Calcolo Esempi

$f (x) = x^{2} {(x + 3)}^{5}$

Passaggio 1

Find the $x$ values where the second derivative is equal to $0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Trova la derivata seconda.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1.1

Differenzia usando la regola del prodotto secondo cui $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ è $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ dove $f (x) = x^{2}$ e $g (x) = {(x + 3)}^{5}$ .

$x^{2} \frac{d}{d x} [{(x + 3)}^{5}] + {(x + 3)}^{5} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Passaggio 1.1.1.2

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{5}$ e $g (x) = x + 3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1.2.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $x + 3$ .

$x^{2} (\frac{d}{d u} [u^{5}] \frac{d}{d x} [x + 3]) + {(x + 3)}^{5} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Passaggio 1.1.1.2.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ è $n u^{n - 1}$ dove $n = 5$ .

$x^{2} (5 u^{4} \frac{d}{d x} [x + 3]) + {(x + 3)}^{5} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Passaggio 1.1.1.2.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $x + 3$ .

$x^{2} (5 {(x + 3)}^{4} \frac{d}{d x} [x + 3]) + {(x + 3)}^{5} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Passaggio 1.1.1.3

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1.3.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $x + 3$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3]$ .

$x^{2} (5 {(x + 3)}^{4} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3])) + {(x + 3)}^{5} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Passaggio 1.1.1.3.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$x^{2} (5 {(x + 3)}^{4} (1 + \frac{d}{d x} [3])) + {(x + 3)}^{5} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Passaggio 1.1.1.3.3

Poiché $3$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $3$ rispetto a $x$ è $0$ .

$x^{2} (5 {(x + 3)}^{4} (1 + 0)) + {(x + 3)}^{5} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Passaggio 1.1.1.3.4

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1.3.4.1

Somma $1$ e $0$ .

$x^{2} (5 {(x + 3)}^{4} \cdot 1) + {(x + 3)}^{5} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Passaggio 1.1.1.3.4.2

Moltiplica $5$ per $1$ .

$x^{2} (5 {(x + 3)}^{4}) + {(x + 3)}^{5} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Passaggio 1.1.1.3.5

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$x^{2} (5 {(x + 3)}^{4}) + {(x + 3)}^{5} (2 x)$

Passaggio 1.1.1.3.6

Sposta $2$ alla sinistra di ${(x + 3)}^{5}$ .

$x^{2} (5 {(x + 3)}^{4}) + 2 \cdot {(x + 3)}^{5} x$

Passaggio 1.1.1.4

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1.4.1

Scomponi $x {(x + 3)}^{4}$ da $x^{2} (5 {(x + 3)}^{4}) + 2 {(x + 3)}^{5} x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1.4.1.1

Scomponi $x {(x + 3)}^{4}$ da $x^{2} (5 {(x + 3)}^{4})$ .

$x {(x + 3)}^{4} (x \cdot (5)) + 2 {(x + 3)}^{5} x$

Passaggio 1.1.1.4.1.2

Scomponi $x {(x + 3)}^{4}$ da $2 {(x + 3)}^{5} x$ .

$x {(x + 3)}^{4} (x \cdot (5)) + x {(x + 3)}^{4} (2 (x + 3))$

Passaggio 1.1.1.4.1.3

Scomponi $x {(x + 3)}^{4}$ da $x {(x + 3)}^{4} (x \cdot (5)) + x {(x + 3)}^{4} (2 (x + 3))$ .

$x {(x + 3)}^{4} (x \cdot (5) + 2 (x + 3))$

Passaggio 1.1.1.4.2

Sposta $5$ alla sinistra di $x$ .

$f' (x) = x {(x + 3)}^{4} (5 x + 2 (x + 3))$

Passaggio 1.1.2

Trova la derivata seconda.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.1

Semplifica i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.1.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.1.1.1

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{d}{d x} [x {(x + 3)}^{4} (5 x + 2 x + 2 \cdot 3)]$

Passaggio 1.1.2.1.1.2

Moltiplica $2$ per $3$ .

$\frac{d}{d x} [x {(x + 3)}^{4} (5 x + 2 x + 6)]$

Passaggio 1.1.2.1.2

Somma $5 x$ e $2 x$ .

$\frac{d}{d x} [x {(x + 3)}^{4} (7 x + 6)]$

Passaggio 1.1.2.2

Differenzia usando la regola del prodotto secondo cui $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ è $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ dove $f (x) = x {(x + 3)}^{4}$ e $g (x) = 7 x + 6$ .

$x {(x + 3)}^{4} \frac{d}{d x} [7 x + 6] + (7 x + 6) \frac{d}{d x} [x {(x + 3)}^{4}]$

Passaggio 1.1.2.3

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.3.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $7 x + 6$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [7 x] + \frac{d}{d x} [6]$ .

$x {(x + 3)}^{4} (\frac{d}{d x} [7 x] + \frac{d}{d x} [6]) + (7 x + 6) \frac{d}{d x} [x {(x + 3)}^{4}]$

Passaggio 1.1.2.3.2

Poiché $7$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $7 x$ rispetto a $x$ è $7 \frac{d}{d x} [x]$ .

$x {(x + 3)}^{4} (7 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [6]) + (7 x + 6) \frac{d}{d x} [x {(x + 3)}^{4}]$

Passaggio 1.1.2.3.3

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$x {(x + 3)}^{4} (7 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [6]) + (7 x + 6) \frac{d}{d x} [x {(x + 3)}^{4}]$

Passaggio 1.1.2.3.4

Moltiplica $7$ per $1$ .

$x {(x + 3)}^{4} (7 + \frac{d}{d x} [6]) + (7 x + 6) \frac{d}{d x} [x {(x + 3)}^{4}]$

Passaggio 1.1.2.3.5

Poiché $6$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $6$ rispetto a $x$ è $0$ .

$x {(x + 3)}^{4} (7 + 0) + (7 x + 6) \frac{d}{d x} [x {(x + 3)}^{4}]$

Passaggio 1.1.2.3.6

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.3.6.1

Somma $7$ e $0$ .

