Calcolo Esempi

$f (x) = \frac{x^{2} - x}{x^{2} + 3 x - 4}$

Passaggio 1

Find the $x$ values where the second derivative is equal to $0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Trova la derivata seconda.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1.1

Differenzia usando la regola del quoziente secondo cui $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ è $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ dove $f (x) = x^{2} - x$ e $g (x) = x^{2} + 3 x - 4$ .

$\frac{(x^{2} + 3 x - 4) \frac{d}{d x} [x^{2} - x] - (x^{2} - x) \frac{d}{d x} [x^{2} + 3 x - 4]}{{(x^{2} + 3 x - 4)}^{2}}$

Passaggio 1.1.1.2

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1.2.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $x^{2} - x$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x]$ .

$\frac{(x^{2} + 3 x - 4) (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x]) - (x^{2} - x) \frac{d}{d x} [x^{2} + 3 x - 4]}{{(x^{2} + 3 x - 4)}^{2}}$

Passaggio 1.1.1.2.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$\frac{(x^{2} + 3 x - 4) (2 x + \frac{d}{d x} [- x]) - (x^{2} - x) \frac{d}{d x} [x^{2} + 3 x - 4]}{{(x^{2} + 3 x - 4)}^{2}}$

Passaggio 1.1.1.2.3

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- x$ rispetto a $x$ è $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{(x^{2} + 3 x - 4) (2 x - \frac{d}{d x} [x]) - (x^{2} - x) \frac{d}{d x} [x^{2} + 3 x - 4]}{{(x^{2} + 3 x - 4)}^{2}}$

Passaggio 1.1.1.2.4

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$\frac{(x^{2} + 3 x - 4) (2 x - 1 \cdot 1) - (x^{2} - x) \frac{d}{d x} [x^{2} + 3 x - 4]}{{(x^{2} + 3 x - 4)}^{2}}$

Passaggio 1.1.1.2.5

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$\frac{(x^{2} + 3 x - 4) (2 x - 1) - (x^{2} - x) \frac{d}{d x} [x^{2} + 3 x - 4]}{{(x^{2} + 3 x - 4)}^{2}}$

Passaggio 1.1.1.2.6

Secondo la regola della somma, la derivata di $x^{2} + 3 x - 4$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 4]$ .

$\frac{(x^{2} + 3 x - 4) (2 x - 1) - (x^{2} - x) (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 4])}{{(x^{2} + 3 x - 4)}^{2}}$

Passaggio 1.1.1.2.7

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$\frac{(x^{2} + 3 x - 4) (2 x - 1) - (x^{2} - x) (2 x + \frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 4])}{{(x^{2} + 3 x - 4)}^{2}}$

Passaggio 1.1.1.2.8

Poiché $3$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $3 x$ rispetto a $x$ è $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{(x^{2} + 3 x - 4) (2 x - 1) - (x^{2} - x) (2 x + 3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 4])}{{(x^{2} + 3 x - 4)}^{2}}$

Passaggio 1.1.1.2.9

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$\frac{(x^{2} + 3 x - 4) (2 x - 1) - (x^{2} - x) (2 x + 3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 4])}{{(x^{2} + 3 x - 4)}^{2}}$

Passaggio 1.1.1.2.10

Moltiplica $3$ per $1$ .

$\frac{(x^{2} + 3 x - 4) (2 x - 1) - (x^{2} - x) (2 x + 3 + \frac{d}{d x} [- 4])}{{(x^{2} + 3 x - 4)}^{2}}$

Passaggio 1.1.1.2.11

Poiché $- 4$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 4$ rispetto a $x$ è $0$ .

$\frac{(x^{2} + 3 x - 4) (2 x - 1) - (x^{2} - x) (2 x + 3 + 0)}{{(x^{2} + 3 x - 4)}^{2}}$

Passaggio 1.1.1.2.12

Somma $2 x + 3$ e $0$ .

