Calcolo Esempi

$y = 5 x^{2} \ln (\frac{x}{4})$

Passaggio 1

Scrivi $y = 5 x^{2} \ln (\frac{x}{4})$ come funzione.

$f (x) = 5 x^{2} \ln (\frac{x}{4})$

Passaggio 2

Trova la derivata seconda.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.1

Poiché $5$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $5 x^{2} \ln (\frac{x}{4})$ rispetto a $x$ è $5 \frac{d}{d x} [x^{2} \ln (\frac{x}{4})]$ .

$f' (x) = 5 \frac{d}{d x} (x^{2} \ln (\frac{x}{4}))$

Passaggio 2.1.2

Differenzia usando la regola del prodotto, che indica che $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ è $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ dove $f (x) = x^{2}$ e $g (x) = \ln (\frac{x}{4})$ .

$f' (x) = 5 (x^{2} \frac{d}{d x} (\ln (\frac{x}{4})) + \ln (\frac{x}{4}) \frac{d}{d x} (x^{2}))$

Passaggio 2.1.3

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = \ln (x)$ e $g (x) = \frac{x}{4}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.3.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $\frac{x}{4}$ .

$f' (x) = 5 (x^{2} (\frac{d}{d u} (\ln (u)) \frac{d}{d x} (\frac{x}{4})) + \ln (\frac{x}{4}) \frac{d}{d x} (x^{2}))$

Passaggio 2.1.3.2

La derivata di $\ln (u)$ rispetto a $u$ è $\frac{1}{u}$ .

$f' (x) = 5 (x^{2} (\frac{1}{u} \cdot \frac{d}{d x} (\frac{x}{4})) + \ln (\frac{x}{4}) \frac{d}{d x} (x^{2}))$

Passaggio 2.1.3.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $\frac{x}{4}$ .

$f' (x) = 5 (x^{2} (\frac{1}{\frac{x}{4}} \cdot \frac{d}{d x} (\frac{x}{4})) + \ln (\frac{x}{4}) \frac{d}{d x} (x^{2}))$

Passaggio 2.1.4

Moltiplica per il reciproco della frazione per dividere per $\frac{x}{4}$ .

$f' (x) = 5 (x^{2} (1 (\frac{4}{x}) \cdot \frac{d}{d x} (\frac{x}{4})) + \ln (\frac{x}{4}) \frac{d}{d x} (x^{2}))$

Passaggio 2.1.5

Semplifica i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.5.1

Moltiplica $\frac{4}{x}$ per $1$ .

$f' (x) = 5 (x^{2} (\frac{4}{x} \cdot \frac{d}{d x} (\frac{x}{4})) + \ln (\frac{x}{4}) \frac{d}{d x} (x^{2}))$

Passaggio 2.1.5.2

$\frac{4}{x}$ e $x^{2}$ .

$f' (x) = 5 (\frac{4 x^{2}}{x} \cdot \frac{d}{d x} (\frac{x}{4}) + \ln (\frac{x}{4}) \frac{d}{d x} (x^{2}))$

Passaggio 2.1.5.3

Elimina il fattore comune di $x^{2}$ e $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.5.3.1

Scomponi $x$ da $4 x^{2}$ .

$f' (x) = 5 (\frac{x (4 x)}{x} \cdot \frac{d}{d x} (\frac{x}{4}) + \ln (\frac{x}{4}) \frac{d}{d x} (x^{2}))$

Passaggio 2.1.5.3.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.5.3.2.1

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$f' (x) = 5 (\frac{x (4 x)}{x} \cdot \frac{d}{d x} (\frac{x}{4}) + \ln (\frac{x}{4}) \frac{d}{d x} (x^{2}))$

Passaggio 2.1.5.3.2.2

Scomponi $x$ da $x^{1}$ .

$f' (x) = 5 (\frac{x (4 x)}{x \cdot 1} \cdot \frac{d}{d x} (\frac{x}{4}) + \ln (\frac{x}{4}) \frac{d}{d x} (x^{2}))$

Passaggio 2.1.5.3.2.3

Elimina il fattore comune.

$f' (x) = 5 (\frac{x (4 x)}{x \cdot 1} \cdot \frac{d}{d x} (\frac{x}{4}) + \ln (\frac{x}{4}) \frac{d}{d x} (x^{2}))$

Passaggio 2.1.5.3.2.4

Riscrivi l'espressione.

