Calcolo Esempi

$x^{\frac{5}{3}} - 20 x^{\frac{2}{3}}$

Passaggio 1

Scrivi $x^{\frac{5}{3}} - 20 x^{\frac{2}{3}}$ come funzione.

$f (x) = x^{\frac{5}{3}} - 20 x^{\frac{2}{3}}$

Passaggio 2

Find the $x$ values where the second derivative is equal to $0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Trova la derivata seconda.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.1.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $x^{\frac{5}{3}} - 20 x^{\frac{2}{3}}$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x^{\frac{5}{3}}] + \frac{d}{d x} [- 20 x^{\frac{2}{3}}]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{\frac{5}{3}}] + \frac{d}{d x} [- 20 x^{\frac{2}{3}}]$

Passaggio 2.1.1.2

Calcola $\frac{d}{d x} [x^{\frac{5}{3}}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.1.2.1

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = \frac{5}{3}$ .

$\frac{5}{3} x^{\frac{5}{3} - 1} + \frac{d}{d x} [- 20 x^{\frac{2}{3}}]$

Passaggio 2.1.1.2.2

Per scrivere $- 1$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{3}{3}$ .

$\frac{5}{3} x^{\frac{5}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}} + \frac{d}{d x} [- 20 x^{\frac{2}{3}}]$

Passaggio 2.1.1.2.3

$- 1$ e $\frac{3}{3}$ .

$\frac{5}{3} x^{\frac{5}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}} + \frac{d}{d x} [- 20 x^{\frac{2}{3}}]$

Passaggio 2.1.1.2.4

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{5}{3} x^{\frac{5 - 1 \cdot 3}{3}} + \frac{d}{d x} [- 20 x^{\frac{2}{3}}]$

Passaggio 2.1.1.2.5

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.1.2.5.1

Moltiplica $- 1$ per $3$ .

$\frac{5}{3} x^{\frac{5 - 3}{3}} + \frac{d}{d x} [- 20 x^{\frac{2}{3}}]$

Passaggio 2.1.1.2.5.2

Sottrai $3$ da $5$ .

$\frac{5}{3} x^{\frac{2}{3}} + \frac{d}{d x} [- 20 x^{\frac{2}{3}}]$

Passaggio 2.1.1.3

Calcola $\frac{d}{d x} [- 20 x^{\frac{2}{3}}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.1.3.1

Poiché $- 20$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 20 x^{\frac{2}{3}}$ rispetto a $x$ è $- 20 \frac{d}{d x} [x^{\frac{2}{3}}]$ .

$\frac{5}{3} x^{\frac{2}{3}} - 20 \frac{d}{d x} [x^{\frac{2}{3}}]$

Passaggio 2.1.1.3.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = \frac{2}{3}$ .

$\frac{5}{3} x^{\frac{2}{3}} - 20 (\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} - 1})$

Passaggio 2.1.1.3.3

Per scrivere $- 1$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{3}{3}$ .

$\frac{5}{3} x^{\frac{2}{3}} - 20 (\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}})$

Passaggio 2.1.1.3.4

$- 1$ e $\frac{3}{3}$ .

$\frac{5}{3} x^{\frac{2}{3}} - 20 (\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}})$

Passaggio 2.1.1.3.5

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{5}{3} x^{\frac{2}{3}} - 20 (\frac{2}{3} x^{\frac{2 - 1 \cdot 3}{3}})$

Passaggio 2.1.1.3.6

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.1.3.6.1

Moltiplica $- 1$ per $3$ .

$\frac{5}{3} x^{\frac{2}{3}} - 20 (\frac{2}{3} x^{\frac{2 - 3}{3}})$

Passaggio 2.1.1.3.6.2

Sottrai $3$ da $2$ .

$\frac{5}{3} x^{\frac{2}{3}} - 20 (\frac{2}{3} x^{\frac{- 1}{3}})$

Passaggio 2.1.1.3.7

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$\frac{5}{3} x^{\frac{2}{3}} - 20 (\frac{2}{3} x^{- \frac{1}{3}})$

Passaggio 2.1.1.3.8

$\frac{2}{3}$ e $x^{- \frac{1}{3}}$ .

