Calcolo Esempi

$y = 2 \sin (x) - \cos^{2} (x)$

Passaggio 1

Scrivi $y = 2 \sin (x) - \cos^{2} (x)$ come funzione.

$f (x) = 2 \sin (x) - \cos^{2} (x)$

Passaggio 2

Trova la derivata seconda.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $2 \sin (x) - \cos^{2} (x)$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [2 \sin (x)] + \frac{d}{d x} [- \cos^{2} (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [2 \sin (x)] + \frac{d}{d x} [- \cos^{2} (x)]$

Passaggio 2.1.2

Calcola $\frac{d}{d x} [2 \sin (x)]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.2.1

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $2 \sin (x)$ rispetto a $x$ è $2 \frac{d}{d x} [\sin (x)]$ .

$2 \frac{d}{d x} [\sin (x)] + \frac{d}{d x} [- \cos^{2} (x)]$

Passaggio 2.1.2.2

La derivata di $\sin (x)$ rispetto a $x$ è $\cos (x)$ .

$2 \cos (x) + \frac{d}{d x} [- \cos^{2} (x)]$

Passaggio 2.1.3

Calcola $\frac{d}{d x} [- \cos^{2} (x)]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.3.1

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- \cos^{2} (x)$ rispetto a $x$ è $- \frac{d}{d x} [\cos^{2} (x)]$ .

$2 \cos (x) - \frac{d}{d x} [\cos^{2} (x)]$

Passaggio 2.1.3.2

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{2}$ e $g (x) = \cos (x)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.3.2.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $\cos (x)$ .

$2 \cos (x) - (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [\cos (x)])$

Passaggio 2.1.3.2.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ è $n u^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$2 \cos (x) - (2 u \frac{d}{d x} [\cos (x)])$

Passaggio 2.1.3.2.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $\cos (x)$ .

$2 \cos (x) - (2 \cos (x) \frac{d}{d x} [\cos (x)])$

Passaggio 2.1.3.3

La derivata di $\cos (x)$ rispetto a $x$ è $- \sin (x)$ .

$2 \cos (x) - (2 \cos (x) (- \sin (x)))$

Passaggio 2.1.3.4

Moltiplica $- 1$ per $2$ .

$2 \cos (x) - (- 2 \cos (x) \sin (x))$

Passaggio 2.1.3.5

Moltiplica $- 2$ per $- 1$ .

$2 \cos (x) + 2 \cos (x) \sin (x)$

Passaggio 2.1.4

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.4.1

Riordina i termini.

$2 \cos (x) \sin (x) + 2 \cos (x)$

Passaggio 2.1.4.2

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.4.2.1

Riordina $2 \cos (x)$ e $\sin (x)$ .

$\sin (x) (2 \cos (x)) + 2 \cos (x)$

Passaggio 2.1.4.2.2

Riordina $\sin (x)$ e $2$ .

$2 \cdot \sin (x) \cos (x) + 2 \cos (x)$

Passaggio 2.1.4.2.3

Applica l'identità a doppio angolo del seno.

$f' (x) = \sin (2 x) + 2 \cos (x)$

Passaggio 2.2

Trova la derivata seconda.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $\sin (2 x) + 2 \cos (x)$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [\sin (2 x)] + \frac{d}{d x} [2 \cos (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [\sin (2 x)] + \frac{d}{d x} [2 \cos (x)]$

Passaggio 2.2.2

Calcola $\frac{d}{d x} [\sin (2 x)]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.2.1

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = \sin (x)$ e $g (x) = 2 x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.2.1.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $2 x$ .

$\frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [2 \cos (x)]$

Passaggio 2.2.2.1.2

La derivata di $\sin (u)$ rispetto a $u$ è $\cos (u)$ .

$\cos (u) \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [2 \cos (x)]$

Passaggio 2.2.2.1.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $2 x$ .

