Calcolo Esempi

$f (x) = \frac{x}{x^{2} - 4}$

Passaggio 1

Find the $x$ values where the second derivative is equal to $0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Trova la derivata seconda.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1.1

Differenzia usando la regola del quoziente, che indica che $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ è $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ dove $f (x) = x$ e $g (x) = x^{2} - 4$ .

$f' (x) = \frac{(x^{2} - 4) \frac{d}{d x} (x) - x \frac{d}{d x} (x^{2} - 4)}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

Passaggio 1.1.1.2

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1.2.1

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$f' (x) = \frac{(x^{2} - 4) \cdot 1 - x \frac{d}{d x} (x^{2} - 4)}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

Passaggio 1.1.1.2.2

Moltiplica $x^{2} - 4$ per $1$ .

$f' (x) = \frac{x^{2} - 4 - x \frac{d}{d x} (x^{2} - 4)}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

Passaggio 1.1.1.2.3

Secondo la regola della somma, la derivata di $x^{2} - 4$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4]$ .

$f' (x) = \frac{x^{2} - 4 - x (\frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 4))}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

Passaggio 1.1.1.2.4

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$f' (x) = \frac{x^{2} - 4 - x (2 x + \frac{d}{d x} (- 4))}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

Passaggio 1.1.1.2.5

Poiché $- 4$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 4$ rispetto a $x$ è $0$ .

$f' (x) = \frac{x^{2} - 4 - x (2 x + 0)}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

Passaggio 1.1.1.2.6

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1.2.6.1

Somma $2 x$ e $0$ .

$f' (x) = \frac{x^{2} - 4 - x (2 x)}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

Passaggio 1.1.1.2.6.2

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$f' (x) = \frac{x^{2} - 4 - 2 x \cdot x}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

Passaggio 1.1.1.3

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$f' (x) = \frac{x^{2} - 4 - 2 (x \cdot x)}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

Passaggio 1.1.1.4

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$f' (x) = \frac{x^{2} - 4 - 2 (x \cdot x)}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

Passaggio 1.1.1.5

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$f' (x) = \frac{x^{2} - 4 - 2 x^{1 + 1}}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

Passaggio 1.1.1.6

Somma $1$ e $1$ .

$f' (x) = \frac{x^{2} - 4 - 2 x^{2}}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

Passaggio 1.1.1.7

Sottrai $2 x^{2}$ da $x^{2}$ .

$f' (x) = \frac{- x^{2} - 4}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

Passaggio 1.1.2

Trova la derivata seconda.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.1

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} - 4)}^{2} \frac{d}{d x} (- x^{2} - 4) - (- x^{2} - 4) \frac{d}{d x} {(x^{2} - 4)}^{2}}{{({(x^{2} - 4)}^{2})}^{2}}$

Passaggio 1.1.2.2

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.2.1

Moltiplica gli esponenti in ${({(x^{2} - 4)}^{2})}^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.2.1.1

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} - 4)}^{2} \frac{d}{d x} (- x^{2} - 4) - (- x^{2} - 4) \frac{d}{d x} {(x^{2} - 4)}^{2}}{{(x^{2} - 4)}^{2 \cdot 2}}$

Passaggio 1.1.2.2.1.2

Moltiplica $2$ per $2$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} - 4)}^{2} \frac{d}{d x} (- x^{2} - 4) - (- x^{2} - 4) \frac{d}{d x} {(x^{2} - 4)}^{2}}{{(x^{2} - 4)}^{4}}$

Passaggio 1.1.2.2.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $- x^{2} - 4$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4]$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} - 4)}^{2} (\frac{d}{d x} (- x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 4)) - (- x^{2} - 4) \frac{d}{d x} {(x^{2} - 4)}^{2}}{{(x^{2} - 4)}^{4}}$

Passaggio 1.1.2.2.3

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- x^{2}$ rispetto a $x$ è $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} - 4)}^{2} (- \frac{d}{d x} x^{2} + \frac{d}{d x} (- 4)) - (- x^{2} - 4) \frac{d}{d x} {(x^{2} - 4)}^{2}}{{(x^{2} - 4)}^{4}}$

Passaggio 1.1.2.2.4

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} - 4)}^{2} (- (2 x) + \frac{d}{d x} (- 4)) - (- x^{2} - 4) \frac{d}{d x} {(x^{2} - 4)}^{2}}{{(x^{2} - 4)}^{4}}$

Passaggio 1.1.2.2.5

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} - 4)}^{2} (- 2 x + \frac{d}{d x} (- 4)) - (- x^{2} - 4) \frac{d}{d x} {(x^{2} - 4)}^{2}}{{(x^{2} - 4)}^{4}}$

Passaggio 1.1.2.2.6

Poiché $- 4$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 4$ rispetto a $x$ è $0$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} - 4)}^{2} (- 2 x + 0) - (- x^{2} - 4) \frac{d}{d x} {(x^{2} - 4)}^{2}}{{(x^{2} - 4)}^{4}}$

Passaggio 1.1.2.2.7

Somma $- 2 x$ e $0$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} - 4)}^{2} (- 2 x) - (- x^{2} - 4) \frac{d}{d x} {(x^{2} - 4)}^{2}}{{(x^{2} - 4)}^{4}}$

Passaggio 1.1.2.3

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{2}$ e $g (x) = x^{2} - 4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.3.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $x^{2} - 4$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} - 4)}^{2} (- 2 x) - (- x^{2} - 4) (\frac{d}{d u} (u^{2}) \frac{d}{d x} (x^{2} - 4))}{{(x^{2} - 4)}^{4}}$

Passaggio 1.1.2.3.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ è $n u^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} - 4)}^{2} (- 2 x) - (- x^{2} - 4) (2 u \frac{d}{d x} (x^{2} - 4))}{{(x^{2} - 4)}^{4}}$