$\frac{5}{3} x^{\frac{2}{3}} - 20 \frac{2 x^{- \frac{1}{3}}}{3}$

Passaggio 2.1.1.3.9

$- 20$ e $\frac{2 x^{- \frac{1}{3}}}{3}$ .

$\frac{5}{3} x^{\frac{2}{3}} + \frac{- 20 (2 x^{- \frac{1}{3}})}{3}$

Passaggio 2.1.1.3.10

Moltiplica $2$ per $- 20$ .

$\frac{5}{3} x^{\frac{2}{3}} + \frac{- 40 x^{- \frac{1}{3}}}{3}$

Passaggio 2.1.1.3.11

Sposta $x^{- \frac{1}{3}}$ al denominatore usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{5}{3} x^{\frac{2}{3}} + \frac{- 40}{3 x^{\frac{1}{3}}}$

Passaggio 2.1.1.3.12

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$\frac{5}{3} x^{\frac{2}{3}} - \frac{40}{3 x^{\frac{1}{3}}}$

Passaggio 2.1.1.4

$\frac{5}{3}$ e $x^{\frac{2}{3}}$ .

$f' (x) = \frac{5 x^{\frac{2}{3}}}{3} - \frac{40}{3 x^{\frac{1}{3}}}$

Passaggio 2.1.2

Trova la derivata seconda.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.2.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $\frac{5 x^{\frac{2}{3}}}{3} - \frac{40}{3 x^{\frac{1}{3}}}$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [\frac{5 x^{\frac{2}{3}}}{3}] + \frac{d}{d x} [- \frac{40}{3 x^{\frac{1}{3}}}]$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{5 x^{\frac{2}{3}}}{3}] + \frac{d}{d x} [- \frac{40}{3 x^{\frac{1}{3}}}]$

Passaggio 2.1.2.2

Calcola $\frac{d}{d x} [\frac{5 x^{\frac{2}{3}}}{3}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.2.2.1

Poiché $\frac{5}{3}$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $\frac{5 x^{\frac{2}{3}}}{3}$ rispetto a $x$ è $\frac{5}{3} \frac{d}{d x} [x^{\frac{2}{3}}]$ .

$\frac{5}{3} \frac{d}{d x} [x^{\frac{2}{3}}] + \frac{d}{d x} [- \frac{40}{3 x^{\frac{1}{3}}}]$

Passaggio 2.1.2.2.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = \frac{2}{3}$ .

$\frac{5}{3} (\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} - 1}) + \frac{d}{d x} [- \frac{40}{3 x^{\frac{1}{3}}}]$

Passaggio 2.1.2.2.3

Per scrivere $- 1$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{3}{3}$ .

$\frac{5}{3} (\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}}) + \frac{d}{d x} [- \frac{40}{3 x^{\frac{1}{3}}}]$

Passaggio 2.1.2.2.4

$- 1$ e $\frac{3}{3}$ .

$\frac{5}{3} (\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}}) + \frac{d}{d x} [- \frac{40}{3 x^{\frac{1}{3}}}]$

Passaggio 2.1.2.2.5

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{5}{3} (\frac{2}{3} x^{\frac{2 - 1 \cdot 3}{3}}) + \frac{d}{d x} [- \frac{40}{3 x^{\frac{1}{3}}}]$

Passaggio 2.1.2.2.6

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.2.2.6.1

Moltiplica $- 1$ per $3$ .

$\frac{5}{3} (\frac{2}{3} x^{\frac{2 - 3}{3}}) + \frac{d}{d x} [- \frac{40}{3 x^{\frac{1}{3}}}]$

Passaggio 2.1.2.2.6.2

Sottrai $3$ da $2$ .

$\frac{5}{3} (\frac{2}{3} x^{\frac{- 1}{3}}) + \frac{d}{d x} [- \frac{40}{3 x^{\frac{1}{3}}}]$

Passaggio 2.1.2.2.7

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$\frac{5}{3} (\frac{2}{3} x^{- \frac{1}{3}}) + \frac{d}{d x} [- \frac{40}{3 x^{\frac{1}{3}}}]$

Passaggio 2.1.2.2.8

$\frac{2}{3}$ e $x^{- \frac{1}{3}}$ .

