Calcolo Esempi

$y = 5 x^{4} + 3 x^{5}$

Passaggio 1

Scrivi $y = 5 x^{4} + 3 x^{5}$ come funzione.

$f (x) = 5 x^{4} + 3 x^{5}$

Passaggio 2

Trova la derivata seconda.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $5 x^{4} + 3 x^{5}$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [5 x^{4}] + \frac{d}{d x} [3 x^{5}]$ .

$\frac{d}{d x} [5 x^{4}] + \frac{d}{d x} [3 x^{5}]$

Passaggio 2.1.2

Calcola $\frac{d}{d x} [5 x^{4}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.2.1

Poiché $5$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $5 x^{4}$ rispetto a $x$ è $5 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$5 \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [3 x^{5}]$

Passaggio 2.1.2.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 4$ .

$5 (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [3 x^{5}]$

Passaggio 2.1.2.3

Moltiplica $4$ per $5$ .

$20 x^{3} + \frac{d}{d x} [3 x^{5}]$

Passaggio 2.1.3

Calcola $\frac{d}{d x} [3 x^{5}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.3.1

Poiché $3$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $3 x^{5}$ rispetto a $x$ è $3 \frac{d}{d x} [x^{5}]$ .

$20 x^{3} + 3 \frac{d}{d x} [x^{5}]$

Passaggio 2.1.3.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 5$ .

$20 x^{3} + 3 (5 x^{4})$

Passaggio 2.1.3.3

Moltiplica $5$ per $3$ .

$20 x^{3} + 15 x^{4}$

Passaggio 2.1.4

Riordina i termini.

$f' (x) = 15 x^{4} + 20 x^{3}$

Passaggio 2.2

Trova la derivata seconda.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $15 x^{4} + 20 x^{3}$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [15 x^{4}] + \frac{d}{d x} [20 x^{3}]$ .

$\frac{d}{d x} [15 x^{4}] + \frac{d}{d x} [20 x^{3}]$

Passaggio 2.2.2

Calcola $\frac{d}{d x} [15 x^{4}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.2.1

Poiché $15$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $15 x^{4}$ rispetto a $x$ è $15 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$15 \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [20 x^{3}]$

Passaggio 2.2.2.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 4$ .

$15 (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [20 x^{3}]$

Passaggio 2.2.2.3

Moltiplica $4$ per $15$ .

$60 x^{3} + \frac{d}{d x} [20 x^{3}]$

Passaggio 2.2.3

Calcola $\frac{d}{d x} [20 x^{3}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.3.1

Poiché $20$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $20 x^{3}$ rispetto a $x$ è $20 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$60 x^{3} + 20 \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Passaggio 2.2.3.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 3$ .

$60 x^{3} + 20 (3 x^{2})$

Passaggio 2.2.3.3

Moltiplica $3$ per $20$ .

$f'' (x) = 60 x^{3} + 60 x^{2}$

Passaggio 2.3

La derivata seconda di $f (x)$ rispetto a $x$ è $60 x^{3} + 60 x^{2}$ .

$60 x^{3} + 60 x^{2}$

Passaggio 3

Imposta la derivata seconda pari a $0$ , quindi risolvi l'equazione $60 x^{3} + 60 x^{2} = 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Imposta la derivata seconda uguale a $0$ .

$60 x^{3} + 60 x^{2} = 0$

Passaggio 3.2

Scomponi $60 x^{2}$ da $60 x^{3} + 60 x^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1

Scomponi $60 x^{2}$ da $60 x^{3}$ .

$60 x^{2} (x) + 60 x^{2} = 0$

Passaggio 3.2.2

Scomponi $60 x^{2}$ da $60 x^{2}$ .

$60 x^{2} (x) + 60 x^{2} (1) = 0$

Passaggio 3.2.3

Scomponi $60 x^{2}$ da $60 x^{2} (x) + 60 x^{2} (1)$ .

$60 x^{2} (x + 1) = 0$

Passaggio 3.3

Se qualsiasi singolo fattore nel lato sinistro dell'equazione è uguale a $0$ , l'intera espressione sarà uguale a $0$ .

$x^{2} = 0$

$x + 1 = 0$

Passaggio 3.4

Imposta $x^{2}$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.1

Imposta $x^{2}$ uguale a $0$ .

$x^{2} = 0$

Passaggio 3.4.2

Risolvi $x^{2} = 0$ per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.2.1

Trova la radice quadrata specificata di entrambi i lati dell'equazione per eliminare l'esponente sul lato sinistro.

