Calcolo Esempi

$y = \sin (x) + \cos (x)$

Passaggio 1

Scrivi $y = \sin (x) + \cos (x)$ come funzione.

$f (x) = \sin (x) + \cos (x)$

Passaggio 2

Trova la derivata seconda.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $\sin (x) + \cos (x)$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [\sin (x)] + \frac{d}{d x} [\cos (x)]$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} (\sin (x)) + \frac{d}{d x} (\cos (x))$

Passaggio 2.1.2

La derivata di $\sin (x)$ rispetto a $x$ è $\cos (x)$ .

$f' (x) = \cos (x) + \frac{d}{d x} (\cos (x))$

Passaggio 2.1.3

La derivata di $\cos (x)$ rispetto a $x$ è $- \sin (x)$ .

$f' (x) = \cos (x) - \sin (x)$

Passaggio 2.2

Trova la derivata seconda.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $\cos (x) - \sin (x)$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [\cos (x)] + \frac{d}{d x} [- \sin (x)]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (\cos (x)) + \frac{d}{d x} (- \sin (x))$

Passaggio 2.2.2

La derivata di $\cos (x)$ rispetto a $x$ è $- \sin (x)$ .

$f'' (x) = - \sin (x) + \frac{d}{d x} (- \sin (x))$

Passaggio 2.2.3

Calcola $\frac{d}{d x} [- \sin (x)]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.3.1

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- \sin (x)$ rispetto a $x$ è $- \frac{d}{d x} [\sin (x)]$ .

$f'' (x) = - \sin (x) - \frac{d}{d x} \sin (x)$

Passaggio 2.2.3.2

La derivata di $\sin (x)$ rispetto a $x$ è $\cos (x)$ .

$f'' (x) = - \sin (x) - \cos (x)$

Passaggio 2.3

La derivata seconda di $f (x)$ rispetto a $x$ è $- \sin (x) - \cos (x)$ .

$- \sin (x) - \cos (x)$

Passaggio 3

Imposta la derivata seconda pari a $0$ , quindi risolvi l'equazione $- \sin (x) - \cos (x) = 0$ .

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Passaggio 3.1

Imposta la derivata seconda uguale a $0$ .

$- \sin (x) - \cos (x) = 0$

Passaggio 3.2

Dividi per $\cos (x)$ ciascun termine dell'equazione.

$\frac{- \sin (x)}{\cos (x)} + \frac{- \cos (x)}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

Passaggio 3.3

Frazioni separate.

$\frac{- 1}{1} \cdot \frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \frac{- \cos (x)}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

Passaggio 3.4

Converti da $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ a $\tan (x)$ .

$\frac{- 1}{1} \cdot \tan (x) + \frac{- \cos (x)}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

Passaggio 3.5

Dividi $- 1$ per $1$ .

$- \tan (x) + \frac{- \cos (x)}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

Passaggio 3.6

Elimina il fattore comune di $\cos (x)$ .

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Passaggio 3.6.1

Elimina il fattore comune.

$- \tan (x) + \frac{- \cos (x)}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

Passaggio 3.6.2

Dividi $- 1$ per $1$ .

$- \tan (x) - 1 = \frac{0}{\cos (x)}$

Passaggio 3.7

Frazioni separate.

$- \tan (x) - 1 = \frac{0}{1} \cdot \frac{1}{\cos (x)}$

Passaggio 3.8

Converti da $\frac{1}{\cos (x)}$ a $\sec (x)$ .

$- \tan (x) - 1 = \frac{0}{1} \cdot \sec (x)$

Passaggio 3.9

Dividi $0$ per $1$ .

$- \tan (x) - 1 = 0 \sec (x)$

Passaggio 3.10

Moltiplica $0$ per $\sec (x)$ .

$- \tan (x) - 1 = 0$

Passaggio 3.11

Somma $1$ a entrambi i lati dell'equazione.

$- \tan (x) = 1$

Passaggio 3.12

Dividi per $- 1$ ciascun termine in $- \tan (x) = 1$ e semplifica.

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Passaggio 3.12.1

Dividi per $- 1$ ciascun termine in $- \tan (x) = 1$ .

$\frac{- \tan (x)}{- 1} = \frac{1}{- 1}$

Passaggio 3.12.2

Semplifica il lato sinistro.

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Passaggio 3.12.2.1

Dividendo due valori negativi si ottiene un valore positivo.

$\frac{\tan (x)}{1} = \frac{1}{- 1}$

Passaggio 3.12.2.2

Dividi $\tan (x)$ per $1$ .

$\tan (x) = \frac{1}{- 1}$

Passaggio 3.12.3

Semplifica il lato destro.

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Passaggio 3.12.3.1

Dividi $1$ per $- 1$ .

$\tan (x) = - 1$

Passaggio 3.13

Trova il valore dell'incognita $x$ corrispondente all'inverso della tangente nell'equazione assegnata.

$x = \arctan (- 1)$

Passaggio 3.14

Semplifica il lato destro.

