Calcolo Esempi

$\sin^{2} (x)$

Passaggio 1

Scrivi $\sin^{2} (x)$ come funzione.

$f (x) = \sin^{2} (x)$

Passaggio 2

Find the $x$ values where the second derivative is equal to $0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Trova la derivata seconda.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.1.1

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{2}$ e $g (x) = \sin (x)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.1.1.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $\sin (x)$ .

$\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Passaggio 2.1.1.1.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ è $n u^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$2 u \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Passaggio 2.1.1.1.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $\sin (x)$ .

$2 \sin (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Passaggio 2.1.1.2

La derivata di $\sin (x)$ rispetto a $x$ è $\cos (x)$ .

$2 \sin (x) \cos (x)$

Passaggio 2.1.1.3

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.1.3.1

Riordina i fattori di $2 \sin (x) \cos (x)$ .

$2 \cos (x) \sin (x)$

Passaggio 2.1.1.3.2

Riordina $2 \cos (x)$ e $\sin (x)$ .

$\sin (x) (2 \cos (x))$

Passaggio 2.1.1.3.3

Riordina $\sin (x)$ e $2$ .

$2 \cdot \sin (x) \cos (x)$

Passaggio 2.1.1.3.4

Applica l'identità a doppio angolo del seno.

$f' (x) = \sin (2 x)$

Passaggio 2.1.2

Trova la derivata seconda.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.2.1

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = \sin (x)$ e $g (x) = 2 x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.2.1.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $2 x$ .

$\frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d x} [2 x]$

Passaggio 2.1.2.1.2

La derivata di $\sin (u)$ rispetto a $u$ è $\cos (u)$ .

$\cos (u) \frac{d}{d x} [2 x]$

Passaggio 2.1.2.1.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $2 x$ .

$\cos (2 x) \frac{d}{d x} [2 x]$

Passaggio 2.1.2.2

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.2.2.1

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $2 x$ rispetto a $x$ è $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\cos (2 x) (2 \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 2.1.2.2.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$\cos (2 x) (2 \cdot 1)$

Passaggio 2.1.2.2.3

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.2.2.3.1

Moltiplica $2$ per $1$ .

$\cos (2 x) \cdot 2$

Passaggio 2.1.2.2.3.2

Sposta $2$ alla sinistra di $\cos (2 x)$ .

$f'' (x) = 2 \cos (2 x)$

Passaggio 2.1.3

La derivata seconda di $f (x)$ rispetto a $x$ è $2 \cos (2 x)$ .

$2 \cos (2 x)$

Passaggio 2.2

Imposta la derivata seconda pari a $0$ , quindi risolvi l'equazione $2 \cos (2 x) = 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Imposta la derivata seconda uguale a $0$ .

$2 \cos (2 x) = 0$

Passaggio 2.2.2

Dividi per $2$ ciascun termine in $2 \cos (2 x) = 0$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.2.1

Dividi per $2$ ciascun termine in $2 \cos (2 x) = 0$ .

$\frac{2 \cos (2 x)}{2} = \frac{0}{2}$

Passaggio 2.2.2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.2.2.1

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.2.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{2 \cos (2 x)}{2} = \frac{0}{2}$

Passaggio 2.2.2.2.1.2

Dividi $\cos (2 x)$ per $1$ .

$\cos (2 x) = \frac{0}{2}$

Passaggio 2.2.2.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.2.3.1

Dividi $0$ per $2$ .

$\cos (2 x) = 0$

Passaggio 2.2.3

Trova il valore dell'incognita $x$ corrispondente all'inverso del coseno presente nell'equazione assegnata.

$2 x = \arccos (0)$

Passaggio 2.2.4

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.4.1

Il valore esatto di $\arccos (0)$ è $\frac{π}{2}$ .

$2 x = \frac{π}{2}$

Passaggio 2.2.5

Dividi per $2$ ciascun termine in $2 x = \frac{π}{2}$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.5.1

Dividi per $2$ ciascun termine in $2 x = \frac{π}{2}$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{\frac{π}{2}}{2}$

Passaggio 2.2.5.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.5.2.1

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.5.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{2 x}{2} = \frac{\frac{π}{2}}{2}$

Passaggio 2.2.5.2.1.2

Dividi $x$ per $1$ .

$x = \frac{\frac{π}{2}}{2}$

Passaggio 2.2.5.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.5.3.1

Moltiplica il numeratore per il reciproco del denominatore.

$x = \frac{π}{2} \cdot \frac{1}{2}$

Passaggio 2.2.5.3.2

Moltiplica $\frac{π}{2} \cdot \frac{1}{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.5.3.2.1

Moltiplica $\frac{π}{2}$ per $\frac{1}{2}$ .

$x = \frac{π}{2 \cdot 2}$

Passaggio 2.2.5.3.2.2

Moltiplica $2$ per $2$ .