$x = \pm \sqrt{0}$

Passaggio 3.4.2.2

Semplifica $\pm \sqrt{0}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.2.2.1

Riscrivi $0$ come $0^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{0^{2}}$

Passaggio 3.4.2.2.2

Estrai i termini dal radicale, presupponendo numeri reali positivi.

$x = \pm 0$

Passaggio 3.4.2.2.3

Più o meno $0$ è $0$ .

$x = 0$

Passaggio 3.5

Imposta $x + 1$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.1

Imposta $x + 1$ uguale a $0$ .

$x + 1 = 0$

Passaggio 3.5.2

Sottrai $1$ da entrambi i lati dell'equazione.

$x = - 1$

Passaggio 3.6

La soluzione finale è data da tutti i valori che rendono $60 x^{2} (x + 1) = 0$ vera.

$x = 0, - 1$

Passaggio 4

Trova i punti dove la derivata seconda è $0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Sostituisci $0$ in $f (x) = 5 x^{4} + 3 x^{5}$ per trovare il valore di $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.1

Sostituisci la variabile $x$ con $0$ nell'espressione.

$f (0) = 5 {(0)}^{4} + 3 {(0)}^{5}$

Passaggio 4.1.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.2.1.1

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$f (0) = 5 \cdot 0 + 3 {(0)}^{5}$

Passaggio 4.1.2.1.2

Moltiplica $5$ per $0$ .

$f (0) = 0 + 3 {(0)}^{5}$

Passaggio 4.1.2.1.3

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$f (0) = 0 + 3 \cdot 0$

Passaggio 4.1.2.1.4

Moltiplica $3$ per $0$ .

$f (0) = 0 + 0$

Passaggio 4.1.2.2

Somma $0$ e $0$ .

$f (0) = 0$

Passaggio 4.1.2.3

La risposta finale è $0$ .

$0$

Passaggio 4.2

Il punto trovato sostituendo $0$ in $f (x) = 5 x^{4} + 3 x^{5}$ è $(0, 0)$ . Questo punto può essere un punto di flesso.

$(0, 0)$

Passaggio 4.3

Sostituisci $- 1$ in $f (x) = 5 x^{4} + 3 x^{5}$ per trovare il valore di $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.1

Sostituisci la variabile $x$ con $- 1$ nell'espressione.

$f (- 1) = 5 {(- 1)}^{4} + 3 {(- 1)}^{5}$

Passaggio 4.3.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.2.1.1

Eleva $- 1$ alla potenza di $4$ .

$f (- 1) = 5 \cdot 1 + 3 {(- 1)}^{5}$

Passaggio 4.3.2.1.2

Moltiplica $5$ per $1$ .

$f (- 1) = 5 + 3 {(- 1)}^{5}$

Passaggio 4.3.2.1.3

Eleva $- 1$ alla potenza di $5$ .

$f (- 1) = 5 + 3 \cdot - 1$

Passaggio 4.3.2.1.4

Moltiplica $3$ per $- 1$ .

$f (- 1) = 5 - 3$

Passaggio 4.3.2.2

Sottrai $3$ da $5$ .

$f (- 1) = 2$

Passaggio 4.3.2.3

La risposta finale è $2$ .

$2$

Passaggio 4.4

Il punto trovato sostituendo $- 1$ in $f (x) = 5 x^{4} + 3 x^{5}$ è $(- 1, 2)$ . Questo punto può essere un punto di flesso.

$(- 1, 2)$

Passaggio 4.5

Determina i punti che potrebbero essere punti di flesso.

$(0, 0), (- 1, 2)$

Passaggio 5

Dividi $(- \infty, \infty)$ in intervalli intorno ai punti che potrebbero potenzialmente essere punti di flesso.

$(- \infty, - 1) \cup (- 1, 0) \cup (0, \infty)$

Passaggio 6

Sostituisci un valore dell'intervallo $(- \infty, - 1)$ nella derivata seconda per determinare se è crescente o decrescente.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Sostituisci la variabile $x$ con $- 1.1$ nell'espressione.

$f'' (- 1.1) = 60 {(- 1.1)}^{3} + 60 {(- 1.1)}^{2}$

Passaggio 6.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.1.1

Eleva $- 1.1$ alla potenza di $3$ .

$f'' (- 1.1) = 60 \cdot - 1.331 + 60 {(- 1.1)}^{2}$

Passaggio 6.2.1.2

Moltiplica $60$ per $- 1.331$ .

$f'' (- 1.1) = - 79.86 + 60 {(- 1.1)}^{2}$

Passaggio 6.2.1.3

Eleva $- 1.1$ alla potenza di $2$ .

