Calcolo Esempi

$y = x + \cos (2 x)$

Passaggio 1

Scrivi $y = x + \cos (2 x)$ come funzione.

$f (x) = x + \cos (2 x)$

Passaggio 2

Trova la derivata seconda.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.1

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.1.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $x + \cos (2 x)$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\cos (2 x)]$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (\cos (2 x))$

Passaggio 2.1.1.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$f' (x) = 1 + \frac{d}{d x} (\cos (2 x))$

Passaggio 2.1.2

Calcola $\frac{d}{d x} [\cos (2 x)]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.2.1

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = \cos (x)$ e $g (x) = 2 x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.2.1.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $2 x$ .

$f' (x) = 1 + \frac{d}{d u} (\cos (u)) \frac{d}{d x} (2 x)$

Passaggio 2.1.2.1.2

La derivata di $\cos (u)$ rispetto a $u$ è $- \sin (u)$ .

$f' (x) = 1 - \sin (u) \frac{d}{d x} (2 x)$

Passaggio 2.1.2.1.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $2 x$ .

$f' (x) = 1 - \sin (2 x) \frac{d}{d x} (2 x)$

Passaggio 2.1.2.2

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $2 x$ rispetto a $x$ è $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f' (x) = 1 - \sin (2 x) (2 \frac{d}{d x} (x))$

Passaggio 2.1.2.3

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$f' (x) = 1 - \sin (2 x) (2 \cdot 1)$

Passaggio 2.1.2.4

Moltiplica $2$ per $1$ .

$f' (x) = 1 - \sin (2 x) \cdot 2$

Passaggio 2.1.2.5

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$f' (x) = 1 - 2 \sin (2 x)$

Passaggio 2.2

Trova la derivata seconda.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $1 - 2 \sin (2 x)$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- 2 \sin (2 x)]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (1) + \frac{d}{d x} (- 2 \sin (2 x))$

Passaggio 2.2.1.2

Poiché $1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$f'' (x) = 0 + \frac{d}{d x} (- 2 \sin (2 x))$

Passaggio 2.2.2

Calcola $\frac{d}{d x} [- 2 \sin (2 x)]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.2.1

Poiché $- 2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 2 \sin (2 x)$ rispetto a $x$ è $- 2 \frac{d}{d x} [\sin (2 x)]$ .

$f'' (x) = 0 - 2 \frac{d}{d x} \sin (2 x)$

Passaggio 2.2.2.2

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = \sin (x)$ e $g (x) = 2 x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.2.2.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $2 x$ .

$f'' (x) = 0 - 2 (\frac{d}{d u} (\sin (u)) \frac{d}{d x} (2 x))$

Passaggio 2.2.2.2.2

La derivata di $\sin (u)$ rispetto a $u$ è $\cos (u)$ .

$f'' (x) = 0 - 2 (\cos (u) \frac{d}{d x} (2 x))$

Passaggio 2.2.2.2.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $2 x$ .

$f'' (x) = 0 - 2 (\cos (2 x) \frac{d}{d x} (2 x))$

Passaggio 2.2.2.3

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $2 x$ rispetto a $x$ è $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = 0 - 2 (\cos (2 x) (2 \frac{d}{d x} (x)))$

Passaggio 2.2.2.4

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$f'' (x) = 0 - 2 (\cos (2 x) (2 \cdot 1))$

Passaggio 2.2.2.5

Moltiplica $2$ per $1$ .

$f'' (x) = 0 - 2 (\cos (2 x) \cdot 2)$

Passaggio 2.2.2.6

Sposta $2$ alla sinistra di $\cos (2 x)$ .

$f'' (x) = 0 - 2 (2 \cdot \cos (2 x))$

Passaggio 2.2.2.7

Moltiplica $2$ per $- 2$ .

$f'' (x) = 0 - 4 \cos (2 x)$

Passaggio 2.2.3

Sottrai $4 \cos (2 x)$ da $0$ .

$f'' (x) = - 4 \cos (2 x)$

Passaggio 2.3

La derivata seconda di $f (x)$ rispetto a $x$ è $- 4 \cos (2 x)$ .

$- 4 \cos (2 x)$

Passaggio 3

Imposta la derivata seconda pari a $0$ , quindi risolvi l'equazione $- 4 \cos (2 x) = 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Imposta la derivata seconda uguale a $0$ .

$- 4 \cos (2 x) = 0$

Passaggio 3.2

Dividi per $- 4$ ciascun termine in $- 4 \cos (2 x) = 0$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1

Dividi per $- 4$ ciascun termine in $- 4 \cos (2 x) = 0$ .