Passaggio 1.1.2.3.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $x^{2} - 4$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} - 4)}^{2} (- 2 x) - (- x^{2} - 4) (2 (x^{2} - 4) \frac{d}{d x} (x^{2} - 4))}{{(x^{2} - 4)}^{4}}$

Passaggio 1.1.2.4

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.4.1

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} - 4)}^{2} (- 2 x) - 2 (- x^{2} - 4) ((x^{2} - 4) \frac{d}{d x} (x^{2} - 4))}{{(x^{2} - 4)}^{4}}$

Passaggio 1.1.2.4.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $x^{2} - 4$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4]$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} - 4)}^{2} (- 2 x) - 2 (- x^{2} - 4) ((x^{2} - 4) (\frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 4)))}{{(x^{2} - 4)}^{4}}$

Passaggio 1.1.2.4.3

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} - 4)}^{2} (- 2 x) - 2 (- x^{2} - 4) ((x^{2} - 4) (2 x + \frac{d}{d x} (- 4)))}{{(x^{2} - 4)}^{4}}$

Passaggio 1.1.2.4.4

Poiché $- 4$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 4$ rispetto a $x$ è $0$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} - 4)}^{2} (- 2 x) - 2 (- x^{2} - 4) ((x^{2} - 4) (2 x + 0))}{{(x^{2} - 4)}^{4}}$

Passaggio 1.1.2.4.5

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.4.5.1

Somma $2 x$ e $0$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} - 4)}^{2} (- 2 x) - 2 (- x^{2} - 4) ((x^{2} - 4) (2 x))}{{(x^{2} - 4)}^{4}}$

Passaggio 1.1.2.4.5.2

Sposta $2$ alla sinistra di $x^{2} - 4$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} - 4)}^{2} (- 2 x) - 2 (- x^{2} - 4) (2 \cdot ((x^{2} - 4) x))}{{(x^{2} - 4)}^{4}}$

Passaggio 1.1.2.4.5.3

Moltiplica $2$ per $- 2$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} - 4)}^{2} (- 2 x) - 4 (- x^{2} - 4) ((x^{2} - 4) x)}{{(x^{2} - 4)}^{4}}$

Passaggio 1.1.2.5

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.5.1

Applica la proprietà distributiva.

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} - 4)}^{2} (- 2 x) + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot - 4) ((x^{2} - 4) x)}{{(x^{2} - 4)}^{4}}$

Passaggio 1.1.2.5.2

Applica la proprietà distributiva.

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} - 4)}^{2} (- 2 x) + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot - 4) (x^{2} x - 4 x)}{{(x^{2} - 4)}^{4}}$

Passaggio 1.1.2.5.3

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.5.3.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.5.3.1.1

Riscrivi utilizzando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$f'' (x) = \frac{- 2 {(x^{2} - 4)}^{2} x + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot - 4) (x^{2} x - 4 x)}{{(x^{2} - 4)}^{4}}$

Passaggio 1.1.2.5.3.1.2

Riscrivi ${(x^{2} - 4)}^{2}$ come $(x^{2} - 4) (x^{2} - 4)$ .

$f'' (x) = \frac{- 2 ((x^{2} - 4) (x^{2} - 4)) x + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot - 4) (x^{2} x - 4 x)}{{(x^{2} - 4)}^{4}}$

Passaggio 1.1.2.5.3.1.3

Espandi $(x^{2} - 4) (x^{2} - 4)$ usando il metodo FOIL.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.5.3.1.3.1

Applica la proprietà distributiva.

$f'' (x) = \frac{- 2 (x^{2} (x^{2} - 4) - 4 (x^{2} - 4)) x + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot - 4) (x^{2} x - 4 x)}{{(x^{2} - 4)}^{4}}$

Passaggio 1.1.2.5.3.1.3.2

Applica la proprietà distributiva.

$f'' (x) = \frac{- 2 (x^{2} x^{2} + x^{2} \cdot - 4 - 4 (x^{2} - 4)) x + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot - 4) (x^{2} x - 4 x)}{{(x^{2} - 4)}^{4}}$

Passaggio 1.1.2.5.3.1.3.3

Applica la proprietà distributiva.

$f'' (x) = \frac{- 2 (x^{2} x^{2} + x^{2} \cdot - 4 - 4 x^{2} - 4 \cdot - 4) x + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot - 4) (x^{2} x - 4 x)}{{(x^{2} - 4)}^{4}}$

Passaggio 1.1.2.5.3.1.4

Semplifica e combina i termini simili.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.5.3.1.4.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.5.3.1.4.1.1

Moltiplica $x^{2}$ per $x^{2}$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.5.3.1.4.1.1.1

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$f'' (x) = \frac{- 2 (x^{2 + 2} + x^{2} \cdot - 4 - 4 x^{2} - 4 \cdot - 4) x + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot - 4) (x^{2} x - 4 x)}{{(x^{2} - 4)}^{4}}$

Passaggio 1.1.2.5.3.1.4.1.1.2

Somma $2$ e $2$ .

$f'' (x) = \frac{- 2 (x^{4} + x^{2} \cdot - 4 - 4 x^{2} - 4 \cdot - 4) x + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot - 4) (x^{2} x - 4 x)}{{(x^{2} - 4)}^{4}}$

Passaggio 1.1.2.5.3.1.4.1.2

Sposta $- 4$ alla sinistra di $x^{2}$ .

$f'' (x) = \frac{- 2 (x^{4} - 4 \cdot x^{2} - 4 x^{2} - 4 \cdot - 4) x + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot - 4) (x^{2} x - 4 x)}{{(x^{2} - 4)}^{4}}$

Passaggio 1.1.2.5.3.1.4.1.3

Moltiplica $- 4$ per $- 4$ .

$f'' (x) = \frac{- 2 (x^{4} - 4 x^{2} - 4 x^{2} + 16) x + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot - 4) (x^{2} x - 4 x)}{{(x^{2} - 4)}^{4}}$

Passaggio 1.1.2.5.3.1.4.2

Sottrai $4 x^{2}$ da $- 4 x^{2}$ .

