Calcolo Esempi

$x e^{- 3 x}$

Passaggio 1

Scrivi $x e^{- 3 x}$ come funzione.

$f (x) = x e^{- 3 x}$

Passaggio 2

Find the $x$ values where the second derivative is equal to $0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Trova la derivata seconda.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.1.1

Differenzia usando la regola del prodotto secondo cui $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ è $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ dove $f (x) = x$ e $g (x) = e^{- 3 x}$ .

$x \frac{d}{d x} [e^{- 3 x}] + e^{- 3 x} \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 2.1.1.2

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = e^{x}$ e $g (x) = - 3 x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.1.2.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $- 3 x$ .

$x (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [- 3 x]) + e^{- 3 x} \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 2.1.1.2.2

Differenzia usando la regola esponenziale secondo cui $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ è $a^{u} \ln (a)$ dove $a$ = $e$ .

$x (e^{u} \frac{d}{d x} [- 3 x]) + e^{- 3 x} \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 2.1.1.2.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $- 3 x$ .

$x (e^{- 3 x} \frac{d}{d x} [- 3 x]) + e^{- 3 x} \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 2.1.1.3

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.1.3.1

Poiché $- 3$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 3 x$ rispetto a $x$ è $- 3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$x (e^{- 3 x} (- 3 \frac{d}{d x} [x])) + e^{- 3 x} \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 2.1.1.3.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$x (e^{- 3 x} (- 3 \cdot 1)) + e^{- 3 x} \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 2.1.1.3.3

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.1.3.3.1

Moltiplica $- 3$ per $1$ .

$x (e^{- 3 x} \cdot - 3) + e^{- 3 x} \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 2.1.1.3.3.2

Sposta $- 3$ alla sinistra di $e^{- 3 x}$ .

$x (- 3 \cdot e^{- 3 x}) + e^{- 3 x} \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 2.1.1.3.4

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$x (- 3 e^{- 3 x}) + e^{- 3 x} \cdot 1$

Passaggio 2.1.1.3.5

Moltiplica $e^{- 3 x}$ per $1$ .

$x (- 3 e^{- 3 x}) + e^{- 3 x}$

Passaggio 2.1.1.4

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.1.4.1

Riordina i termini.

$- 3 e^{- 3 x} x + e^{- 3 x}$

Passaggio 2.1.1.4.2

Riordina i fattori in $- 3 e^{- 3 x} x + e^{- 3 x}$ .

$f' (x) = - 3 x e^{- 3 x} + e^{- 3 x}$

Passaggio 2.1.2

Trova la derivata seconda.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.2.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $- 3 x e^{- 3 x} + e^{- 3 x}$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [- 3 x e^{- 3 x}] + \frac{d}{d x} [e^{- 3 x}]$ .

$\frac{d}{d x} [- 3 x e^{- 3 x}] + \frac{d}{d x} [e^{- 3 x}]$

Passaggio 2.1.2.2

Calcola $\frac{d}{d x} [- 3 x e^{- 3 x}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.2.2.1

Poiché $- 3$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 3 x e^{- 3 x}$ rispetto a $x$ è $- 3 \frac{d}{d x} [x e^{- 3 x}]$ .

$- 3 \frac{d}{d x} [x e^{- 3 x}] + \frac{d}{d x} [e^{- 3 x}]$

Passaggio 2.1.2.2.2

Differenzia usando la regola del prodotto secondo cui $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ è $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ dove $f (x) = x$ e $g (x) = e^{- 3 x}$ .

$- 3 (x \frac{d}{d x} [e^{- 3 x}] + e^{- 3 x} \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [e^{- 3 x}]$

Passaggio 2.1.2.2.3

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = e^{x}$ e $g (x) = - 3 x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.2.2.3.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u_{1}$ come $- 3 x$ .

$- 3 (x (\frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d x} [- 3 x]) + e^{- 3 x} \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [e^{- 3 x}]$

Passaggio 2.1.2.2.3.2

Differenzia usando la regola esponenziale secondo cui $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ è $a^{u_{1}} \ln (a)$ dove $a$ = $e$ .

$- 3 (x (e^{u_{1}} \frac{d}{d x} [- 3 x]) + e^{- 3 x} \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [e^{- 3 x}]$

Passaggio 2.1.2.2.3.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{1}$ con $- 3 x$ .