$\frac{5}{3} \cdot \frac{2 x^{- \frac{1}{3}}}{3} + \frac{d}{d x} [- \frac{40}{3 x^{\frac{1}{3}}}]$

Passaggio 2.1.2.2.9

Moltiplica $\frac{5}{3}$ per $\frac{2 x^{- \frac{1}{3}}}{3}$ .

$\frac{5 (2 x^{- \frac{1}{3}})}{3 \cdot 3} + \frac{d}{d x} [- \frac{40}{3 x^{\frac{1}{3}}}]$

Passaggio 2.1.2.2.10

Moltiplica $2$ per $5$ .

$\frac{10 x^{- \frac{1}{3}}}{3 \cdot 3} + \frac{d}{d x} [- \frac{40}{3 x^{\frac{1}{3}}}]$

Passaggio 2.1.2.2.11

Moltiplica $3$ per $3$ .

$\frac{10 x^{- \frac{1}{3}}}{9} + \frac{d}{d x} [- \frac{40}{3 x^{\frac{1}{3}}}]$

Passaggio 2.1.2.2.12

Sposta $x^{- \frac{1}{3}}$ al denominatore usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{10}{9 x^{\frac{1}{3}}} + \frac{d}{d x} [- \frac{40}{3 x^{\frac{1}{3}}}]$

Passaggio 2.1.2.3

Calcola $\frac{d}{d x} [- \frac{40}{3 x^{\frac{1}{3}}}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.2.3.1

Poiché $- \frac{40}{3}$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- \frac{40}{3 x^{\frac{1}{3}}}$ rispetto a $x$ è $- \frac{40}{3} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{\frac{1}{3}}}]$ .

$\frac{10}{9 x^{\frac{1}{3}}} - \frac{40}{3} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{\frac{1}{3}}}]$

Passaggio 2.1.2.3.2

Riscrivi $\frac{1}{x^{\frac{1}{3}}}$ come ${(x^{\frac{1}{3}})}^{- 1}$ .

$\frac{10}{9 x^{\frac{1}{3}}} - \frac{40}{3} \frac{d}{d x} [{(x^{\frac{1}{3}})}^{- 1}]$

Passaggio 2.1.2.3.3

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{- 1}$ e $g (x) = x^{\frac{1}{3}}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.2.3.3.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $x^{\frac{1}{3}}$ .

$\frac{10}{9 x^{\frac{1}{3}}} - \frac{40}{3} (\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{3}}])$

Passaggio 2.1.2.3.3.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ è $n u^{n - 1}$ dove $n = - 1$ .

$\frac{10}{9 x^{\frac{1}{3}}} - \frac{40}{3} (- u^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{3}}])$

Passaggio 2.1.2.3.3.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $x^{\frac{1}{3}}$ .

$\frac{10}{9 x^{\frac{1}{3}}} - \frac{40}{3} (- {(x^{\frac{1}{3}})}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{3}}])$

Passaggio 2.1.2.3.4

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = \frac{1}{3}$ .

$\frac{10}{9 x^{\frac{1}{3}}} - \frac{40}{3} (- {(x^{\frac{1}{3}})}^{- 2} (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} - 1}))$

Passaggio 2.1.2.3.5

Moltiplica gli esponenti in ${(x^{\frac{1}{3}})}^{- 2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.2.3.5.1

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{10}{9 x^{\frac{1}{3}}} - \frac{40}{3} (- x^{\frac{1}{3} \cdot - 2} (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} - 1}))$

Passaggio 2.1.2.3.5.2

$\frac{1}{3}$ e $- 2$ .

$\frac{10}{9 x^{\frac{1}{3}}} - \frac{40}{3} (- x^{\frac{- 2}{3}} (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} - 1}))$

Passaggio 2.1.2.3.5.3

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$\frac{10}{9 x^{\frac{1}{3}}} - \frac{40}{3} (- x^{- \frac{2}{3}} (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} - 1}))$

Passaggio 2.1.2.3.6

Per scrivere $- 1$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{3}{3}$ .

$\frac{10}{9 x^{\frac{1}{3}}} - \frac{40}{3} (- x^{- \frac{2}{3}} (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}}))$

Passaggio 2.1.2.3.7

$- 1$ e $\frac{3}{3}$ .