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Passaggio 3.14.1

Il valore esatto di $\arctan (- 1)$ è $- \frac{π}{4}$ .

$x = - \frac{π}{4}$

Passaggio 3.15

La funzione tangente è negativa nel secondo e nel quarto quadrante. Per trovare la seconda soluzione, sottrai l'angolo di riferimento da $π$ per trovare la soluzione nel terzo quadrante.

$x = - \frac{π}{4} - π$

Passaggio 3.16

Semplifica l'espressione per trovare la seconda soluzione.

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Passaggio 3.16.1

Somma $2 π$ a $- \frac{π}{4} - π$ .

$x = - \frac{π}{4} - π + 2 π$

Passaggio 3.16.2

L'angolo risultante di $\frac{3 π}{4}$ è positivo e coterminale con $- \frac{π}{4} - π$ .

$x = \frac{3 π}{4}$

Passaggio 3.17

Trova il periodo di $\tan (x)$ .

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Passaggio 3.17.1

Si può calcolare il periodo della funzione usando $\frac{π}{| b |}$ .

$\frac{π}{| b |}$

Passaggio 3.17.2

Sostituisci $b$ con $1$ nella formula per il periodo.

$\frac{π}{| 1 |}$

Passaggio 3.17.3

Il valore assoluto è la distanza tra un numero e zero. La distanza tra $0$ e $1$ è $1$ .

$\frac{π}{1}$

Passaggio 3.17.4

Dividi $π$ per $1$ .

$π$

Passaggio 3.18

Somma $π$ a ogni angolo negativo per ottenere gli angoli positivi.

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Passaggio 3.18.1

Somma $π$ a $- \frac{π}{4}$ per trovare l'angolo positivo.

$- \frac{π}{4} + π$

Passaggio 3.18.2

Per scrivere $π$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{4}{4}$ .

$π \cdot \frac{4}{4} - \frac{π}{4}$

Passaggio 3.18.3

Riduci le frazioni.

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Passaggio 3.18.3.1

$π$ e $\frac{4}{4}$ .

$\frac{π \cdot 4}{4} - \frac{π}{4}$

Passaggio 3.18.3.2

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{π \cdot 4 - π}{4}$

Passaggio 3.18.4

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 3.18.4.1

Sposta $4$ alla sinistra di $π$ .

$\frac{4 \cdot π - π}{4}$

Passaggio 3.18.4.2

Sottrai $π$ da $4 π$ .

$\frac{3 π}{4}$

Passaggio 3.18.5

Fai un elenco dei nuovi angoli.

$x = \frac{3 π}{4}$

Passaggio 3.19

Il periodo della funzione $\tan (x)$ è $π$ , quindi i valori si ripetono ogni $π$ radianti in entrambe le direzioni.

$x = \frac{3 π}{4} + π n, \frac{3 π}{4} + π n$ , per qualsiasi intero $n$

Passaggio 4

Trova i punti dove la derivata seconda è $0$ .

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Passaggio 4.1

Sostituisci $\frac{3 π}{4}$ in $f (x) = \sin (x) + \cos (x)$ per trovare il valore di $y$ .

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Passaggio 4.1.1

Sostituisci la variabile $x$ con $\frac{3 π}{4}$ nell'espressione.

$f (\frac{3 π}{4}) = \sin (\frac{3 π}{4}) + \cos (\frac{3 π}{4})$

Passaggio 4.1.2

Semplifica il risultato.

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Passaggio 4.1.2.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 4.1.2.1.1

Applica l'angolo di riferimento trovando l'angolo con valori trigonometrici equivalenti nel primo quadrante.

$f (\frac{3 π}{4}) = \sin (\frac{π}{4}) + \cos (\frac{3 π}{4})$

Passaggio 4.1.2.1.2

Il valore esatto di $\sin (\frac{π}{4})$ è $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$f (\frac{3 π}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2} + \cos (\frac{3 π}{4})$

Passaggio 4.1.2.1.3

Applica l'angolo di riferimento trovando l'angolo con valori trigonometrici equivalenti nel primo quadrante. Rendi negativa l'espressione, perché il coseno è negativo nel secondo quadrante.

$f (\frac{3 π}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2} - \cos (\frac{π}{4})$

Passaggio 4.1.2.1.4

Il valore esatto di $\cos (\frac{π}{4})$ è $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$f (\frac{3 π}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2}$

Passaggio 4.1.2.2

Semplifica i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.2.2.1

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$f (\frac{3 π}{4}) = \frac{\sqrt{2} - \sqrt{2}}{2}$

Passaggio 4.1.2.2.2

Sottrai $\sqrt{2}$ da $\sqrt{2}$ .

$f (\frac{3 π}{4}) = \frac{0}{2}$

Passaggio 4.1.2.2.3

Dividi $0$ per $2$ .

$f (\frac{3 π}{4}) = 0$

Passaggio 4.1.2.3

La risposta finale è $0$ .