$\cos (2 x) \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [2 \cos (x)]$

Passaggio 2.2.2.2

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $2 x$ rispetto a $x$ è $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\cos (2 x) (2 \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [2 \cos (x)]$

Passaggio 2.2.2.3

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$\cos (2 x) (2 \cdot 1) + \frac{d}{d x} [2 \cos (x)]$

Passaggio 2.2.2.4

Moltiplica $2$ per $1$ .

$\cos (2 x) \cdot 2 + \frac{d}{d x} [2 \cos (x)]$

Passaggio 2.2.2.5

Sposta $2$ alla sinistra di $\cos (2 x)$ .

$2 \cos (2 x) + \frac{d}{d x} [2 \cos (x)]$

Passaggio 2.2.3

Calcola $\frac{d}{d x} [2 \cos (x)]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.3.1

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $2 \cos (x)$ rispetto a $x$ è $2 \frac{d}{d x} [\cos (x)]$ .

$2 \cos (2 x) + 2 \frac{d}{d x} [\cos (x)]$

Passaggio 2.2.3.2

La derivata di $\cos (x)$ rispetto a $x$ è $- \sin (x)$ .

$2 \cos (2 x) + 2 (- \sin (x))$

Passaggio 2.2.3.3

Moltiplica $- 1$ per $2$ .

$f'' (x) = 2 \cos (2 x) - 2 \sin (x)$

Passaggio 2.3

La derivata seconda di $f (x)$ rispetto a $x$ è $2 \cos (2 x) - 2 \sin (x)$ .

$2 \cos (2 x) - 2 \sin (x)$

Passaggio 3

Imposta la derivata seconda pari a $0$ , quindi risolvi l'equazione $2 \cos (2 x) - 2 \sin (x) = 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Imposta la derivata seconda uguale a $0$ .

$2 \cos (2 x) - 2 \sin (x) = 0$

Passaggio 3.2

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1

Usa l'identità a doppio angolo per trasformare $\cos (2 x)$ in $1 - 2 \sin^{2} (x)$ .

$2 (1 - 2 \sin^{2} (x)) - 2 \sin (x) = 0$

Passaggio 3.2.2

Applica la proprietà distributiva.

$2 \cdot 1 + 2 (- 2 \sin^{2} (x)) - 2 \sin (x) = 0$

Passaggio 3.2.3

Moltiplica $2$ per $1$ .

$2 + 2 (- 2 \sin^{2} (x)) - 2 \sin (x) = 0$

Passaggio 3.2.4

Moltiplica $- 2$ per $2$ .

$2 - 4 \sin^{2} (x) - 2 \sin (x) = 0$

Passaggio 3.3

Fattorizza $2 - 4 \sin^{2} (x) - 2 \sin (x)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.1

Scomponi $2$ da $2 - 4 \sin^{2} (x) - 2 \sin (x)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.1.1

Scomponi $2$ da $2$ .

$2 (1) - 4 \sin^{2} (x) - 2 \sin (x) = 0$

Passaggio 3.3.1.2

Scomponi $2$ da $- 4 \sin^{2} (x)$ .

$2 (1) + 2 (- 2 \sin^{2} (x)) - 2 \sin (x) = 0$

Passaggio 3.3.1.3

Scomponi $2$ da $- 2 \sin (x)$ .

$2 (1) + 2 (- 2 \sin^{2} (x)) + 2 (- \sin (x)) = 0$

Passaggio 3.3.1.4

Scomponi $2$ da $2 (1) + 2 (- 2 \sin^{2} (x))$ .

$2 (1 - 2 \sin^{2} (x)) + 2 (- \sin (x)) = 0$

Passaggio 3.3.1.5

Scomponi $2$ da $2 (1 - 2 \sin^{2} (x)) + 2 (- \sin (x))$ .

$2 (1 - 2 \sin^{2} (x) - \sin (x)) = 0$

Passaggio 3.3.2

Scomponi.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.2.1

Scomponi mediante raccoglimento.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.2.1.1

Riordina i termini.

$2 (- 2 \sin^{2} (x) - \sin (x) + 1) = 0$

Passaggio 3.3.2.1.2

Per un polinomio della forma $a x^{2} + b x + c$ , riscrivi il termine centrale come somma di due termini il cui prodotto è $a \cdot c = - 2 \cdot 1 = - 2$ e la cui somma è $b = - 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.2.1.2.1

Scomponi $- 1$ da $- \sin (x)$ .