$\frac{- 4 \cos (2 x)}{- 4} = \frac{0}{- 4}$

Passaggio 3.2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.2.1

Elimina il fattore comune di $- 4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{- 4 \cos (2 x)}{- 4} = \frac{0}{- 4}$

Passaggio 3.2.2.1.2

Dividi $\cos (2 x)$ per $1$ .

$\cos (2 x) = \frac{0}{- 4}$

Passaggio 3.2.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.3.1

Dividi $0$ per $- 4$ .

$\cos (2 x) = 0$

Passaggio 3.3

Trova il valore dell'incognita $x$ corrispondente all'inverso del coseno presente nell'equazione assegnata.

$2 x = \arccos (0)$

Passaggio 3.4

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.1

Il valore esatto di $\arccos (0)$ è $\frac{π}{2}$ .

$2 x = \frac{π}{2}$

Passaggio 3.5

Dividi per $2$ ciascun termine in $2 x = \frac{π}{2}$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.1

Dividi per $2$ ciascun termine in $2 x = \frac{π}{2}$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{\frac{π}{2}}{2}$

Passaggio 3.5.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.2.1

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{2 x}{2} = \frac{\frac{π}{2}}{2}$

Passaggio 3.5.2.1.2

Dividi $x$ per $1$ .

$x = \frac{\frac{π}{2}}{2}$

Passaggio 3.5.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.3.1

Moltiplica il numeratore per il reciproco del denominatore.

$x = \frac{π}{2} \cdot \frac{1}{2}$

Passaggio 3.5.3.2

Moltiplica $\frac{π}{2} \cdot \frac{1}{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.3.2.1

Moltiplica $\frac{π}{2}$ per $\frac{1}{2}$ .

$x = \frac{π}{2 \cdot 2}$

Passaggio 3.5.3.2.2

Moltiplica $2$ per $2$ .

$x = \frac{π}{4}$

Passaggio 3.6

La funzione del coseno è positiva nel primo e nel quarto quadrante. Per trovare la seconda soluzione, sottrai l'angolo di riferimento da $2 π$ per trovare la soluzione nel quarto quadrante.

$2 x = 2 π - \frac{π}{2}$

Passaggio 3.7

Risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.7.1

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.7.1.1

Per scrivere $2 π$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$2 x = 2 π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2}$

Passaggio 3.7.1.2

$2 π$ e $\frac{2}{2}$ .

$2 x = \frac{2 π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2}$

Passaggio 3.7.1.3

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$2 x = \frac{2 π \cdot 2 - π}{2}$

Passaggio 3.7.1.4

Moltiplica $2$ per $2$ .

$2 x = \frac{4 π - π}{2}$

Passaggio 3.7.1.5

Sottrai $π$ da $4 π$ .

$2 x = \frac{3 π}{2}$

Passaggio 3.7.2

Dividi per $2$ ciascun termine in $2 x = \frac{3 π}{2}$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.7.2.1

Dividi per $2$ ciascun termine in $2 x = \frac{3 π}{2}$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{\frac{3 π}{2}}{2}$

Passaggio 3.7.2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.7.2.2.1

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.7.2.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{2 x}{2} = \frac{\frac{3 π}{2}}{2}$

Passaggio 3.7.2.2.1.2

Dividi $x$ per $1$ .

$x = \frac{\frac{3 π}{2}}{2}$

Passaggio 3.7.2.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.7.2.3.1

Moltiplica il numeratore per il reciproco del denominatore.

$x = \frac{3 π}{2} \cdot \frac{1}{2}$

Passaggio 3.7.2.3.2

Moltiplica $\frac{3 π}{2} \cdot \frac{1}{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.7.2.3.2.1

Moltiplica $\frac{3 π}{2}$ per $\frac{1}{2}$ .

$x = \frac{3 π}{2 \cdot 2}$

Passaggio 3.7.2.3.2.2

Moltiplica $2$ per $2$ .

$x = \frac{3 π}{4}$

Passaggio 3.8

Trova il periodo di $\cos (2 x)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.8.1

Si può calcolare il periodo della funzione usando $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Passaggio 3.8.2

Sostituisci $b$ con $2$ nella formula per il periodo.

$\frac{2 π}{| 2 |}$

Passaggio 3.8.3

Il valore assoluto è la distanza tra un numero e zero. La distanza tra $0$ e $2$ è $2$ .

$\frac{2 π}{2}$

Passaggio 3.8.4

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.8.4.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{2 π}{2}$

Passaggio 3.8.4.2

Dividi $π$ per $1$ .