$\frac{10}{9 x^{\frac{1}{3}}} - \frac{40}{3} (- x^{- \frac{2}{3}} (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}}))$

Passaggio 2.1.2.3.8

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{10}{9 x^{\frac{1}{3}}} - \frac{40}{3} (- x^{- \frac{2}{3}} (\frac{1}{3} x^{\frac{1 - 1 \cdot 3}{3}}))$

Passaggio 2.1.2.3.9

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.2.3.9.1

Moltiplica $- 1$ per $3$ .

$\frac{10}{9 x^{\frac{1}{3}}} - \frac{40}{3} (- x^{- \frac{2}{3}} (\frac{1}{3} x^{\frac{1 - 3}{3}}))$

Passaggio 2.1.2.3.9.2

Sottrai $3$ da $1$ .

$\frac{10}{9 x^{\frac{1}{3}}} - \frac{40}{3} (- x^{- \frac{2}{3}} (\frac{1}{3} x^{\frac{- 2}{3}}))$

Passaggio 2.1.2.3.10

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$\frac{10}{9 x^{\frac{1}{3}}} - \frac{40}{3} (- x^{- \frac{2}{3}} (\frac{1}{3} x^{- \frac{2}{3}}))$

Passaggio 2.1.2.3.11

$\frac{1}{3}$ e $x^{- \frac{2}{3}}$ .

$\frac{10}{9 x^{\frac{1}{3}}} - \frac{40}{3} (- x^{- \frac{2}{3}} \frac{x^{- \frac{2}{3}}}{3})$

Passaggio 2.1.2.3.12

$\frac{x^{- \frac{2}{3}}}{3}$ e $x^{- \frac{2}{3}}$ .

$\frac{10}{9 x^{\frac{1}{3}}} - \frac{40}{3} (- \frac{x^{- \frac{2}{3}} x^{- \frac{2}{3}}}{3})$

Passaggio 2.1.2.3.13

Moltiplica $x^{- \frac{2}{3}}$ per $x^{- \frac{2}{3}}$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.2.3.13.1

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{10}{9 x^{\frac{1}{3}}} - \frac{40}{3} (- \frac{x^{- \frac{2}{3} - \frac{2}{3}}}{3})$

Passaggio 2.1.2.3.13.2

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{10}{9 x^{\frac{1}{3}}} - \frac{40}{3} (- \frac{x^{\frac{- 2 - 2}{3}}}{3})$

Passaggio 2.1.2.3.13.3

Sottrai $2$ da $- 2$ .

$\frac{10}{9 x^{\frac{1}{3}}} - \frac{40}{3} (- \frac{x^{\frac{- 4}{3}}}{3})$

Passaggio 2.1.2.3.13.4

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$\frac{10}{9 x^{\frac{1}{3}}} - \frac{40}{3} (- \frac{x^{- \frac{4}{3}}}{3})$

Passaggio 2.1.2.3.14

Sposta $x^{- \frac{4}{3}}$ al denominatore usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{10}{9 x^{\frac{1}{3}}} - \frac{40}{3} (- \frac{1}{3 x^{\frac{4}{3}}})$

Passaggio 2.1.2.3.15

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$\frac{10}{9 x^{\frac{1}{3}}} + 1 (\frac{40}{3}) \frac{1}{3 x^{\frac{4}{3}}}$

Passaggio 2.1.2.3.16

Moltiplica $\frac{40}{3}$ per $1$ .

$\frac{10}{9 x^{\frac{1}{3}}} + \frac{40}{3} \cdot \frac{1}{3 x^{\frac{4}{3}}}$

Passaggio 2.1.2.3.17

Moltiplica $\frac{40}{3}$ per $\frac{1}{3 x^{\frac{4}{3}}}$ .

$\frac{10}{9 x^{\frac{1}{3}}} + \frac{40}{3 (3 x^{\frac{4}{3}})}$

Passaggio 2.1.2.3.18

Moltiplica $3$ per $3$ .

$f'' (x) = \frac{10}{9 x^{\frac{1}{3}}} + \frac{40}{9 x^{\frac{4}{3}}}$

Passaggio 2.1.3

La derivata seconda di $f (x)$ rispetto a $x$ è $\frac{10}{9 x^{\frac{1}{3}}} + \frac{40}{9 x^{\frac{4}{3}}}$ .