$\frac{(x^{2} + 3 x - 4) (2 x - 1) - (x^{2} - x) (2 x + 3)}{{(x^{2} + 3 x - 4)}^{2}}$

Passaggio 1.1.1.3

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1.3.1

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{(x^{2} + 3 x - 4) (2 x - 1) + (- x^{2} - - x) (2 x + 3)}{{(x^{2} + 3 x - 4)}^{2}}$

Passaggio 1.1.1.3.2

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1.3.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1.3.2.1.1

Espandi $(x^{2} + 3 x - 4) (2 x - 1)$ moltiplicando ciascun termine della prima espressione per ciascun termine della seconda espressione.

$\frac{x^{2} (2 x) + x^{2} \cdot - 1 + 3 x (2 x) + 3 x \cdot - 1 - 4 (2 x) - 4 \cdot - 1 + (- x^{2} - - x) (2 x + 3)}{{(x^{2} + 3 x - 4)}^{2}}$

Passaggio 1.1.1.3.2.1.2

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1.3.2.1.2.1

Riscrivi usando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$\frac{2 x^{2} x + x^{2} \cdot - 1 + 3 x (2 x) + 3 x \cdot - 1 - 4 (2 x) - 4 \cdot - 1 + (- x^{2} - - x) (2 x + 3)}{{(x^{2} + 3 x - 4)}^{2}}$

Passaggio 1.1.1.3.2.1.2.2

Moltiplica $x^{2}$ per $x$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1.3.2.1.2.2.1

Sposta $x$ .

$\frac{2 (x \cdot x^{2}) + x^{2} \cdot - 1 + 3 x (2 x) + 3 x \cdot - 1 - 4 (2 x) - 4 \cdot - 1 + (- x^{2} - - x) (2 x + 3)}{{(x^{2} + 3 x - 4)}^{2}}$

Passaggio 1.1.1.3.2.1.2.2.2

Moltiplica $x$ per $x^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1.3.2.1.2.2.2.1

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$\frac{2 (x^{1} x^{2}) + x^{2} \cdot - 1 + 3 x (2 x) + 3 x \cdot - 1 - 4 (2 x) - 4 \cdot - 1 + (- x^{2} - - x) (2 x + 3)}{{(x^{2} + 3 x - 4)}^{2}}$

Passaggio 1.1.1.3.2.1.2.2.2.2

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{2 x^{1 + 2} + x^{2} \cdot - 1 + 3 x (2 x) + 3 x \cdot - 1 - 4 (2 x) - 4 \cdot - 1 + (- x^{2} - - x) (2 x + 3)}{{(x^{2} + 3 x - 4)}^{2}}$

Passaggio 1.1.1.3.2.1.2.2.3

Somma $1$ e $2$ .

$\frac{2 x^{3} + x^{2} \cdot - 1 + 3 x (2 x) + 3 x \cdot - 1 - 4 (2 x) - 4 \cdot - 1 + (- x^{2} - - x) (2 x + 3)}{{(x^{2} + 3 x - 4)}^{2}}$

Passaggio 1.1.1.3.2.1.2.3

Sposta $- 1$ alla sinistra di $x^{2}$ .

$\frac{2 x^{3} - 1 \cdot x^{2} + 3 x (2 x) + 3 x \cdot - 1 - 4 (2 x) - 4 \cdot - 1 + (- x^{2} - - x) (2 x + 3)}{{(x^{2} + 3 x - 4)}^{2}}$

Passaggio 1.1.1.3.2.1.2.4

Riscrivi $- 1 x^{2}$ come $- x^{2}$ .

$\frac{2 x^{3} - x^{2} + 3 x (2 x) + 3 x \cdot - 1 - 4 (2 x) - 4 \cdot - 1 + (- x^{2} - - x) (2 x + 3)}{{(x^{2} + 3 x - 4)}^{2}}$

Passaggio 1.1.1.3.2.1.2.5

Riscrivi usando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$\frac{2 x^{3} - x^{2} + 3 \cdot 2 x \cdot x + 3 x \cdot - 1 - 4 (2 x) - 4 \cdot - 1 + (- x^{2} - - x) (2 x + 3)}{{(x^{2} + 3 x - 4)}^{2}}$

Passaggio 1.1.1.3.2.1.2.6

Moltiplica $x$ per $x$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1.3.2.1.2.6.1

Sposta $x$ .