$2 (- 2 \sin^{2} (x) - \sin (x) + 1) = 0$

Passaggio 3.3.2.1.2.2

Riscrivi $- 1$ come $1$ più $- 2$ .

$2 (- 2 \sin^{2} (x) + (1 - 2) \sin (x) + 1) = 0$

Passaggio 3.3.2.1.2.3

Applica la proprietà distributiva.

$2 (- 2 \sin^{2} (x) + 1 \sin (x) - 2 \sin (x) + 1) = 0$

Passaggio 3.3.2.1.2.4

Moltiplica $\sin (x)$ per $1$ .

$2 (- 2 \sin^{2} (x) + \sin (x) - 2 \sin (x) + 1) = 0$

Passaggio 3.3.2.1.3

Metti in evidenza il massimo comune divisore da ciascun gruppo.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.2.1.3.1

Raggruppa i primi due termini e gli ultimi due termini.

$2 (- 2 \sin^{2} (x) + \sin (x) - 2 \sin (x) + 1) = 0$

Passaggio 3.3.2.1.3.2

Metti in evidenza il massimo comune divisore (M.C.D.) da ciascun gruppo.

$2 (\sin (x) (- 2 \sin (x) + 1) + 1 (- 2 \sin (x) + 1)) = 0$

Passaggio 3.3.2.1.4

Scomponi il polinomio mettendo in evidenza il massimo comune divisore, $- 2 \sin (x) + 1$ .

$2 ((- 2 \sin (x) + 1) (\sin (x) + 1)) = 0$

Passaggio 3.3.2.2

Rimuovi le parentesi non necessarie.

$2 (- 2 \sin (x) + 1) (\sin (x) + 1) = 0$

Passaggio 3.4

Se qualsiasi singolo fattore nel lato sinistro dell'equazione è uguale a $0$ , l'intera espressione sarà uguale a $0$ .

$- 2 \sin (x) + 1 = 0$

$\sin (x) + 1 = 0$

Passaggio 3.5

Imposta $- 2 \sin (x) + 1$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.1

Imposta $- 2 \sin (x) + 1$ uguale a $0$ .

$- 2 \sin (x) + 1 = 0$

Passaggio 3.5.2

Risolvi $- 2 \sin (x) + 1 = 0$ per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.2.1

Sottrai $1$ da entrambi i lati dell'equazione.

$- 2 \sin (x) = - 1$

Passaggio 3.5.2.2

Dividi per $- 2$ ciascun termine in $- 2 \sin (x) = - 1$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.2.2.1

Dividi per $- 2$ ciascun termine in $- 2 \sin (x) = - 1$ .

$\frac{- 2 \sin (x)}{- 2} = \frac{- 1}{- 2}$

Passaggio 3.5.2.2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.2.2.2.1

Elimina il fattore comune di $- 2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.2.2.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{- 2 \sin (x)}{- 2} = \frac{- 1}{- 2}$

Passaggio 3.5.2.2.2.1.2

Dividi $\sin (x)$ per $1$ .

$\sin (x) = \frac{- 1}{- 2}$

Passaggio 3.5.2.2.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.2.2.3.1

Dividendo due valori negativi si ottiene un valore positivo.

$\sin (x) = \frac{1}{2}$

Passaggio 3.5.2.3

Trova il valore dell'incognita $x$ corrispondente all'inverso del seno presente nell'equazione assegnata.

$x = \arcsin (\frac{1}{2})$

Passaggio 3.5.2.4

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.2.4.1

Il valore esatto di $\arcsin (\frac{1}{2})$ è $\frac{π}{6}$ .

$x = \frac{π}{6}$

Passaggio 3.5.2.5

La funzione del seno è positiva nel primo e nel secondo quadrante. Per trovare la seconda soluzione, sottrai l'angolo di riferimento da $π$ per trovare la soluzione nel secondo quadrante.