$\frac{10}{9 x^{\frac{1}{3}}} + \frac{40}{9 x^{\frac{4}{3}}}$

Passaggio 2.2

Imposta la derivata seconda pari a $0$ , quindi risolvi l'equazione $\frac{10}{9 x^{\frac{1}{3}}} + \frac{40}{9 x^{\frac{4}{3}}} = 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Imposta la derivata seconda uguale a $0$ .

$\frac{10}{9 x^{\frac{1}{3}}} + \frac{40}{9 x^{\frac{4}{3}}} = 0$

Passaggio 2.2.2

Trova il minimo comune denominatore dei termini nell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.2.1

Trovare il minimo comune denominatore di una lista di valori è uguale a trovare il minimo comune multiplo dei denominatori di quei valori.

$9 x^{\frac{1}{3}}, 9 x^{\frac{4}{3}}, 1$

Passaggio 2.2.2.2

Poiché $9 x^{\frac{1}{3}}, 9 x^{\frac{4}{3}}, 1$ contiene sia numeri che variabili, ci sono due passaggi per trovare il minimo comune multiplo. Trova il minimo comune multiplo per la parte numerica $9, 9, 1$ , quindi trova il minimo comune multiplo per la parte variabile $x^{\frac{1}{3}}, x^{\frac{4}{3}}$ .

Passaggio 2.2.2.3

Il minimo comune multiplo è il numero positivo più piccolo divisibile equamente per tutti i numeri.

1. Elenca i fattori primi di ciascun numero.

2. Moltiplica ciascun fattore, preso una sola volta, con l'esponente più grande.

Passaggio 2.2.2.4

$9$ presenta fattori di $3$ e $3$ .

$3 \cdot 3$

Passaggio 2.2.2.5

Il numero $1$ non è un numero primo perché ha un solo divisore positivo, cioè se stesso.

Non è primo

Passaggio 2.2.2.6

Il minimo comune multiplo di $9, 9, 1$ si ottiene moltiplicando tutti i fattori primi, comuni o non comuni, ciascuno preso una sola volta con l'esponente più grande.

$3 \cdot 3$

Passaggio 2.2.2.7

Moltiplica $3$ per $3$ .

$9$

Passaggio 2.2.2.8

Il minimo comune multiplo (mcm) di $x^{\frac{1}{3}}, x^{\frac{4}{3}}$ si ottiene moltiplicando tutti i fattori primi, comuni o non comuni, ciascuno preso una sola volta con l'esponente più grande.

$x^{\frac{4}{3}}$

Passaggio 2.2.2.9

Il minimo comune multiplo di $9 x^{\frac{1}{3}}, 9 x^{\frac{4}{3}}, 1$ è la parte numerica $9$ moltiplicata per la parte variabile.

$9 x^{\frac{4}{3}}$

Passaggio 2.2.3

Moltiplica per $9 x^{\frac{4}{3}}$ ciascun termine in $\frac{10}{9 x^{\frac{1}{3}}} + \frac{40}{9 x^{\frac{4}{3}}} = 0$ per eliminare le frazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.3.1

Moltiplica ogni termine in $\frac{10}{9 x^{\frac{1}{3}}} + \frac{40}{9 x^{\frac{4}{3}}} = 0$ per $9 x^{\frac{4}{3}}$ .

$\frac{10}{9 x^{\frac{1}{3}}} (9 x^{\frac{4}{3}}) + \frac{40}{9 x^{\frac{4}{3}}} (9 x^{\frac{4}{3}}) = 0 (9 x^{\frac{4}{3}})$

Passaggio 2.2.3.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.3.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.3.2.1.1

Riscrivi usando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$9 \frac{10}{9 x^{\frac{1}{3}}} x^{\frac{4}{3}} + \frac{40}{9 x^{\frac{4}{3}}} (9 x^{\frac{4}{3}}) = 0 (9 x^{\frac{4}{3}})$

Passaggio 2.2.3.2.1.2

Elimina il fattore comune di $9$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.3.2.1.2.1

Elimina il fattore comune.

