot 10^{2})}{{(10 - 7)}^{3} {(10 + 1)}^{3}}$

Passaggio 6.2.1.4

Scomponi $10^{2}$ da $3 \cdot 10^{2} - 1.37 \cdot 10^{2}$ .

$f'' (10) = \frac{2 ((3 - 1.37) \cdot 10^{2})}{{(10 - 7)}^{3} {(10 + 1)}^{3}}$

Passaggio 6.2.1.5

Sottrai $1.37$ da $3$ .

$f'' (10) = \frac{2 \cdot 1.63 \cdot 10^{2}}{{(10 - 7)}^{3} {(10 + 1)}^{3}}$

Passaggio 6.2.1.6

Moltiplica $2$ per $1.63$ .

$f'' (10) = \frac{3.26 \cdot 10^{2}}{{(10 - 7)}^{3} {(10 + 1)}^{3}}$

Passaggio 6.2.1.7

Eleva $10$ alla potenza di $2$ .

$f'' (10) = \frac{3.26 \cdot 100}{{(10 - 7)}^{3} {(10 + 1)}^{3}}$

Passaggio 6.2.2

Semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.2.1

Sottrai $7$ da $10$ .

$f'' (10) = \frac{3.26 \cdot 100}{3^{3} {(10 + 1)}^{3}}$

Passaggio 6.2.2.2

Somma $10$ e $1$ .

$f'' (10) = \frac{3.26 \cdot 100}{3^{3} \cdot 11^{3}}$

Passaggio 6.2.2.3

Eleva $3$ alla potenza di $3$ .

$f'' (10) = \frac{3.26 \cdot 100}{27 \cdot 11^{3}}$

Passaggio 6.2.2.4

Eleva $11$ alla potenza di $3$ .

$f'' (10) = \frac{3.26 \cdot 100}{27 \cdot 1331}$

Passaggio 6.2.3

Riduci l'espressione eliminando i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.3.1

Moltiplica $3.26$ per $100$ .

$f'' (10) = \frac{326}{27 \cdot 1331}$

Passaggio 6.2.3.2

Moltiplica $27$ per $1331$ .

$f'' (10) = \frac{326}{35937}$

Passaggio 6.2.3.3

Elimina il fattore comune di $326$ e $35937$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.3.3.1

Riscrivi $326$ come $1 (326)$ .

$f'' (10) = \frac{1 (326)}{35937}$

Passaggio 6.2.3.3.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.3.3.2.1

Riscrivi $35937$ come $1 (35937)$ .

$f'' (10) = \frac{1 \cdot 326}{1 \cdot 35937}$

Passaggio 6.2.3.3.2.2

Elimina il fattore comune.

$f'' (10) = \frac{1 \cdot 326}{1 \cdot 35937}$

Passaggio 6.2.3.3.2.3

Riscrivi l'espressione.

$f'' (10) = \frac{326}{35937}$

Passaggio 6.2.4

La risposta finale è $\frac{326}{35937}$ .

$\frac{326}{35937}$

Passaggio 6.3

Il grafico è una funzione convessa sull'intervallo $(7, \infty)$ perché $f'' (10)$ è positivo.

Funzione convessa su $(7, \infty)$ poiché $f'' (x)$ è positivo

Passaggio 7

Il grafico è una funzione concava quando la derivata seconda è negativa, mentre è una funzione convessa quando la derivata seconda è positiva.

Funzione convessa su $(- \infty, - 1)$ poiché $f'' (x)$ è positivo

Funzione concava su $(- 1, 7)$ poiché $f'' (x)$ è negativo

Funzione convessa su $(7, \infty)$ poiché $f'' (x)$ è positivo

Passaggio 8