$f'' (x) = \frac{- 2 (x^{4} - 8 x^{2} + 16) x + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot - 4) (x^{2} x - 4 x)}{{(x^{2} - 4)}^{4}}$

Passaggio 1.1.2.5.3.1.5

Applica la proprietà distributiva.

$f'' (x) = \frac{(- 2 x^{4} - 2 (- 8 x^{2}) - 2 \cdot 16) x + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot - 4) (x^{2} x - 4 x)}{{(x^{2} - 4)}^{4}}$

Passaggio 1.1.2.5.3.1.6

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.5.3.1.6.1

Moltiplica $- 8$ per $- 2$ .

$f'' (x) = \frac{(- 2 x^{4} + 16 x^{2} - 2 \cdot 16) x + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot - 4) (x^{2} x - 4 x)}{{(x^{2} - 4)}^{4}}$

Passaggio 1.1.2.5.3.1.6.2

Moltiplica $- 2$ per $16$ .

$f'' (x) = \frac{(- 2 x^{4} + 16 x^{2} - 32) x + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot - 4) (x^{2} x - 4 x)}{{(x^{2} - 4)}^{4}}$

Passaggio 1.1.2.5.3.1.7

Applica la proprietà distributiva.

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{4} x + 16 x^{2} x - 32 x + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot - 4) (x^{2} x - 4 x)}{{(x^{2} - 4)}^{4}}$

Passaggio 1.1.2.5.3.1.8

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.5.3.1.8.1

Moltiplica $x^{4}$ per $x$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.5.3.1.8.1.1

Sposta $x$ .

$f'' (x) = \frac{- 2 (x \cdot x^{4}) + 16 x^{2} x - 32 x + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot - 4) (x^{2} x - 4 x)}{{(x^{2} - 4)}^{4}}$

Passaggio 1.1.2.5.3.1.8.1.2

Moltiplica $x$ per $x^{4}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.5.3.1.8.1.2.1

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$f'' (x) = \frac{- 2 (x \cdot x^{4}) + 16 x^{2} x - 32 x + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot - 4) (x^{2} x - 4 x)}{{(x^{2} - 4)}^{4}}$

Passaggio 1.1.2.5.3.1.8.1.2.2

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{1 + 4} + 16 x^{2} x - 32 x + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot - 4) (x^{2} x - 4 x)}{{(x^{2} - 4)}^{4}}$

Passaggio 1.1.2.5.3.1.8.1.3

Somma $1$ e $4$ .

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{5} + 16 x^{2} x - 32 x + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot - 4) (x^{2} x - 4 x)}{{(x^{2} - 4)}^{4}}$

Passaggio 1.1.2.5.3.1.8.2

Moltiplica $x^{2}$ per $x$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.5.3.1.8.2.1

Sposta $x$ .

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{5} + 16 (x \cdot x^{2}) - 32 x + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot - 4) (x^{2} x - 4 x)}{{(x^{2} - 4)}^{4}}$

Passaggio 1.1.2.5.3.1.8.2.2

Moltiplica $x$ per $x^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.5.3.1.8.2.2.1

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{5} + 16 (x \cdot x^{2}) - 32 x + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot - 4) (x^{2} x - 4 x)}{{(x^{2} - 4)}^{4}}$

Passaggio 1.1.2.5.3.1.8.2.2.2

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{5} + 16 x^{1 + 2} - 32 x + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot - 4) (x^{2} x - 4 x)}{{(x^{2} - 4)}^{4}}$

Passaggio 1.1.2.5.3.1.8.2.3

Somma $1$ e $2$ .

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{5} + 16 x^{3} - 32 x + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot - 4) (x^{2} x - 4 x)}{{(x^{2} - 4)}^{4}}$

Passaggio 1.1.2.5.3.1.9

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.5.3.1.9.1

Moltiplica $- 1$ per $- 4$ .

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{5} + 16 x^{3} - 32 x + (4 x^{2} - 4 \cdot - 4) (x^{2} x - 4 x)}{{(x^{2} - 4)}^{4}}$

Passaggio 1.1.2.5.3.1.9.2

Moltiplica $- 4$ per $- 4$ .

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{5} + 16 x^{3} - 32 x + (4 x^{2} + 16) (x^{2} x - 4 x)}{{(x^{2} - 4)}^{4}}$

Passaggio 1.1.2.5.3.1.10

Moltiplica $x^{2}$ per $x$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.5.3.1.10.1

Moltiplica $x^{2}$ per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.5.3.1.10.1.1

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{5} + 16 x^{3} - 32 x + (4 x^{2} + 16) (x^{2} x - 4 x)}{{(x^{2} - 4)}^{4}}$

Passaggio 1.1.2.5.3.1.10.1.2

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{5} + 16 x^{3} - 32 x + (4 x^{2} + 16) (x^{2 + 1} - 4 x)}{{(x^{2} - 4)}^{4}}$

Passaggio 1.1.2.5.3.1.10.2

Somma $2$ e $1$ .

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{5} + 16 x^{3} - 32 x + (4 x^{2} + 16) (x^{3} - 4 x)}{{(x^{2} - 4)}^{4}}$

Passaggio 1.1.2.5.3.1.11

Espandi $(4 x^{2} + 16) (x^{3} - 4 x)$ usando il metodo FOIL.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.5.3.1.11.1

Applica la proprietà distributiva.

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{5} + 16 x^{3} - 32 x + 4 x^{2} (x^{3} - 4 x) + 16 (x^{3} - 4 x)}{{(x^{2} - 4)}^{4}}$

Passaggio 1.1.2.5.3.1.11.2

Applica la proprietà distributiva.

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{5} + 16 x^{3} - 32 x + 4 x^{2} x^{3} + 4 x^{2} (- 4 x) + 16 (x^{3} - 4 x)}{{(x^{2} - 4)}^{4}}$

Passaggio 1.1.2.5.3.1.11.3

Applica la proprietà distributiva.