$9 \frac{10}{9 x^{\frac{1}{3}}} x^{\frac{4}{3}} + \frac{40}{9 x^{\frac{4}{3}}} (9 x^{\frac{4}{3}}) = 0 (9 x^{\frac{4}{3}})$

Passaggio 2.2.3.2.1.2.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{10}{x^{\frac{1}{3}}} x^{\frac{4}{3}} + \frac{40}{9 x^{\frac{4}{3}}} (9 x^{\frac{4}{3}}) = 0 (9 x^{\frac{4}{3}})$

Passaggio 2.2.3.2.1.3

Elimina il fattore comune di $x^{\frac{1}{3}}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.3.2.1.3.1

Scomponi $x^{\frac{1}{3}}$ da $x^{\frac{4}{3}}$ .

$\frac{10}{x^{\frac{1}{3}}} (x^{\frac{1}{3}} x^{\frac{3}{3}}) + \frac{40}{9 x^{\frac{4}{3}}} (9 x^{\frac{4}{3}}) = 0 (9 x^{\frac{4}{3}})$

Passaggio 2.2.3.2.1.3.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{10}{x^{\frac{1}{3}}} (x^{\frac{1}{3}} x^{\frac{3}{3}}) + \frac{40}{9 x^{\frac{4}{3}}} (9 x^{\frac{4}{3}}) = 0 (9 x^{\frac{4}{3}})$

Passaggio 2.2.3.2.1.3.3

Riscrivi l'espressione.

$10 x^{\frac{3}{3}} + \frac{40}{9 x^{\frac{4}{3}}} (9 x^{\frac{4}{3}}) = 0 (9 x^{\frac{4}{3}})$

Passaggio 2.2.3.2.1.4

Dividi $3$ per $3$ .

$10 x^{1} + \frac{40}{9 x^{\frac{4}{3}}} (9 x^{\frac{4}{3}}) = 0 (9 x^{\frac{4}{3}})$

Passaggio 2.2.3.2.1.5

Semplifica.

$10 x + \frac{40}{9 x^{\frac{4}{3}}} (9 x^{\frac{4}{3}}) = 0 (9 x^{\frac{4}{3}})$

Passaggio 2.2.3.2.1.6

Riscrivi usando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$10 x + 9 \frac{40}{9 x^{\frac{4}{3}}} x^{\frac{4}{3}} = 0 (9 x^{\frac{4}{3}})$

Passaggio 2.2.3.2.1.7

Elimina il fattore comune di $9$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.3.2.1.7.1

Elimina il fattore comune.

$10 x + 9 \frac{40}{9 x^{\frac{4}{3}}} x^{\frac{4}{3}} = 0 (9 x^{\frac{4}{3}})$

Passaggio 2.2.3.2.1.7.2

Riscrivi l'espressione.

$10 x + \frac{40}{x^{\frac{4}{3}}} x^{\frac{4}{3}} = 0 (9 x^{\frac{4}{3}})$

Passaggio 2.2.3.2.1.8

Elimina il fattore comune di $x^{\frac{4}{3}}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.3.2.1.8.1

Elimina il fattore comune.

$10 x + \frac{40}{x^{\frac{4}{3}}} x^{\frac{4}{3}} = 0 (9 x^{\frac{4}{3}})$

Passaggio 2.2.3.2.1.8.2

Riscrivi l'espressione.

$10 x + 40 = 0 (9 x^{\frac{4}{3}})$

Passaggio 2.2.3.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.3.3.1

Moltiplica $0 (9 x^{\frac{4}{3}})$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.3.3.1.1

Moltiplica $9$ per $0$ .

$10 x + 40 = 0 x^{\frac{4}{3}}$

Passaggio 2.2.3.3.1.2

Moltiplica $0$ per $x^{\frac{4}{3}}$ .

$10 x + 40 = 0$

Passaggio 2.2.4

Risolvi l'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.4.1

Sottrai $40$ da entrambi i lati dell'equazione.

$10 x = - 40$

Passaggio 2.2.4.2

Dividi per $10$ ciascun termine in $10 x = - 40$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.4.2.1

Dividi per $10$ ciascun termine in $10 x = - 40$ .