$f'' (- 1.1) = - 79.86 + 60 \cdot 1.21$

Passaggio 6.2.1.4

Moltiplica $60$ per $1.21$ .

$f'' (- 1.1) = - 79.86 + 72.6$

Passaggio 6.2.2

Somma $- 79.86$ e $72.6$ .

$f'' (- 1.1) = - 7.26$

Passaggio 6.2.3

La risposta finale è $- 7.26$ .

$- 7.26$

Passaggio 6.3

Per $- 1.1$ , la derivata seconda è $- 7.26$ . Poiché il valore è negativo, la derivata seconda è decrescente nell'intervallo $(- \infty, - 1)$ .

Decrescente su $(- \infty, - 1)$ perché $f'' (x) < 0$

Passaggio 7

Sostituisci un valore dell'intervallo $(- 1, 0)$ nella derivata seconda per determinare se è crescente o decrescente.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1

Sostituisci la variabile $x$ con $- \frac{1}{2}$ nell'espressione.

$f'' (- \frac{1}{2}) = 60 {(- \frac{1}{2})}^{3} + 60 {(- \frac{1}{2})}^{2}$

Passaggio 7.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.1.1

Usa la regola della potenza ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ per distribuire l'esponente.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.1.1.1

Applica la regola del prodotto a $- \frac{1}{2}$ .

$f'' (- \frac{1}{2}) = 60 ({(- 1)}^{3} {(\frac{1}{2})}^{3}) + 60 {(- \frac{1}{2})}^{2}$

Passaggio 7.2.1.1.2

Applica la regola del prodotto a $\frac{1}{2}$ .

$f'' (- \frac{1}{2}) = 60 ({(- 1)}^{3} (\frac{1^{3}}{2^{3}})) + 60 {(- \frac{1}{2})}^{2}$

Passaggio 7.2.1.2

Eleva $- 1$ alla potenza di $3$ .

$f'' (- \frac{1}{2}) = 60 (- \frac{1^{3}}{2^{3}}) + 60 {(- \frac{1}{2})}^{2}$

Passaggio 7.2.1.3

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$f'' (- \frac{1}{2}) = 60 (- \frac{1}{2^{3}}) + 60 {(- \frac{1}{2})}^{2}$

Passaggio 7.2.1.4

Eleva $2$ alla potenza di $3$ .

$f'' (- \frac{1}{2}) = 60 (- \frac{1}{8}) + 60 {(- \frac{1}{2})}^{2}$

Passaggio 7.2.1.5

Elimina il fattore comune di $4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.1.5.1

Sposta il negativo all'inizio di $- \frac{1}{8}$ nel numeratore.

$f'' (- \frac{1}{2}) = 60 (\frac{- 1}{8}) + 60 {(- \frac{1}{2})}^{2}$

Passaggio 7.2.1.5.2

Scomponi $4$ da $60$ .

$f'' (- \frac{1}{2}) = 4 (15) (\frac{- 1}{8}) + 60 {(- \frac{1}{2})}^{2}$

Passaggio 7.2.1.5.3

Scomponi $4$ da $8$ .

$f'' (- \frac{1}{2}) = 4 \cdot (15 (\frac{- 1}{4 \cdot 2})) + 60 {(- \frac{1}{2})}^{2}$

Passaggio 7.2.1.5.4

Elimina il fattore comune.

$f'' (- \frac{1}{2}) = 4 \cdot (15 (\frac{- 1}{4 \cdot 2})) + 60 {(- \frac{1}{2})}^{2}$

Passaggio 7.2.1.5.5

Riscrivi l'espressione.

$f'' (- \frac{1}{2}) = 15 (\frac{- 1}{2}) + 60 {(- \frac{1}{2})}^{2}$

Passaggio 7.2.1.6

$15$ e $\frac{- 1}{2}$ .

$f'' (- \frac{1}{2}) = \frac{15 \cdot - 1}{2} + 60 {(- \frac{1}{2})}^{2}$

Passaggio 7.2.1.7

Moltiplica $15$ per $- 1$ .

$f'' (- \frac{1}{2}) = \frac{- 15}{2} + 60 {(- \frac{1}{2})}^{2}$

Passaggio 7.2.1.8

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$f'' (- \frac{1}{2}) = - \frac{15}{2} + 60 {(- \frac{1}{2})}^{2}$

Passaggio 7.2.1.9

Usa la regola della potenza ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ per distribuire l'esponente.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.1.9.1

Applica la regola del prodotto a $- \frac{1}{2}$ .

$f'' (- \frac{1}{2}) = - \frac{15}{2} + 60 ({(- 1)}^{2} {(\frac{1}{2})}^{2})$

Passaggio 7.2.1.9.2

Applica la regola del prodotto a $\frac{1}{2}$ .