$x {(x + 3)}^{4} \cdot 7 + (7 x + 6) \frac{d}{d x} [x {(x + 3)}^{4}]$

Passaggio 1.1.2.3.6.2

Sposta $7$ alla sinistra di $x {(x + 3)}^{4}$ .

$7 \cdot (x {(x + 3)}^{4}) + (7 x + 6) \frac{d}{d x} [x {(x + 3)}^{4}]$

Passaggio 1.1.2.4

Differenzia usando la regola del prodotto secondo cui $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ è $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ dove $f (x) = x$ e $g (x) = {(x + 3)}^{4}$ .

$7 x {(x + 3)}^{4} + (7 x + 6) (x \frac{d}{d x} [{(x + 3)}^{4}] + {(x + 3)}^{4} \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 1.1.2.5

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{4}$ e $g (x) = x + 3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.5.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $x + 3$ .

$7 x {(x + 3)}^{4} + (7 x + 6) (x (\frac{d}{d u} [u^{4}] \frac{d}{d x} [x + 3]) + {(x + 3)}^{4} \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 1.1.2.5.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ è $n u^{n - 1}$ dove $n = 4$ .

$7 x {(x + 3)}^{4} + (7 x + 6) (x (4 u^{3} \frac{d}{d x} [x + 3]) + {(x + 3)}^{4} \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 1.1.2.5.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $x + 3$ .

$7 x {(x + 3)}^{4} + (7 x + 6) (x (4 {(x + 3)}^{3} \frac{d}{d x} [x + 3]) + {(x + 3)}^{4} \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 1.1.2.6

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.6.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $x + 3$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3]$ .

$7 x {(x + 3)}^{4} + (7 x + 6) (x (4 {(x + 3)}^{3} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3])) + {(x + 3)}^{4} \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 1.1.2.6.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$7 x {(x + 3)}^{4} + (7 x + 6) (x (4 {(x + 3)}^{3} (1 + \frac{d}{d x} [3])) + {(x + 3)}^{4} \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 1.1.2.6.3

Poiché $3$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $3$ rispetto a $x$ è $0$ .

$7 x {(x + 3)}^{4} + (7 x + 6) (x (4 {(x + 3)}^{3} (1 + 0)) + {(x + 3)}^{4} \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 1.1.2.6.4

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.6.4.1

Somma $1$ e $0$ .

$7 x {(x + 3)}^{4} + (7 x + 6) (x (4 {(x + 3)}^{3} \cdot 1) + {(x + 3)}^{4} \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 1.1.2.6.4.2

Moltiplica $4$ per $1$ .

$7 x {(x + 3)}^{4} + (7 x + 6) (x (4 {(x + 3)}^{3}) + {(x + 3)}^{4} \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 1.1.2.6.5

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$7 x {(x + 3)}^{4} + (7 x + 6) (x (4 {(x + 3)}^{3}) + {(x + 3)}^{4} \cdot 1)$

Passaggio 1.1.2.6.6

Moltiplica ${(x + 3)}^{4}$ per $1$ .

$f'' (x) = 7 x {(x + 3)}^{4} + (7 x + 6) (x (4 {(x + 3)}^{3}) + {(x + 3)}^{4})$

Passaggio 1.1.3

La derivata seconda di $f (x)$ rispetto a $x$ è $7 x {(x + 3)}^{4} + (7 x + 6) (x (4 {(x + 3)}^{3}) + {(x + 3)}^{4})$ .

$7 x {(x + 3)}^{4} + (7 x + 6) (x (4 {(x + 3)}^{3}) + {(x + 3)}^{4})$

Passaggio 1.2

Imposta la derivata seconda pari a $0$ , quindi risolvi l'equazione $7 x {(x + 3)}^{4} + (7 x + 6) (x (4 {(x + 3)}^{3}) + {(x + 3)}^{4}) = 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1

Imposta la derivata seconda uguale a $0$ .

$7 x {(x + 3)}^{4} + (7 x + 6) (x (4 {(x + 3)}^{3}) + {(x + 3)}^{4}) = 0$

Passaggio 1.2.2

Semplifica $7 x {(x + 3)}^{4} + (7 x + 6) (x (4 {(x + 3)}^{3}) + {(x + 3)}^{4})$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.2.1.1

Riscrivi usando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$7 x {(x + 3)}^{4} + (7 x + 6) (4 x {(x + 3)}^{3} + {(x + 3)}^{4}) = 0$

Passaggio 1.2.2.1.2

Espandi $(7 x + 6) (4 x {(x + 3)}^{3} + {(x + 3)}^{4})$ usando il metodo FOIL.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.2.1.2.1

Applica la proprietà distributiva.

$7 x {(x + 3)}^{4} + 7 x (4 x {(x + 3)}^{3} + {(x + 3)}^{4}) + 6 (4 x {(x + 3)}^{3} + {(x + 3)}^{4}) = 0$

Passaggio 1.2.2.1.2.2

Applica la proprietà distributiva.

$7 x {(x + 3)}^{4} + 7 x (4 x {(x + 3)}^{3}) + 7 x {(x + 3)}^{4} + 6 (4 x {(x + 3)}^{3} + {(x + 3)}^{4}) = 0$

Passaggio 1.2.2.1.2.3

Applica la proprietà distributiva.

$7 x {(x + 3)}^{4} + 7 x (4 x {(x + 3)}^{3}) + 7 x {(x + 3)}^{4} + 6 (4 x {(x + 3)}^{3}) + 6 {(x + 3)}^{4} = 0$

Passaggio 1.2.2.1.3

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.2.1.3.1

Moltiplica $x$ per $x$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.2.1.3.1.1

Sposta $x$ .

$7 x {(x + 3)}^{4} + 7 (x \cdot x) (4 {(x + 3)}^{3}) + 7 x {(x + 3)}^{4} + 6 (4 x {(x + 3)}^{3}) + 6 {(x + 3)}^{4} = 0$

Passaggio 1.2.2.1.3.1.2

Moltiplica $x$ per $x$ .