$\frac{10 x}{10} = \frac{- 40}{10}$

Passaggio 2.2.4.2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.4.2.2.1

Elimina il fattore comune di $10$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.4.2.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{10 x}{10} = \frac{- 40}{10}$

Passaggio 2.2.4.2.2.1.2

Dividi $x$ per $1$ .

$x = \frac{- 40}{10}$

Passaggio 2.2.4.2.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.4.2.3.1

Dividi $- 40$ per $10$ .

$x = - 4$

Passaggio 3

Trova il dominio di $f (x) = x^{\frac{5}{3}} - 20 x^{\frac{2}{3}}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Converti le espressioni con gli esponenti frazionari in radicali.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.1

Applica la regola $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ per riscrivere l'elevazione a potenza come un radicale.

$\sqrt[3]{x^{5}} - 20 x^{\frac{2}{3}}$

Passaggio 3.1.2

Applica la regola $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ per riscrivere l'elevazione a potenza come un radicale.

$\sqrt[3]{x^{5}} - 20 \sqrt[3]{x^{2}}$

Passaggio 3.2

Il dominio dell'espressione sono tutti i numeri reali tranne nei casi in cui l'espressione sia indefinita. In questo caso, non c'è alcun numero reale che rende l'espressione indefinita.

Notazione degli intervalli:

$(- \infty, \infty)$

Notazione intensiva:

${x | x \in ℝ}$

Notazione degli intervalli:

$(- \infty, \infty)$

Notazione intensiva:

${x | x \in ℝ}$

Passaggio 4

Crea intervalli attorno ai valori di $x$ per cui la derivata seconda è zero o indefinita.

$(- \infty, - 4) \cup (- 4, \infty)$

Passaggio 5

Sostituisci qualsiasi numero dell'intervallo $(- \infty, - 4)$ nella derivata seconda e calcola per determinare la concavità.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Sostituisci la variabile $x$ con $- 6$ nell'espressione.

$f'' (- 6) = \frac{10}{9 {(- 6)}^{\frac{1}{3}}} + \frac{40}{9 {(- 6)}^{\frac{4}{3}}}$

Passaggio 5.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1

Per scrivere $\frac{10}{9 {(- 6)}^{\frac{1}{3}}}$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{{(- 6)}^{\frac{3}{3}}}{{(- 6)}^{\frac{3}{3}}}$ .

$f'' (- 6) = \frac{10}{9 {(- 6)}^{\frac{1}{3}}} \cdot \frac{{(- 6)}^{\frac{3}{3}}}{{(- 6)}^{\frac{3}{3}}} + \frac{40}{9 {(- 6)}^{\frac{4}{3}}}$

Passaggio 5.2.2

Scrivi ogni espressione con un comune denominatore di $9 {(- 6)}^{\frac{4}{3}}$ , moltiplicando ciascuna per il fattore appropriato di $1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.2.1

Moltiplica $\frac{10}{9 {(- 6)}^{\frac{1}{3}}}$ per $\frac{{(- 6)}^{\frac{3}{3}}}{{(- 6)}^{\frac{3}{3}}}$ .

$f'' (- 6) = \frac{10 {(- 6)}^{\frac{3}{3}}}{9 {(- 6)}^{\frac{1}{3}} {(- 6)}^{\frac{3}{3}}} + \frac{40}{9 {(- 6)}^{\frac{4}{3}}}$

Passaggio 5.2.2.2

Moltiplica ${(- 6)}^{\frac{1}{3}}$ per ${(- 6)}^{\frac{3}{3}}$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.2.2.1

Sposta ${(- 6)}^{\frac{3}{3}}$ .

$f'' (- 6) = \frac{10 {(- 6)}^{\frac{3}{3}}}{9 ({(- 6)}^{\frac{3}{3}} {(- 6)}^{\frac{1}{3}})} + \frac{40}{9 {(- 6)}^{\frac{4}{3}}}$

Passaggio 5.2.2.2.2

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$f'' (- 6) = \frac{10 {(- 6)}^{\frac{3}{3}}}{9 {(- 6)}^{\frac{3}{3} + \frac{1}{3}}} + \frac{40}{9 {(- 6)}^{\frac{4}{3}}}$

Passaggio 5.2.2.2.3

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$f'' (- 6) = \frac{10 {(- 6)}^{\frac{3}{3}}}{9 {(- 6)}^{\frac{3 + 1}{3}}} + \frac{40}{9 {(- 6)}^{\frac{4}{3}}}$

Passaggio 5.2.2.2.4

Somma $3$ e $1$ .

