Calcolo Esempi

$y = \ln (x^{2} + 1)$

Passaggio 1

Scrivi $y = \ln (x^{2} + 1)$ come funzione.

$f (x) = \ln (x^{2} + 1)$

Passaggio 2

Trova la derivata seconda.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.1

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = \ln (x)$ e $g (x) = x^{2} + 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.1.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $x^{2} + 1$ .

$f' (x) = \frac{d}{d u} (\ln (u)) \frac{d}{d x} (x^{2} + 1)$

Passaggio 2.1.1.2

La derivata di $\ln (u)$ rispetto a $u$ è $\frac{1}{u}$ .

$f' (x) = \frac{1}{u} \cdot \frac{d}{d x} (x^{2} + 1)$

Passaggio 2.1.1.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $x^{2} + 1$ .

$f' (x) = \frac{1}{x^{2} + 1} \cdot \frac{d}{d x} (x^{2} + 1)$

Passaggio 2.1.2

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.2.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $x^{2} + 1$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$f' (x) = \frac{1}{x^{2} + 1} \cdot (\frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (1))$

Passaggio 2.1.2.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$f' (x) = \frac{1}{x^{2} + 1} \cdot (2 x + \frac{d}{d x} (1))$

Passaggio 2.1.2.3

Poiché $1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$f' (x) = \frac{1}{x^{2} + 1} \cdot (2 x + 0)$

Passaggio 2.1.2.4

Riduci le frazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.2.4.1

Somma $2 x$ e $0$ .

$f' (x) = \frac{1}{x^{2} + 1} \cdot (2 x)$

Passaggio 2.1.2.4.2

$2$ e $\frac{1}{x^{2} + 1}$ .

$f' (x) = \frac{2}{x^{2} + 1} \cdot x$

Passaggio 2.1.2.4.3

$\frac{2}{x^{2} + 1}$ e $x$ .

$f' (x) = \frac{2 x}{x^{2} + 1}$

Passaggio 2.2

Trova la derivata seconda.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $\frac{2 x}{x^{2} + 1}$ rispetto a $x$ è $2 \frac{d}{d x} [\frac{x}{x^{2} + 1}]$ .

$f'' (x) = 2 \frac{d}{d x} (\frac{x}{x^{2} + 1})$

Passaggio 2.2.2

Differenzia usando la regola del quoziente, che indica che $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ è $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ dove $f (x) = x$ e $g (x) = x^{2} + 1$ .

$f'' (x) = 2 (\frac{(x^{2} + 1) \frac{d}{d x} (x) - x \frac{d}{d x} (x^{2} + 1)}{{(x^{2} + 1)}^{2}})$

Passaggio 2.2.3

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.3.1

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$f'' (x) = 2 (\frac{(x^{2} + 1) \cdot 1 - x \frac{d}{d x} (x^{2} + 1)}{{(x^{2} + 1)}^{2}})$

Passaggio 2.2.3.2

Moltiplica $x^{2} + 1$ per $1$ .

$f'' (x) = 2 (\frac{x^{2} + 1 - x \frac{d}{d x} (x^{2} + 1)}{{(x^{2} + 1)}^{2}})$

Passaggio 2.2.3.3

Secondo la regola della somma, la derivata di $x^{2} + 1$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$f'' (x) = 2 (\frac{x^{2} + 1 - x (\frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (1))}{{(x^{2} + 1)}^{2}})$

Passaggio 2.2.3.4

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$f'' (x) = 2 (\frac{x^{2} + 1 - x (2 x + \frac{d}{d x} (1))}{{(x^{2} + 1)}^{2}})$

Passaggio 2.2.3.5

Poiché $1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$f'' (x) = 2 (\frac{x^{2} + 1 - x (2 x + 0)}{{(x^{2} + 1)}^{2}})$

Passaggio 2.2.3.6

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.3.6.1

Somma $2 x$ e $0$ .