$\frac{2 x^{3} - x^{2} + 3 \cdot 2 (x \cdot x) + 3 x \cdot - 1 - 4 (2 x) - 4 \cdot - 1 + (- x^{2} - - x) (2 x + 3)}{{(x^{2} + 3 x - 4)}^{2}}$

Passaggio 1.1.1.3.2.1.2.6.2

Moltiplica $x$ per $x$ .

$\frac{2 x^{3} - x^{2} + 3 \cdot 2 x^{2} + 3 x \cdot - 1 - 4 (2 x) - 4 \cdot - 1 + (- x^{2} - - x) (2 x + 3)}{{(x^{2} + 3 x - 4)}^{2}}$

Passaggio 1.1.1.3.2.1.2.7

Moltiplica $3$ per $2$ .

$\frac{2 x^{3} - x^{2} + 6 x^{2} + 3 x \cdot - 1 - 4 (2 x) - 4 \cdot - 1 + (- x^{2} - - x) (2 x + 3)}{{(x^{2} + 3 x - 4)}^{2}}$

Passaggio 1.1.1.3.2.1.2.8

Moltiplica $- 1$ per $3$ .

$\frac{2 x^{3} - x^{2} + 6 x^{2} - 3 x - 4 (2 x) - 4 \cdot - 1 + (- x^{2} - - x) (2 x + 3)}{{(x^{2} + 3 x - 4)}^{2}}$

Passaggio 1.1.1.3.2.1.2.9

Moltiplica $2$ per $- 4$ .

$\frac{2 x^{3} - x^{2} + 6 x^{2} - 3 x - 8 x - 4 \cdot - 1 + (- x^{2} - - x) (2 x + 3)}{{(x^{2} + 3 x - 4)}^{2}}$

Passaggio 1.1.1.3.2.1.2.10

Moltiplica $- 4$ per $- 1$ .

$\frac{2 x^{3} - x^{2} + 6 x^{2} - 3 x - 8 x + 4 + (- x^{2} - - x) (2 x + 3)}{{(x^{2} + 3 x - 4)}^{2}}$

Passaggio 1.1.1.3.2.1.3

Somma $- x^{2}$ e $6 x^{2}$ .

$\frac{2 x^{3} + 5 x^{2} - 3 x - 8 x + 4 + (- x^{2} - - x) (2 x + 3)}{{(x^{2} + 3 x - 4)}^{2}}$

Passaggio 1.1.1.3.2.1.4

Sottrai $8 x$ da $- 3 x$ .

$\frac{2 x^{3} + 5 x^{2} - 11 x + 4 + (- x^{2} - - x) (2 x + 3)}{{(x^{2} + 3 x - 4)}^{2}}$

Passaggio 1.1.1.3.2.1.5

Moltiplica $- - x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1.3.2.1.5.1

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$\frac{2 x^{3} + 5 x^{2} - 11 x + 4 + (- x^{2} + 1 x) (2 x + 3)}{{(x^{2} + 3 x - 4)}^{2}}$

Passaggio 1.1.1.3.2.1.5.2

Moltiplica $x$ per $1$ .

$\frac{2 x^{3} + 5 x^{2} - 11 x + 4 + (- x^{2} + x) (2 x + 3)}{{(x^{2} + 3 x - 4)}^{2}}$

Passaggio 1.1.1.3.2.1.6

Espandi $(- x^{2} + x) (2 x + 3)$ usando il metodo FOIL.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1.3.2.1.6.1

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{2 x^{3} + 5 x^{2} - 11 x + 4 - x^{2} (2 x + 3) + x (2 x + 3)}{{(x^{2} + 3 x - 4)}^{2}}$

Passaggio 1.1.1.3.2.1.6.2

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{2 x^{3} + 5 x^{2} - 11 x + 4 - x^{2} (2 x) - x^{2} \cdot 3 + x (2 x + 3)}{{(x^{2} + 3 x - 4)}^{2}}$

Passaggio 1.1.1.3.2.1.6.3

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{2 x^{3} + 5 x^{2} - 11 x + 4 - x^{2} (2 x) - x^{2} \cdot 3 + x (2 x) + x \cdot 3}{{(x^{2} + 3 x - 4)}^{2}}$

Passaggio 1.1.1.3.2.1.7

Semplifica e combina i termini simili.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1.3.2.1.7.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1.3.2.1.7.1.1

Riscrivi usando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$\frac{2 x^{3} + 5 x^{2} - 11 x + 4 - 1 \cdot 2 x^{2} x - x^{2} \cdot 3 + x (2 x) + x \cdot 3}{{(x^{2} + 3 x - 4)}^{2}}$

Passaggio 1.1.1.3.2.1.7.1.2

Moltiplica $x^{2}$ per $x$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1.3.2.1.7.1.2.1

Sposta $x$ .

