Calcolo Esempi

$- e^{x} (x - 5)$

Passaggio 1

Scrivi $- e^{x} (x - 5)$ come funzione.

$f (x) = - e^{x} (x - 5)$

Passaggio 2

Find the $x$ values where the second derivative is equal to $0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Trova la derivata seconda.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.1.1

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- e^{x} (x - 5)$ rispetto a $x$ è $- \frac{d}{d x} [e^{x} (x - 5)]$ .

$- \frac{d}{d x} [e^{x} (x - 5)]$

Passaggio 2.1.1.2

Differenzia usando la regola del prodotto secondo cui $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ è $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ dove $f (x) = e^{x}$ e $g (x) = x - 5$ .

$- (e^{x} \frac{d}{d x} [x - 5] + (x - 5) \frac{d}{d x} [e^{x}])$

Passaggio 2.1.1.3

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.1.3.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $x - 5$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 5]$ .

$- (e^{x} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 5]) + (x - 5) \frac{d}{d x} [e^{x}])$

Passaggio 2.1.1.3.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$- (e^{x} (1 + \frac{d}{d x} [- 5]) + (x - 5) \frac{d}{d x} [e^{x}])$

Passaggio 2.1.1.3.3

Poiché $- 5$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 5$ rispetto a $x$ è $0$ .

$- (e^{x} (1 + 0) + (x - 5) \frac{d}{d x} [e^{x}])$

Passaggio 2.1.1.3.4

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.1.3.4.1

Somma $1$ e $0$ .

$- (e^{x} \cdot 1 + (x - 5) \frac{d}{d x} [e^{x}])$

Passaggio 2.1.1.3.4.2

Moltiplica $e^{x}$ per $1$ .

$- (e^{x} + (x - 5) \frac{d}{d x} [e^{x}])$

Passaggio 2.1.1.4

Differenzia usando la regola esponenziale secondo cui $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ è $a^{x} \ln (a)$ dove $a$ = $e$ .

$- (e^{x} + (x - 5) e^{x})$

Passaggio 2.1.1.5

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.1.5.1

Applica la proprietà distributiva.

$- (e^{x} + x e^{x} - 5 e^{x})$

Passaggio 2.1.1.5.2

Applica la proprietà distributiva.

$- e^{x} - (x e^{x}) - (- 5 e^{x})$

Passaggio 2.1.1.5.3

Raccogli i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.1.5.3.1

Moltiplica $- 5$ per $- 1$ .

$- e^{x} - x e^{x} + 5 e^{x}$

Passaggio 2.1.1.5.3.2

Somma $- e^{x}$ e $5 e^{x}$ .

$- x e^{x} + 4 e^{x}$

Passaggio 2.1.1.5.4

Riordina i termini.

$- e^{x} x + 4 e^{x}$

Passaggio 2.1.1.5.5

Riordina i fattori in $- e^{x} x + 4 e^{x}$ .

$f' (x) = - x e^{x} + 4 e^{x}$

Passaggio 2.1.2

Trova la derivata seconda.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.2.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $- x e^{x} + 4 e^{x}$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [- x e^{x}] + \frac{d}{d x} [4 e^{x}]$ .

$\frac{d}{d x} [- x e^{x}] + \frac{d}{d x} [4 e^{x}]$

Passaggio 2.1.2.2

Calcola $\frac{d}{d x} [- x e^{x}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.2.2.1

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- x e^{x}$ rispetto a $x$ è $- \frac{d}{d x} [x e^{x}]$ .

$- \frac{d}{d x} [x e^{x}] + \frac{d}{d x} [4 e^{x}]$

Passaggio 2.1.2.2.2

Differenzia usando la regola del prodotto secondo cui $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ è $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ dove $f (x) = x$ e $g (x) = e^{x}$ .

$- (x \frac{d}{d x} [e^{x}] + e^{x} \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [4 e^{x}]$

Passaggio 2.1.2.2.3

Differenzia usando la regola esponenziale secondo cui $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ è $a^{x} \ln (a)$ dove $a$ = $e$ .