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{5} + 16 x^{3} - 32 x + 4 x^{2} x^{3} + 4 x^{2} (- 4 x) + 16 x^{3} + 16 (- 4 x)}{{(x^{2} - 4)}^{4}}$

Passaggio 1.1.2.5.3.1.12

Semplifica e combina i termini simili.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.5.3.1.12.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.5.3.1.12.1.1

Moltiplica $x^{2}$ per $x^{3}$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.5.3.1.12.1.1.1

Sposta $x^{3}$ .

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{5} + 16 x^{3} - 32 x + 4 (x^{3} x^{2}) + 4 x^{2} (- 4 x) + 16 x^{3} + 16 (- 4 x)}{{(x^{2} - 4)}^{4}}$

Passaggio 1.1.2.5.3.1.12.1.1.2

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{5} + 16 x^{3} - 32 x + 4 x^{3 + 2} + 4 x^{2} (- 4 x) + 16 x^{3} + 16 (- 4 x)}{{(x^{2} - 4)}^{4}}$

Passaggio 1.1.2.5.3.1.12.1.1.3

Somma $3$ e $2$ .

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{5} + 16 x^{3} - 32 x + 4 x^{5} + 4 x^{2} (- 4 x) + 16 x^{3} + 16 (- 4 x)}{{(x^{2} - 4)}^{4}}$

Passaggio 1.1.2.5.3.1.12.1.2

Riscrivi utilizzando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{5} + 16 x^{3} - 32 x + 4 x^{5} + 4 \cdot (- 4 x^{2} x) + 16 x^{3} + 16 (- 4 x)}{{(x^{2} - 4)}^{4}}$

Passaggio 1.1.2.5.3.1.12.1.3

Moltiplica $x^{2}$ per $x$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.5.3.1.12.1.3.1

Sposta $x$ .

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{5} + 16 x^{3} - 32 x + 4 x^{5} + 4 \cdot (- 4 (x \cdot x^{2})) + 16 x^{3} + 16 (- 4 x)}{{(x^{2} - 4)}^{4}}$

Passaggio 1.1.2.5.3.1.12.1.3.2

Moltiplica $x$ per $x^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.5.3.1.12.1.3.2.1

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{5} + 16 x^{3} - 32 x + 4 x^{5} + 4 \cdot (- 4 (x \cdot x^{2})) + 16 x^{3} + 16 (- 4 x)}{{(x^{2} - 4)}^{4}}$

Passaggio 1.1.2.5.3.1.12.1.3.2.2

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{5} + 16 x^{3} - 32 x + 4 x^{5} + 4 \cdot (- 4 x^{1 + 2}) + 16 x^{3} + 16 (- 4 x)}{{(x^{2} - 4)}^{4}}$

Passaggio 1.1.2.5.3.1.12.1.3.3

Somma $1$ e $2$ .

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{5} + 16 x^{3} - 32 x + 4 x^{5} + 4 \cdot (- 4 x^{3}) + 16 x^{3} + 16 (- 4 x)}{{(x^{2} - 4)}^{4}}$

Passaggio 1.1.2.5.3.1.12.1.4

Moltiplica $4$ per $- 4$ .

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{5} + 16 x^{3} - 32 x + 4 x^{5} - 16 x^{3} + 16 x^{3} + 16 (- 4 x)}{{(x^{2} - 4)}^{4}}$

Passaggio 1.1.2.5.3.1.12.1.5

Moltiplica $- 4$ per $16$ .

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{5} + 16 x^{3} - 32 x + 4 x^{5} - 16 x^{3} + 16 x^{3} - 64 x}{{(x^{2} - 4)}^{4}}$

Passaggio 1.1.2.5.3.1.12.2

Somma $- 16 x^{3}$ e $16 x^{3}$ .

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{5} + 16 x^{3} - 32 x + 4 x^{5} + 0 - 64 x}{{(x^{2} - 4)}^{4}}$

Passaggio 1.1.2.5.3.1.12.3

Somma $4 x^{5}$ e $0$ .

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{5} + 16 x^{3} - 32 x + 4 x^{5} - 64 x}{{(x^{2} - 4)}^{4}}$

Passaggio 1.1.2.5.3.2

Somma $- 2 x^{5}$ e $4 x^{5}$ .

$f'' (x) = \frac{2 x^{5} + 16 x^{3} - 32 x - 64 x}{{(x^{2} - 4)}^{4}}$

Passaggio 1.1.2.5.3.3

Sottrai $64 x$ da $- 32 x$ .

$f'' (x) = \frac{2 x^{5} + 16 x^{3} - 96 x}{{(x^{2} - 4)}^{4}}$

Passaggio 1.1.2.5.4

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.5.4.1

Scomponi $2 x$ da $2 x^{5} + 16 x^{3} - 96 x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.5.4.1.1

Scomponi $2 x$ da $2 x^{5}$ .

$f'' (x) = \frac{2 x (x^{4}) + 16 x^{3} - 96 x}{{(x^{2} - 4)}^{4}}$

Passaggio 1.1.2.5.4.1.2

Scomponi $2 x$ da $16 x^{3}$ .

$f'' (x) = \frac{2 x (x^{4}) + 2 x (8 x^{2}) - 96 x}{{(x^{2} - 4)}^{4}}$

Passaggio 1.1.2.5.4.1.3

Scomponi $2 x$ da $- 96 x$ .

$f'' (x) = \frac{2 x (x^{4}) + 2 x (8 x^{2}) + 2 x (- 48)}{{(x^{2} - 4)}^{4}}$

Passaggio 1.1.2.5.4.1.4

Scomponi $2 x$ da $2 x (x^{4}) + 2 x (8 x^{2})$ .

$f'' (x) = \frac{2 x (x^{4} + 8 x^{2}) + 2 x (- 48)}{{(x^{2} - 4)}^{4}}$

Passaggio 1.1.2.5.4.1.5

Scomponi $2 x$ da $2 x (x^{4} + 8 x^{2}) + 2 x (- 48)$ .