$x = π - \frac{π}{6}$

Passaggio 3.5.2.6

Semplifica $π - \frac{π}{6}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.2.6.1

Per scrivere $π$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{6}{6}$ .

$x = π \cdot \frac{6}{6} - \frac{π}{6}$

Passaggio 3.5.2.6.2

Riduci le frazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.2.6.2.1

$π$ e $\frac{6}{6}$ .

$x = \frac{π \cdot 6}{6} - \frac{π}{6}$

Passaggio 3.5.2.6.2.2

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$x = \frac{π \cdot 6 - π}{6}$

Passaggio 3.5.2.6.3

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.2.6.3.1

Sposta $6$ alla sinistra di $π$ .

$x = \frac{6 \cdot π - π}{6}$

Passaggio 3.5.2.6.3.2

Sottrai $π$ da $6 π$ .

$x = \frac{5 π}{6}$

Passaggio 3.5.2.7

Trova il periodo di $\sin (x)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.2.7.1

Si può calcolare il periodo della funzione usando $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Passaggio 3.5.2.7.2

Sostituisci $b$ con $1$ nella formula per il periodo.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Passaggio 3.5.2.7.3

Il valore assoluto è la distanza tra un numero e zero. La distanza tra $0$ e $1$ è $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Passaggio 3.5.2.7.4

Dividi $2 π$ per $1$ .

$2 π$

Passaggio 3.5.2.8

Il periodo della funzione $\sin (x)$ è $2 π$ , quindi i valori si ripetono ogni $2 π$ radianti in entrambe le direzioni.

$x = \frac{π}{6} + 2 π n, \frac{5 π}{6} + 2 π n$ , per qualsiasi intero $n$

Passaggio 3.6

Imposta $\sin (x) + 1$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.6.1

Imposta $\sin (x) + 1$ uguale a $0$ .

$\sin (x) + 1 = 0$

Passaggio 3.6.2

Risolvi $\sin (x) + 1 = 0$ per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.6.2.1

Sottrai $1$ da entrambi i lati dell'equazione.

$\sin (x) = - 1$

Passaggio 3.6.2.2

Trova il valore dell'incognita $x$ corrispondente all'inverso del seno presente nell'equazione assegnata.

$x = \arcsin (- 1)$

Passaggio 3.6.2.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.6.2.3.1

Il valore esatto di $\arcsin (- 1)$ è $- \frac{π}{2}$ .

$x = - \frac{π}{2}$

Passaggio 3.6.2.4

La funzione del seno è positiva nel terzo e nel quarto quadrante. Per trovare la seconda soluzione, sottrai la soluzione da $2 π$ per trovare un angolo di riferimento. Poi, somma l'angolo di riferimento a $π$ per trovare la soluzione nel terzo quadrante.

$x = 2 π + \frac{π}{2} + π$

Passaggio 3.6.2.5

Semplifica l'espressione per trovare la seconda soluzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.6.2.5.1

Sottrai $2 π$ da $2 π + \frac{π}{2} + π$ .

$x = 2 π + \frac{π}{2} + π - 2 π$

Passaggio 3.6.2.5.2

L'angolo risultante di $\frac{3 π}{2}$ è positivo, minore di $2 π$ e coterminale con $2 π + \frac{π}{2} + π$ .

$x = \frac{3 π}{2}$

Passaggio 3.6.2.6

Trova il periodo di $\sin (x)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.6.2.6.1

Si può calcolare il periodo della funzione usando $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Passaggio 3.6.2.6.2

Sostituisci $b$ con $1$ nella formula per il periodo.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Passaggio 3.6.2.6.3

Il valore assoluto è la distanza tra un numero e zero. La distanza tra $0$ e $1$ è $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Passaggio 3.6.2.6.4

Dividi $2 π$ per $1$ .

$2 π$

Passaggio 3.6.2.7

Somma $2 π$ a ogni angolo negativo per ottenere gli angoli positivi.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.6.2.7.1

Somma $2 π$ a $- \frac{π}{2}$ per trovare l'angolo positivo.