$f'' (- 6) = \frac{10 {(- 6)}^{\frac{3}{3}}}{9 {(- 6)}^{\frac{4}{3}}} + \frac{40}{9 {(- 6)}^{\frac{4}{3}}}$

Passaggio 5.2.3

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$f'' (- 6) = \frac{10 {(- 6)}^{\frac{3}{3}} + 40}{9 {(- 6)}^{\frac{4}{3}}}$

Passaggio 5.2.4

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.4.1

Dividi $3$ per $3$ .

$f'' (- 6) = \frac{10 (- 6) + 40}{9 {(- 6)}^{\frac{4}{3}}}$

Passaggio 5.2.4.2

Eleva $- 6$ alla potenza di $1$ .

$f'' (- 6) = \frac{10 \cdot - 6 + 40}{9 {(- 6)}^{\frac{4}{3}}}$

Passaggio 5.2.4.3

Moltiplica $10$ per $- 6$ .

$f'' (- 6) = \frac{- 60 + 40}{9 {(- 6)}^{\frac{4}{3}}}$

Passaggio 5.2.4.4

Somma $- 60$ e $40$ .

$f'' (- 6) = \frac{- 20}{9 {(- 6)}^{\frac{4}{3}}}$

Passaggio 5.2.5

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$f'' (- 6) = - \frac{20}{9 {(- 6)}^{\frac{4}{3}}}$

Passaggio 5.2.6

La risposta finale è $- \frac{20}{9 {(- 6)}^{\frac{4}{3}}}$ .

$- \frac{20}{9 {(- 6)}^{\frac{4}{3}}}$

Passaggio 5.3

Il grafico è una funzione concava sull'intervallo $(- \infty, - 4)$ perché $f'' (- 6)$ è negativo.

Il grafico è una funzione concava

Passaggio 6

Sostituisci qualsiasi numero dell'intervallo $(- 4, \infty)$ nella derivata seconda e calcola per determinare la concavità.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Sostituisci la variabile $x$ con $0$ nell'espressione.

$f'' (0) = \frac{10}{9 {(0)}^{\frac{1}{3}}} + \frac{40}{9 {(0)}^{\frac{4}{3}}}$

Passaggio 6.2

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.1

Riscrivi $0$ come $0^{3}$ .

$f'' (0) = \frac{10}{9 {(0^{3})}^{\frac{1}{3}}} + \frac{40}{9 {(0)}^{\frac{4}{3}}}$

Passaggio 6.2.2

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f'' (0) = \frac{10}{9 \cdot 0^{3 (\frac{1}{3})}} + \frac{40}{9 {(0)}^{\frac{4}{3}}}$

Passaggio 6.3

Elimina il fattore comune di $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.1

Elimina il fattore comune.

$f'' (0) = \frac{10}{9 \cdot 0^{3 (\frac{1}{3})}} + \frac{40}{9 {(0)}^{\frac{4}{3}}}$

Passaggio 6.3.2

Riscrivi l'espressione.

$f'' (0) = \frac{10}{9 \cdot 0} + \frac{40}{9 {(0)}^{\frac{4}{3}}}$

Passaggio 6.4

Moltiplica $9$ per $0$ .

$f'' (0) = \frac{10}{0} + \frac{40}{9 {(0)}^{\frac{4}{3}}}$

Passaggio 6.5

L'espressione contiene una divisione per $0$ . L'espressione è indefinita.

$f'' (0) = Undefined$

Passaggio 6.6

Il grafico è una funzione convessa sull'intervallo $(- 4, \infty)$ perché $f'' (0)$ è positivo.

Il grafico è una funzione convessa

Passaggio 7

Il grafico è una funzione concava quando la derivata seconda è negativa, mentre è una funzione convessa quando la derivata seconda è positiva.

Il grafico è una funzione concava

Il grafico è una funzione convessa

Passaggio 8