$\frac{2 x^{3} + 5 x^{2} - 11 x + 4 - 1 \cdot 2 (x \cdot x^{2}) - x^{2} \cdot 3 + x (2 x) + x \cdot 3}{{(x^{2} + 3 x - 4)}^{2}}$

Passaggio 1.1.1.3.2.1.7.1.2.2

Moltiplica $x$ per $x^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1.3.2.1.7.1.2.2.1

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$\frac{2 x^{3} + 5 x^{2} - 11 x + 4 - 1 \cdot 2 (x^{1} x^{2}) - x^{2} \cdot 3 + x (2 x) + x \cdot 3}{{(x^{2} + 3 x - 4)}^{2}}$

Passaggio 1.1.1.3.2.1.7.1.2.2.2

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{2 x^{3} + 5 x^{2} - 11 x + 4 - 1 \cdot 2 x^{1 + 2} - x^{2} \cdot 3 + x (2 x) + x \cdot 3}{{(x^{2} + 3 x - 4)}^{2}}$

Passaggio 1.1.1.3.2.1.7.1.2.3

Somma $1$ e $2$ .

$\frac{2 x^{3} + 5 x^{2} - 11 x + 4 - 1 \cdot 2 x^{3} - x^{2} \cdot 3 + x (2 x) + x \cdot 3}{{(x^{2} + 3 x - 4)}^{2}}$

Passaggio 1.1.1.3.2.1.7.1.3

Moltiplica $- 1$ per $2$ .

$\frac{2 x^{3} + 5 x^{2} - 11 x + 4 - 2 x^{3} - x^{2} \cdot 3 + x (2 x) + x \cdot 3}{{(x^{2} + 3 x - 4)}^{2}}$

Passaggio 1.1.1.3.2.1.7.1.4

Moltiplica $3$ per $- 1$ .

$\frac{2 x^{3} + 5 x^{2} - 11 x + 4 - 2 x^{3} - 3 x^{2} + x (2 x) + x \cdot 3}{{(x^{2} + 3 x - 4)}^{2}}$

Passaggio 1.1.1.3.2.1.7.1.5

Riscrivi usando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$\frac{2 x^{3} + 5 x^{2} - 11 x + 4 - 2 x^{3} - 3 x^{2} + 2 x \cdot x + x \cdot 3}{{(x^{2} + 3 x - 4)}^{2}}$

Passaggio 1.1.1.3.2.1.7.1.6

Moltiplica $x$ per $x$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1.3.2.1.7.1.6.1

Sposta $x$ .

$\frac{2 x^{3} + 5 x^{2} - 11 x + 4 - 2 x^{3} - 3 x^{2} + 2 (x \cdot x) + x \cdot 3}{{(x^{2} + 3 x - 4)}^{2}}$

Passaggio 1.1.1.3.2.1.7.1.6.2

Moltiplica $x$ per $x$ .

$\frac{2 x^{3} + 5 x^{2} - 11 x + 4 - 2 x^{3} - 3 x^{2} + 2 x^{2} + x \cdot 3}{{(x^{2} + 3 x - 4)}^{2}}$

Passaggio 1.1.1.3.2.1.7.1.7

Sposta $3$ alla sinistra di $x$ .

$\frac{2 x^{3} + 5 x^{2} - 11 x + 4 - 2 x^{3} - 3 x^{2} + 2 x^{2} + 3 x}{{(x^{2} + 3 x - 4)}^{2}}$

Passaggio 1.1.1.3.2.1.7.2

Somma $- 3 x^{2}$ e $2 x^{2}$ .