$f'' (- \frac{1}{2}) = - \frac{15}{2} + 60 ({(- 1)}^{2} (\frac{1^{2}}{2^{2}}))$

Passaggio 7.2.1.10

Eleva $- 1$ alla potenza di $2$ .

$f'' (- \frac{1}{2}) = - \frac{15}{2} + 60 (1 (\frac{1^{2}}{2^{2}}))$

Passaggio 7.2.1.11

Moltiplica $\frac{1^{2}}{2^{2}}$ per $1$ .

$f'' (- \frac{1}{2}) = - \frac{15}{2} + 60 (\frac{1^{2}}{2^{2}})$

Passaggio 7.2.1.12

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$f'' (- \frac{1}{2}) = - \frac{15}{2} + 60 (\frac{1}{2^{2}})$

Passaggio 7.2.1.13

Eleva $2$ alla potenza di $2$ .

$f'' (- \frac{1}{2}) = - \frac{15}{2} + 60 (\frac{1}{4})$

Passaggio 7.2.1.14

Elimina il fattore comune di $4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.1.14.1

Scomponi $4$ da $60$ .

$f'' (- \frac{1}{2}) = - \frac{15}{2} + 4 (15) (\frac{1}{4})$

Passaggio 7.2.1.14.2

Elimina il fattore comune.

$f'' (- \frac{1}{2}) = - \frac{15}{2} + 4 \cdot (15 (\frac{1}{4}))$

Passaggio 7.2.1.14.3

Riscrivi l'espressione.

$f'' (- \frac{1}{2}) = - \frac{15}{2} + 15$

Passaggio 7.2.2

Per scrivere $15$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$f'' (- \frac{1}{2}) = - \frac{15}{2} + 15 \cdot \frac{2}{2}$

Passaggio 7.2.3

$15$ e $\frac{2}{2}$ .

$f'' (- \frac{1}{2}) = - \frac{15}{2} + \frac{15 \cdot 2}{2}$

Passaggio 7.2.4

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$f'' (- \frac{1}{2}) = \frac{- 15 + 15 \cdot 2}{2}$

Passaggio 7.2.5

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.5.1

Moltiplica $15$ per $2$ .

$f'' (- \frac{1}{2}) = \frac{- 15 + 30}{2}$

Passaggio 7.2.5.2

Somma $- 15$ e $30$ .

$f'' (- \frac{1}{2}) = \frac{15}{2}$

Passaggio 7.2.6

La risposta finale è $\frac{15}{2}$ .

$\frac{15}{2}$

Passaggio 7.3

In corrispondenza di $- \frac{1}{2}$ , la derivata seconda è $7.5$ . Poiché il valore è positivo, la derivata seconda è crescente sull'intervallo $(- 1, 0)$ .

Crescente su $(- 1, 0)$ perché $f'' (x) > 0$

Passaggio 8

Sostituisci un valore dell'intervallo $(0, \infty)$ nella derivata seconda per determinare se è crescente o decrescente.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.1

Sostituisci la variabile $x$ con $0.1$ nell'espressione.

$f'' (0.1) = 60 {(0.1)}^{3} + 60 {(0.1)}^{2}$

Passaggio 8.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.2.1.1

Eleva $0.1$ alla potenza di $3$ .

$f'' (0.1) = 60 \cdot 0.001 + 60 {(0.1)}^{2}$

Passaggio 8.2.1.2

Moltiplica $60$ per $0.001$ .

$f'' (0.1) = 0.06 + 60 {(0.1)}^{2}$

Passaggio 8.2.1.3

Eleva $0.1$ alla potenza di $2$ .

$f'' (0.1) = 0.06 + 60 \cdot 0.01$

Passaggio 8.2.1.4

Moltiplica $60$ per $0.01$ .

$f'' (0.1) = 0.06 + 0.6$

Passaggio 8.2.2

Somma $0.06$ e $0.6$ .

$f'' (0.1) = 0.66$

Passaggio 8.2.3

La risposta finale è $0.66$ .

$0.66$

Passaggio 8.3

In corrispondenza di $0.1$ , la derivata seconda è $0.66$ . Poiché il valore è positivo, la derivata seconda è crescente sull'intervallo $(0, \infty)$ .

Crescente su $(0, \infty)$ perché $f'' (x) > 0$

Passaggio 9

Un punto di flesso è un punto su una curva in cui la concavità cambia di segno, da più a meno oppure da meno a più. In questo caso il punto di flesso è $(- 1, 2)$ .

$(- 1, 2)$

Passaggio 10