$7 x {(x + 3)}^{4} + 7 x^{2} (4 {(x + 3)}^{3}) + 7 x {(x + 3)}^{4} + 6 (4 x {(x + 3)}^{3}) + 6 {(x + 3)}^{4} = 0$

Passaggio 1.2.2.1.3.2

Riscrivi usando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$7 x {(x + 3)}^{4} + 7 \cdot 4 x^{2} {(x + 3)}^{3} + 7 x {(x + 3)}^{4} + 6 (4 x {(x + 3)}^{3}) + 6 {(x + 3)}^{4} = 0$

Passaggio 1.2.2.1.3.3

Moltiplica $7$ per $4$ .

$7 x {(x + 3)}^{4} + 28 x^{2} {(x + 3)}^{3} + 7 x {(x + 3)}^{4} + 6 (4 x {(x + 3)}^{3}) + 6 {(x + 3)}^{4} = 0$

Passaggio 1.2.2.1.3.4

Moltiplica $4$ per $6$ .

$7 x {(x + 3)}^{4} + 28 x^{2} {(x + 3)}^{3} + 7 x {(x + 3)}^{4} + 24 x {(x + 3)}^{3} + 6 {(x + 3)}^{4} = 0$

Passaggio 1.2.2.2

Somma $7 x {(x + 3)}^{4}$ e $7 x {(x + 3)}^{4}$ .

$14 x {(x + 3)}^{4} + 28 x^{2} {(x + 3)}^{3} + 24 x {(x + 3)}^{3} + 6 {(x + 3)}^{4} = 0$

Passaggio 1.2.3

Scomponi il primo membro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.3.1

Scomponi $2 {(x + 3)}^{3}$ da $14 x {(x + 3)}^{4} + 28 x^{2} {(x + 3)}^{3} + 24 x {(x + 3)}^{3} + 6 {(x + 3)}^{4}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.3.1.1

Scomponi $2 {(x + 3)}^{3}$ da $14 x {(x + 3)}^{4}$ .

$2 {(x + 3)}^{3} (7 x (x + 3)) + 28 x^{2} {(x + 3)}^{3} + 24 x {(x + 3)}^{3} + 6 {(x + 3)}^{4} = 0$

Passaggio 1.2.3.1.2

Scomponi $2 {(x + 3)}^{3}$ da $28 x^{2} {(x + 3)}^{3}$ .

$2 {(x + 3)}^{3} (7 x (x + 3)) + 2 {(x + 3)}^{3} (14 x^{2}) + 24 x {(x + 3)}^{3} + 6 {(x + 3)}^{4} = 0$

Passaggio 1.2.3.1.3

Scomponi $2 {(x + 3)}^{3}$ da $24 x {(x + 3)}^{3}$ .

$2 {(x + 3)}^{3} (7 x (x + 3)) + 2 {(x + 3)}^{3} (14 x^{2}) + 2 {(x + 3)}^{3} (12 x) + 6 {(x + 3)}^{4} = 0$

Passaggio 1.2.3.1.4

Scomponi $2 {(x + 3)}^{3}$ da $6 {(x + 3)}^{4}$ .

$2 {(x + 3)}^{3} (7 x (x + 3)) + 2 {(x + 3)}^{3} (14 x^{2}) + 2 {(x + 3)}^{3} (12 x) + 2 {(x + 3)}^{3} (3 (x + 3)) = 0$

Passaggio 1.2.3.1.5

Scomponi $2 {(x + 3)}^{3}$ da $2 {(x + 3)}^{3} (7 x (x + 3)) + 2 {(x + 3)}^{3} (14 x^{2})$ .

$2 {(x + 3)}^{3} (7 x (x + 3) + 14 x^{2}) + 2 {(x + 3)}^{3} (12 x) + 2 {(x + 3)}^{3} (3 (x + 3)) = 0$

Passaggio 1.2.3.1.6

Scomponi $2 {(x + 3)}^{3}$ da $2 {(x + 3)}^{3} (7 x (x + 3) + 14 x^{2}) + 2 {(x + 3)}^{3} (12 x)$ .

$2 {(x + 3)}^{3} (7 x (x + 3) + 14 x^{2} + 12 x) + 2 {(x + 3)}^{3} (3 (x + 3)) = 0$

Passaggio 1.2.3.1.7

Scomponi $2 {(x + 3)}^{3}$ da $2 {(x + 3)}^{3} (7 x (x + 3) + 14 x^{2} + 12 x) + 2 {(x + 3)}^{3} (3 (x + 3))$ .

$2 {(x + 3)}^{3} (7 x (x + 3) + 14 x^{2} + 12 x + 3 (x + 3)) = 0$

Passaggio 1.2.3.2

Scomponi $7 x$ da $7 x (x + 3) + 14 x^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.3.2.1

Scomponi $7 x$ da $14 x^{2}$ .

$2 {(x + 3)}^{3} (7 x (x + 3) + 7 x (2 x) + 12 x + 3 (x + 3)) = 0$

Passaggio 1.2.3.2.2

Scomponi $7 x$ da $7 x (x + 3) + 7 x (2 x)$ .

$2 {(x + 3)}^{3} (7 x (x + 3 + 2 x) + 12 x + 3 (x + 3)) = 0$

Passaggio 1.2.3.3

Somma $x$ e $2 x$ .

$2 {(x + 3)}^{3} (7 x (3 x + 3) + 12 x + 3 (x + 3)) = 0$

Passaggio 1.2.3.4

Scomponi.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.3.4.1

Scomponi $3$ da $3 x + 3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.3.4.1.1

Scomponi $3$ da $3 x$ .

$2 {(x + 3)}^{3} (7 x (3 (x) + 3) + 12 x + 3 (x + 3)) = 0$

Passaggio 1.2.3.4.1.2

Scomponi $3$ da $3$ .

$2 {(x + 3)}^{3} (7 x (3 (x) + 3 (1)) + 12 x + 3 (x + 3)) = 0$

Passaggio 1.2.3.4.1.3

Scomponi $3$ da $3 (x) + 3 (1)$ .

$2 {(x + 3)}^{3} (7 x (3 (x + 1)) + 12 x + 3 (x + 3)) = 0$

Passaggio 1.2.3.4.2

Rimuovi le parentesi non necessarie.