$\frac{2 x^{3} + 5 x^{2} - 11 x + 4 - 2 x^{3} - x^{2} + 3 x}{{(x^{2} + 3 x - 4)}^{2}}$

Passaggio 1.1.1.3.2.2

Combina i termini opposti in $2 x^{3} + 5 x^{2} - 11 x + 4 - 2 x^{3} - x^{2} + 3 x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1.3.2.2.1

Sottrai $2 x^{3}$ da $2 x^{3}$ .

$\frac{5 x^{2} - 11 x + 4 + 0 - x^{2} + 3 x}{{(x^{2} + 3 x - 4)}^{2}}$

Passaggio 1.1.1.3.2.2.2

Somma $5 x^{2} - 11 x + 4$ e $0$ .

$\frac{5 x^{2} - 11 x + 4 - x^{2} + 3 x}{{(x^{2} + 3 x - 4)}^{2}}$

Passaggio 1.1.1.3.2.3

Sottrai $x^{2}$ da $5 x^{2}$ .

$\frac{4 x^{2} - 11 x + 4 + 3 x}{{(x^{2} + 3 x - 4)}^{2}}$

Passaggio 1.1.1.3.2.4

Somma $- 11 x$ e $3 x$ .

$\frac{4 x^{2} - 8 x + 4}{{(x^{2} + 3 x - 4)}^{2}}$

Passaggio 1.1.1.3.3

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1.3.3.1

Scomponi $4$ da $4 x^{2} - 8 x + 4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1.3.3.1.1

Scomponi $4$ da $4 x^{2}$ .

$\frac{4 (x^{2}) - 8 x + 4}{{(x^{2} + 3 x - 4)}^{2}}$

Passaggio 1.1.1.3.3.1.2

Scomponi $4$ da $- 8 x$ .

$\frac{4 (x^{2}) + 4 (- 2 x) + 4}{{(x^{2} + 3 x - 4)}^{2}}$

Passaggio 1.1.1.3.3.1.3

Scomponi $4$ da $4$ .

$\frac{4 (x^{2}) + 4 (- 2 x) + 4 (1)}{{(x^{2} + 3 x - 4)}^{2}}$

Passaggio 1.1.1.3.3.1.4

Scomponi $4$ da $4 (x^{2}) + 4 (- 2 x)$ .

$\frac{4 (x^{2} - 2 x) + 4 (1)}{{(x^{2} + 3 x - 4)}^{2}}$

Passaggio 1.1.1.3.3.1.5

Scomponi $4$ da $4 (x^{2} - 2 x) + 4 (1)$ .

$\frac{4 (x^{2} - 2 x + 1)}{{(x^{2} + 3 x - 4)}^{2}}$

Passaggio 1.1.1.3.3.2

Scomponi usando la regola del quadrato perfetto.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1.3.3.2.1

Riscrivi $1$ come $1^{2}$ .

$\frac{4 (x^{2} - 2 x + 1^{2})}{{(x^{2} + 3 x - 4)}^{2}}$

Passaggio 1.1.1.3.3.2.2

Verifica che il termine centrale sia il doppio del prodotto dei numeri elevati alla seconda potenza nel primo e nel terzo termine.

$2 x = 2 \cdot x \cdot 1$

Passaggio 1.1.1.3.3.2.3

Riscrivi il polinomio.

$\frac{4 (x^{2} - 2 \cdot x \cdot 1 + 1^{2})}{{(x^{2} + 3 x - 4)}^{2}}$

Passaggio 1.1.1.3.3.2.4

Scomponi usando la regola del trinomio perfetto al quadrato $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ , dove $a = x$ e $b = 1$ .

$\frac{4 {(x - 1)}^{2}}{{(x^{2} + 3 x - 4)}^{2}}$

Passaggio 1.1.1.3.4

Semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1.3.4.1

Scomponi $x^{2} + 3 x - 4$ usando il metodo AC.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1.3.4.1.1

Considera la forma $x^{2} + b x + c$ . Trova una coppia di interi il cui prodotto è $c$ e la cui formula è $b$ . In questo caso, il cui prodotto è $- 4$ e la cui somma è $3$ .