$f' (x) = 5 (\frac{4 x}{1} \cdot \frac{d}{d x} (\frac{x}{4}) + \ln (\frac{x}{4}) \frac{d}{d x} (x^{2}))$

Passaggio 2.1.5.3.2.5

Dividi $4 x$ per $1$ .

$f' (x) = 5 (4 x \frac{d}{d x} (\frac{x}{4}) + \ln (\frac{x}{4}) \frac{d}{d x} (x^{2}))$

Passaggio 2.1.6

Poiché $\frac{1}{4}$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $\frac{x}{4}$ rispetto a $x$ è $\frac{1}{4} \frac{d}{d x} [x]$ .

$f' (x) = 5 (4 x (\frac{1}{4} \cdot \frac{d}{d x} (x)) + \ln (\frac{x}{4}) \frac{d}{d x} (x^{2}))$

Passaggio 2.1.7

Semplifica i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.7.1

$4$ e $\frac{1}{4}$ .

$f' (x) = 5 (x (\frac{4}{4} \cdot \frac{d}{d x} (x)) + \ln (\frac{x}{4}) \frac{d}{d x} (x^{2}))$

Passaggio 2.1.7.2

$\frac{4}{4}$ e $x$ .

$f' (x) = 5 (\frac{4 x}{4} \cdot \frac{d}{d x} (x) + \ln (\frac{x}{4}) \frac{d}{d x} (x^{2}))$

Passaggio 2.1.7.3

Elimina il fattore comune di $4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.7.3.1

Elimina il fattore comune.

$f' (x) = 5 (\frac{4 x}{4} \cdot \frac{d}{d x} (x) + \ln (\frac{x}{4}) \frac{d}{d x} (x^{2}))$

Passaggio 2.1.7.3.2

Dividi $x$ per $1$ .

$f' (x) = 5 (x \frac{d}{d x} (x) + \ln (\frac{x}{4}) \frac{d}{d x} (x^{2}))$

Passaggio 2.1.8

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$f' (x) = 5 (x \cdot 1 + \ln (\frac{x}{4}) \frac{d}{d x} (x^{2}))$

Passaggio 2.1.9

Moltiplica $x$ per $1$ .

$f' (x) = 5 (x + \ln (\frac{x}{4}) \frac{d}{d x} (x^{2}))$

Passaggio 2.1.10

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$f' (x) = 5 (x + \ln (\frac{x}{4}) (2 x))$

Passaggio 2.1.11

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.11.1

Applica la proprietà distributiva.

$f' (x) = 5 x + 5 (\ln (\frac{x}{4}) (2 x))$

Passaggio 2.1.11.2

Moltiplica $2$ per $5$ .

$f' (x) = 5 x + 10 \ln (\frac{x}{4}) x$

Passaggio 2.1.11.3

Riordina i termini.

$f' (x) = 10 x \ln (\frac{x}{4}) + 5 x$

Passaggio 2.2

Trova la derivata seconda.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $10 x \ln (\frac{x}{4}) + 5 x$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [10 x \ln (\frac{x}{4})] + \frac{d}{d x} [5 x]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (10 x \ln (\frac{x}{4})) + \frac{d}{d x} (5 x)$

Passaggio 2.2.2

Calcola $\frac{d}{d x} [10 x \ln (\frac{x}{4})]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.2.1

Poiché $10$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $10 x \ln (\frac{x}{4})$ rispetto a $x$ è $10 \frac{d}{d x} [x \ln (\frac{x}{4})]$ .

$f'' (x) = 10 \frac{d}{d x} (x \ln (\frac{x}{4})) + \frac{d}{d x} (5 x)$

Passaggio 2.2.2.2

Differenzia usando la regola del prodotto, che indica che $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ è $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ dove $f (x) = x$ e $g (x) = \ln (\frac{x}{4})$ .

$f'' (x) = 10 (x \frac{d}{d x} (\ln (\frac{x}{4})) + \ln (\frac{x}{4}) \frac{d}{d x} (x)) + \frac{d}{d x} (5 x)$

Passaggio 2.2.2.3

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = \ln (x)$ e $g (x) = \frac{x}{4}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.2.3.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $\frac{x}{4}$ .