$2 {(x + 3)}^{3} (7 x \cdot (3 (x + 1)) + 12 x + 3 (x + 3)) = 0$

Passaggio 1.2.3.5

Moltiplica $3$ per $7$ .

$2 {(x + 3)}^{3} (21 x (x + 1) + 12 x + 3 (x + 3)) = 0$

Passaggio 1.2.3.6

Scomponi $3$ da $12 x + 3 (x + 3)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.3.6.1

Scomponi $3$ da $12 x$ .

$2 {(x + 3)}^{3} (21 x (x + 1) + 3 (4 x) + 3 (x + 3)) = 0$

Passaggio 1.2.3.6.2

Scomponi $3$ da $3 (4 x) + 3 (x + 3)$ .

$2 {(x + 3)}^{3} (21 x (x + 1) + 3 (4 x + x + 3)) = 0$

Passaggio 1.2.3.7

Somma $4 x$ e $x$ .

$2 {(x + 3)}^{3} (21 x (x + 1) + 3 (5 x + 3)) = 0$

Passaggio 1.2.3.8

Scomponi $3$ da $21 x (x + 1) + 3 (5 x + 3)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.3.8.1

Scomponi $3$ da $21 x (x + 1)$ .

$2 {(x + 3)}^{3} (3 (7 x (x + 1)) + 3 (5 x + 3)) = 0$

Passaggio 1.2.3.8.2

Scomponi $3$ da $3 (7 x (x + 1)) + 3 (5 x + 3)$ .

$2 {(x + 3)}^{3} (3 (7 x (x + 1) + 5 x + 3)) = 0$

Passaggio 1.2.3.9

Applica la proprietà distributiva.

$2 {(x + 3)}^{3} (3 (7 x \cdot x + 7 x \cdot 1 + 5 x + 3)) = 0$

Passaggio 1.2.3.10

Moltiplica $x$ per $x$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.3.10.1

Sposta $x$ .

$2 {(x + 3)}^{3} (3 (7 (x \cdot x) + 7 x \cdot 1 + 5 x + 3)) = 0$

Passaggio 1.2.3.10.2

Moltiplica $x$ per $x$ .

$2 {(x + 3)}^{3} (3 (7 x^{2} + 7 x \cdot 1 + 5 x + 3)) = 0$

Passaggio 1.2.3.11

Moltiplica $7$ per $1$ .

$2 {(x + 3)}^{3} (3 (7 x^{2} + 7 x + 5 x + 3)) = 0$

Passaggio 1.2.3.12

Scomponi.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.3.12.1

Somma $7 x$ e $5 x$ .

$2 {(x + 3)}^{3} (3 (7 x^{2} + 12 x + 3)) = 0$

Passaggio 1.2.3.12.2

Rimuovi le parentesi non necessarie.

$2 {(x + 3)}^{3} \cdot (3 (7 x^{2} + 12 x + 3)) = 0$

Passaggio 1.2.3.13

Moltiplica $3$ per $2$ .

$6 {(x + 3)}^{3} (7 x^{2} + 12 x + 3) = 0$

Passaggio 1.2.4

Se qualsiasi singolo fattore nel lato sinistro dell'equazione è uguale a $0$ , l'intera espressione sarà uguale a $0$ .

${(x + 3)}^{3} = 0$

$7 x^{2} + 12 x + 3 = 0$

Passaggio 1.2.5

Imposta ${(x + 3)}^{3}$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.5.1

Imposta ${(x + 3)}^{3}$ uguale a $0$ .

${(x + 3)}^{3} = 0$

Passaggio 1.2.5.2

Risolvi ${(x + 3)}^{3} = 0$ per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.5.2.1

Poni $x + 3$ uguale a $0$ .

$x + 3 = 0$

Passaggio 1.2.5.2.2

Sottrai $3$ da entrambi i lati dell'equazione.

$x = - 3$

Passaggio 1.2.6

Imposta $7 x^{2} + 12 x + 3$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.6.1

Imposta $7 x^{2} + 12 x + 3$ uguale a $0$ .

$7 x^{2} + 12 x + 3 = 0$

Passaggio 1.2.6.2

Risolvi $7 x^{2} + 12 x + 3 = 0$ per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.6.2.1

Usa la formula quadratica per trovare le soluzioni.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Passaggio 1.2.6.2.2

Sostituisci i valori $a = 7$ , $b = 12$ e $c = 3$ nella formula quadratica e risolvi per $x$ .

$\frac{- 12 \pm \sqrt{12^{2} - 4 \cdot (7 \cdot 3)}}{2 \cdot 7}$

Passaggio 1.2.6.2.3

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.6.2.3.1

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.6.2.3.1.1

Eleva $12$ alla potenza di $2$ .

$x = \frac{- 12 \pm \sqrt{144 - 4 \cdot 7 \cdot 3}}{2 \cdot 7}$

Passaggio 1.2.6.2.3.1.2

Moltiplica $- 4 \cdot 7 \cdot 3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.6.2.3.1.2.1

Moltiplica $- 4$ per $7$ .

$x = \frac{- 12 \pm \sqrt{144 - 28 \cdot 3}}{2 \cdot 7}$

Passaggio 1.2.6.2.3.1.2.2

Moltiplica $- 28$ per $3$ .

$x = \frac{- 12 \pm \sqrt{144 - 84}}{2 \cdot 7}$

Passaggio 1.2.6.2.3.1.3

Sottrai $84$ da $144$ .

$x = \frac{- 12 \pm \sqrt{60}}{2 \cdot 7}$

Passaggio 1.2.6.2.3.1.4

Riscrivi $60$ come $2^{2} \cdot 15$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.6.2.3.1.4.1

Scomponi $4$ da $60$ .

$x = \frac{- 12 \pm \sqrt{4 (15)}}{2 \cdot 7}$

Passaggio 1.2.6.2.3.1.4.2

Riscrivi $4$ come $2^{2}$ .

$x = \frac{- 12 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 15}}{2 \cdot 7}$

Passaggio 1.2.6.2.3.1.5

Estrai i termini dal radicale.

