Calcolo Esempi

$\frac{x}{x + 1}$

Passaggio 1

Scrivi $\frac{x}{x + 1}$ come funzione.

$f (x) = \frac{x}{x + 1}$

Passaggio 2

Find the $x$ values where the second derivative is equal to $0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Trova la derivata seconda.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.1.1

Differenzia usando la regola del quoziente secondo cui $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ è $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ dove $f (x) = x$ e $g (x) = x + 1$ .

$\frac{(x + 1) \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [x + 1]}{{(x + 1)}^{2}}$

Passaggio 2.1.1.2

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.1.2.1

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$\frac{(x + 1) \cdot 1 - x \frac{d}{d x} [x + 1]}{{(x + 1)}^{2}}$

Passaggio 2.1.1.2.2

Moltiplica $x + 1$ per $1$ .

$\frac{x + 1 - x \frac{d}{d x} [x + 1]}{{(x + 1)}^{2}}$

Passaggio 2.1.1.2.3

Secondo la regola della somma, la derivata di $x + 1$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{x + 1 - x (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1])}{{(x + 1)}^{2}}$

Passaggio 2.1.1.2.4

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$\frac{x + 1 - x (1 + \frac{d}{d x} [1])}{{(x + 1)}^{2}}$

Passaggio 2.1.1.2.5

Poiché $1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$\frac{x + 1 - x (1 + 0)}{{(x + 1)}^{2}}$

Passaggio 2.1.1.2.6

Semplifica aggiungendo i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.1.2.6.1

Somma $1$ e $0$ .

$\frac{x + 1 - x \cdot 1}{{(x + 1)}^{2}}$

Passaggio 2.1.1.2.6.2

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$\frac{x + 1 - x}{{(x + 1)}^{2}}$

Passaggio 2.1.1.2.6.3

Sottrai $x$ da $x$ .

$\frac{0 + 1}{{(x + 1)}^{2}}$

Passaggio 2.1.1.2.6.4

Somma $0$ e $1$ .

$f' (x) = \frac{1}{{(x + 1)}^{2}}$

Passaggio 2.1.2

Trova la derivata seconda.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.2.1

Applica le regole di base degli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.2.1.1

Riscrivi $\frac{1}{{(x + 1)}^{2}}$ come ${({(x + 1)}^{2})}^{- 1}$ .

$\frac{d}{d x} [{({(x + 1)}^{2})}^{- 1}]$

Passaggio 2.1.2.1.2

Moltiplica gli esponenti in ${({(x + 1)}^{2})}^{- 1}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.2.1.2.1

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{d}{d x} [{(x + 1)}^{2 \cdot - 1}]$

Passaggio 2.1.2.1.2.2

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$\frac{d}{d x} [{(x + 1)}^{- 2}]$

Passaggio 2.1.2.2

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{- 2}$ e $g (x) = x + 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.2.2.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $x + 1$ .

$\frac{d}{d u} [u^{- 2}] \frac{d}{d x} [x + 1]$

Passaggio 2.1.2.2.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ è $n u^{n - 1}$ dove $n = - 2$ .

$- 2 u^{- 3} \frac{d}{d x} [x + 1]$

Passaggio 2.1.2.2.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $x + 1$ .

$- 2 {(x + 1)}^{- 3} \frac{d}{d x} [x + 1]$

Passaggio 2.1.2.3

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.2.3.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $x + 1$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$- 2 {(x + 1)}^{- 3} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1])$

Passaggio 2.1.2.3.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$- 2 {(x + 1)}^{- 3} (1 + \frac{d}{d x} [1])$

Passaggio 2.1.2.3.3

Poiché $1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$- 2 {(x + 1)}^{- 3} (1 + 0)$

Passaggio 2.1.2.3.4

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.2.3.4.1

Somma $1$ e $0$ .

$- 2 {(x + 1)}^{- 3} \cdot 1$

Passaggio 2.1.2.3.4.2

Moltiplica $- 2$ per $1$ .

$- 2 {(x + 1)}^{- 3}$

Passaggio 2.1.2.4

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.2.4.1

Riscrivi l'espressione usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- 2 \frac{1}{{(x + 1)}^{3}}$

Passaggio 2.1.2.4.2

Raccogli i termini.

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Passaggio 2.1.2.4.2.1

$- 2$ e $\frac{1}{{(x + 1)}^{3}}$ .

$\frac{- 2}{{(x + 1)}^{3}}$

Passaggio 2.1.2.4.2.2

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$f'' (x) = - \frac{2}{{(x + 1)}^{3}}$

Passaggio 2.1.3

La derivata seconda di $f (x)$ rispetto a $x$ è $- \frac{2}{{(x + 1)}^{3}}$ .