$f'' (x) = 10 (x (\frac{d}{d u} (\ln (u)) \frac{d}{d x} (\frac{x}{4})) + \ln (\frac{x}{4}) \frac{d}{d x} (x)) + \frac{d}{d x} (5 x)$

Passaggio 2.2.2.3.2

La derivata di $\ln (u)$ rispetto a $u$ è $\frac{1}{u}$ .

$f'' (x) = 10 (x (\frac{1}{u} \cdot \frac{d}{d x} (\frac{x}{4})) + \ln (\frac{x}{4}) \frac{d}{d x} (x)) + \frac{d}{d x} (5 x)$

Passaggio 2.2.2.3.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $\frac{x}{4}$ .

$f'' (x) = 10 (x (\frac{1}{\frac{x}{4}} \cdot \frac{d}{d x} (\frac{x}{4})) + \ln (\frac{x}{4}) \frac{d}{d x} (x)) + \frac{d}{d x} (5 x)$

Passaggio 2.2.2.4

Poiché $\frac{1}{4}$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $\frac{x}{4}$ rispetto a $x$ è $\frac{1}{4} \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = 10 (x (\frac{1}{\frac{x}{4}} \cdot (\frac{1}{4} \cdot \frac{d}{d x} (x))) + \ln (\frac{x}{4}) \frac{d}{d x} (x)) + \frac{d}{d x} (5 x)$

Passaggio 2.2.2.5

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$f'' (x) = 10 (x (\frac{1}{\frac{x}{4}} \cdot (\frac{1}{4} \cdot 1)) + \ln (\frac{x}{4}) \frac{d}{d x} (x)) + \frac{d}{d x} (5 x)$

Passaggio 2.2.2.6

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$f'' (x) = 10 (x (\frac{1}{\frac{x}{4}} \cdot (\frac{1}{4} \cdot 1)) + \ln (\frac{x}{4}) \cdot 1) + \frac{d}{d x} (5 x)$

Passaggio 2.2.2.7

Moltiplica per il reciproco della frazione per dividere per $\frac{x}{4}$ .

$f'' (x) = 10 (x (1 (\frac{4}{x}) \cdot (\frac{1}{4} \cdot 1)) + \ln (\frac{x}{4}) \cdot 1) + \frac{d}{d x} (5 x)$

Passaggio 2.2.2.8

Moltiplica $\frac{4}{x}$ per $1$ .

$f'' (x) = 10 (x (\frac{4}{x} \cdot (\frac{1}{4} \cdot 1)) + \ln (\frac{x}{4}) \cdot 1) + \frac{d}{d x} (5 x)$

Passaggio 2.2.2.9

Moltiplica $\frac{1}{4}$ per $1$ .

$f'' (x) = 10 (x (\frac{4}{x} \cdot \frac{1}{4}) + \ln (\frac{x}{4}) \cdot 1) + \frac{d}{d x} (5 x)$

Passaggio 2.2.2.10

Moltiplica $\frac{4}{x}$ per $\frac{1}{4}$ .

$f'' (x) = 10 (x (\frac{4}{x \cdot 4}) + \ln (\frac{x}{4}) \cdot 1) + \frac{d}{d x} (5 x)$

Passaggio 2.2.2.11

Sposta $4$ alla sinistra di $x$ .

$f'' (x) = 10 (x (\frac{4}{4 \cdot x}) + \ln (\frac{x}{4}) \cdot 1) + \frac{d}{d x} (5 x)$

Passaggio 2.2.2.12

Elimina il fattore comune di $4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.2.12.1

Elimina il fattore comune.

$f'' (x) = 10 (x (\frac{4}{4 x}) + \ln (\frac{x}{4}) \cdot 1) + \frac{d}{d x} (5 x)$

Passaggio 2.2.2.12.2

Riscrivi l'espressione.

$f'' (x) = 10 (x (\frac{1}{x}) + \ln (\frac{x}{4}) \cdot 1) + \frac{d}{d x} (5 x)$

Passaggio 2.2.2.13

$x$ e $\frac{1}{x}$ .