$- \frac{π}{2} + 2 π$

Passaggio 3.6.2.7.2

Per scrivere $2 π$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$2 π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2}$

Passaggio 3.6.2.7.3

Riduci le frazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.6.2.7.3.1

$2 π$ e $\frac{2}{2}$ .

$\frac{2 π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2}$

Passaggio 3.6.2.7.3.2

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{2 π \cdot 2 - π}{2}$

Passaggio 3.6.2.7.4

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.6.2.7.4.1

Moltiplica $2$ per $2$ .

$\frac{4 π - π}{2}$

Passaggio 3.6.2.7.4.2

Sottrai $π$ da $4 π$ .

$\frac{3 π}{2}$

Passaggio 3.6.2.7.5

Fai un elenco dei nuovi angoli.

$x = \frac{3 π}{2}$

Passaggio 3.6.2.8

Il periodo della funzione $\sin (x)$ è $2 π$ , quindi i valori si ripetono ogni $2 π$ radianti in entrambe le direzioni.

$x = \frac{3 π}{2} + 2 π n, \frac{3 π}{2} + 2 π n$ , per qualsiasi intero $n$

Passaggio 3.7

La soluzione finale è data da tutti i valori che rendono $2 (- 2 \sin (x) + 1) (\sin (x) + 1) = 0$ vera.

$x = \frac{π}{6} + 2 π n, \frac{5 π}{6} + 2 π n, \frac{3 π}{2} + 2 π n$ , per qualsiasi intero $n$

Passaggio 3.8

Consolida le risposte.

$x = \frac{π}{6} + \frac{2 π n}{3}$ , per qualsiasi intero $n$

Passaggio 4

Trova i punti dove la derivata seconda è $0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Sostituisci $\frac{π}{6}$ in $f (x) = 2 \sin (x) - \cos^{2} (x)$ per trovare il valore di $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.1

Sostituisci la variabile $x$ con $\frac{π}{6}$ nell'espressione.

$f (\frac{π}{6}) = 2 \sin (\frac{π}{6}) - \cos^{2} (\frac{π}{6})$

Passaggio 4.1.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.2.1.1

Il valore esatto di $\sin (\frac{π}{6})$ è $\frac{1}{2}$ .

$f (\frac{π}{6}) = 2 (\frac{1}{2}) - \cos^{2} (\frac{π}{6})$

Passaggio 4.1.2.1.2

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.2.1.2.1

Elimina il fattore comune.

$f (\frac{π}{6}) = 2 (\frac{1}{2}) - \cos^{2} (\frac{π}{6})$

Passaggio 4.1.2.1.2.2

Riscrivi l'espressione.

$f (\frac{π}{6}) = 1 - \cos^{2} (\frac{π}{6})$

Passaggio 4.1.2.1.3

Il valore esatto di $\cos (\frac{π}{6})$ è $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$f (\frac{π}{6}) = 1 - {(\frac{\sqrt{3}}{2})}^{2}$

Passaggio 4.1.2.1.4

Applica la regola del prodotto a $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$f (\frac{π}{6}) = 1 - \frac{{\sqrt{3}}^{2}}{2^{2}}$

Passaggio 4.1.2.1.5

Riscrivi ${\sqrt{3}}^{2}$ come $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.2.1.5.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{3}$ come $3^{\frac{1}{2}}$ .

$f (\frac{π}{6}) = 1 - \frac{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}{2^{2}}$

Passaggio 4.1.2.1.5.2

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (\frac{π}{6}) = 1 - \frac{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{2^{2}}$

Passaggio 4.1.2.1.5.3

$\frac{1}{2}$ e $2$ .

$f (\frac{π}{6}) = 1 - \frac{3^{\frac{2}{2}}}{2^{2}}$

Passaggio 4.1.2.1.5.4

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.2.1.5.4.1

Elimina il fattore comune.

$f (\frac{π}{6}) = 1 - \frac{3^{\frac{2}{2}}}{2^{2}}$

Passaggio 4.1.2.1.5.4.2

Riscrivi l'espressione.