$f'' (x) = 2 (\frac{x^{2} + 1 - x (2 x)}{{(x^{2} + 1)}^{2}})$

Passaggio 2.2.3.6.2

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$f'' (x) = 2 (\frac{x^{2} + 1 - 2 x \cdot x}{{(x^{2} + 1)}^{2}})$

Passaggio 2.2.4

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$f'' (x) = 2 (\frac{x^{2} + 1 - 2 (x \cdot x)}{{(x^{2} + 1)}^{2}})$

Passaggio 2.2.5

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$f'' (x) = 2 (\frac{x^{2} + 1 - 2 (x \cdot x)}{{(x^{2} + 1)}^{2}})$

Passaggio 2.2.6

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$f'' (x) = 2 (\frac{x^{2} + 1 - 2 x^{1 + 1}}{{(x^{2} + 1)}^{2}})$

Passaggio 2.2.7

Somma $1$ e $1$ .

$f'' (x) = 2 (\frac{x^{2} + 1 - 2 x^{2}}{{(x^{2} + 1)}^{2}})$

Passaggio 2.2.8

Sottrai $2 x^{2}$ da $x^{2}$ .

$f'' (x) = 2 (\frac{- x^{2} + 1}{{(x^{2} + 1)}^{2}})$

Passaggio 2.2.9

$2$ e $\frac{- x^{2} + 1}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$ .

$f'' (x) = \frac{2 (- x^{2} + 1)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Passaggio 2.2.10

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.10.1

Applica la proprietà distributiva.

$f'' (x) = \frac{2 (- x^{2}) + 2 \cdot 1}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Passaggio 2.2.10.2

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.10.2.1

Moltiplica $- 1$ per $2$ .

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{2} + 2 \cdot 1}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Passaggio 2.2.10.2.2

Moltiplica $2$ per $1$ .

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{2} + 2}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Passaggio 2.3

La derivata seconda di $f (x)$ rispetto a $x$ è $\frac{- 2 x^{2} + 2}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$ .

$\frac{- 2 x^{2} + 2}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Passaggio 3

Imposta la derivata seconda pari a $0$ , quindi risolvi l'equazione $\frac{- 2 x^{2} + 2}{{(x^{2} + 1)}^{2}} = 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Imposta la derivata seconda uguale a $0$ .

$\frac{- 2 x^{2} + 2}{{(x^{2} + 1)}^{2}} = 0$

Passaggio 3.2

Poni il numeratore uguale a zero.

$- 2 x^{2} + 2 = 0$

Passaggio 3.3

Risolvi l'equazione per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.1

Sottrai $2$ da entrambi i lati dell'equazione.

$- 2 x^{2} = - 2$

Passaggio 3.3.2

Dividi per $- 2$ ciascun termine in $- 2 x^{2} = - 2$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.2.1

Dividi per $- 2$ ciascun termine in $- 2 x^{2} = - 2$ .

$\frac{- 2 x^{2}}{- 2} = \frac{- 2}{- 2}$

Passaggio 3.3.2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.2.2.1

Elimina il fattore comune di $- 2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.2.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{- 2 x^{2}}{- 2} = \frac{- 2}{- 2}$

Passaggio 3.3.2.2.1.2

Dividi $x^{2}$ per $1$ .

$x^{2} = \frac{- 2}{- 2}$

Passaggio 3.3.2.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.2.3.1

Dividi $- 2$ per $- 2$ .

$x^{2} = 1$

Passaggio 3.3.3

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{1}$

Passaggio 3.3.4

Qualsiasi radice di $1$ è $1$ .

$x = \pm 1$

Passaggio 3.3.5

La soluzione completa è il risultato delle porzioni positiva e negativa della soluzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.5.1

Per prima cosa, utilizza il valore positivo di $\pm$ per trovare la prima soluzione.

$x = 1$

Passaggio 3.3.5.2

Ora, utilizza il valore negativo del $\pm$ per trovare la seconda soluzione.

$x = - 1$

Passaggio 3.3.5.3

La soluzione completa è il risultato delle porzioni positiva e negativa della soluzione.

$x = 1, - 1$

Passaggio 4

Trova i punti dove la derivata seconda è $0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Sostituisci $1$ in $f (x) = \ln (x^{2} + 1)$ per trovare il valore di $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.1

Sostituisci la variabile $x$ con $1$ nell'espressione.