$x = \frac{- 12 \pm 2 \sqrt{15}}{2 \cdot 7}$

Passaggio 1.2.6.2.3.2

Moltiplica $2$ per $7$ .

$x = \frac{- 12 \pm 2 \sqrt{15}}{14}$

Passaggio 1.2.6.2.3.3

Semplifica $\frac{- 12 \pm 2 \sqrt{15}}{14}$ .

$x = \frac{- 6 \pm \sqrt{15}}{7}$

Passaggio 1.2.6.2.4

Semplifica l'espressione per risolvere per la porzione $+$ di $\pm$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.6.2.4.1

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.6.2.4.1.1

Eleva $12$ alla potenza di $2$ .

$x = \frac{- 12 \pm \sqrt{144 - 4 \cdot 7 \cdot 3}}{2 \cdot 7}$

Passaggio 1.2.6.2.4.1.2

Moltiplica $- 4 \cdot 7 \cdot 3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.6.2.4.1.2.1

Moltiplica $- 4$ per $7$ .

$x = \frac{- 12 \pm \sqrt{144 - 28 \cdot 3}}{2 \cdot 7}$

Passaggio 1.2.6.2.4.1.2.2

Moltiplica $- 28$ per $3$ .

$x = \frac{- 12 \pm \sqrt{144 - 84}}{2 \cdot 7}$

Passaggio 1.2.6.2.4.1.3

Sottrai $84$ da $144$ .

$x = \frac{- 12 \pm \sqrt{60}}{2 \cdot 7}$

Passaggio 1.2.6.2.4.1.4

Riscrivi $60$ come $2^{2} \cdot 15$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.6.2.4.1.4.1

Scomponi $4$ da $60$ .

$x = \frac{- 12 \pm \sqrt{4 (15)}}{2 \cdot 7}$

Passaggio 1.2.6.2.4.1.4.2

Riscrivi $4$ come $2^{2}$ .

$x = \frac{- 12 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 15}}{2 \cdot 7}$

Passaggio 1.2.6.2.4.1.5

Estrai i termini dal radicale.

$x = \frac{- 12 \pm 2 \sqrt{15}}{2 \cdot 7}$

Passaggio 1.2.6.2.4.2

Moltiplica $2$ per $7$ .

$x = \frac{- 12 \pm 2 \sqrt{15}}{14}$

Passaggio 1.2.6.2.4.3

Semplifica $\frac{- 12 \pm 2 \sqrt{15}}{14}$ .

$x = \frac{- 6 \pm \sqrt{15}}{7}$

Passaggio 1.2.6.2.4.4

Cambia da $\pm$ a $+$ .

$x = \frac{- 6 + \sqrt{15}}{7}$

Passaggio 1.2.6.2.4.5

Riscrivi $- 6$ come $- 1 (6)$ .

$x = \frac{- 1 \cdot 6 + \sqrt{15}}{7}$

Passaggio 1.2.6.2.4.6

Scomponi $- 1$ da $\sqrt{15}$ .

$x = \frac{- 1 \cdot 6 - 1 (- \sqrt{15})}{7}$

Passaggio 1.2.6.2.4.7

Scomponi $- 1$ da $- 1 (6) - 1 (- \sqrt{15})$ .

$x = \frac{- 1 (6 - \sqrt{15})}{7}$

Passaggio 1.2.6.2.4.8

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$x = - \frac{6 - \sqrt{15}}{7}$

Passaggio 1.2.6.2.5

Semplifica l'espressione per risolvere per la porzione $-$ di $\pm$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.6.2.5.1

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.6.2.5.1.1

Eleva $12$ alla potenza di $2$ .

$x = \frac{- 12 \pm \sqrt{144 - 4 \cdot 7 \cdot 3}}{2 \cdot 7}$

Passaggio 1.2.6.2.5.1.2

Moltiplica $- 4 \cdot 7 \cdot 3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.6.2.5.1.2.1

Moltiplica $- 4$ per $7$ .

$x = \frac{- 12 \pm \sqrt{144 - 28 \cdot 3}}{2 \cdot 7}$

Passaggio 1.2.6.2.5.1.2.2

Moltiplica $- 28$ per $3$ .

$x = \frac{- 12 \pm \sqrt{144 - 84}}{2 \cdot 7}$

Passaggio 1.2.6.2.5.1.3

Sottrai $84$ da $144$ .

$x = \frac{- 12 \pm \sqrt{60}}{2 \cdot 7}$

Passaggio 1.2.6.2.5.1.4

Riscrivi $60$ come $2^{2} \cdot 15$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.6.2.5.1.4.1

Scomponi $4$ da $60$ .

$x = \frac{- 12 \pm \sqrt{4 (15)}}{2 \cdot 7}$

Passaggio 1.2.6.2.5.1.4.2

Riscrivi $4$ come $2^{2}$ .

$x = \frac{- 12 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 15}}{2 \cdot 7}$

Passaggio 1.2.6.2.5.1.5

Estrai i termini dal radicale.

$x = \frac{- 12 \pm 2 \sqrt{15}}{2 \cdot 7}$

Passaggio 1.2.6.2.5.2

Moltiplica $2$ per $7$ .

$x = \frac{- 12 \pm 2 \sqrt{15}}{14}$

Passaggio 1.2.6.2.5.3

Semplifica $\frac{- 12 \pm 2 \sqrt{15}}{14}$ .

$x = \frac{- 6 \pm \sqrt{15}}{7}$

Passaggio 1.2.6.2.5.4

Cambia da $\pm$ a $-$ .

$x = \frac{- 6 - \sqrt{15}}{7}$

Passaggio 1.2.6.2.5.5

Riscrivi $- 6$ come $- 1 (6)$ .

$x = \frac{- 1 \cdot 6 - \sqrt{15}}{7}$

Passaggio 1.2.6.2.5.6

Scomponi $- 1$ da $- \sqrt{15}$ .

$x = \frac{- 1 \cdot 6 - (\sqrt{15})}{7}$

Passaggio 1.2.6.2.5.7

Scomponi $- 1$ da $- 1 (6) - (\sqrt{15})$ .

