Calcolo Esempi

$y = x^{5} \ln (x)$

Passaggio 1

Scrivi $y = x^{5} \ln (x)$ come funzione.

$f (x) = x^{5} \ln (x)$

Passaggio 2

Trova la derivata seconda.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.1

Differenzia usando la regola del prodotto secondo cui $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ è $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ dove $f (x) = x^{5}$ e $g (x) = \ln (x)$ .

$x^{5} \frac{d}{d x} [\ln (x)] + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{5}]$

Passaggio 2.1.2

La derivata di $\ln (x)$ rispetto a $x$ è $\frac{1}{x}$ .

$x^{5} \frac{1}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{5}]$

Passaggio 2.1.3

Differenzia usando la regola della potenza.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.3.1

$x^{5}$ e $\frac{1}{x}$ .

$\frac{x^{5}}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{5}]$

Passaggio 2.1.3.2

Elimina il fattore comune di $x^{5}$ e $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.3.2.1

Scomponi $x$ da $x^{5}$ .

$\frac{x \cdot x^{4}}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{5}]$

Passaggio 2.1.3.2.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.3.2.2.1

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$\frac{x \cdot x^{4}}{x^{1}} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{5}]$

Passaggio 2.1.3.2.2.2

Scomponi $x$ da $x^{1}$ .

$\frac{x \cdot x^{4}}{x \cdot 1} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{5}]$

Passaggio 2.1.3.2.2.3

Elimina il fattore comune.

$\frac{x \cdot x^{4}}{x \cdot 1} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{5}]$

Passaggio 2.1.3.2.2.4

Riscrivi l'espressione.

$\frac{x^{4}}{1} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{5}]$

Passaggio 2.1.3.2.2.5

Dividi $x^{4}$ per $1$ .

$x^{4} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{5}]$

Passaggio 2.1.3.3

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 5$ .

$x^{4} + \ln (x) (5 x^{4})$

Passaggio 2.1.3.4

Riordina i termini.

$f' (x) = x^{4} + 5 x^{4} \ln (x)$

Passaggio 2.2

Trova la derivata seconda.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $x^{4} + 5 x^{4} \ln (x)$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [5 x^{4} \ln (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [5 x^{4} \ln (x)]$

Passaggio 2.2.1.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 4$ .

$4 x^{3} + \frac{d}{d x} [5 x^{4} \ln (x)]$

Passaggio 2.2.2

Calcola $\frac{d}{d x} [5 x^{4} \ln (x)]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.2.1

Poiché $5$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $5 x^{4} \ln (x)$ rispetto a $x$ è $5 \frac{d}{d x} [x^{4} \ln (x)]$ .

$4 x^{3} + 5 \frac{d}{d x} [x^{4} \ln (x)]$

Passaggio 2.2.2.2

Differenzia usando la regola del prodotto secondo cui $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ è $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ dove $f (x) = x^{4}$ e $g (x) = \ln (x)$ .

$4 x^{3} + 5 (x^{4} \frac{d}{d x} [\ln (x)] + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{4}])$

Passaggio 2.2.2.3

La derivata di $\ln (x)$ rispetto a $x$ è $\frac{1}{x}$ .

$4 x^{3} + 5 (x^{4} \frac{1}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{4}])$

Passaggio 2.2.2.4

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 4$ .

$4 x^{3} + 5 (x^{4} \frac{1}{x} + \ln (x) (4 x^{3}))$

Passaggio 2.2.2.5

$x^{4}$ e $\frac{1}{x}$ .

$4 x^{3} + 5 (\frac{x^{4}}{x} + \ln (x) (4 x^{3}))$

Passaggio 2.2.2.6

Elimina il fattore comune di $x^{4}$ e $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.2.6.1

Scomponi $x$ da $x^{4}$ .

$4 x^{3} + 5 (\frac{x \cdot x^{3}}{x} + \ln (x) (4 x^{3}))$

Passaggio 2.2.2.6.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.2.6.2.1

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$4 x^{3} + 5 (\frac{x \cdot x^{3}}{x^{1}} + \ln (x) (4 x^{3}))$

Passaggio 2.2.2.6.2.2

Scomponi $x$ da $x^{1}$ .

$4 x^{3} + 5 (\frac{x \cdot x^{3}}{x \cdot 1} + \ln (x) (4 x^{3}))$

Passaggio 2.2.2.6.2.3

Elimina il fattore comune.

$4 x^{3} + 5 (\frac{x \cdot x^{3}}{x \cdot 1} + \ln (x) (4 x^{3}))$

Passaggio 2.2.2.6.2.4

Riscrivi l'espressione.

$4 x^{3} + 5 (\frac{x^{3}}{1} + \ln (x) (4 x^{3}))$

Passaggio 2.2.2.6.2.5

Dividi $x^{3}$ per $1$ .

