Calcolo Esempi

$\arctan (x)$

Passaggio 1

Scrivi $\arctan (x)$ come funzione.

$f (x) = \arctan (x)$

Passaggio 2

Find the $x$ values where the second derivative is equal to $0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Trova la derivata seconda.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.1.1

La derivata di $\arctan (x)$ rispetto a $x$ è $\frac{1}{1 + x^{2}}$ .

$\frac{1}{1 + x^{2}}$

Passaggio 2.1.1.2

Riordina i termini.

$f' (x) = \frac{1}{x^{2} + 1}$

Passaggio 2.1.2

Trova la derivata seconda.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.2.1

Riscrivi $\frac{1}{x^{2} + 1}$ come ${(x^{2} + 1)}^{- 1}$ .

$\frac{d}{d x} [{(x^{2} + 1)}^{- 1}]$

Passaggio 2.1.2.2

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{- 1}$ e $g (x) = x^{2} + 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.2.2.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $x^{2} + 1$ .

$\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]$

Passaggio 2.1.2.2.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ è $n u^{n - 1}$ dove $n = - 1$ .

$- u^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]$

Passaggio 2.1.2.2.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $x^{2} + 1$ .

$- {(x^{2} + 1)}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]$

Passaggio 2.1.2.3

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.2.3.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $x^{2} + 1$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$- {(x^{2} + 1)}^{- 2} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1])$

Passaggio 2.1.2.3.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$- {(x^{2} + 1)}^{- 2} (2 x + \frac{d}{d x} [1])$

Passaggio 2.1.2.3.3

Poiché $1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$- {(x^{2} + 1)}^{- 2} (2 x + 0)$

Passaggio 2.1.2.3.4

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.2.3.4.1

Somma $2 x$ e $0$ .

$- {(x^{2} + 1)}^{- 2} (2 x)$

Passaggio 2.1.2.3.4.2

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$- 2 {(x^{2} + 1)}^{- 2} x$

Passaggio 2.1.2.4

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.2.4.1

Riscrivi l'espressione usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- 2 \frac{1}{{(x^{2} + 1)}^{2}} x$

Passaggio 2.1.2.4.2

Raccogli i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.2.4.2.1

$- 2$ e $\frac{1}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$ .

$\frac{- 2}{{(x^{2} + 1)}^{2}} x$

Passaggio 2.1.2.4.2.2

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$- \frac{2}{{(x^{2} + 1)}^{2}} x$

Passaggio 2.1.2.4.2.3

$x$ e $\frac{2}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$ .

$- \frac{x \cdot 2}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Passaggio 2.1.2.4.2.4

Sposta $2$ alla sinistra di $x$ .

$f'' (x) = - \frac{2 x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Passaggio 2.1.3

La derivata seconda di $f (x)$ rispetto a $x$ è $- \frac{2 x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$ .

$- \frac{2 x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Passaggio 2.2

Imposta la derivata seconda pari a $0$ , quindi risolvi l'equazione $- \frac{2 x}{{(x^{2} + 1)}^{2}} = 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Imposta la derivata seconda uguale a $0$ .

$- \frac{2 x}{{(x^{2} + 1)}^{2}} = 0$

Passaggio 2.2.2

Poni il numeratore uguale a zero.

$2 x = 0$

Passaggio 2.2.3

Dividi per $2$ ciascun termine in $2 x = 0$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.3.1

Dividi per $2$ ciascun termine in $2 x = 0$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{0}{2}$

Passaggio 2.2.3.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.3.2.1

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.3.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{2 x}{2} = \frac{0}{2}$

Passaggio 2.2.3.2.1.2

Dividi $x$ per $1$ .

$x = \frac{0}{2}$

Passaggio 2.2.3.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.3.3.1

Dividi $0$ per $2$ .

$x = 0$

Passaggio 3

Il dominio dell'espressione sono tutti i numeri reali tranne nei casi in cui l'espressione sia indefinita. In questo caso, non c'è alcun numero reale che rende l'espressione indefinita.

Notazione degli intervalli:

$(- \infty, \infty)$

Notazione intensiva:

${x | x \in ℝ}$

Passaggio 4

Crea intervalli attorno ai valori di $x$ per cui la derivata seconda è zero o indefinita.

$(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$

Passaggio 5

Sostituisci qualsiasi numero dell'intervallo $(- \infty, 0)$ nella derivata seconda e calcola per determinare la concavità.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Sostituisci la variabile $x$ con $- 2$ nell'espressione.

$f'' (- 2) = - \frac{2 (- 2)}{{({(- 2)}^{2} + 1)}^{2}}$

Passaggio 5.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1

Moltiplica $2$ per $- 2$ .

$f'' (- 2) = - \frac{- 4}{{({(- 2)}^{2} + 1)}^{2}}$

Passaggio 5.2.2

Semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.2.1

Eleva $- 2$ alla potenza di $2$ .

$f'' (- 2) = - \frac{- 4}{{(4 + 1)}^{2}}$

Passaggio 5.2.2.2

Somma $4$ e $1$ .

$f'' (- 2) = - \frac{- 4}{5^{2}}$

Passaggio 5.2.2.3

Eleva $5$ alla potenza di $2$ .

$f'' (- 2) = - \frac{- 4}{25}$

Passaggio 5.2.3

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$f'' (- 2) = \frac{4}{25}$

Passaggio 5.2.4

La risposta finale è $\frac{4}{25}$ .

$\frac{4}{25}$

Passaggio 5.3

Il grafico è una funzione convessa sull'intervallo $(- \infty, 0)$ perché $f'' (- 2)$ è positivo.

Funzione convessa su $(- \infty, 0)$ poiché $f'' (x)$ è positivo

Passaggio 6

Sostituisci qualsiasi numero dell'intervallo $(0, \infty)$ nella derivata seconda e calcola per determinare la concavità.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Sostituisci la variabile $x$ con $2$ nell'espressione.

$f'' (2) = - \frac{2 (2)}{{({(2)}^{2} + 1)}^{2}}$

Passaggio 6.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.1

Moltiplica $2$ per $2$ .

$f'' (2) = - \frac{4}{{(2^{2} + 1)}^{2}}$

Passaggio 6.2.2

Semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.2.1

Eleva $2$ alla potenza di $2$ .

$f'' (2) = - \frac{4}{{(4 + 1)}^{2}}$

Passaggio 6.2.2.2

Somma $4$ e $1$ .

$f'' (2) = - \frac{4}{5^{2}}$

Passaggio 6.2.2.3

Eleva $5$ alla potenza di $2$ .

$f'' (2) = - \frac{4}{25}$

Passaggio 6.2.3

La risposta finale è $- \frac{4}{25}$ .

$- \frac{4}{25}$

Passaggio 6.3

Il grafico è una funzione concava sull'intervallo $(0, \infty)$ perché $f'' (2)$ è negativo.

Funzione concava su $(0, \infty)$ poiché $f'' (x)$ è negativo

Passaggio 7

Il grafico è una funzione concava quando la derivata seconda è negativa, mentre è una funzione convessa quando la derivata seconda è positiva.

Funzione convessa su $(- \infty, 0)$ poiché $f'' (x)$ è positivo

Funzione concava su $(0, \infty)$ poiché $f'' (x)$ è negativo

Passaggio 8