$x = \frac{- 1 (6 + \sqrt{15})}{7}$

Passaggio 1.2.6.2.5.8

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$x = - \frac{6 + \sqrt{15}}{7}$

Passaggio 1.2.6.2.6

La risposta finale è la combinazione di entrambe le soluzioni.

$x = - \frac{6 - \sqrt{15}}{7}, - \frac{6 + \sqrt{15}}{7}$

Passaggio 1.2.7

La soluzione finale è data da tutti i valori che rendono $6 {(x + 3)}^{3} (7 x^{2} + 12 x + 3) = 0$ vera.

$x = - 3, - \frac{6 - \sqrt{15}}{7}, - \frac{6 + \sqrt{15}}{7}$

Passaggio 2

Il dominio dell'espressione sono tutti i numeri reali tranne nei casi in cui l'espressione sia indefinita. In questo caso, non c'è alcun numero reale che rende l'espressione indefinita.

Notazione degli intervalli:

$(- \infty, \infty)$

Notazione intensiva:

${x | x \in ℝ}$

Passaggio 3

Crea intervalli attorno ai valori di $x$ per cui la derivata seconda è zero o indefinita.

$(- \infty, - 3) \cup (- 3, - \frac{6 + \sqrt{15}}{7}) \cup (- \frac{6 + \sqrt{15}}{7}, - \frac{6 - \sqrt{15}}{7}) \cup (- \frac{6 - \sqrt{15}}{7}, \infty)$

Passaggio 4

Sostituisci qualsiasi numero dell'intervallo $(- \infty, - 3)$ nella derivata seconda e calcola per determinare la concavità.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Sostituisci la variabile $x$ con $- 6$ nell'espressione.

$f'' (- 6) = 7 (- 6) {((- 6) + 3)}^{4} + (7 (- 6) + 6) ((- 6) (4 {((- 6) + 3)}^{3}) + {((- 6) + 3)}^{4})$

Passaggio 4.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.1.1

Moltiplica $7$ per $- 6$ .

$f'' (- 6) = - 42 {((- 6) + 3)}^{4} + (7 (- 6) + 6) ((- 6) (4 {((- 6) + 3)}^{3}) + {((- 6) + 3)}^{4})$

Passaggio 4.2.1.2

Somma $- 6$ e $3$ .

$f'' (- 6) = - 42 {(- 3)}^{4} + (7 (- 6) + 6) ((- 6) (4 {((- 6) + 3)}^{3}) + {((- 6) + 3)}^{4})$

Passaggio 4.2.1.3

Eleva $- 3$ alla potenza di $4$ .

$f'' (- 6) = - 42 \cdot 81 + (7 (- 6) + 6) ((- 6) (4 {((- 6) + 3)}^{3}) + {((- 6) + 3)}^{4})$

Passaggio 4.2.1.4

Moltiplica $- 42$ per $81$ .

$f'' (- 6) = - 3402 + (7 (- 6) + 6) ((- 6) (4 {((- 6) + 3)}^{3}) + {((- 6) + 3)}^{4})$

Passaggio 4.2.1.5

Moltiplica $7$ per $- 6$ .

$f'' (- 6) = - 3402 + (- 42 + 6) ((- 6) (4 {((- 6) + 3)}^{3}) + {((- 6) + 3)}^{4})$

Passaggio 4.2.1.6

Somma $- 42$ e $6$ .

$f'' (- 6) = - 3402 - 36 ((- 6) (4 {((- 6) + 3)}^{3}) + {((- 6) + 3)}^{4})$

Passaggio 4.2.1.7

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.1.7.1

Somma $- 6$ e $3$ .

$f'' (- 6) = - 3402 - 36 (- 6 (4 {(- 3)}^{3}) + {((- 6) + 3)}^{4})$

Passaggio 4.2.1.7.2

Eleva $- 3$ alla potenza di $3$ .

$f'' (- 6) = - 3402 - 36 (- 6 (4 \cdot - 27) + {((- 6) + 3)}^{4})$

Passaggio 4.2.1.7.3

Moltiplica $- 6 (4 \cdot - 27)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.1.7.3.1

Moltiplica $4$ per $- 27$ .

$f'' (- 6) = - 3402 - 36 (- 6 \cdot - 108 + {((- 6) + 3)}^{4})$

Passaggio 4.2.1.7.3.2

Moltiplica $- 6$ per $- 108$ .

$f'' (- 6) = - 3402 - 36 (648 + {((- 6) + 3)}^{4})$

Passaggio 4.2.1.7.4

Somma $- 6$ e $3$ .

$f'' (- 6) = - 3402 - 36 (648 + {(- 3)}^{4})$

Passaggio 4.2.1.7.5

Eleva $- 3$ alla potenza di $4$ .

$f'' (- 6) = - 3402 - 36 (648 + 81)$

Passaggio 4.2.1.8

Somma $648$ e $81$ .

$f'' (- 6) = - 3402 - 36 \cdot 729$

Passaggio 4.2.1.9

Moltiplica $- 36$ per $729$ .

$f'' (- 6) = - 3402 - 26244$

Passaggio 4.2.2

Sottrai $26244$ da $- 3402$ .

$f'' (- 6) = - 29646$

Passaggio 4.2.3

La risposta finale è $- 29646$ .

$- 29646$

Passaggio 4.3

Il grafico è una funzione concava sull'intervallo $(- \infty, - 3)$ perché $f'' (- 6)$ è negativo.

Funzione concava su $(- \infty, - 3)$ poiché $f'' (x)$ è negativo

Passaggio 5

Sostituisci qualsiasi numero dell'intervallo $(- 3, - \frac{6 + \sqrt{15}}{7})$ nella derivata seconda e calcola per determinare la concavità.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Sostituisci la variabile $x$ con $- 2$ nell'espressione.

$f'' (- 2) = 7 (- 2) {((- 2) + 3)}^{4} + (7 (- 2) + 6) ((- 2) (4 {((- 2) + 3)}^{3}) + {((- 2) + 3)}^{4})$

Passaggio 5.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1.1

Moltiplica $7$ per $- 2$ .