$- 1, 4$

Passaggio 1.1.1.3.4.1.2

Scrivi la forma fattorizzata usando questi interi.

$\frac{4 {(x - 1)}^{2}}{{((x - 1) (x + 4))}^{2}}$

Passaggio 1.1.1.3.4.2

Applica la regola del prodotto a $(x - 1) (x + 4)$ .

$\frac{4 {(x - 1)}^{2}}{{(x - 1)}^{2} {(x + 4)}^{2}}$

Passaggio 1.1.1.3.5

Elimina il fattore comune di ${(x - 1)}^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1.3.5.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{4 {(x - 1)}^{2}}{{(x - 1)}^{2} {(x + 4)}^{2}}$

Passaggio 1.1.1.3.5.2

Riscrivi l'espressione.

$f' (x) = \frac{4}{{(x + 4)}^{2}}$

Passaggio 1.1.2

Trova la derivata seconda.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.1

Differenzia usando la regola multipla costante.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.1.1

Poiché $4$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $\frac{4}{{(x + 4)}^{2}}$ rispetto a $x$ è $4 \frac{d}{d x} [\frac{1}{{(x + 4)}^{2}}]$ .

$4 \frac{d}{d x} [\frac{1}{{(x + 4)}^{2}}]$

Passaggio 1.1.2.1.2

Applica le regole di base degli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.1.2.1

Riscrivi $\frac{1}{{(x + 4)}^{2}}$ come ${({(x + 4)}^{2})}^{- 1}$ .

$4 \frac{d}{d x} [{({(x + 4)}^{2})}^{- 1}]$

Passaggio 1.1.2.1.2.2

Moltiplica gli esponenti in ${({(x + 4)}^{2})}^{- 1}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.1.2.2.1

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$4 \frac{d}{d x} [{(x + 4)}^{2 \cdot - 1}]$

Passaggio 1.1.2.1.2.2.2

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$4 \frac{d}{d x} [{(x + 4)}^{- 2}]$

Passaggio 1.1.2.2

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{- 2}$ e $g (x) = x + 4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.2.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $x + 4$ .

$4 (\frac{d}{d u} [u^{- 2}] \frac{d}{d x} [x + 4])$

Passaggio 1.1.2.2.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ è $n u^{n - 1}$ dove $n = - 2$ .

$4 (- 2 u^{- 3} \frac{d}{d x} [x + 4])$

Passaggio 1.1.2.2.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $x + 4$ .

$4 (- 2 {(x + 4)}^{- 3} \frac{d}{d x} [x + 4])$

Passaggio 1.1.2.3

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.3.1

Moltiplica $- 2$ per $4$ .

$- 8 ({(x + 4)}^{- 3} \frac{d}{d x} [x + 4])$

Passaggio 1.1.2.3.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $x + 4$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [4]$ .

$- 8 {(x + 4)}^{- 3} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [4])$

Passaggio 1.1.2.3.3

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$- 8 {(x + 4)}^{- 3} (1 + \frac{d}{d x} [4])$

Passaggio 1.1.2.3.4

Poiché $4$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $4$ rispetto a $x$ è $0$ .

$- 8 {(x + 4)}^{- 3} (1 + 0)$

Passaggio 1.1.2.3.5

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.3.5.1

Somma $1$ e $0$ .

$- 8 {(x + 4)}^{- 3} \cdot 1$

Passaggio 1.1.2.3.5.2

Moltiplica $- 8$ per $1$ .

$- 8 {(x + 4)}^{- 3}$

Passaggio 1.1.2.4

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.4.1

Riscrivi l'espressione usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- 8 \frac{1}{{(x + 4)}^{3}}$

Passaggio 1.1.2.4.2

Raccogli i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.4.2.1

$- 8$ e $\frac{1}{{(x + 4)}^{3}}$ .

$\frac{- 8}{{(x + 4)}^{3}}$

Passaggio 1.1.2.4.2.2

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$f'' (x) = - \frac{8}{{(x + 4)}^{3}}$

Passaggio 1.1.3

La derivata seconda di $f (x)$ rispetto a $x$ è $- \frac{8}{{(x + 4)}^{3}}$ .