$f'' (x) = \frac{2 x (x^{4} + 8 x^{2} - 48)}{{(x^{2} - 4)}^{4}}$

Passaggio 1.1.2.5.4.2

Riscrivi $x^{4}$ come ${(x^{2})}^{2}$ .

$f'' (x) = \frac{2 x ({(x^{2})}^{2} + 8 x^{2} - 48)}{{(x^{2} - 4)}^{4}}$

Passaggio 1.1.2.5.4.3

Sia $u = x^{2}$ . Sostituisci tutte le occorrenze di $x^{2}$ con $u$ .

$f'' (x) = \frac{2 x (u^{2} + 8 u - 48)}{{(x^{2} - 4)}^{4}}$

Passaggio 1.1.2.5.4.4

Scomponi $u^{2} + 8 u - 48$ usando il metodo AC.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.5.4.4.1

Considera la forma $x^{2} + b x + c$ . Trova una coppia di interi il cui prodotto è $c$ e la cui formula è $b$ . In questo caso, il cui prodotto è $- 48$ e la cui somma è $8$ .

$- 4, 12$

Passaggio 1.1.2.5.4.4.2

Scrivi la forma fattorizzata utilizzando questi interi.

$f'' (x) = \frac{2 x ((u - 4) (u + 12))}{{(x^{2} - 4)}^{4}}$

Passaggio 1.1.2.5.4.5

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $x^{2}$ .

$f'' (x) = \frac{2 x ((x^{2} - 4) (x^{2} + 12))}{{(x^{2} - 4)}^{4}}$

Passaggio 1.1.2.5.4.6

Riscrivi $4$ come $2^{2}$ .

$f'' (x) = \frac{2 x ((x^{2} - 2^{2}) (x^{2} + 12))}{{(x^{2} - 4)}^{4}}$

Passaggio 1.1.2.5.4.7

Poiché entrambi i termini sono dei quadrati perfetti, fattorizza utilizzando la formula della differenza di quadrati, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ dove $a = x$ e $b = 2$ .

$f'' (x) = \frac{2 x (x + 2) (x - 2) (x^{2} + 12)}{{(x^{2} - 4)}^{4}}$

Passaggio 1.1.2.5.5

Semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.5.5.1

Riscrivi $4$ come $2^{2}$ .

$f'' (x) = \frac{2 x (x + 2) (x - 2) (x^{2} + 12)}{{(x^{2} - 2^{2})}^{4}}$

Passaggio 1.1.2.5.5.2

Poiché entrambi i termini sono dei quadrati perfetti, fattorizza utilizzando la formula della differenza di quadrati, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ dove $a = x$ e $b = 2$ .

$f'' (x) = \frac{2 x (x + 2) (x - 2) (x^{2} + 12)}{{((x + 2) (x - 2))}^{4}}$

Passaggio 1.1.2.5.5.3

Applica la regola del prodotto a $(x + 2) (x - 2)$ .

$f'' (x) = \frac{2 x (x + 2) (x - 2) (x^{2} + 12)}{{(x + 2)}^{4} {(x - 2)}^{4}}$

Passaggio 1.1.2.5.6

Elimina il fattore comune di $x + 2$ e ${(x + 2)}^{4}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.5.6.1

Scomponi $x + 2$ da $2 x (x + 2) (x - 2) (x^{2} + 12)$ .

$f'' (x) = \frac{(x + 2) ((2 x (x - 2)) (x^{2} + 12))}{{(x + 2)}^{4} {(x - 2)}^{4}}$

Passaggio 1.1.2.5.6.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.5.6.2.1

Scomponi $x + 2$ da ${(x + 2)}^{4} {(x - 2)}^{4}$ .

$f'' (x) = \frac{(x + 2) ((2 x (x - 2)) (x^{2} + 12))}{(x + 2) ({(x + 2)}^{3} {(x - 2)}^{4})}$

Passaggio 1.1.2.5.6.2.2

Elimina il fattore comune.

$f'' (x) = \frac{(x + 2) ((2 x (x - 2)) (x^{2} + 12))}{(x + 2) ({(x + 2)}^{3} {(x - 2)}^{4})}$

Passaggio 1.1.2.5.6.2.3

Riscrivi l'espressione.

$f'' (x) = \frac{(2 x (x - 2)) (x^{2} + 12)}{{(x + 2)}^{3} {(x - 2)}^{4}}$

Passaggio 1.1.2.5.7

Elimina il fattore comune di $x - 2$ e ${(x - 2)}^{4}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.5.7.1

Scomponi $x - 2$ da $(2 x (x - 2)) (x^{2} + 12)$ .

$f'' (x) = \frac{(x - 2) ((2 x) (x^{2} + 12))}{{(x + 2)}^{3} {(x - 2)}^{4}}$

Passaggio 1.1.2.5.7.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.5.7.2.1

Scomponi $x - 2$ da ${(x + 2)}^{3} {(x - 2)}^{4}$ .

$f'' (x) = \frac{(x - 2) ((2 x) (x^{2} + 12))}{(x - 2) ({(x + 2)}^{3} {(x - 2)}^{3})}$

Passaggio 1.1.2.5.7.2.2

Elimina il fattore comune.

$f'' (x) = \frac{(x - 2) ((2 x) (x^{2} + 12))}{(x - 2) ({(x + 2)}^{3} {(x - 2)}^{3})}$

Passaggio 1.1.2.5.7.2.3

Riscrivi l'espressione.

$f'' (x) = \frac{(2 x) (x^{2} + 12)}{{(x + 2)}^{3} {(x - 2)}^{3}}$

$f'' (x) = \frac{2 x (x^{2} + 12)}{{(x + 2)}^{3} {(x - 2)}^{3}}$

Passaggio 1.1.3

La derivata seconda di $f (x)$ rispetto a $x$ è $\frac{2 x (x^{2} + 12)}{{(x + 2)}^{3} {(x - 2)}^{3}}$ .