$4 x^{3} + 5 (x^{3} + \ln (x) (4 x^{3}))$

Passaggio 2.2.3

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.3.1

Applica la proprietà distributiva.

$4 x^{3} + 5 x^{3} + 5 (\ln (x) (4 x^{3}))$

Passaggio 2.2.3.2

Raccogli i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.3.2.1

Moltiplica $4$ per $5$ .

$4 x^{3} + 5 x^{3} + 20 (\ln (x) (x^{3}))$

Passaggio 2.2.3.2.2

Somma $4 x^{3}$ e $5 x^{3}$ .

$9 x^{3} + 20 \ln (x) x^{3}$

Passaggio 2.2.3.3

Riordina i termini.

$f'' (x) = 9 x^{3} + 20 x^{3} \ln (x)$

Passaggio 2.3

La derivata seconda di $f (x)$ rispetto a $x$ è $9 x^{3} + 20 x^{3} \ln (x)$ .

$9 x^{3} + 20 x^{3} \ln (x)$

Passaggio 3

Imposta la derivata seconda pari a $0$ , quindi risolvi l'equazione $9 x^{3} + 20 x^{3} \ln (x) = 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Imposta la derivata seconda uguale a $0$ .

$9 x^{3} + 20 x^{3} \ln (x) = 0$

Passaggio 3.2

Sottrai $9 x^{3}$ da entrambi i lati dell'equazione.

$20 x^{3} \ln (x) = - 9 x^{3}$

Passaggio 3.3

Dividi per $20 x^{3}$ ciascun termine in $20 x^{3} \ln (x) = - 9 x^{3}$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.1

Dividi per $20 x^{3}$ ciascun termine in $20 x^{3} \ln (x) = - 9 x^{3}$ .

$\frac{20 x^{3} \ln (x)}{20 x^{3}} = \frac{- 9 x^{3}}{20 x^{3}}$

Passaggio 3.3.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.2.1

Elimina il fattore comune di $20$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{20 x^{3} \ln (x)}{20 x^{3}} = \frac{- 9 x^{3}}{20 x^{3}}$

Passaggio 3.3.2.1.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{x^{3} \ln (x)}{x^{3}} = \frac{- 9 x^{3}}{20 x^{3}}$

Passaggio 3.3.2.2

Elimina il fattore comune di $x^{3}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.2.2.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{x^{3} \ln (x)}{x^{3}} = \frac{- 9 x^{3}}{20 x^{3}}$

Passaggio 3.3.2.2.2

Dividi $\ln (x)$ per $1$ .

$\ln (x) = \frac{- 9 x^{3}}{20 x^{3}}$

Passaggio 3.3.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.3.1

Elimina il fattore comune di $x^{3}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.3.1.1

Elimina il fattore comune.

$\ln (x) = \frac{- 9 x^{3}}{20 x^{3}}$

Passaggio 3.3.3.1.2

Riscrivi l'espressione.

$\ln (x) = \frac{- 9}{20}$

Passaggio 3.3.3.2

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$\ln (x) = - \frac{9}{20}$

Passaggio 3.4

Per risolvere per $x$ , riscrivi l'equazione usando le proprietà dei logaritmi.

$e^{\ln (x)} = e^{- \frac{9}{20}}$

Passaggio 3.5

Riscrivi $\ln (x) = - \frac{9}{20}$ in forma esponenziale usando la definizione di logaritmo. Se $x$ e $b$ sono numeri reali positivi e $b \neq 1$ , allora $\log_{b} (x) = y$ è equivalente a $b^{y} = x$ .

$e^{- \frac{9}{20}} = x$

Passaggio 3.6

Risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.6.1

Riscrivi l'equazione come $x = e^{- \frac{9}{20}}$ .

$x = e^{- \frac{9}{20}}$

Passaggio 3.6.2

Riscrivi l'espressione usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$x = \frac{1}{e^{\frac{9}{20}}}$

Passaggio 4

Trova i punti dove la derivata seconda è $0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Sostituisci $\frac{1}{e^{\frac{9}{20}}}$ in $f (x) = x^{5} \ln (x)$ per trovare il valore di $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.1

Sostituisci la variabile $x$ con $\frac{1}{e^{\frac{9}{20}}}$ nell'espressione.

$f (\frac{1}{e^{\frac{9}{20}}}) = {(\frac{1}{e^{\frac{9}{20}}})}^{5} \ln (\frac{1}{e^{\frac{9}{20}}})$

Passaggio 4.1.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.2.1

Applica la regola del prodotto a $\frac{1}{e^{\frac{9}{20}}}$ .