$f (\frac{π}{6}) = 1 - \frac{3}{2^{2}}$

Passaggio 4.1.2.1.5.5

Calcola l'esponente.

$f (\frac{π}{6}) = 1 - \frac{3}{2^{2}}$

Passaggio 4.1.2.1.6

Eleva $2$ alla potenza di $2$ .

$f (\frac{π}{6}) = 1 - \frac{3}{4}$

Passaggio 4.1.2.2

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.2.2.1

Scrivi $1$ come una frazione con un comune denominatore.

$f (\frac{π}{6}) = \frac{4}{4} - \frac{3}{4}$

Passaggio 4.1.2.2.2

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$f (\frac{π}{6}) = \frac{4 - 3}{4}$

Passaggio 4.1.2.2.3

Sottrai $3$ da $4$ .

$f (\frac{π}{6}) = \frac{1}{4}$

Passaggio 4.1.2.3

La risposta finale è $\frac{1}{4}$ .

$\frac{1}{4}$

Passaggio 4.2

Il punto trovato sostituendo $\frac{π}{6}$ in $f (x) = 2 \sin (x) - \cos^{2} (x)$ è $(\frac{π}{6}, \frac{1}{4})$ . Questo punto può essere un punto di flesso.

$(\frac{π}{6}, \frac{1}{4})$

Passaggio 5

Dividi $(- \infty, \infty)$ in intervalli intorno ai punti che potrebbero potenzialmente essere punti di flesso.

$(- \infty, \frac{π}{6}) \cup (\frac{π}{6}, \infty)$

Passaggio 6

Sostituisci un valore dell'intervallo $(- \infty, \frac{π}{6})$ nella derivata seconda per determinare se è crescente o decrescente.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Sostituisci la variabile $x$ con $0.42359877$ nell'espressione.

$f'' (0.42359877) = 2 \cos (2 (0.42359877)) - 2 \sin (0.42359877)$

Passaggio 6.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.1

Moltiplica $2$ per $0.42359877$ .

$f'' (0.42359877) = 2 \cos (0.84719755) - 2 \sin (0.42359877)$

Passaggio 6.2.2

La risposta finale è $2 \cos (0.84719755) - 2 \sin (0.42359877)$ .

$2 \cos (0.84719755) - 2 \sin (0.42359877)$

Passaggio 6.3

In corrispondenza di $0.42359877$ , la derivata seconda è $0.50208433$ . Poiché il valore è positivo, la derivata seconda è crescente sull'intervallo $(- \infty, \frac{π}{6})$ .

Crescente su $(- \infty, \frac{π}{6})$ perché $f'' (x) > 0$

Passaggio 7

Sostituisci un valore dell'intervallo $(\frac{π}{6}, \infty)$ nella derivata seconda per determinare se è crescente o decrescente.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1

Sostituisci la variabile $x$ con $0.62359877$ nell'espressione.

$f'' (0.62359877) = 2 \cos (2 (0.62359877)) - 2 \sin (0.62359877)$

Passaggio 7.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.1

Moltiplica $2$ per $0.62359877$ .

$f'' (0.62359877) = 2 \cos (1.24719755) - 2 \sin (0.62359877)$

Passaggio 7.2.2

La risposta finale è $2 \cos (1.24719755) - 2 \sin (0.62359877)$ .

$2 \cos (1.24719755) - 2 \sin (0.62359877)$

Passaggio 7.3

Per $0.62359877$ , la derivata seconda è $- 0.53195951$ . Poiché il valore è negativo, la derivata seconda è decrescente nell'intervallo $(\frac{π}{6}, \infty)$ .

Decrescente su $(\frac{π}{6}, \infty)$ perché $f'' (x) < 0$

Passaggio 8

Un punto di flesso è un punto su una curva in cui la concavità cambia di segno, da più a meno oppure da meno a più. In questo caso il punto di flesso è $(\frac{π}{6}, \frac{1}{4})$ .

$(\frac{π}{6}, \frac{1}{4})$

Passaggio 9