$- 3 (x (e^{- 3 x} \frac{d}{d x} [- 3 x]) + e^{- 3 x} \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [e^{- 3 x}]$

Passaggio 2.1.2.2.4

Poiché $- 3$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 3 x$ rispetto a $x$ è $- 3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 3 (x (e^{- 3 x} (- 3 \frac{d}{d x} [x])) + e^{- 3 x} \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [e^{- 3 x}]$

Passaggio 2.1.2.2.5

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$- 3 (x (e^{- 3 x} (- 3 \cdot 1)) + e^{- 3 x} \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [e^{- 3 x}]$

Passaggio 2.1.2.2.6

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$- 3 (x (e^{- 3 x} (- 3 \cdot 1)) + e^{- 3 x} \cdot 1) + \frac{d}{d x} [e^{- 3 x}]$

Passaggio 2.1.2.2.7

Moltiplica $- 3$ per $1$ .

$- 3 (x (e^{- 3 x} \cdot - 3) + e^{- 3 x} \cdot 1) + \frac{d}{d x} [e^{- 3 x}]$

Passaggio 2.1.2.2.8

Sposta $- 3$ alla sinistra di $e^{- 3 x}$ .

$- 3 (x (- 3 \cdot e^{- 3 x}) + e^{- 3 x} \cdot 1) + \frac{d}{d x} [e^{- 3 x}]$

Passaggio 2.1.2.2.9

Moltiplica $e^{- 3 x}$ per $1$ .

$- 3 (x (- 3 e^{- 3 x}) + e^{- 3 x}) + \frac{d}{d x} [e^{- 3 x}]$

Passaggio 2.1.2.3

Calcola $\frac{d}{d x} [e^{- 3 x}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.2.3.1

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = e^{x}$ e $g (x) = - 3 x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.2.3.1.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u_{2}$ come $- 3 x$ .

$- 3 (x (- 3 e^{- 3 x}) + e^{- 3 x}) + \frac{d}{d u_{2}} [e^{u_{2}}] \frac{d}{d x} [- 3 x]$

Passaggio 2.1.2.3.1.2

Differenzia usando la regola esponenziale secondo cui $\frac{d}{d u_{2}} [a^{u_{2}}]$ è $a^{u_{2}} \ln (a)$ dove $a$ = $e$ .

$- 3 (x (- 3 e^{- 3 x}) + e^{- 3 x}) + e^{u_{2}} \frac{d}{d x} [- 3 x]$

Passaggio 2.1.2.3.1.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{2}$ con $- 3 x$ .

$- 3 (x (- 3 e^{- 3 x}) + e^{- 3 x}) + e^{- 3 x} \frac{d}{d x} [- 3 x]$

Passaggio 2.1.2.3.2

Poiché $- 3$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 3 x$ rispetto a $x$ è $- 3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 3 (x (- 3 e^{- 3 x}) + e^{- 3 x}) + e^{- 3 x} (- 3 \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 2.1.2.3.3

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$- 3 (x (- 3 e^{- 3 x}) + e^{- 3 x}) + e^{- 3 x} (- 3 \cdot 1)$

Passaggio 2.1.2.3.4

Moltiplica $- 3$ per $1$ .

$- 3 (x (- 3 e^{- 3 x}) + e^{- 3 x}) + e^{- 3 x} \cdot - 3$

Passaggio 2.1.2.3.5

Sposta $- 3$ alla sinistra di $e^{- 3 x}$ .

$- 3 (x (- 3 e^{- 3 x}) + e^{- 3 x}) - 3 e^{- 3 x}$

Passaggio 2.1.2.4

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.2.4.1

Applica la proprietà distributiva.

$- 3 (x (- 3 e^{- 3 x})) - 3 e^{- 3 x} - 3 e^{- 3 x}$

Passaggio 2.1.2.4.2

Raccogli i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.2.4.2.1

Moltiplica $- 3$ per $- 3$ .

$9 (x (e^{- 3 x})) - 3 e^{- 3 x} - 3 e^{- 3 x}$

Passaggio 2.1.2.4.2.2

Sottrai $3 e^{- 3 x}$ da $- 3 e^{- 3 x}$ .

$9 x e^{- 3 x} - 6 e^{- 3 x}$

Passaggio 2.1.2.4.3

Riordina i termini.

$9 e^{- 3 x} x - 6 e^{- 3 x}$

Passaggio 2.1.2.4.4

Riordina i fattori in $9 e^{- 3 x} x - 6 e^{- 3 x}$ .