$f (\frac{1}{e^{\frac{9}{20}}}) = \frac{1^{5}}{{(e^{\frac{9}{20}})}^{5}} \cdot \ln (\frac{1}{e^{\frac{9}{20}}})$

Passaggio 4.1.2.2

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$f (\frac{1}{e^{\frac{9}{20}}}) = \frac{1}{{(e^{\frac{9}{20}})}^{5}} \cdot \ln (\frac{1}{e^{\frac{9}{20}}})$

Passaggio 4.1.2.3

Moltiplica gli esponenti in ${(e^{\frac{9}{20}})}^{5}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.2.3.1

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (\frac{1}{e^{\frac{9}{20}}}) = \frac{1}{e^{\frac{9}{20} \cdot 5}} \cdot \ln (\frac{1}{e^{\frac{9}{20}}})$

Passaggio 4.1.2.3.2

Elimina il fattore comune di $5$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.2.3.2.1

Scomponi $5$ da $20$ .

$f (\frac{1}{e^{\frac{9}{20}}}) = \frac{1}{e^{\frac{9}{5 (4)} \cdot 5}} \cdot \ln (\frac{1}{e^{\frac{9}{20}}})$

Passaggio 4.1.2.3.2.2

Elimina il fattore comune.

$f (\frac{1}{e^{\frac{9}{20}}}) = \frac{1}{e^{\frac{9}{5 \cdot 4} \cdot 5}} \cdot \ln (\frac{1}{e^{\frac{9}{20}}})$

Passaggio 4.1.2.3.2.3

Riscrivi l'espressione.

$f (\frac{1}{e^{\frac{9}{20}}}) = \frac{1}{e^{\frac{9}{4}}} \cdot \ln (\frac{1}{e^{\frac{9}{20}}})$

Passaggio 4.1.2.4

Sposta $e^{\frac{9}{20}}$ al numeratore usando la regola dell'esponente negativo $\frac{1}{b^{n}} = b^{- n}$ .

$f (\frac{1}{e^{\frac{9}{20}}}) = \frac{1}{e^{\frac{9}{4}}} \cdot \ln (e^{- \frac{9}{20}})$

Passaggio 4.1.2.5

Espandi $\ln (e^{- \frac{9}{20}})$ spostando $- \frac{9}{20}$ fuori dal logaritmo.

$f (\frac{1}{e^{\frac{9}{20}}}) = \frac{1}{e^{\frac{9}{4}}} \cdot (- \frac{9}{20} \cdot \ln (e))$

Passaggio 4.1.2.6

Il logaritmo naturale di $e$ è $1$ .

$f (\frac{1}{e^{\frac{9}{20}}}) = \frac{1}{e^{\frac{9}{4}}} \cdot (- \frac{9}{20} \cdot 1)$

Passaggio 4.1.2.7

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$f (\frac{1}{e^{\frac{9}{20}}}) = \frac{1}{e^{\frac{9}{4}}} \cdot (- \frac{9}{20})$

Passaggio 4.1.2.8

Moltiplica $\frac{1}{e^{\frac{9}{4}}}$ per $\frac{9}{20}$ .

$f (\frac{1}{e^{\frac{9}{20}}}) = - \frac{9}{e^{\frac{9}{4}} \cdot 20}$

Passaggio 4.1.2.9

Sposta $20$ alla sinistra di $e^{\frac{9}{4}}$ .

$f (\frac{1}{e^{\frac{9}{20}}}) = - \frac{9}{20 e^{\frac{9}{4}}}$

Passaggio 4.1.2.10

La risposta finale è $- \frac{9}{20 e^{\frac{9}{4}}}$ .

$- \frac{9}{20 e^{\frac{9}{4}}}$

Passaggio 4.2

Il punto trovato sostituendo $\frac{1}{e^{\frac{9}{20}}}$ in $f (x) = x^{5} \ln (x)$ è $(\frac{1}{e^{\frac{9}{20}}}, - \frac{9}{20 e^{\frac{9}{4}}})$ . Questo punto può essere un punto di flesso.

$(\frac{1}{e^{\frac{9}{20}}}, - \frac{9}{20 e^{\frac{9}{4}}})$

Passaggio 5

Dividi $(- \infty, \infty)$ in intervalli intorno ai punti che potrebbero potenzialmente essere punti di flesso.

$(- \infty, \frac{1}{e^{\frac{9}{20}}}) \cup (\frac{1}{e^{\frac{9}{20}}}, \infty)$

Passaggio 6

Sostituisci un valore dell'intervallo $(- \infty, \frac{1}{e^{\frac{9}{20}}})$ nella derivata seconda per determinare se è crescente o decrescente.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Sostituisci la variabile $x$ con $0.53762815$ nell'espressione.

