Calcolo Esempi

$y = x^{5} + x^{3} - 2$

Passaggio 1

Scrivi $y = x^{5} + x^{3} - 2$ come funzione.

$f (x) = x^{5} + x^{3} - 2$

Passaggio 2

Trova la derivata seconda.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $x^{5} + x^{3} - 2$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 2]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 2]$

Passaggio 2.1.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 5$ .

$5 x^{4} + \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 2]$

Passaggio 2.1.3

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 3$ .

$5 x^{4} + 3 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 2]$

Passaggio 2.1.4

Poiché $- 2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 2$ rispetto a $x$ è $0$ .

$5 x^{4} + 3 x^{2} + 0$

Passaggio 2.1.5

Somma $5 x^{4} + 3 x^{2}$ e $0$ .

$f' (x) = 5 x^{4} + 3 x^{2}$

Passaggio 2.2

Trova la derivata seconda.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $5 x^{4} + 3 x^{2}$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [5 x^{4}] + \frac{d}{d x} [3 x^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [5 x^{4}] + \frac{d}{d x} [3 x^{2}]$

Passaggio 2.2.2

Calcola $\frac{d}{d x} [5 x^{4}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.2.1

Poiché $5$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $5 x^{4}$ rispetto a $x$ è $5 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$5 \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [3 x^{2}]$

Passaggio 2.2.2.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 4$ .

$5 (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [3 x^{2}]$

Passaggio 2.2.2.3

Moltiplica $4$ per $5$ .

$20 x^{3} + \frac{d}{d x} [3 x^{2}]$

Passaggio 2.2.3

Calcola $\frac{d}{d x} [3 x^{2}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.3.1

Poiché $3$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $3 x^{2}$ rispetto a $x$ è $3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$20 x^{3} + 3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Passaggio 2.2.3.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$20 x^{3} + 3 (2 x)$

Passaggio 2.2.3.3

Moltiplica $2$ per $3$ .

$f'' (x) = 20 x^{3} + 6 x$

Passaggio 2.3

La derivata seconda di $f (x)$ rispetto a $x$ è $20 x^{3} + 6 x$ .

$20 x^{3} + 6 x$

Passaggio 3

Imposta la derivata seconda pari a $0$ , quindi risolvi l'equazione $20 x^{3} + 6 x = 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Imposta la derivata seconda uguale a $0$ .

$20 x^{3} + 6 x = 0$

Passaggio 3.2

Scomponi $2 x$ da $20 x^{3} + 6 x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1

Scomponi $2 x$ da $20 x^{3}$ .

$2 x (10 x^{2}) + 6 x = 0$

Passaggio 3.2.2

Scomponi $2 x$ da $6 x$ .

$2 x (10 x^{2}) + 2 x (3) = 0$

Passaggio 3.2.3

Scomponi $2 x$ da $2 x (10 x^{2}) + 2 x (3)$ .

$2 x (10 x^{2} + 3) = 0$

Passaggio 3.3

Se qualsiasi singolo fattore nel lato sinistro dell'equazione è uguale a $0$ , l'intera espressione sarà uguale a $0$ .

$x = 0$

$10 x^{2} + 3 = 0$

Passaggio 3.4

Imposta $x$ uguale a $0$ .

$x = 0$

Passaggio 3.5

Imposta $10 x^{2} + 3$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.1

Imposta $10 x^{2} + 3$ uguale a $0$ .

$10 x^{2} + 3 = 0$

Passaggio 3.5.2

Risolvi $10 x^{2} + 3 = 0$ per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.2.1

Sottrai $3$ da entrambi i lati dell'equazione.

$10 x^{2} = - 3$

Passaggio 3.5.2.2

Dividi per $10$ ciascun termine in $10 x^{2} = - 3$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.2.2.1

Dividi per $10$ ciascun termine in $10 x^{2} = - 3$ .

$\frac{10 x^{2}}{10} = \frac{- 3}{10}$

Passaggio 3.5.2.2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.2.2.2.1

Elimina il fattore comune di $10$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.2.2.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{10 x^{2}}{10} = \frac{- 3}{10}$

Passaggio 3.5.2.2.2.1.2

Dividi $x^{2}$ per $1$ .

$x^{2} = \frac{- 3}{10}$

Passaggio 3.5.2.2.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.2.2.3.1

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$x^{2} = - \frac{3}{10}$

Passaggio 3.5.2.3

Trova la radice quadrata specificata di entrambi i lati dell'equazione per eliminare l'esponente sul lato sinistro.