$- (x e^{x} + e^{x} \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [4 e^{x}]$

Passaggio 2.1.2.2.4

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$- (x e^{x} + e^{x} \cdot 1) + \frac{d}{d x} [4 e^{x}]$

Passaggio 2.1.2.2.5

Moltiplica $e^{x}$ per $1$ .

$- (x e^{x} + e^{x}) + \frac{d}{d x} [4 e^{x}]$

Passaggio 2.1.2.3

Calcola $\frac{d}{d x} [4 e^{x}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.2.3.1

Poiché $4$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $4 e^{x}$ rispetto a $x$ è $4 \frac{d}{d x} [e^{x}]$ .

$- (x e^{x} + e^{x}) + 4 \frac{d}{d x} [e^{x}]$

Passaggio 2.1.2.3.2

Differenzia usando la regola esponenziale secondo cui $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ è $a^{x} \ln (a)$ dove $a$ = $e$ .

$- (x e^{x} + e^{x}) + 4 e^{x}$

Passaggio 2.1.2.4

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.2.4.1

Applica la proprietà distributiva.

$- (x e^{x}) - e^{x} + 4 e^{x}$

Passaggio 2.1.2.4.2

Somma $- e^{x}$ e $4 e^{x}$ .

$- x e^{x} + 3 e^{x}$

Passaggio 2.1.2.4.3

Riordina i termini.

$- e^{x} x + 3 e^{x}$

Passaggio 2.1.2.4.4

Riordina i fattori in $- e^{x} x + 3 e^{x}$ .

$f'' (x) = - x e^{x} + 3 e^{x}$

Passaggio 2.1.3

La derivata seconda di $f (x)$ rispetto a $x$ è $- x e^{x} + 3 e^{x}$ .

$- x e^{x} + 3 e^{x}$

Passaggio 2.2

Imposta la derivata seconda pari a $0$ , quindi risolvi l'equazione $- x e^{x} + 3 e^{x} = 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Imposta la derivata seconda uguale a $0$ .

$- x e^{x} + 3 e^{x} = 0$

Passaggio 2.2.2

Scomponi $e^{x}$ da $- x e^{x} + 3 e^{x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.2.1

Scomponi $e^{x}$ da $- x e^{x}$ .

$e^{x} (- x) + 3 e^{x} = 0$

Passaggio 2.2.2.2

Scomponi $e^{x}$ da $3 e^{x}$ .

$e^{x} (- x) + e^{x} \cdot 3 = 0$

Passaggio 2.2.2.3

Scomponi $e^{x}$ da $e^{x} (- x) + e^{x} \cdot 3$ .

$e^{x} (- x + 3) = 0$

Passaggio 2.2.3

Se qualsiasi singolo fattore nel lato sinistro dell'equazione è uguale a $0$ , l'intera espressione sarà uguale a $0$ .

$e^{x} = 0$

$- x + 3 = 0$

Passaggio 2.2.4

Imposta $e^{x}$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.4.1

Imposta $e^{x}$ uguale a $0$ .

$e^{x} = 0$

Passaggio 2.2.4.2

Risolvi $e^{x} = 0$ per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.4.2.1

Trova il logaritmo naturale dell'equazione assegnata per rimuovere la variabile dall'esponente.

$\ln (e^{x}) = \ln (0)$

Passaggio 2.2.4.2.2

Non è possibile risolvere l'equazione perché $\ln (0)$ è indefinita.

Indefinito

Passaggio 2.2.4.2.3

Non c'è soluzione per $e^{x} = 0$

Nessuna soluzione

Passaggio 2.2.5

Imposta $- x + 3$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.5.1

Imposta $- x + 3$ uguale a $0$ .

$- x + 3 = 0$

Passaggio 2.2.5.2

Risolvi $- x + 3 = 0$ per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.5.2.1

Sottrai $3$ da entrambi i lati dell'equazione.