$f'' (0.53762815) = 9 {(0.53762815)}^{3} + 20 {(0.53762815)}^{3} \ln (0.53762815)$

Passaggio 6.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.1.1

Eleva $0.53762815$ alla potenza di $3$ .

$f'' (0.53762815) = 9 \cdot 0.1553982 + 20 {(0.53762815)}^{3} \ln (0.53762815)$

Passaggio 6.2.1.2

Moltiplica $9$ per $0.1553982$ .

$f'' (0.53762815) = 1.39858386 + 20 {(0.53762815)}^{3} \ln (0.53762815)$

Passaggio 6.2.1.3

Eleva $0.53762815$ alla potenza di $3$ .

$f'' (0.53762815) = 1.39858386 + 20 \cdot (0.1553982 \ln (0.53762815))$

Passaggio 6.2.1.4

Moltiplica $20$ per $0.1553982$ .

$f'' (0.53762815) = 1.39858386 + 3.10796414 \ln (0.53762815)$

Passaggio 6.2.1.5

Semplifica $3.10796414 \ln (0.53762815)$ spostando $3.10796414$ all'interno del logaritmo.

$f'' (0.53762815) = 1.39858386 + \ln ({0.53762815}^{3.10796414})$

Passaggio 6.2.1.6

Eleva $0.53762815$ alla potenza di $3.10796414$ .

$f'' (0.53762815) = 1.39858386 + \ln (0.14532747)$

Passaggio 6.2.2

Somma $1.39858386$ e $\ln (0.14532747)$ .

$f'' (0.53762815) = - 0.53018177$

Passaggio 6.2.3

La risposta finale è $- 0.53018177$ .

$- 0.53018177$

Passaggio 6.3

Per $0.53762815$ , la derivata seconda è $- 0.53018177$ . Poiché il valore è negativo, la derivata seconda è decrescente nell'intervallo $(- \infty, \frac{1}{e^{\frac{9}{20}}})$ .

Decrescente su $(- \infty, \frac{1}{e^{\frac{9}{20}}})$ perché $f'' (x) < 0$

Passaggio 7

Sostituisci un valore dell'intervallo $(\frac{1}{e^{\frac{9}{20}}}, \infty)$ nella derivata seconda per determinare se è crescente o decrescente.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1

Sostituisci la variabile $x$ con $0.73762815$ nell'espressione.

$f'' (0.73762815) = 9 {(0.73762815)}^{3} + 20 {(0.73762815)}^{3} \ln (0.73762815)$

Passaggio 7.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.1.1

Eleva $0.73762815$ alla potenza di $3$ .

$f'' (0.73762815) = 9 \cdot 0.40134 + 20 {(0.73762815)}^{3} \ln (0.73762815)$

Passaggio 7.2.1.2

Moltiplica $9$ per $0.40134$ .

$f'' (0.73762815) = 3.61206002 + 20 {(0.73762815)}^{3} \ln (0.73762815)$

Passaggio 7.2.1.3

Eleva $0.73762815$ alla potenza di $3$ .

$f'' (0.73762815) = 3.61206002 + 20 \cdot (0.40134 \ln (0.73762815))$

Passaggio 7.2.1.4

Moltiplica $20$ per $0.40134$ .

$f'' (0.73762815) = 3.61206002 + 8.02680006 \ln (0.73762815)$

Passaggio 7.2.1.5

Semplifica $8.02680006 \ln (0.73762815)$ spostando $8.02680006$ all'interno del logaritmo.

$f'' (0.73762815) = 3.61206002 + \ln ({0.73762815}^{8.02680006})$

Passaggio 7.2.1.6

Eleva $0.73762815$ alla potenza di $8.02680006$ .

$f'' (0.73762815) = 3.61206002 + \ln (0.08692764)$

Passaggio 7.2.2

Somma $3.61206002$ e $\ln (0.08692764)$ .

$f'' (0.73762815) = 1.16938082$

Passaggio 7.2.3

La risposta finale è $1.16938082$ .

$1.16938082$

Passaggio 7.3

In corrispondenza di $0.73762815$ , la derivata seconda è $1.16938082$ . Poiché il valore è positivo, la derivata seconda è crescente sull'intervallo $(\frac{1}{e^{\frac{9}{20}}}, \infty)$ .

Crescente su $(\frac{1}{e^{\frac{9}{20}}}, \infty)$ perché $f'' (x) > 0$

Passaggio 8

Un punto di flesso è un punto su una curva in cui la concavità cambia di segno, da più a meno oppure da meno a più. In questo caso il punto di flesso è $(\frac{1}{e^{\frac{9}{20}}}, - \frac{9}{20 e^{\frac{9}{4}}})$ .

$(\frac{1}{e^{\frac{9}{20}}}, - \frac{9}{20 e^{\frac{9}{4}}})$

Passaggio 9