$x = \pm \sqrt{- \frac{3}{10}}$

Passaggio 3.5.2.4

Semplifica $\pm \sqrt{- \frac{3}{10}}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.2.4.1

Riscrivi $- 1$ come $i^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{i^{2} \frac{3}{10}}$

Passaggio 3.5.2.4.2

Estrai i termini dal radicale.

$x = \pm i \sqrt{\frac{3}{10}}$

Passaggio 3.5.2.4.3

Riscrivi $\sqrt{\frac{3}{10}}$ come $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{10}}$ .

$x = \pm i \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{10}}$

Passaggio 3.5.2.4.4

Moltiplica $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{10}}$ per $\frac{\sqrt{10}}{\sqrt{10}}$ .

$x = \pm i (\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{10}} \cdot \frac{\sqrt{10}}{\sqrt{10}})$

Passaggio 3.5.2.4.5

Combina e semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.2.4.5.1

Moltiplica $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{10}}$ per $\frac{\sqrt{10}}{\sqrt{10}}$ .

$x = \pm i \frac{\sqrt{3} \sqrt{10}}{\sqrt{10} \sqrt{10}}$

Passaggio 3.5.2.4.5.2

Eleva $\sqrt{10}$ alla potenza di $1$ .

$x = \pm i \frac{\sqrt{3} \sqrt{10}}{{\sqrt{10}}^{1} \sqrt{10}}$

Passaggio 3.5.2.4.5.3

Eleva $\sqrt{10}$ alla potenza di $1$ .

$x = \pm i \frac{\sqrt{3} \sqrt{10}}{{\sqrt{10}}^{1} {\sqrt{10}}^{1}}$

Passaggio 3.5.2.4.5.4

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$x = \pm i \frac{\sqrt{3} \sqrt{10}}{{\sqrt{10}}^{1 + 1}}$

Passaggio 3.5.2.4.5.5

Somma $1$ e $1$ .

$x = \pm i \frac{\sqrt{3} \sqrt{10}}{{\sqrt{10}}^{2}}$

Passaggio 3.5.2.4.5.6

Riscrivi ${\sqrt{10}}^{2}$ come $10$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.2.4.5.6.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{10}$ come $10^{\frac{1}{2}}$ .

$x = \pm i \frac{\sqrt{3} \sqrt{10}}{{(10^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Passaggio 3.5.2.4.5.6.2

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x = \pm i \frac{\sqrt{3} \sqrt{10}}{10^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Passaggio 3.5.2.4.5.6.3

$\frac{1}{2}$ e $2$ .

$x = \pm i \frac{\sqrt{3} \sqrt{10}}{10^{\frac{2}{2}}}$

Passaggio 3.5.2.4.5.6.4

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.2.4.5.6.4.1

Elimina il fattore comune.

$x = \pm i \frac{\sqrt{3} \sqrt{10}}{10^{\frac{2}{2}}}$

Passaggio 3.5.2.4.5.6.4.2

Riscrivi l'espressione.

$x = \pm i \frac{\sqrt{3} \sqrt{10}}{10^{1}}$

Passaggio 3.5.2.4.5.6.5

Calcola l'esponente.

$x = \pm i \frac{\sqrt{3} \sqrt{10}}{10}$

Passaggio 3.5.2.4.6

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.2.4.6.1

Combina usando la regola del prodotto per i radicali.

$x = \pm i \frac{\sqrt{3 \cdot 10}}{10}$

Passaggio 3.5.2.4.6.2

Moltiplica $3$ per $10$ .

$x = \pm i \frac{\sqrt{30}}{10}$

Passaggio 3.5.2.4.7

$i$ e $\frac{\sqrt{30}}{10}$ .

$x = \pm \frac{i \sqrt{30}}{10}$

Passaggio 3.5.2.5

La soluzione completa è il risultato delle porzioni positiva e negativa della soluzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.2.5.1

Per prima cosa, usa il valore positivo di $\pm$ per trovare la prima soluzione.

$x = \frac{i \sqrt{30}}{10}$

Passaggio 3.5.2.5.2

Ora, usa il valore negativo del $\pm$ per trovare la seconda soluzione.

$x = - \frac{i \sqrt{30}}{10}$

Passaggio 3.5.2.5.3

La soluzione completa è il risultato delle porzioni positiva e negativa della soluzione.