$\frac{2 x (x^{2} + 12)}{{(x + 2)}^{3} {(x - 2)}^{3}}$

Passaggio 1.2

Imposta la derivata seconda pari a $0$ , quindi risolvi l'equazione $\frac{2 x (x^{2} + 12)}{{(x + 2)}^{3} {(x - 2)}^{3}} = 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1

Imposta la derivata seconda uguale a $0$ .

$\frac{2 x (x^{2} + 12)}{{(x + 2)}^{3} {(x - 2)}^{3}} = 0$

Passaggio 1.2.2

Poni il numeratore uguale a zero.

$2 x (x^{2} + 12) = 0$

Passaggio 1.2.3

Risolvi l'equazione per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.3.1

Se qualsiasi singolo fattore nel lato sinistro dell'equazione è uguale a $0$ , l'intera espressione sarà uguale a $0$ .

$x = 0$

$x^{2} + 12 = 0$

Passaggio 1.2.3.2

Imposta $x$ uguale a $0$ .

$x = 0$

Passaggio 1.2.3.3

Imposta $x^{2} + 12$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.3.3.1

Imposta $x^{2} + 12$ uguale a $0$ .

$x^{2} + 12 = 0$

Passaggio 1.2.3.3.2

Risolvi $x^{2} + 12 = 0$ per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.3.3.2.1

Sottrai $12$ da entrambi i lati dell'equazione.

$x^{2} = - 12$

Passaggio 1.2.3.3.2.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{- 12}$

Passaggio 1.2.3.3.2.3

Semplifica $\pm \sqrt{- 12}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.3.3.2.3.1

Riscrivi $- 12$ come $- 1 (12)$ .

$x = \pm \sqrt{- 1 (12)}$

Passaggio 1.2.3.3.2.3.2

Riscrivi $\sqrt{- 1 (12)}$ come $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{12}$ .

$x = \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{12}$

Passaggio 1.2.3.3.2.3.3

Riscrivi $\sqrt{- 1}$ come $i$ .

$x = \pm i \cdot \sqrt{12}$

Passaggio 1.2.3.3.2.3.4

Riscrivi $12$ come $2^{2} \cdot 3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.3.3.2.3.4.1

Scomponi $4$ da $12$ .

$x = \pm i \cdot \sqrt{4 (3)}$

Passaggio 1.2.3.3.2.3.4.2

Riscrivi $4$ come $2^{2}$ .

$x = \pm i \cdot \sqrt{2^{2} \cdot 3}$

Passaggio 1.2.3.3.2.3.5

Estrai i termini dal radicale.

$x = \pm i \cdot (2 \sqrt{3})$

Passaggio 1.2.3.3.2.3.6

Sposta $2$ alla sinistra di $i$ .

$x = \pm 2 i \sqrt{3}$

Passaggio 1.2.3.3.2.4

La soluzione completa è il risultato delle porzioni positiva e negativa della soluzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.3.3.2.4.1

Per prima cosa, utilizza il valore positivo di $\pm$ per trovare la prima soluzione.

$x = 2 i \sqrt{3}$

Passaggio 1.2.3.3.2.4.2

Ora, utilizza il valore negativo del $\pm$ per trovare la seconda soluzione.

$x = - 2 i \sqrt{3}$

Passaggio 1.2.3.3.2.4.3

La soluzione completa è il risultato delle porzioni positiva e negativa della soluzione.

$x = 2 i \sqrt{3}, - 2 i \sqrt{3}$

Passaggio 1.2.3.4

La soluzione finale è data da tutti i valori che rendono $2 x (x^{2} + 12) = 0$ vera.

$x = 0, 2 i \sqrt{3}, - 2 i \sqrt{3}$

Passaggio 2

Trova il dominio di $f (x) = \frac{x}{x^{2} - 4}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Imposta il denominatore in $\frac{x}{x^{2} - 4}$ in modo che sia uguale a $0$ per individuare dove l'espressione è indefinita.

$x^{2} - 4 = 0$

Passaggio 2.2

Risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Somma $4$ a entrambi i lati dell'equazione.

$x^{2} = 4$

Passaggio 2.2.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{4}$

Passaggio 2.2.3

Semplifica $\pm \sqrt{4}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.3.1

Riscrivi $4$ come $2^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{2^{2}}$

Passaggio 2.2.3.2

Estrai i termini dal radicale, presupponendo numeri reali positivi.

$x = \pm 2$

Passaggio 2.2.4

La soluzione completa è il risultato delle porzioni positiva e negativa della soluzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.4.1

Per prima cosa, utilizza il valore positivo di $\pm$ per trovare la prima soluzione.

$x = 2$

Passaggio 2.2.4.2

Ora, utilizza il valore negativo del $\pm$ per trovare la seconda soluzione.

$x = - 2$

Passaggio 2.2.4.3

La soluzione completa è il risultato delle porzioni positiva e negativa della soluzione.

$x = 2, - 2$

Passaggio 2.3

Il dominio è formato da tutti i valori di $x$ che rendono definita l'espressione.

Notazione degli intervalli:

$(- \infty, - 2) \cup (- 2, 2) \cup (2, \infty)$

Notazione intensiva:

${x | x \neq 2, - 2}$

Notazione degli intervalli:

$(- \infty, - 2) \cup (- 2, 2) \cup (2, \infty)$

Notazione intensiva:

${x | x \neq 2, - 2}$

Passaggio 3

Crea intervalli attorno ai valori di $x$ per cui la derivata seconda è zero o indefinita.

$(- \infty, - 2) \cup (- 2, 0) \cup (0, 2) \cup (2, \infty)$

Passaggio 4

Sostituisci qualsiasi numero dell'intervallo $(- \infty, - 2)$ nella derivata seconda e calcola per determinare la concavità.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Sostituisci la variabile $x$ con $- 4$ nell'espressione.