$f'' (x) = 10 (\frac{x}{x} + \ln (\frac{x}{4}) \cdot 1) + \frac{d}{d x} (5 x)$

Passaggio 2.2.2.14

Elimina il fattore comune di $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.2.14.1

Elimina il fattore comune.

$f'' (x) = 10 (\frac{x}{x} + \ln (\frac{x}{4}) \cdot 1) + \frac{d}{d x} (5 x)$

Passaggio 2.2.2.14.2

Riscrivi l'espressione.

$f'' (x) = 10 (1 + \ln (\frac{x}{4}) \cdot 1) + \frac{d}{d x} (5 x)$

Passaggio 2.2.2.15

Moltiplica $\ln (\frac{x}{4})$ per $1$ .

$f'' (x) = 10 (1 + \ln (\frac{x}{4})) + \frac{d}{d x} (5 x)$

Passaggio 2.2.3

Calcola $\frac{d}{d x} [5 x]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.3.1

Poiché $5$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $5 x$ rispetto a $x$ è $5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = 10 (1 + \ln (\frac{x}{4})) + 5 \frac{d}{d x} (x)$

Passaggio 2.2.3.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$f'' (x) = 10 (1 + \ln (\frac{x}{4})) + 5 \cdot 1$

Passaggio 2.2.3.3

Moltiplica $5$ per $1$ .

$f'' (x) = 10 (1 + \ln (\frac{x}{4})) + 5$

Passaggio 2.2.4

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.4.1

Applica la proprietà distributiva.

$f'' (x) = 10 \cdot 1 + 10 \ln (\frac{x}{4}) + 5$

Passaggio 2.2.4.2

Raccogli i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.4.2.1

Moltiplica $10$ per $1$ .

$f'' (x) = 10 + 10 \ln (\frac{x}{4}) + 5$

Passaggio 2.2.4.2.2

Somma $10$ e $5$ .

$f'' (x) = 10 \ln (\frac{x}{4}) + 15$

Passaggio 2.3

La derivata seconda di $f (x)$ rispetto a $x$ è $10 \ln (\frac{x}{4}) + 15$ .

$10 \ln (\frac{x}{4}) + 15$

Passaggio 3

Imposta la derivata seconda pari a $0$ , quindi risolvi l'equazione $10 \ln (\frac{x}{4}) + 15 = 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Imposta la derivata seconda uguale a $0$ .

$10 \ln (\frac{x}{4}) + 15 = 0$

Passaggio 3.2

Sottrai $15$ da entrambi i lati dell'equazione.

$10 \ln (\frac{x}{4}) = - 15$

Passaggio 3.3

Dividi per $10$ ciascun termine in $10 \ln (\frac{x}{4}) = - 15$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.1

Dividi per $10$ ciascun termine in $10 \ln (\frac{x}{4}) = - 15$ .

$\frac{10 \ln (\frac{x}{4})}{10} = \frac{- 15}{10}$

Passaggio 3.3.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.2.1

Elimina il fattore comune di $10$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{10 \ln (\frac{x}{4})}{10} = \frac{- 15}{10}$

Passaggio 3.3.2.1.2

Dividi $\ln (\frac{x}{4})$ per $1$ .

$\ln (\frac{x}{4}) = \frac{- 15}{10}$

Passaggio 3.3.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.3.1

Elimina il fattore comune di $- 15$ e $10$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.3.1.1

Scomponi $5$ da $- 15$ .

$\ln (\frac{x}{4}) = \frac{5 (- 3)}{10}$

Passaggio 3.3.3.1.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.3.1.2.1

Scomponi $5$ da $10$ .

$\ln (\frac{x}{4}) = \frac{5 \cdot - 3}{5 \cdot 2}$

Passaggio 3.3.3.1.2.2

Elimina il fattore comune.

$\ln (\frac{x}{4}) = \frac{5 \cdot - 3}{5 \cdot 2}$

Passaggio 3.3.3.1.2.3

Riscrivi l'espressione.

$\ln (\frac{x}{4}) = \frac{- 3}{2}$

Passaggio 3.3.3.2

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$\ln (\frac{x}{4}) = - \frac{3}{2}$

Passaggio 3.4

Per risolvere per $x$ , riscrivi l'equazione utilizzando le proprietà dei logaritmi.