$f'' (x) = 9 x e^{- 3 x} - 6 e^{- 3 x}$

Passaggio 2.1.3

La derivata seconda di $f (x)$ rispetto a $x$ è $9 x e^{- 3 x} - 6 e^{- 3 x}$ .

$9 x e^{- 3 x} - 6 e^{- 3 x}$

Passaggio 2.2

Imposta la derivata seconda pari a $0$ , quindi risolvi l'equazione $9 x e^{- 3 x} - 6 e^{- 3 x} = 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Imposta la derivata seconda uguale a $0$ .

$9 x e^{- 3 x} - 6 e^{- 3 x} = 0$

Passaggio 2.2.2

Scomponi $3 e^{- 3 x}$ da $9 x e^{- 3 x} - 6 e^{- 3 x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.2.1

Scomponi $3 e^{- 3 x}$ da $9 x e^{- 3 x}$ .

$3 e^{- 3 x} (3 x) - 6 e^{- 3 x} = 0$

Passaggio 2.2.2.2

Scomponi $3 e^{- 3 x}$ da $- 6 e^{- 3 x}$ .

$3 e^{- 3 x} (3 x) + 3 e^{- 3 x} (- 2) = 0$

Passaggio 2.2.2.3

Scomponi $3 e^{- 3 x}$ da $3 e^{- 3 x} (3 x) + 3 e^{- 3 x} (- 2)$ .

$3 e^{- 3 x} (3 x - 2) = 0$

Passaggio 2.2.3

Se qualsiasi singolo fattore nel lato sinistro dell'equazione è uguale a $0$ , l'intera espressione sarà uguale a $0$ .

$e^{- 3 x} = 0$

$3 x - 2 = 0$

Passaggio 2.2.4

Imposta $e^{- 3 x}$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.4.1

Imposta $e^{- 3 x}$ uguale a $0$ .

$e^{- 3 x} = 0$

Passaggio 2.2.4.2

Risolvi $e^{- 3 x} = 0$ per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.4.2.1

Trova il logaritmo naturale dell'equazione assegnata per rimuovere la variabile dall'esponente.

$\ln (e^{- 3 x}) = \ln (0)$

Passaggio 2.2.4.2.2

Non è possibile risolvere l'equazione perché $\ln (0)$ è indefinita.

Indefinito

Passaggio 2.2.4.2.3

Non c'è soluzione per $e^{- 3 x} = 0$

Nessuna soluzione

Passaggio 2.2.5

Imposta $3 x - 2$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.5.1

Imposta $3 x - 2$ uguale a $0$ .

$3 x - 2 = 0$

Passaggio 2.2.5.2

Risolvi $3 x - 2 = 0$ per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.5.2.1

Somma $2$ a entrambi i lati dell'equazione.

$3 x = 2$

Passaggio 2.2.5.2.2

Dividi per $3$ ciascun termine in $3 x = 2$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.5.2.2.1

Dividi per $3$ ciascun termine in $3 x = 2$ .

$\frac{3 x}{3} = \frac{2}{3}$

Passaggio 2.2.5.2.2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.5.2.2.2.1

Elimina il fattore comune di $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.5.2.2.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{3 x}{3} = \frac{2}{3}$

Passaggio 2.2.5.2.2.2.1.2

Dividi $x$ per $1$ .

$x = \frac{2}{3}$

Passaggio 2.2.6

La soluzione finale è data da tutti i valori che rendono $3 e^{- 3 x} (3 x - 2) = 0$ vera.

$x = \frac{2}{3}$

Passaggio 3

Il dominio dell'espressione sono tutti i numeri reali tranne nei casi in cui l'espressione sia indefinita. In questo caso, non c'è alcun numero reale che rende l'espressione indefinita.

Notazione degli intervalli:

$(- \infty, \infty)$

Notazione intensiva:

${x | x \in ℝ}$

Passaggio 4

Crea intervalli attorno ai valori di $x$ per cui la derivata seconda è zero o indefinita.

$(- \infty, \frac{2}{3}) \cup (\frac{2}{3}, \infty)$

Passaggio 5

Sostituisci qualsiasi numero dell'intervallo $(- \infty, \frac{2}{3})$ nella derivata seconda e calcola per determinare la concavità.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Sostituisci la variabile $x$ con $0$ nell'espressione.

$f'' (0) = 9 (0) \cdot e^{- 3 \cdot 0} - 6 e^{- 3 \cdot 0}$

Passaggio 5.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1.1

Moltiplica $9$ per $0$ .