$f'' (- 2) = - 14 {((- 2) + 3)}^{4} + (7 (- 2) + 6) ((- 2) (4 {((- 2) + 3)}^{3}) + {((- 2) + 3)}^{4})$

Passaggio 5.2.1.2

Somma $- 2$ e $3$ .

$f'' (- 2) = - 14 \cdot 1^{4} + (7 (- 2) + 6) ((- 2) (4 {((- 2) + 3)}^{3}) + {((- 2) + 3)}^{4})$

Passaggio 5.2.1.3

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$f'' (- 2) = - 14 \cdot 1 + (7 (- 2) + 6) ((- 2) (4 {((- 2) + 3)}^{3}) + {((- 2) + 3)}^{4})$

Passaggio 5.2.1.4

Moltiplica $- 14$ per $1$ .

$f'' (- 2) = - 14 + (7 (- 2) + 6) ((- 2) (4 {((- 2) + 3)}^{3}) + {((- 2) + 3)}^{4})$

Passaggio 5.2.1.5

Moltiplica $7$ per $- 2$ .

$f'' (- 2) = - 14 + (- 14 + 6) ((- 2) (4 {((- 2) + 3)}^{3}) + {((- 2) + 3)}^{4})$

Passaggio 5.2.1.6

Somma $- 14$ e $6$ .

$f'' (- 2) = - 14 - 8 ((- 2) (4 {((- 2) + 3)}^{3}) + {((- 2) + 3)}^{4})$

Passaggio 5.2.1.7

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1.7.1

Somma $- 2$ e $3$ .

$f'' (- 2) = - 14 - 8 (- 2 (4 \cdot 1^{3}) + {((- 2) + 3)}^{4})$

Passaggio 5.2.1.7.2

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$f'' (- 2) = - 14 - 8 (- 2 (4 \cdot 1) + {((- 2) + 3)}^{4})$

Passaggio 5.2.1.7.3

Moltiplica $- 2 (4 \cdot 1)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1.7.3.1

Moltiplica $4$ per $1$ .

$f'' (- 2) = - 14 - 8 (- 2 \cdot 4 + {((- 2) + 3)}^{4})$

Passaggio 5.2.1.7.3.2

Moltiplica $- 2$ per $4$ .

$f'' (- 2) = - 14 - 8 (- 8 + {((- 2) + 3)}^{4})$

Passaggio 5.2.1.7.4

Somma $- 2$ e $3$ .

$f'' (- 2) = - 14 - 8 (- 8 + 1^{4})$

Passaggio 5.2.1.7.5

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$f'' (- 2) = - 14 - 8 (- 8 + 1)$

Passaggio 5.2.1.8

Somma $- 8$ e $1$ .

$f'' (- 2) = - 14 - 8 \cdot - 7$

Passaggio 5.2.1.9

Moltiplica $- 8$ per $- 7$ .

$f'' (- 2) = - 14 + 56$

Passaggio 5.2.2

Somma $- 14$ e $56$ .

$f'' (- 2) = 42$

Passaggio 5.2.3

La risposta finale è $42$ .

$42$

Passaggio 5.3

Il grafico è una funzione convessa sull'intervallo $(- 3, - \frac{6 + \sqrt{15}}{7})$ perché $f'' (- 2)$ è positivo.

Funzione convessa su $(- 3, - \frac{6 + \sqrt{15}}{7})$ poiché $f'' (x)$ è positivo

Passaggio 6

Sostituisci qualsiasi numero dell'intervallo $(- \frac{6 + \sqrt{15}}{7}, - \frac{6 - \sqrt{15}}{7})$ nella derivata seconda e calcola per determinare la concavità.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Sostituisci la variabile $x$ con $- 1$ nell'espressione.

$f'' (- 1) = 7 (- 1) {((- 1) + 3)}^{4} + (7 (- 1) + 6) ((- 1) (4 {((- 1) + 3)}^{3}) + {((- 1) + 3)}^{4})$

Passaggio 6.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.1.1

Moltiplica $7$ per $- 1$ .

$f'' (- 1) = - 7 {((- 1) + 3)}^{4} + (7 (- 1) + 6) ((- 1) (4 {((- 1) + 3)}^{3}) + {((- 1) + 3)}^{4})$

Passaggio 6.2.1.2

Somma $- 1$ e $3$ .

$f'' (- 1) = - 7 \cdot 2^{4} + (7 (- 1) + 6) ((- 1) (4 {((- 1) + 3)}^{3}) + {((- 1) + 3)}^{4})$

Passaggio 6.2.1.3

Eleva $2$ alla potenza di $4$ .

$f'' (- 1) = - 7 \cdot 16 + (7 (- 1) + 6) ((- 1) (4 {((- 1) + 3)}^{3}) + {((- 1) + 3)}^{4})$

Passaggio 6.2.1.4

Moltiplica $- 7$ per $16$ .

$f'' (- 1) = - 112 + (7 (- 1) + 6) ((- 1) (4 {((- 1) + 3)}^{3}) + {((- 1) + 3)}^{4})$

Passaggio 6.2.1.5

Moltiplica $7$ per $- 1$ .

$f'' (- 1) = - 112 + (- 7 + 6) ((- 1) (4 {((- 1) + 3)}^{3}) + {((- 1) + 3)}^{4})$

Passaggio 6.2.1.6

Somma $- 7$ e $6$ .

$f'' (- 1) = - 112 - 1 ((- 1) (4 {((- 1) + 3)}^{3}) + {((- 1) + 3)}^{4})$

Passaggio 6.2.1.7

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.1.7.1

Somma $- 1$ e $3$ .

$f'' (- 1) = - 112 - 1 (- 1 (4 \cdot 2^{3}) + {((- 1) + 3)}^{4})$

Passaggio 6.2.1.7.2

Eleva $2$ alla potenza di $3$ .

$f'' (- 1) = - 112 - 1 (- 1 (4 \cdot 8) + {((- 1) + 3)}^{4})$

Passaggio 6.2.1.7.3

Moltiplica $- 1 (4 \cdot 8)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.1.7.3.1

Moltiplica $4$ per $8$ .