$e^{\ln (\frac{x}{4})} = e^{- \frac{3}{2}}$

Passaggio 3.5

Riscrivi $\ln (\frac{x}{4}) = - \frac{3}{2}$ in forma esponenziale usando la definizione di logaritmo. Se $x$ e $b$ sono numeri reali positivi e $b \neq 1$ , allora $\log_{b} (x) = y$ è equivalente a $b^{y} = x$ .

$e^{- \frac{3}{2}} = \frac{x}{4}$

Passaggio 3.6

Risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.6.1

Riscrivi l'equazione come $\frac{x}{4} = e^{- \frac{3}{2}}$ .

$\frac{x}{4} = e^{- \frac{3}{2}}$

Passaggio 3.6.2

Moltiplica entrambi i lati dell'equazione per $4$ .

$4 \frac{x}{4} = 4 e^{- \frac{3}{2}}$

Passaggio 3.6.3

Semplifica entrambi i lati dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.6.3.1

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.6.3.1.1

Elimina il fattore comune di $4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.6.3.1.1.1

Elimina il fattore comune.

$4 \frac{x}{4} = 4 e^{- \frac{3}{2}}$

Passaggio 3.6.3.1.1.2

Riscrivi l'espressione.

$x = 4 e^{- \frac{3}{2}}$

Passaggio 3.6.3.2

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.6.3.2.1

Semplifica $4 e^{- \frac{3}{2}}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.6.3.2.1.1

Riscrivi l'espressione usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$x = 4 \frac{1}{e^{\frac{3}{2}}}$

Passaggio 3.6.3.2.1.2

$4$ e $\frac{1}{e^{\frac{3}{2}}}$ .

$x = \frac{4}{e^{\frac{3}{2}}}$

Passaggio 4

Trova i punti dove la derivata seconda è $0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Sostituisci $\frac{4}{e^{\frac{3}{2}}}$ in $f (x) = 5 x^{2} \ln (\frac{x}{4})$ per trovare il valore di $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.1

Sostituisci la variabile $x$ con $\frac{4}{e^{\frac{3}{2}}}$ nell'espressione.

$f (\frac{4}{e^{\frac{3}{2}}}) = 5 {(\frac{4}{e^{\frac{3}{2}}})}^{2} \ln (\frac{\frac{4}{e^{\frac{3}{2}}}}{4})$

Passaggio 4.1.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.2.1

Applica la regola del prodotto a $\frac{4}{e^{\frac{3}{2}}}$ .

$f (\frac{4}{e^{\frac{3}{2}}}) = 5 (\frac{4^{2}}{{(e^{\frac{3}{2}})}^{2}}) \cdot \ln (\frac{\frac{4}{e^{\frac{3}{2}}}}{4})$

Passaggio 4.1.2.2

Eleva $4$ alla potenza di $2$ .

$f (\frac{4}{e^{\frac{3}{2}}}) = 5 (\frac{16}{{(e^{\frac{3}{2}})}^{2}}) \cdot \ln (\frac{\frac{4}{e^{\frac{3}{2}}}}{4})$

Passaggio 4.1.2.3

Moltiplica gli esponenti in ${(e^{\frac{3}{2}})}^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.2.3.1

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (\frac{4}{e^{\frac{3}{2}}}) = 5 (\frac{16}{e^{\frac{3}{2} \cdot 2}}) \cdot \ln (\frac{\frac{4}{e^{\frac{3}{2}}}}{4})$

Passaggio 4.1.2.3.2

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.2.3.2.1

Elimina il fattore comune.

$f (\frac{4}{e^{\frac{3}{2}}}) = 5 (\frac{16}{e^{\frac{3}{2} \cdot 2}}) \cdot \ln (\frac{\frac{4}{e^{\frac{3}{2}}}}{4})$

Passaggio 4.1.2.3.2.2

Riscrivi l'espressione.

$f (\frac{4}{e^{\frac{3}{2}}}) = 5 (\frac{16}{e^{3}}) \cdot \ln (\frac{\frac{4}{e^{\frac{3}{2}}}}{4})$

Passaggio 4.1.2.4

Moltiplica $5 \frac{16}{e^{3}}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.2.4.1

$5$ e $\frac{16}{e^{3}}$ .