$f'' (0) = 0 \cdot e^{- 3 \cdot 0} - 6 e^{- 3 \cdot 0}$

Passaggio 5.2.1.2

Moltiplica $- 3$ per $0$ .

$f'' (0) = 0 \cdot e^{0} - 6 e^{- 3 \cdot 0}$

Passaggio 5.2.1.3

Qualsiasi valore elevato a $0$ è $1$ .

$f'' (0) = 0 \cdot 1 - 6 e^{- 3 \cdot 0}$

Passaggio 5.2.1.4

Moltiplica $0$ per $1$ .

$f'' (0) = 0 - 6 e^{- 3 \cdot 0}$

Passaggio 5.2.1.5

Moltiplica $- 3$ per $0$ .

$f'' (0) = 0 - 6 e^{0}$

Passaggio 5.2.1.6

Qualsiasi valore elevato a $0$ è $1$ .

$f'' (0) = 0 - 6 \cdot 1$

Passaggio 5.2.1.7

Moltiplica $- 6$ per $1$ .

$f'' (0) = 0 - 6$

Passaggio 5.2.2

Sottrai $6$ da $0$ .

$f'' (0) = - 6$

Passaggio 5.2.3

La risposta finale è $- 6$ .

$- 6$

Passaggio 5.3

Il grafico è una funzione concava sull'intervallo $(- \infty, \frac{2}{3})$ perché $f'' (0)$ è negativo.

Funzione concava su $(- \infty, \frac{2}{3})$ poiché $f'' (x)$ è negativo

Passaggio 6

Sostituisci qualsiasi numero dell'intervallo $(\frac{2}{3}, \infty)$ nella derivata seconda e calcola per determinare la concavità.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Sostituisci la variabile $x$ con $3$ nell'espressione.

$f'' (3) = 9 (3) \cdot e^{- 3 \cdot 3} - 6 e^{- 3 \cdot 3}$

Passaggio 6.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.1.1

Moltiplica $9$ per $3$ .

$f'' (3) = 27 \cdot e^{- 3 \cdot 3} - 6 e^{- 3 \cdot 3}$

Passaggio 6.2.1.2

Moltiplica $- 3$ per $3$ .

$f'' (3) = 27 \cdot e^{- 9} - 6 e^{- 3 \cdot 3}$

Passaggio 6.2.1.3

Riscrivi l'espressione usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (3) = 27 \cdot \frac{1}{e^{9}} - 6 e^{- 3 \cdot 3}$

Passaggio 6.2.1.4

$27$ e $\frac{1}{e^{9}}$ .

$f'' (3) = \frac{27}{e^{9}} - 6 e^{- 3 \cdot 3}$

Passaggio 6.2.1.5

Moltiplica $- 3$ per $3$ .

$f'' (3) = \frac{27}{e^{9}} - 6 e^{- 9}$

Passaggio 6.2.1.6

Riscrivi l'espressione usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (3) = \frac{27}{e^{9}} - 6 \frac{1}{e^{9}}$

Passaggio 6.2.1.7

$- 6$ e $\frac{1}{e^{9}}$ .

$f'' (3) = \frac{27}{e^{9}} + \frac{- 6}{e^{9}}$

Passaggio 6.2.1.8

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$f'' (3) = \frac{27}{e^{9}} - \frac{6}{e^{9}}$

Passaggio 6.2.2

Riduci le frazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.2.1

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$f'' (3) = \frac{27 - 6}{e^{9}}$

Passaggio 6.2.2.2

Sottrai $6$ da $27$ .

$f'' (3) = \frac{21}{e^{9}}$

Passaggio 6.2.3

La risposta finale è $\frac{21}{e^{9}}$ .

$\frac{21}{e^{9}}$

Passaggio 6.3

Il grafico è una funzione convessa sull'intervallo $(\frac{2}{3}, \infty)$ perché $f'' (3)$ è positivo.

Funzione convessa su $(\frac{2}{3}, \infty)$ poiché $f'' (x)$ è positivo

Passaggio 7

Il grafico è una funzione concava quando la derivata seconda è negativa, mentre è una funzione convessa quando la derivata seconda è positiva.

Funzione concava su $(- \infty, \frac{2}{3})$ poiché $f'' (x)$ è negativo

Funzione convessa su $(\frac{2}{3}, \infty)$ poiché $f'' (x)$ è positivo

Passaggio 8