$f'' (- 4) = \frac{2 (- 4) ({(- 4)}^{2} + 12)}{{((- 4) + 2)}^{3} {((- 4) - 2)}^{3}}$

Passaggio 4.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.1

Moltiplica $2$ per $- 4$ .

$f'' (- 4) = \frac{- 8 ({(- 4)}^{2} + 12)}{{(- 4 + 2)}^{3} {(- 4 - 2)}^{3}}$

Passaggio 4.2.2

Semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.2.1

Somma $- 4$ e $2$ .

$f'' (- 4) = \frac{- 8 ({(- 4)}^{2} + 12)}{{(- 2)}^{3} {(- 4 - 2)}^{3}}$

Passaggio 4.2.2.2

Sottrai $2$ da $- 4$ .

$f'' (- 4) = \frac{- 8 ({(- 4)}^{2} + 12)}{{(- 2)}^{3} {(- 6)}^{3}}$

Passaggio 4.2.2.3

Eleva $- 2$ alla potenza di $3$ .

$f'' (- 4) = \frac{- 8 ({(- 4)}^{2} + 12)}{- 8 {(- 6)}^{3}}$

Passaggio 4.2.2.4

Eleva $- 6$ alla potenza di $3$ .

$f'' (- 4) = \frac{- 8 ({(- 4)}^{2} + 12)}{- 8 \cdot - 216}$

Passaggio 4.2.3

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.3.1

Eleva $- 4$ alla potenza di $2$ .

$f'' (- 4) = \frac{- 8 (16 + 12)}{- 8 \cdot - 216}$

Passaggio 4.2.3.2

Somma $16$ e $12$ .

$f'' (- 4) = \frac{- 8 \cdot 28}{- 8 \cdot - 216}$

Passaggio 4.2.4

Riduci l'espressione eliminando i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.4.1

Moltiplica $- 8$ per $- 216$ .

$f'' (- 4) = \frac{- 8 \cdot 28}{1728}$

Passaggio 4.2.4.2

Moltiplica $- 8$ per $28$ .

$f'' (- 4) = \frac{- 224}{1728}$

Passaggio 4.2.4.3

Elimina il fattore comune di $- 224$ e $1728$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.4.3.1

Scomponi $32$ da $- 224$ .

$f'' (- 4) = \frac{32 (- 7)}{1728}$

Passaggio 4.2.4.3.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.4.3.2.1

Scomponi $32$ da $1728$ .

$f'' (- 4) = \frac{32 \cdot - 7}{32 \cdot 54}$

Passaggio 4.2.4.3.2.2

Elimina il fattore comune.

$f'' (- 4) = \frac{32 \cdot - 7}{32 \cdot 54}$

Passaggio 4.2.4.3.2.3

Riscrivi l'espressione.

$f'' (- 4) = \frac{- 7}{54}$

Passaggio 4.2.4.4

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$f'' (- 4) = - \frac{7}{54}$

Passaggio 4.2.5

La risposta finale è $- \frac{7}{54}$ .

$- \frac{7}{54}$

Passaggio 4.3

Il grafico è una funzione concava sull'intervallo $(- \infty, - 2)$ perché $f'' (- 4)$ è negativo.

Funzione concava su $(- \infty, - 2)$ poiché $f'' (x)$ è negativo

Passaggio 5

Sostituisci qualsiasi numero dell'intervallo $(- 2, 0)$ nella derivata seconda e calcola per determinare la concavità.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Sostituisci la variabile $x$ con $- 1$ nell'espressione.

$f'' (- 1) = \frac{2 (- 1) ({(- 1)}^{2} + 12)}{{((- 1) + 2)}^{3} {((- 1) - 2)}^{3}}$

Passaggio 5.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$f'' (- 1) = \frac{- 2 ({(- 1)}^{2} + 12)}{{(- 1 + 2)}^{3} {(- 1 - 2)}^{3}}$

Passaggio 5.2.2

Semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.2.1

Somma $- 1$ e $2$ .

$f'' (- 1) = \frac{- 2 ({(- 1)}^{2} + 12)}{1^{3} {(- 1 - 2)}^{3}}$

Passaggio 5.2.2.2

Sottrai $2$ da $- 1$ .

$f'' (- 1) = \frac{- 2 ({(- 1)}^{2} + 12)}{1^{3} {(- 3)}^{3}}$

Passaggio 5.2.2.3

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$f'' (- 1) = \frac{- 2 ({(- 1)}^{2} + 12)}{1 {(- 3)}^{3}}$

Passaggio 5.2.2.4

Eleva $- 3$ alla potenza di $3$ .

$f'' (- 1) = \frac{- 2 ({(- 1)}^{2} + 12)}{1 \cdot - 27}$

Passaggio 5.2.2.5

Moltiplica $- 27$ per $1$ .

$f'' (- 1) = \frac{- 2 ({(- 1)}^{2} + 12)}{- 27}$

Passaggio 5.2.3

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.3.1

Eleva $- 1$ alla potenza di $2$ .

$f'' (- 1) = \frac{- 2 (1 + 12)}{- 27}$

Passaggio 5.2.3.2

Somma $1$ e $12$ .

$f'' (- 1) = \frac{- 2 \cdot 13}{- 27}$

Passaggio 5.2.4

Riduci l'espressione eliminando i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.4.1

Moltiplica $- 2$ per $13$ .

$f'' (- 1) = \frac{- 26}{- 27}$

Passaggio 5.2.4.2

Dividendo due valori negativi si ottiene un valore positivo.

$f'' (- 1) = \frac{26}{27}$

Passaggio 5.2.5

La risposta finale è $\frac{26}{27}$ .

$\frac{26}{27}$

Passaggio 5.3

Il grafico è una funzione convessa sull'intervallo $(- 2, 0)$ perché $f'' (- 1)$ è positivo.