$f (\frac{4}{e^{\frac{3}{2}}}) = \frac{5 \cdot 16}{e^{3}} \cdot \ln (\frac{\frac{4}{e^{\frac{3}{2}}}}{4})$

Passaggio 4.1.2.4.2

Moltiplica $5$ per $16$ .

$f (\frac{4}{e^{\frac{3}{2}}}) = \frac{80}{e^{3}} \cdot \ln (\frac{\frac{4}{e^{\frac{3}{2}}}}{4})$

Passaggio 4.1.2.5

Moltiplica il numeratore per il reciproco del denominatore.

$f (\frac{4}{e^{\frac{3}{2}}}) = \frac{80}{e^{3}} \cdot \ln (\frac{4}{e^{\frac{3}{2}}} \cdot \frac{1}{4})$

Passaggio 4.1.2.6

Combina.

$f (\frac{4}{e^{\frac{3}{2}}}) = \frac{80}{e^{3}} \cdot \ln (\frac{4 \cdot 1}{e^{\frac{3}{2}} \cdot 4})$

Passaggio 4.1.2.7

Riduci l'espressione $\frac{4 \cdot 1}{e^{\frac{3}{2}} \cdot 4}$ eliminando i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.2.7.1

Elimina il fattore comune.

$f (\frac{4}{e^{\frac{3}{2}}}) = \frac{80}{e^{3}} \cdot \ln (\frac{4 \cdot 1}{e^{\frac{3}{2}} \cdot 4})$

Passaggio 4.1.2.7.2

Riscrivi l'espressione.

$f (\frac{4}{e^{\frac{3}{2}}}) = \frac{80}{e^{3}} \cdot \ln (\frac{1}{e^{\frac{3}{2}}})$

Passaggio 4.1.2.8

Sposta $e^{\frac{3}{2}}$ al numeratore usando la regola dell'esponente negativo $\frac{1}{b^{n}} = b^{- n}$ .

$f (\frac{4}{e^{\frac{3}{2}}}) = \frac{80}{e^{3}} \cdot \ln (e^{- \frac{3}{2}})$

Passaggio 4.1.2.9

Espandi $\ln (e^{- \frac{3}{2}})$ spostando $- \frac{3}{2}$ fuori dal logaritmo.

$f (\frac{4}{e^{\frac{3}{2}}}) = \frac{80}{e^{3}} \cdot (- \frac{3}{2} \cdot \ln (e))$

Passaggio 4.1.2.10

Il logaritmo naturale di $e$ è $1$ .

$f (\frac{4}{e^{\frac{3}{2}}}) = \frac{80}{e^{3}} \cdot (- \frac{3}{2} \cdot 1)$

Passaggio 4.1.2.11

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$f (\frac{4}{e^{\frac{3}{2}}}) = \frac{80}{e^{3}} \cdot (- \frac{3}{2})$

Passaggio 4.1.2.12

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.2.12.1

Sposta il negativo all'inizio di $- \frac{3}{2}$ nel numeratore.

$f (\frac{4}{e^{\frac{3}{2}}}) = \frac{80}{e^{3}} \cdot \frac{- 3}{2}$

Passaggio 4.1.2.12.2

Scomponi $2$ da $80$ .

$f (\frac{4}{e^{\frac{3}{2}}}) = \frac{2 (40)}{e^{3}} \cdot \frac{- 3}{2}$

Passaggio 4.1.2.12.3

Elimina il fattore comune.

$f (\frac{4}{e^{\frac{3}{2}}}) = \frac{2 \cdot 40}{e^{3}} \cdot \frac{- 3}{2}$

Passaggio 4.1.2.12.4

Riscrivi l'espressione.

$f (\frac{4}{e^{\frac{3}{2}}}) = \frac{40}{e^{3}} \cdot - 3$

Passaggio 4.1.2.13

$\frac{40}{e^{3}}$ e $- 3$ .

$f (\frac{4}{e^{\frac{3}{2}}}) = \frac{40 \cdot - 3}{e^{3}}$

Passaggio 4.1.2.14

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.2.14.1

Moltiplica $40$ per $- 3$ .

