Calcolo Esempi

$y = - \sin (x)$

Passaggio 1

Scrivi $y = - \sin (x)$ come funzione.

$f (x) = - \sin (x)$

Passaggio 2

Trova la derivata seconda.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.1

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- \sin (x)$ rispetto a $x$ è $- \frac{d}{d x} [\sin (x)]$ .

$- \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Passaggio 2.1.2

La derivata di $\sin (x)$ rispetto a $x$ è $\cos (x)$ .

$f' (x) = - \cos (x)$

Passaggio 2.2

Trova la derivata seconda.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- \cos (x)$ rispetto a $x$ è $- \frac{d}{d x} [\cos (x)]$ .

$- \frac{d}{d x} [\cos (x)]$

Passaggio 2.2.2

La derivata di $\cos (x)$ rispetto a $x$ è $- \sin (x)$ .

$- - \sin (x)$

Passaggio 2.2.3

Moltiplica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.3.1

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$1 \sin (x)$

Passaggio 2.2.3.2

Moltiplica $\sin (x)$ per $1$ .

$f'' (x) = \sin (x)$

Passaggio 2.3

La derivata seconda di $f (x)$ rispetto a $x$ è $\sin (x)$ .

$\sin (x)$

Passaggio 3

Imposta la derivata seconda pari a $0$ , quindi risolvi l'equazione $\sin (x) = 0$ .

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Passaggio 3.1

Imposta la derivata seconda uguale a $0$ .

$\sin (x) = 0$

Passaggio 3.2

Trova il valore dell'incognita $x$ corrispondente all'inverso del seno presente nell'equazione assegnata.

$x = \arcsin (0)$

Passaggio 3.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.1

Il valore esatto di $\arcsin (0)$ è $0$ .

$x = 0$

Passaggio 3.4

La funzione del seno è positiva nel primo e nel secondo quadrante. Per trovare la seconda soluzione, sottrai l'angolo di riferimento da $π$ per trovare la soluzione nel secondo quadrante.

$x = π - 0$

Passaggio 3.5

Sottrai $0$ da $π$ .

$x = π$

Passaggio 3.6

Trova il periodo di $\sin (x)$ .

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Passaggio 3.6.1

Si può calcolare il periodo della funzione usando $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Passaggio 3.6.2

Sostituisci $b$ con $1$ nella formula per il periodo.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Passaggio 3.6.3

Il valore assoluto è la distanza tra un numero e zero. La distanza tra $0$ e $1$ è $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Passaggio 3.6.4

Dividi $2 π$ per $1$ .

$2 π$

Passaggio 3.7

Il periodo della funzione $\sin (x)$ è $2 π$ , quindi i valori si ripetono ogni $2 π$ radianti in entrambe le direzioni.

$x = 2 π n, π + 2 π n$ , per qualsiasi intero $n$

Passaggio 3.8

Consolida le risposte.

$x = π n$ , per qualsiasi intero $n$

Passaggio 4

Il punto trovato sostituendo in $f (x) = - \sin (x)$ è $(,)$ . Questo punto può essere un punto di flesso.

$(,)$

Passaggio 5

Dividi $(- \infty, \infty)$ in intervalli intorno ai punti che potrebbero potenzialmente essere punti di flesso.

$(- \infty,) \cup (, \infty)$

Passaggio 6

Sostituisci un valore dell'intervallo $(- \infty,)$ nella derivata seconda per determinare se è crescente o decrescente.

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Passaggio 6.1

Sostituisci la variabile $x$ con $- 0.1$ nell'espressione.

$f'' (- 0.1) = \sin (- 0.1)$

Passaggio 6.2

La risposta finale è $\sin (- 0.1)$ .

$\sin (- 0.1)$

Passaggio 6.3

Per $- 0.1$ , la derivata seconda è $- 0.09983341$ . Poiché il valore è negativo, la derivata seconda è decrescente nell'intervallo $(- \infty,)$ .

Decrescente su $(- \infty,)$ perché $f'' (x) < 0$

Passaggio 7

Sostituisci un valore dell'intervallo $(, \infty)$ nella derivata seconda per determinare se è crescente o decrescente.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1

Sostituisci la variabile $x$ con $0.1$ nell'espressione.

$f'' (0.1) = \sin (0.1)$

Passaggio 7.2

La risposta finale è $\sin (0.1)$ .

$\sin (0.1)$

Passaggio 7.3

In corrispondenza di $0.1$ , la derivata seconda è $0.09983341$ . Poiché il valore è positivo, la derivata seconda è crescente sull'intervallo $(, \infty)$ .

Crescente su $(, \infty)$ perché $f'' (x) > 0$

Passaggio 8

Un punto di flesso è un punto su una curva in cui la concavità cambia di segno, da più a meno oppure da meno a più. In questo caso il punto di flesso è $(,)$ .

$(,)$

Passaggio 9