$f (1) = \ln ({(1)}^{2} + 1)$

Passaggio 4.1.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.2.1

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$f (1) = \ln (1 + 1)$

Passaggio 4.1.2.2

Somma $1$ e $1$ .

$f (1) = \ln (2)$

Passaggio 4.1.2.3

La risposta finale è $\ln (2)$ .

$\ln (2)$

Passaggio 4.2

Il punto trovato sostituendo $1$ in $f (x) = \ln (x^{2} + 1)$ è $(1, \ln (2))$ . Questo punto può essere un punto di flesso.

$(1, \ln (2))$

Passaggio 4.3

Sostituisci $- 1$ in $f (x) = \ln (x^{2} + 1)$ per trovare il valore di $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.1

Sostituisci la variabile $x$ con $- 1$ nell'espressione.

$f (- 1) = \ln ({(- 1)}^{2} + 1)$

Passaggio 4.3.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.2.1

Eleva $- 1$ alla potenza di $2$ .

$f (- 1) = \ln (1 + 1)$

Passaggio 4.3.2.2

Somma $1$ e $1$ .

$f (- 1) = \ln (2)$

Passaggio 4.3.2.3

La risposta finale è $\ln (2)$ .

$\ln (2)$

Passaggio 4.4

Il punto trovato sostituendo $- 1$ in $f (x) = \ln (x^{2} + 1)$ è $(- 1, \ln (2))$ . Questo punto può essere un punto di flesso.

$(- 1, \ln (2))$

Passaggio 4.5

Determina i punti che potrebbero essere punti di flesso.

$(1, \ln (2)), (- 1, \ln (2))$

Passaggio 5

Dividi $(- \infty, \infty)$ in intervalli intorno ai punti che potrebbero potenzialmente essere punti di flesso.

$(- \infty, - 1) \cup (- 1, 1) \cup (1, \infty)$

Passaggio 6

Sostituisci un valore dell'intervallo $(- \infty, - 1)$ nella derivata seconda per determinare se è crescente o decrescente.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Sostituisci la variabile $x$ con $- 1.1$ nell'espressione.

$f'' (- 1.1) = \frac{- 2 {(- 1.1)}^{2} + 2}{{({(- 1.1)}^{2} + 1)}^{2}}$

Passaggio 6.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.1

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.1.1

Eleva $- 1.1$ alla potenza di $2$ .

$f'' (- 1.1) = \frac{- 2 \cdot 1.21 + 2}{{({(- 1.1)}^{2} + 1)}^{2}}$

Passaggio 6.2.1.2

Moltiplica $- 2$ per $1.21$ .

$f'' (- 1.1) = \frac{- 2.42 + 2}{{({(- 1.1)}^{2} + 1)}^{2}}$

Passaggio 6.2.1.3

Somma $- 2.42$ e $2$ .

$f'' (- 1.1) = \frac{- 0.42}{{({(- 1.1)}^{2} + 1)}^{2}}$

Passaggio 6.2.2

Semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.2.1

Eleva $- 1.1$ alla potenza di $2$ .

$f'' (- 1.1) = \frac{- 0.42}{{(1.21 + 1)}^{2}}$

Passaggio 6.2.2.2

Somma $1.21$ e $1$ .

$f'' (- 1.1) = \frac{- 0.42}{{2.21}^{2}}$

Passaggio 6.2.2.3

Eleva $2.21$ alla potenza di $2$ .

$f'' (- 1.1) = \frac{- 0.42}{4.8841}$

Passaggio 6.2.3

Dividi $- 0.42$ per $4.8841$ .

$f'' (- 1.1) = - 0.08599332$

Passaggio 6.2.4

La risposta finale è $- 0.08599332$ .

$- 0.08599332$

Passaggio 6.3

Per $- 1.1$ , la derivata seconda è $- 0.08599332$ . Poiché il valore è negativo, la derivata seconda è decrescente nell'intervallo $(- \infty, - 1)$ .