$- \frac{2}{{(x + 1)}^{3}}$

Passaggio 2.2

Imposta la derivata seconda pari a $0$ , quindi risolvi l'equazione $- \frac{2}{{(x + 1)}^{3}} = 0$ .

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Passaggio 2.2.1

Imposta la derivata seconda uguale a $0$ .

$- \frac{2}{{(x + 1)}^{3}} = 0$

Passaggio 2.2.2

Poni il numeratore uguale a zero.

$2 = 0$

Passaggio 2.2.3

Poiché $2 \neq 0$ , non ci sono soluzioni.

Nessuna soluzione

Passaggio 3

Trova il dominio di $f (x) = \frac{x}{x + 1}$ .

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Passaggio 3.1

Imposta il denominatore in $\frac{x}{x + 1}$ in modo che sia uguale a $0$ per individuare dove l'espressione è indefinita.

$x + 1 = 0$

Passaggio 3.2

Sottrai $1$ da entrambi i lati dell'equazione.

$x = - 1$

Passaggio 3.3

Il dominio è formato da tutti i valori di $x$ che rendono definita l'espressione.

Notazione degli intervalli:

$(- \infty, - 1) \cup (- 1, \infty)$

Notazione intensiva:

${x | x \neq - 1}$

Notazione degli intervalli:

$(- \infty, - 1) \cup (- 1, \infty)$

Notazione intensiva:

${x | x \neq - 1}$

Passaggio 4

Crea intervalli attorno ai valori di $x$ per cui la derivata seconda è zero o indefinita.

$(- \infty, - 1) \cup (- 1, \infty)$

Passaggio 5

Sostituisci qualsiasi numero dell'intervallo $(- \infty, - 1)$ nella derivata seconda e calcola per determinare la concavità.

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Passaggio 5.1

Sostituisci la variabile $x$ con $- 4$ nell'espressione.

$f'' (- 4) = - \frac{2}{{((- 4) + 1)}^{3}}$

Passaggio 5.2

Semplifica il risultato.

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Passaggio 5.2.1

Semplifica il denominatore.

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Passaggio 5.2.1.1

Somma $- 4$ e $1$ .

$f'' (- 4) = - \frac{2}{{(- 3)}^{3}}$

Passaggio 5.2.1.2

Eleva $- 3$ alla potenza di $3$ .

$f'' (- 4) = - \frac{2}{- 27}$

Passaggio 5.2.2

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$f'' (- 4) = \frac{2}{27}$

Passaggio 5.2.3

La risposta finale è $\frac{2}{27}$ .

$\frac{2}{27}$

Passaggio 5.3

Il grafico è una funzione convessa sull'intervallo $(- \infty, - 1)$ perché $f'' (- 4)$ è positivo.

Funzione convessa su $(- \infty, - 1)$ poiché $f'' (x)$ è positivo

Passaggio 6

Sostituisci qualsiasi numero dell'intervallo $(- 1, \infty)$ nella derivata seconda e calcola per determinare la concavità.

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Passaggio 6.1

Sostituisci la variabile $x$ con $0$ nell'espressione.

$f'' (0) = - \frac{2}{{((0) + 1)}^{3}}$

Passaggio 6.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.1

Semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.1.1

Somma $0$ e $1$ .

$f'' (0) = - \frac{2}{1^{3}}$

Passaggio 6.2.1.2

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$f'' (0) = - \frac{2}{1}$

Passaggio 6.2.2

Semplifica l'espressione.

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Passaggio 6.2.2.1

Dividi $2$ per $1$ .

$f'' (0) = - 1 \cdot 2$

Passaggio 6.2.2.2

Moltiplica $- 1$ per $2$ .

$f'' (0) = - 2$

Passaggio 6.2.3

La risposta finale è $- 2$ .

$- 2$

Passaggio 6.3

Il grafico è una funzione concava sull'intervallo $(- 1, \infty)$ perché $f'' (0)$ è negativo.

Funzione concava su $(- 1, \infty)$ poiché $f'' (x)$ è negativo

Passaggio 7

Il grafico è una funzione concava quando la derivata seconda è negativa, mentre è una funzione convessa quando la derivata seconda è positiva.

Funzione convessa su $(- \infty, - 1)$ poiché $f'' (x)$ è positivo

Funzione concava su $(- 1, \infty)$ poiché $f'' (x)$ è negativo

Passaggio 8