$f (\frac{4}{e^{\frac{3}{2}}}) = \frac{- 120}{e^{3}}$

Passaggio 4.1.2.14.2

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$f (\frac{4}{e^{\frac{3}{2}}}) = - \frac{120}{e^{3}}$

Passaggio 4.1.2.15

La risposta finale è $- \frac{120}{e^{3}}$ .

$- \frac{120}{e^{3}}$

Passaggio 4.2

Il punto trovato sostituendo $\frac{4}{e^{\frac{3}{2}}}$ in $f (x) = 5 x^{2} \ln (\frac{x}{4})$ è $(\frac{4}{e^{\frac{3}{2}}}, - \frac{120}{e^{3}})$ . Questo punto può essere un punto di flesso.

$(\frac{4}{e^{\frac{3}{2}}}, - \frac{120}{e^{3}})$

Passaggio 5

Dividi $(- \infty, \infty)$ in intervalli intorno ai punti che potrebbero potenzialmente essere punti di flesso.

$(- \infty, \frac{4}{e^{\frac{3}{2}}}) \cup (\frac{4}{e^{\frac{3}{2}}}, \infty)$

Passaggio 6

Sostituisci un valore dell'intervallo $(- \infty, \frac{4}{e^{\frac{3}{2}}})$ nella derivata seconda per determinare se è crescente o decrescente.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Sostituisci la variabile $x$ con $0.79252064$ nell'espressione.

$f'' (0.79252064) = 10 \ln (\frac{0.79252064}{4}) + 15$

Passaggio 6.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.1.1

Dividi $0.79252064$ per $4$ .

$f'' (0.79252064) = 10 \ln (0.19813016) + 15$

Passaggio 6.2.1.2

Semplifica $10 \ln (0.19813016)$ spostando $10$ all'interno del logaritmo.

$f'' (0.79252064) = \ln ({0.19813016}^{10}) + 15$

Passaggio 6.2.1.3

Eleva $0.19813016$ alla potenza di $10$ .

$f'' (0.79252064) = \ln (0.00000009) + 15$

Passaggio 6.2.2

La risposta finale è $\ln (0.00000009) + 15$ .

$\ln (0.00000009) + 15$

Passaggio 6.3

Per $0.79252064$ , la derivata seconda è $- 1.18831089$ . Poiché il valore è negativo, la derivata seconda è decrescente nell'intervallo $(- \infty, \frac{4}{e^{\frac{3}{2}}})$ .

Decrescente su $(- \infty, \frac{4}{e^{\frac{3}{2}}})$ perché $f'' (x) < 0$

Passaggio 7

Sostituisci un valore dell'intervallo $(\frac{4}{e^{\frac{3}{2}}}, \infty)$ nella derivata seconda per determinare se è crescente o decrescente.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1

Sostituisci la variabile $x$ con $0.99252064$ nell'espressione.

$f'' (0.99252064) = 10 \ln (\frac{0.99252064}{4}) + 15$

Passaggio 7.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.1.1

Dividi $0.99252064$ per $4$ .

$f'' (0.99252064) = 10 \ln (0.24813016) + 15$

Passaggio 7.2.1.2

Semplifica $10 \ln (0.24813016)$ spostando $10$ all'interno del logaritmo.

$f'' (0.99252064) = \ln ({0.24813016}^{10}) + 15$

Passaggio 7.2.1.3

Eleva $0.24813016$ alla potenza di $10$ .

$f'' (0.99252064) = \ln (0.00000088) + 15$

Passaggio 7.2.2

La risposta finale è $\ln (0.00000088) + 15$ .

$\ln (0.00000088) + 15$

Passaggio 7.3

In corrispondenza di $0.99252064$ , la derivata seconda è $1.06198168$ . Poiché il valore è positivo, la derivata seconda è crescente sull'intervallo $(\frac{4}{e^{\frac{3}{2}}}, \infty)$ .

Crescente su $(\frac{4}{e^{\frac{3}{2}}}, \infty)$ perché $f'' (x) > 0$

Passaggio 8

Un punto di flesso è un punto su una curva in cui la concavità cambia di segno, da più a meno oppure da meno a più. In questo caso il punto di flesso è $(\frac{4}{e^{\frac{3}{2}}}, - \frac{120}{e^{3}})$ .

$(\frac{4}{e^{\frac{3}{2}}}, - \frac{120}{e^{3}})$

Passaggio 9