Funzione convessa su $(- 2, 0)$ poiché $f'' (x)$ è positivo

Passaggio 6

Sostituisci qualsiasi numero dell'intervallo $(0, 2)$ nella derivata seconda e calcola per determinare la concavità.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Sostituisci la variabile $x$ con $1$ nell'espressione.

$f'' (1) = \frac{2 (1) ({(1)}^{2} + 12)}{{((1) + 2)}^{3} {((1) - 2)}^{3}}$

Passaggio 6.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.1

Moltiplica $2$ per $1$ .

$f'' (1) = \frac{2 (1^{2} + 12)}{{(1 + 2)}^{3} {(1 - 2)}^{3}}$

Passaggio 6.2.2

Semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.2.1

Somma $1$ e $2$ .

$f'' (1) = \frac{2 (1^{2} + 12)}{3^{3} {(1 - 2)}^{3}}$

Passaggio 6.2.2.2

Sottrai $2$ da $1$ .

$f'' (1) = \frac{2 (1^{2} + 12)}{3^{3} {(- 1)}^{3}}$

Passaggio 6.2.2.3

Eleva $3$ alla potenza di $3$ .

$f'' (1) = \frac{2 (1^{2} + 12)}{27 {(- 1)}^{3}}$

Passaggio 6.2.2.4

Eleva $- 1$ alla potenza di $3$ .

$f'' (1) = \frac{2 (1^{2} + 12)}{27 \cdot - 1}$

Passaggio 6.2.3

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.3.1

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$f'' (1) = \frac{2 (1 + 12)}{27 \cdot - 1}$

Passaggio 6.2.3.2

Somma $1$ e $12$ .

$f'' (1) = \frac{2 \cdot 13}{27 \cdot - 1}$

Passaggio 6.2.4

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.4.1

Moltiplica $27$ per $- 1$ .

$f'' (1) = \frac{2 \cdot 13}{- 27}$

Passaggio 6.2.4.2

Moltiplica $2$ per $13$ .

$f'' (1) = \frac{26}{- 27}$

Passaggio 6.2.4.3

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$f'' (1) = - \frac{26}{27}$

Passaggio 6.2.5

La risposta finale è $- \frac{26}{27}$ .

$- \frac{26}{27}$

Passaggio 6.3

Il grafico è una funzione concava sull'intervallo $(0, 2)$ perché $f'' (1)$ è negativo.

Funzione concava su $(0, 2)$ poiché $f'' (x)$ è negativo

Passaggio 7

Sostituisci qualsiasi numero dell'intervallo $(2, \infty)$ nella derivata seconda e calcola per determinare la concavità.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1

Sostituisci la variabile $x$ con $4$ nell'espressione.

$f'' (4) = \frac{2 (4) ({(4)}^{2} + 12)}{{((4) + 2)}^{3} {((4) - 2)}^{3}}$

Passaggio 7.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.1

Moltiplica $2$ per $4$ .

$f'' (4) = \frac{8 (4^{2} + 12)}{{(4 + 2)}^{3} {(4 - 2)}^{3}}$

Passaggio 7.2.2

Semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.2.1

Somma $4$ e $2$ .

$f'' (4) = \frac{8 (4^{2} + 12)}{6^{3} {(4 - 2)}^{3}}$

Passaggio 7.2.2.2

Sottrai $2$ da $4$ .

$f'' (4) = \frac{8 (4^{2} + 12)}{6^{3} \cdot 2^{3}}$

Passaggio 7.2.2.3

Eleva $6$ alla potenza di $3$ .

$f'' (4) = \frac{8 (4^{2} + 12)}{216 \cdot 2^{3}}$

Passaggio 7.2.2.4

Eleva $2$ alla potenza di $3$ .

$f'' (4) = \frac{8 (4^{2} + 12)}{216 \cdot 8}$

Passaggio 7.2.3

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.3.1

Eleva $4$ alla potenza di $2$ .

$f'' (4) = \frac{8 (16 + 12)}{216 \cdot 8}$

Passaggio 7.2.3.2

Somma $16$ e $12$ .

$f'' (4) = \frac{8 \cdot 28}{216 \cdot 8}$

Passaggio 7.2.4

Riduci l'espressione eliminando i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.4.1

Moltiplica $216$ per $8$ .

$f'' (4) = \frac{8 \cdot 28}{1728}$

Passaggio 7.2.4.2

Moltiplica $8$ per $28$ .

$f'' (4) = \frac{224}{1728}$

Passaggio 7.2.4.3

Elimina il fattore comune di $224$ e $1728$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.4.3.1

Scomponi $32$ da $224$ .

$f'' (4) = \frac{32 (7)}{1728}$

Passaggio 7.2.4.3.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.4.3.2.1

Scomponi $32$ da $1728$ .

$f'' (4) = \frac{32 \cdot 7}{32 \cdot 54}$

Passaggio 7.2.4.3.2.2

Elimina il fattore comune.

$f'' (4) = \frac{32 \cdot 7}{32 \cdot 54}$

Passaggio 7.2.4.3.2.3

Riscrivi l'espressione.

$f'' (4) = \frac{7}{54}$

Passaggio 7.2.5

La risposta finale è $\frac{7}{54}$ .

$\frac{7}{54}$

Passaggio 7.3

Il grafico è una funzione convessa sull'intervallo $(2, \infty)$ perché $f'' (4)$ è positivo.

Funzione convessa su $(2, \infty)$ poiché $f'' (x)$ è positivo

Passaggio 8

Il grafico è una funzione concava quando la derivata seconda è negativa, mentre è una funzione convessa quando la derivata seconda è positiva.

Funzione concava su $(- \infty, - 2)$ poiché $f'' (x)$ è negativo

Funzione convessa su $(- 2, 0)$ poiché $f'' (x)$ è positivo

Funzione concava su $(0, 2)$ poiché $f'' (x)$ è negativo

Funzione convessa su $(2, \infty)$ poiché $f'' (x)$ è positivo

Passaggio 9