$x = \frac{π}{4}$

Passaggio 2.2.6

La funzione del coseno è positiva nel primo e nel quarto quadrante. Per trovare la seconda soluzione, sottrai l'angolo di riferimento da $2 π$ per trovare la soluzione nel quarto quadrante.

$2 x = 2 π - \frac{π}{2}$

Passaggio 2.2.7

Risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.7.1

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.7.1.1

Per scrivere $2 π$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$2 x = 2 π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2}$

Passaggio 2.2.7.1.2

$2 π$ e $\frac{2}{2}$ .

$2 x = \frac{2 π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2}$

Passaggio 2.2.7.1.3

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$2 x = \frac{2 π \cdot 2 - π}{2}$

Passaggio 2.2.7.1.4

Moltiplica $2$ per $2$ .

$2 x = \frac{4 π - π}{2}$

Passaggio 2.2.7.1.5

Sottrai $π$ da $4 π$ .

$2 x = \frac{3 π}{2}$

Passaggio 2.2.7.2

Dividi per $2$ ciascun termine in $2 x = \frac{3 π}{2}$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.7.2.1

Dividi per $2$ ciascun termine in $2 x = \frac{3 π}{2}$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{\frac{3 π}{2}}{2}$

Passaggio 2.2.7.2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.7.2.2.1

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.7.2.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{2 x}{2} = \frac{\frac{3 π}{2}}{2}$

Passaggio 2.2.7.2.2.1.2

Dividi $x$ per $1$ .

$x = \frac{\frac{3 π}{2}}{2}$

Passaggio 2.2.7.2.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.7.2.3.1

Moltiplica il numeratore per il reciproco del denominatore.

$x = \frac{3 π}{2} \cdot \frac{1}{2}$

Passaggio 2.2.7.2.3.2

Moltiplica $\frac{3 π}{2} \cdot \frac{1}{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.7.2.3.2.1

Moltiplica $\frac{3 π}{2}$ per $\frac{1}{2}$ .

$x = \frac{3 π}{2 \cdot 2}$

Passaggio 2.2.7.2.3.2.2

Moltiplica $2$ per $2$ .

$x = \frac{3 π}{4}$

Passaggio 2.2.8

Trova il periodo di $\cos (2 x)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.8.1

Si può calcolare il periodo della funzione usando $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Passaggio 2.2.8.2

Sostituisci $b$ con $2$ nella formula per il periodo.

$\frac{2 π}{| 2 |}$

Passaggio 2.2.8.3

Il valore assoluto è la distanza tra un numero e zero. La distanza tra $0$ e $2$ è $2$ .

$\frac{2 π}{2}$

Passaggio 2.2.8.4

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.8.4.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{2 π}{2}$

Passaggio 2.2.8.4.2

Dividi $π$ per $1$ .

$π$

Passaggio 2.2.9

Il periodo della funzione $\cos (2 x)$ è $π$ , quindi i valori si ripetono ogni $π$ radianti in entrambe le direzioni.

$x = \frac{π}{4} + π n, \frac{3 π}{4} + π n$ , per qualsiasi intero $n$

Passaggio 2.2.10

Consolida le risposte.

$x = \frac{π}{4} + \frac{π n}{2}$ , per qualsiasi intero $n$

Passaggio 3

Il dominio dell'espressione sono tutti i numeri reali tranne nei casi in cui l'espressione sia indefinita. In questo caso, non c'è alcun numero reale che rende l'espressione indefinita.

Notazione degli intervalli:

$(- \infty, \infty)$

Notazione intensiva:

${x | x \in ℝ}$

Passaggio 4

Crea intervalli attorno ai valori di $x$ per cui la derivata seconda è zero o indefinita.

$(- \infty, \infty)$

Passaggio 5

Sostituisci qualsiasi numero dell'intervallo $(- \infty, \infty)$ nella derivata seconda e calcola per determinare la concavità.

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Passaggio 5.1

Sostituisci la variabile $x$ con $0$ nell'espressione.

$f'' (0) = 2 \cos (2 (0))$

Passaggio 5.2

Semplifica il risultato.

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Passaggio 5.2.1

Moltiplica $2$ per $0$ .

$f'' (0) = 2 \cos (0)$

Passaggio 5.2.2

Il valore esatto di $\cos (0)$ è $1$ .

$f'' (0) = 2 \cdot 1$

Passaggio 5.2.3

Moltiplica $2$ per $1$ .

$f'' (0) = 2$

Passaggio 5.2.4

La risposta finale è $2$ .

$2$

Passaggio 5.3

Il grafico è una funzione convessa sull'intervallo $(- \infty, \infty)$ perché $f'' (0)$ è positivo.

Funzione convessa su $(- \infty, \infty)$ poiché $f'' (x)$ è positivo

Passaggio 6