$0$

Passaggio 4.2

Il punto trovato sostituendo $\frac{3 π}{4}$ in $f (x) = \sin (x) + \cos (x)$ è $(\frac{3 π}{4}, 0)$ . Questo punto può essere un punto di flesso.

$(\frac{3 π}{4}, 0)$

Passaggio 4.3

Sostituisci $\frac{3 π}{4}$ in $f (x) = \sin (x) + \cos (x)$ per trovare il valore di $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.1

Sostituisci la variabile $x$ con $\frac{3 π}{4}$ nell'espressione.

$f (\frac{3 π}{4}) = \sin (\frac{3 π}{4}) + \cos (\frac{3 π}{4})$

Passaggio 4.3.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.2.1.1

Applica l'angolo di riferimento trovando l'angolo con valori trigonometrici equivalenti nel primo quadrante.

$f (\frac{3 π}{4}) = \sin (\frac{π}{4}) + \cos (\frac{3 π}{4})$

Passaggio 4.3.2.1.2

Il valore esatto di $\sin (\frac{π}{4})$ è $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$f (\frac{3 π}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2} + \cos (\frac{3 π}{4})$

Passaggio 4.3.2.1.3

Applica l'angolo di riferimento trovando l'angolo con valori trigonometrici equivalenti nel primo quadrante. Rendi negativa l'espressione, perché il coseno è negativo nel secondo quadrante.

$f (\frac{3 π}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2} - \cos (\frac{π}{4})$

Passaggio 4.3.2.1.4

Il valore esatto di $\cos (\frac{π}{4})$ è $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$f (\frac{3 π}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2}$

Passaggio 4.3.2.2

Semplifica i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.2.2.1

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$f (\frac{3 π}{4}) = \frac{\sqrt{2} - \sqrt{2}}{2}$

Passaggio 4.3.2.2.2

Sottrai $\sqrt{2}$ da $\sqrt{2}$ .

$f (\frac{3 π}{4}) = \frac{0}{2}$

Passaggio 4.3.2.2.3

Dividi $0$ per $2$ .

$f (\frac{3 π}{4}) = 0$

Passaggio 4.3.2.3

La risposta finale è $0$ .

$0$

Passaggio 4.4

Il punto trovato sostituendo $\frac{3 π}{4}$ in $f (x) = \sin (x) + \cos (x)$ è $(\frac{3 π}{4}, 0)$ . Questo punto può essere un punto di flesso.

$(\frac{3 π}{4}, 0)$

Passaggio 4.5

Determina i punti che potrebbero essere punti di flesso.

$(\frac{3 π}{4}, 0), (\frac{3 π}{4}, 0)$

Passaggio 5

Dividi $(- \infty, \infty)$ in intervalli intorno ai punti che potrebbero potenzialmente essere punti di flesso.

$(- \infty, \frac{3 π}{4}) \cup (\frac{3 π}{4}, \infty)$

Passaggio 6

Sostituisci un valore dell'intervallo $(- \infty, \frac{3 π}{4})$ nella derivata seconda per determinare se è crescente o decrescente.

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Passaggio 6.1

Sostituisci la variabile $x$ con $2.25619449$ nell'espressione.

$f'' (2.25619449) = - \sin (2.25619449) - \cos (2.25619449)$

Passaggio 6.2

La risposta finale è $- \sin (2.25619449) - \cos (2.25619449)$ .

$- \sin (2.25619449) - \cos (2.25619449)$

Passaggio 6.3

Per $2.25619449$ , la derivata seconda è $- 0.14118577$ . Poiché il valore è negativo, la derivata seconda è decrescente nell'intervallo $(- \infty, \frac{3 π}{4})$ .

Decrescente su $(- \infty, \frac{3 π}{4})$ perché $f'' (x) < 0$

Passaggio 7

Sostituisci un valore dell'intervallo $(\frac{3 π}{4}, \infty)$ nella derivata seconda per determinare se è crescente o decrescente.

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Passaggio 7.1

Sostituisci la variabile $x$ con $2.45619449$ nell'espressione.

$f'' (2.45619449) = - \sin (2.45619449) - \cos (2.45619449)$

Passaggio 7.2

La risposta finale è $- \sin (2.45619449) - \cos (2.45619449)$ .

$- \sin (2.45619449) - \cos (2.45619449)$

Passaggio 7.3

In corrispondenza di $2.45619449$ , la derivata seconda è $0.14118577$ . Poiché il valore è positivo, la derivata seconda è crescente sull'intervallo $(\frac{3 π}{4}, \infty)$ .

Crescente su $(\frac{3 π}{4}, \infty)$ perché $f'' (x) > 0$

Passaggio 8

An inflection point is a point on a curve at which the concavity changes sign from plus to minus or from minus to plus. The inflection points in this case are $(\frac{3 π}{4}, 0), (\frac{3 π}{4}, 0)$ .

$(\frac{3 π}{4}, 0), (\frac{3 π}{4}, 0)$

Passaggio 9