$- x = - 3$

Passaggio 2.2.5.2.2

Dividi per $- 1$ ciascun termine in $- x = - 3$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.5.2.2.1

Dividi per $- 1$ ciascun termine in $- x = - 3$ .

$\frac{- x}{- 1} = \frac{- 3}{- 1}$

Passaggio 2.2.5.2.2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.5.2.2.2.1

Dividendo due valori negativi si ottiene un valore positivo.

$\frac{x}{1} = \frac{- 3}{- 1}$

Passaggio 2.2.5.2.2.2.2

Dividi $x$ per $1$ .

$x = \frac{- 3}{- 1}$

Passaggio 2.2.5.2.2.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.5.2.2.3.1

Dividi $- 3$ per $- 1$ .

$x = 3$

Passaggio 2.2.6

La soluzione finale è data da tutti i valori che rendono $e^{x} (- x + 3) = 0$ vera.

$x = 3$

Passaggio 3

Il dominio dell'espressione sono tutti i numeri reali tranne nei casi in cui l'espressione sia indefinita. In questo caso, non c'è alcun numero reale che rende l'espressione indefinita.

Notazione degli intervalli:

$(- \infty, \infty)$

Notazione intensiva:

${x | x \in ℝ}$

Passaggio 4

Crea intervalli attorno ai valori di $x$ per cui la derivata seconda è zero o indefinita.

$(- \infty, 3) \cup (3, \infty)$

Passaggio 5

Sostituisci qualsiasi numero dell'intervallo $(- \infty, 3)$ nella derivata seconda e calcola per determinare la concavità.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Sostituisci la variabile $x$ con $0$ nell'espressione.

$f'' (0) = 0 \cdot e^{0} + 3 e^{0}$

Passaggio 5.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1.1

Qualsiasi valore elevato a $0$ è $1$ .

$f'' (0) = 0 \cdot 1 + 3 e^{0}$

Passaggio 5.2.1.2

Moltiplica $0$ per $1$ .

$f'' (0) = 0 + 3 e^{0}$

Passaggio 5.2.1.3

Qualsiasi valore elevato a $0$ è $1$ .

$f'' (0) = 0 + 3 \cdot 1$

Passaggio 5.2.1.4

Moltiplica $3$ per $1$ .

$f'' (0) = 0 + 3$

Passaggio 5.2.2

Somma $0$ e $3$ .

$f'' (0) = 3$

Passaggio 5.2.3

La risposta finale è $3$ .

$3$

Passaggio 5.3

Il grafico è una funzione convessa sull'intervallo $(- \infty, 3)$ perché $f'' (0)$ è positivo.

Funzione convessa su $(- \infty, 3)$ poiché $f'' (x)$ è positivo

Passaggio 6

Sostituisci qualsiasi numero dell'intervallo $(3, \infty)$ nella derivata seconda e calcola per determinare la concavità.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Sostituisci la variabile $x$ con $6$ nell'espressione.

$f'' (6) = - 6 \cdot e^{6} + 3 e^{6}$

Passaggio 6.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.1

Somma $- 6 e^{6}$ e $3 e^{6}$ .

$f'' (6) = - 3 e^{6}$

Passaggio 6.2.2

La risposta finale è $- 3 e^{6}$ .

$- 3 e^{6}$

Passaggio 6.3

Il grafico è una funzione concava sull'intervallo $(3, \infty)$ perché $f'' (6)$ è negativo.

Funzione concava su $(3, \infty)$ poiché $f'' (x)$ è negativo

Passaggio 7

Il grafico è una funzione concava quando la derivata seconda è negativa, mentre è una funzione convessa quando la derivata seconda è positiva.

Funzione convessa su $(- \infty, 3)$ poiché $f'' (x)$ è positivo

Funzione concava su $(3, \infty)$ poiché $f'' (x)$ è negativo

Passaggio 8