$f'' (- 1) = - 112 - 1 (- 1 \cdot 32 + {((- 1) + 3)}^{4})$

Passaggio 6.2.1.7.3.2

Moltiplica $- 1$ per $32$ .

$f'' (- 1) = - 112 - 1 (- 32 + {((- 1) + 3)}^{4})$

Passaggio 6.2.1.7.4

Somma $- 1$ e $3$ .

$f'' (- 1) = - 112 - 1 (- 32 + 2^{4})$

Passaggio 6.2.1.7.5

Eleva $2$ alla potenza di $4$ .

$f'' (- 1) = - 112 - 1 (- 32 + 16)$

Passaggio 6.2.1.8

Somma $- 32$ e $16$ .

$f'' (- 1) = - 112 - 1 \cdot - 16$

Passaggio 6.2.1.9

Moltiplica $- 1$ per $- 16$ .

$f'' (- 1) = - 112 + 16$

Passaggio 6.2.2

Somma $- 112$ e $16$ .

$f'' (- 1) = - 96$

Passaggio 6.2.3

La risposta finale è $- 96$ .

$- 96$

Passaggio 6.3

Il grafico è una funzione concava sull'intervallo $(- \frac{6 + \sqrt{15}}{7}, - \frac{6 - \sqrt{15}}{7})$ perché $f'' (- 1)$ è negativo.

Funzione concava su $(- \frac{6 + \sqrt{15}}{7}, - \frac{6 - \sqrt{15}}{7})$ poiché $f'' (x)$ è negativo

Passaggio 7

Sostituisci qualsiasi numero dell'intervallo $(- \frac{6 - \sqrt{15}}{7}, \infty)$ nella derivata seconda e calcola per determinare la concavità.

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Passaggio 7.1

Sostituisci la variabile $x$ con $0$ nell'espressione.

$f'' (0) = 7 (0) {((0) + 3)}^{4} + (7 (0) + 6) ((0) (4 {((0) + 3)}^{3}) + {((0) + 3)}^{4})$

Passaggio 7.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.1.1

Moltiplica $7$ per $0$ .

$f'' (0) = 0 {((0) + 3)}^{4} + (7 (0) + 6) ((0) (4 {((0) + 3)}^{3}) + {((0) + 3)}^{4})$

Passaggio 7.2.1.2

Somma $0$ e $3$ .

$f'' (0) = 0 \cdot 3^{4} + (7 (0) + 6) ((0) (4 {((0) + 3)}^{3}) + {((0) + 3)}^{4})$

Passaggio 7.2.1.3

Eleva $3$ alla potenza di $4$ .

$f'' (0) = 0 \cdot 81 + (7 (0) + 6) ((0) (4 {((0) + 3)}^{3}) + {((0) + 3)}^{4})$

Passaggio 7.2.1.4

Moltiplica $0$ per $81$ .

$f'' (0) = 0 + (7 (0) + 6) ((0) (4 {((0) + 3)}^{3}) + {((0) + 3)}^{4})$

Passaggio 7.2.1.5

Moltiplica $7$ per $0$ .

$f'' (0) = 0 + (0 + 6) ((0) (4 {((0) + 3)}^{3}) + {((0) + 3)}^{4})$

Passaggio 7.2.1.6

Somma $0$ e $6$ .

$f'' (0) = 0 + 6 ((0) (4 {((0) + 3)}^{3}) + {((0) + 3)}^{4})$

Passaggio 7.2.1.7

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.1.7.1

Somma $0$ e $3$ .

$f'' (0) = 0 + 6 (0 (4 \cdot 3^{3}) + {((0) + 3)}^{4})$

Passaggio 7.2.1.7.2

Eleva $3$ alla potenza di $3$ .

$f'' (0) = 0 + 6 (0 (4 \cdot 27) + {((0) + 3)}^{4})$

Passaggio 7.2.1.7.3

Moltiplica $0 (4 \cdot 27)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.1.7.3.1

Moltiplica $4$ per $27$ .

$f'' (0) = 0 + 6 (0 \cdot 108 + {((0) + 3)}^{4})$

Passaggio 7.2.1.7.3.2

Moltiplica $0$ per $108$ .

$f'' (0) = 0 + 6 (0 + {((0) + 3)}^{4})$

Passaggio 7.2.1.7.4

Somma $0$ e $3$ .

$f'' (0) = 0 + 6 (0 + 3^{4})$

Passaggio 7.2.1.7.5

Eleva $3$ alla potenza di $4$ .

$f'' (0) = 0 + 6 (0 + 81)$

Passaggio 7.2.1.8

Somma $0$ e $81$ .

$f'' (0) = 0 + 6 \cdot 81$

Passaggio 7.2.1.9

Moltiplica $6$ per $81$ .

$f'' (0) = 0 + 486$

Passaggio 7.2.2

Somma $0$ e $486$ .

$f'' (0) = 486$

Passaggio 7.2.3

La risposta finale è $486$ .

$486$

Passaggio 7.3

Il grafico è una funzione convessa sull'intervallo $(- \frac{6 - \sqrt{15}}{7}, \infty)$ perché $f'' (0)$ è positivo.

Funzione convessa su $(- \frac{6 - \sqrt{15}}{7}, \infty)$ poiché $f'' (x)$ è positivo

Passaggio 8

Il grafico è una funzione concava quando la derivata seconda è negativa, mentre è una funzione convessa quando la derivata seconda è positiva.

Funzione concava su $(- \infty, - 3)$ poiché $f'' (x)$ è negativo

Funzione convessa su $(- 3, - \frac{6 + \sqrt{15}}{7})$ poiché $f'' (x)$ è positivo

Funzione concava su $(- \frac{6 + \sqrt{15}}{7}, - \frac{6 - \sqrt{15}}{7})$ poiché $f'' (x)$ è negativo

Funzione convessa su $(- \frac{6 - \sqrt{15}}{7}, \infty)$ poiché $f'' (x)$ è positivo

Passaggio 9