$π$

Passaggio 3.9

Il periodo della funzione $\cos (2 x)$ è $π$ , quindi i valori si ripetono ogni $π$ radianti in entrambe le direzioni.

$x = \frac{π}{4} + π n, \frac{3 π}{4} + π n$ , per qualsiasi intero $n$

Passaggio 3.10

Consolida le risposte.

$x = \frac{π}{4} + \frac{π n}{2}$ , per qualsiasi intero $n$

Passaggio 4

Trova i punti dove la derivata seconda è $0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Sostituisci $\frac{π}{4}$ in $f (x) = x + \cos (2 x)$ per trovare il valore di $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.1

Sostituisci la variabile $x$ con $\frac{π}{4}$ nell'espressione.

$f (\frac{π}{4}) = (\frac{π}{4}) + \cos (2 (\frac{π}{4}))$

Passaggio 4.1.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.2.1.1

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.2.1.1.1

Scomponi $2$ da $4$ .

$f (\frac{π}{4}) = \frac{π}{4} + \cos (2 (\frac{π}{2 (2)}))$

Passaggio 4.1.2.1.1.2

Elimina il fattore comune.

$f (\frac{π}{4}) = \frac{π}{4} + \cos (2 (\frac{π}{2 \cdot 2}))$

Passaggio 4.1.2.1.1.3

Riscrivi l'espressione.

$f (\frac{π}{4}) = \frac{π}{4} + \cos (\frac{π}{2})$

Passaggio 4.1.2.1.2

Il valore esatto di $\cos (\frac{π}{2})$ è $0$ .

$f (\frac{π}{4}) = \frac{π}{4} + 0$

Passaggio 4.1.2.2

Somma $\frac{π}{4}$ e $0$ .

$f (\frac{π}{4}) = \frac{π}{4}$

Passaggio 4.1.2.3

La risposta finale è $\frac{π}{4}$ .

$\frac{π}{4}$

Passaggio 4.2

Il punto trovato sostituendo $\frac{π}{4}$ in $f (x) = x + \cos (2 x)$ è $(\frac{π}{4}, \frac{π}{4})$ . Questo punto può essere un punto di flesso.

$(\frac{π}{4}, \frac{π}{4})$

Passaggio 5

Dividi $(- \infty, \infty)$ in intervalli intorno ai punti che potrebbero potenzialmente essere punti di flesso.

$(- \infty, \frac{π}{4}) \cup (\frac{π}{4}, \infty)$

Passaggio 6

Sostituisci un valore dell'intervallo $(- \infty, \frac{π}{4})$ nella derivata seconda per determinare se è crescente o decrescente.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Sostituisci la variabile $x$ con $0.68539816$ nell'espressione.

$f'' (0.68539816) = - 4 \cos (2 (0.68539816))$

Passaggio 6.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.1

Moltiplica $2$ per $0.68539816$ .

$f'' (0.68539816) = - 4 \cos (1.37079632)$

Passaggio 6.2.2

La risposta finale è $- 4 \cos (1.37079632)$ .

$- 4 \cos (1.37079632)$

Passaggio 6.3

Per $0.68539816$ , la derivata seconda è $- 0.79467732$ . Poiché il valore è negativo, la derivata seconda è decrescente nell'intervallo $(- \infty, \frac{π}{4})$ .

Decrescente su $(- \infty, \frac{π}{4})$ perché $f'' (x) < 0$

Passaggio 7

Sostituisci un valore dell'intervallo $(\frac{π}{4}, \infty)$ nella derivata seconda per determinare se è crescente o decrescente.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1

Sostituisci la variabile $x$ con $0.88539816$ nell'espressione.

$f'' (0.88539816) = - 4 \cos (2 (0.88539816))$

Passaggio 7.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.1

Moltiplica $2$ per $0.88539816$ .

$f'' (0.88539816) = - 4 \cos (1.77079632)$

Passaggio 7.2.2

La risposta finale è $- 4 \cos (1.77079632)$ .

$- 4 \cos (1.77079632)$

Passaggio 7.3

In corrispondenza di $0.88539816$ , la derivata seconda è $0.79467732$ . Poiché il valore è positivo, la derivata seconda è crescente sull'intervallo $(\frac{π}{4}, \infty)$ .

Crescente su $(\frac{π}{4}, \infty)$ perché $f'' (x) > 0$

Passaggio 8

Un punto di flesso è un punto su una curva in cui la concavità cambia di segno, da più a meno oppure da meno a più. In questo caso il punto di flesso è $(\frac{π}{4}, \frac{π}{4})$ .

$(\frac{π}{4}, \frac{π}{4})$

Passaggio 9