Decrescente su $(- \infty, - 1)$ perché $f'' (x) < 0$

Passaggio 7

Sostituisci un valore dell'intervallo $(- 1, 1)$ nella derivata seconda per determinare se è crescente o decrescente.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1

Sostituisci la variabile $x$ con $0$ nell'espressione.

$f'' (0) = \frac{- 2 {(0)}^{2} + 2}{{({(0)}^{2} + 1)}^{2}}$

Passaggio 7.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.1

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.1.1

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$f'' (0) = \frac{- 2 \cdot 0 + 2}{{(0^{2} + 1)}^{2}}$

Passaggio 7.2.1.2

Moltiplica $- 2$ per $0$ .

$f'' (0) = \frac{0 + 2}{{(0^{2} + 1)}^{2}}$

Passaggio 7.2.1.3

Somma $0$ e $2$ .

$f'' (0) = \frac{2}{{(0^{2} + 1)}^{2}}$

Passaggio 7.2.2

Semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.2.1

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$f'' (0) = \frac{2}{{(0 + 1)}^{2}}$

Passaggio 7.2.2.2

Somma $0$ e $1$ .

$f'' (0) = \frac{2}{1^{2}}$

Passaggio 7.2.2.3

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$f'' (0) = \frac{2}{1}$

Passaggio 7.2.3

Dividi $2$ per $1$ .

$f'' (0) = 2$

Passaggio 7.2.4

La risposta finale è $2$ .

$2$

Passaggio 7.3

In corrispondenza di $0$ , la derivata seconda è $2$ . Poiché il valore è positivo, la derivata seconda è crescente sull'intervallo $(- 1, 1)$ .

Crescente su $(- 1, 1)$ perché $f'' (x) > 0$

Passaggio 8

Sostituisci un valore dell'intervallo $(1, \infty)$ nella derivata seconda per determinare se è crescente o decrescente.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.1

Sostituisci la variabile $x$ con $1.1$ nell'espressione.

$f'' (1.1) = \frac{- 2 {(1.1)}^{2} + 2}{{({(1.1)}^{2} + 1)}^{2}}$

Passaggio 8.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.2.1

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.2.1.1

Eleva $1.1$ alla potenza di $2$ .

$f'' (1.1) = \frac{- 2 \cdot 1.21 + 2}{{({1.1}^{2} + 1)}^{2}}$

Passaggio 8.2.1.2

Moltiplica $- 2$ per $1.21$ .

$f'' (1.1) = \frac{- 2.42 + 2}{{({1.1}^{2} + 1)}^{2}}$

Passaggio 8.2.1.3

Somma $- 2.42$ e $2$ .

$f'' (1.1) = \frac{- 0.42}{{({1.1}^{2} + 1)}^{2}}$

Passaggio 8.2.2

Semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.2.2.1

Eleva $1.1$ alla potenza di $2$ .

$f'' (1.1) = \frac{- 0.42}{{(1.21 + 1)}^{2}}$

Passaggio 8.2.2.2

Somma $1.21$ e $1$ .

$f'' (1.1) = \frac{- 0.42}{{2.21}^{2}}$

Passaggio 8.2.2.3

Eleva $2.21$ alla potenza di $2$ .

$f'' (1.1) = \frac{- 0.42}{4.8841}$

Passaggio 8.2.3

Dividi $- 0.42$ per $4.8841$ .

$f'' (1.1) = - 0.08599332$

Passaggio 8.2.4

La risposta finale è $- 0.08599332$ .

$- 0.08599332$

Passaggio 8.3

Per $1.1$ , la derivata seconda è $- 0.08599332$ . Poiché il valore è negativo, la derivata seconda è decrescente nell'intervallo $(1, \infty)$ .

Decrescente su $(1, \infty)$ perché $f'' (x) < 0$

Passaggio 9

An inflection point is a point on a curve at which the concavity changes sign from plus to minus or from minus to plus. The inflection points in this case are $(- 1, \ln (2)), (1, \ln (2))$ .

$(- 1, \ln (2)), (1, \ln (2))$

Passaggio 10