$x = \frac{i \sqrt{30}}{10}, - \frac{i \sqrt{30}}{10}$

Passaggio 3.6

La soluzione finale è data da tutti i valori che rendono $2 x (10 x^{2} + 3) = 0$ vera.

$x = 0, \frac{i \sqrt{30}}{10}, - \frac{i \sqrt{30}}{10}$

Passaggio 4

Trova i punti dove la derivata seconda è $0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Sostituisci $0$ in $f (x) = x^{5} + x^{3} - 2$ per trovare il valore di $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.1

Sostituisci la variabile $x$ con $0$ nell'espressione.

$f (0) = {(0)}^{5} + {(0)}^{3} - 2$

Passaggio 4.1.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.2.1.1

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$f (0) = 0 + {(0)}^{3} - 2$

Passaggio 4.1.2.1.2

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$f (0) = 0 + 0 - 2$

Passaggio 4.1.2.2

Semplifica aggiungendo e sottraendo.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.2.2.1

Somma $0$ e $0$ .

$f (0) = 0 - 2$

Passaggio 4.1.2.2.2

Sottrai $2$ da $0$ .

$f (0) = - 2$

Passaggio 4.1.2.3

La risposta finale è $- 2$ .

$- 2$

Passaggio 4.2

Il punto trovato sostituendo $0$ in $f (x) = x^{5} + x^{3} - 2$ è $(0, - 2)$ . Questo punto può essere un punto di flesso.

$(0, - 2)$

Passaggio 5

Dividi $(- \infty, \infty)$ in intervalli intorno ai punti che potrebbero potenzialmente essere punti di flesso.

$(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$

Passaggio 6

Sostituisci un valore dell'intervallo $(- \infty, 0)$ nella derivata seconda per determinare se è crescente o decrescente.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Sostituisci la variabile $x$ con $- 0.1$ nell'espressione.

$f'' (- 0.1) = 20 {(- 0.1)}^{3} + 6 (- 0.1)$

Passaggio 6.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.1.1

Eleva $- 0.1$ alla potenza di $3$ .

$f'' (- 0.1) = 20 \cdot - 0.001 + 6 (- 0.1)$

Passaggio 6.2.1.2

Moltiplica $20$ per $- 0.001$ .

$f'' (- 0.1) = - 0.02 + 6 (- 0.1)$

Passaggio 6.2.1.3

Moltiplica $6$ per $- 0.1$ .

$f'' (- 0.1) = - 0.02 - 0.6$

Passaggio 6.2.2

Sottrai $0.6$ da $- 0.02$ .

$f'' (- 0.1) = - 0.62$

Passaggio 6.2.3

La risposta finale è $- 0.62$ .

$- 0.62$

Passaggio 6.3

Per $- 0.1$ , la derivata seconda è $- 0.62$ . Poiché il valore è negativo, la derivata seconda è decrescente nell'intervallo $(- \infty, 0)$ .

Decrescente su $(- \infty, 0)$ perché $f'' (x) < 0$

Passaggio 7

Sostituisci un valore dell'intervallo $(0, \infty)$ nella derivata seconda per determinare se è crescente o decrescente.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1

Sostituisci la variabile $x$ con $0.1$ nell'espressione.

$f'' (0.1) = 20 {(0.1)}^{3} + 6 (0.1)$

Passaggio 7.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.1.1

Eleva $0.1$ alla potenza di $3$ .

$f'' (0.1) = 20 \cdot 0.001 + 6 (0.1)$

Passaggio 7.2.1.2

Moltiplica $20$ per $0.001$ .

$f'' (0.1) = 0.02 + 6 (0.1)$

Passaggio 7.2.1.3

Moltiplica $6$ per $0.1$ .

$f'' (0.1) = 0.02 + 0.6$

Passaggio 7.2.2

Somma $0.02$ e $0.6$ .

$f'' (0.1) = 0.62$

Passaggio 7.2.3

La risposta finale è $0.62$ .

$0.62$

Passaggio 7.3

In corrispondenza di $0.1$ , la derivata seconda è $0.62$ . Poiché il valore è positivo, la derivata seconda è crescente sull'intervallo $(0, \infty)$ .

Crescente su $(0, \infty)$ perché $f'' (x) > 0$

Passaggio 8

Un punto di flesso è un punto su una curva in cui la concavità cambia di segno, da più a meno oppure da meno a più. In questo caso il punto di flesso è $(0, - 2)$ .

$(0, - 2)$

Passaggio 9