$- \frac{8}{{(x + 4)}^{3}}$

Passaggio 1.2

Imposta la derivata seconda pari a $0$ , quindi risolvi l'equazione $- \frac{8}{{(x + 4)}^{3}} = 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1

Imposta la derivata seconda uguale a $0$ .

$- \frac{8}{{(x + 4)}^{3}} = 0$

Passaggio 1.2.2

Poni il numeratore uguale a zero.

$8 = 0$

Passaggio 1.2.3

Poiché $8 \neq 0$ , non ci sono soluzioni.

Nessuna soluzione

Passaggio 2

Trova il dominio di $f (x) = \frac{x^{2} - x}{x^{2} + 3 x - 4}$ .

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Passaggio 2.1

Imposta il denominatore in $\frac{x^{2} - x}{x^{2} + 3 x - 4}$ in modo che sia uguale a $0$ per individuare dove l'espressione è indefinita.

$x^{2} + 3 x - 4 = 0$

Passaggio 2.2

Risolvi per $x$ .

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Passaggio 2.2.1

Scomponi $x^{2} + 3 x - 4$ usando il metodo AC.

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Passaggio 2.2.1.1

Considera la forma $x^{2} + b x + c$ . Trova una coppia di interi il cui prodotto è $c$ e la cui formula è $b$ . In questo caso, il cui prodotto è $- 4$ e la cui somma è $3$ .

$- 1, 4$

Passaggio 2.2.1.2

Scrivi la forma fattorizzata usando questi interi.

$(x - 1) (x + 4) = 0$

Passaggio 2.2.2

Se qualsiasi singolo fattore nel lato sinistro dell'equazione è uguale a $0$ , l'intera espressione sarà uguale a $0$ .

$x - 1 = 0$

$x + 4 = 0$

Passaggio 2.2.3

Imposta $x - 1$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.3.1

Imposta $x - 1$ uguale a $0$ .

$x - 1 = 0$

Passaggio 2.2.3.2

Somma $1$ a entrambi i lati dell'equazione.

$x = 1$

Passaggio 2.2.4

Imposta $x + 4$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

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Passaggio 2.2.4.1

Imposta $x + 4$ uguale a $0$ .

$x + 4 = 0$

Passaggio 2.2.4.2

Sottrai $4$ da entrambi i lati dell'equazione.

$x = - 4$

Passaggio 2.2.5

La soluzione finale è data da tutti i valori che rendono $(x - 1) (x + 4) = 0$ vera.

$x = 1, - 4$

Passaggio 2.3

Il dominio è formato da tutti i valori di $x$ che rendono definita l'espressione.

Notazione degli intervalli:

$(- \infty, - 4) \cup (- 4, 1) \cup (1, \infty)$

Notazione intensiva:

${x | x \neq 1, - 4}$

Notazione degli intervalli:

$(- \infty, - 4) \cup (- 4, 1) \cup (1, \infty)$

Notazione intensiva:

${x | x \neq 1, - 4}$

Passaggio 3

Crea intervalli attorno ai valori di $x$ per cui la derivata seconda è zero o indefinita.

$(- \infty, - 4) \cup (- 4, 1) \cup (1, \infty)$

Passaggio 4

Sostituisci qualsiasi numero dell'intervallo $(- \infty, - 4)$ nella derivata seconda e calcola per determinare la concavità.

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Passaggio 4.1

Sostituisci la variabile $x$ con $- 6$ nell'espressione.

$f'' (- 6) = - \frac{8}{{((- 6) + 4)}^{3}}$

Passaggio 4.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.1

Semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.1.1

Somma $- 6$ e $4$ .

$f'' (- 6) = - \frac{8}{{(- 2)}^{3}}$

Passaggio 4.2.1.2

Eleva $- 2$ alla potenza di $3$ .

$f'' (- 6) = - \frac{8}{- 8}$

Passaggio 4.2.2

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.2.1

Dividi $8$ per $- 8$ .

$f'' (- 6) = 1$

Passaggio 4.2.2.2

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$f'' (- 6) = 1$

Passaggio 4.2.3

La risposta finale è $1$ .

$1$

Passaggio 4.3

Il grafico è una funzione convessa sull'intervallo $(- \infty, - 4)$ perché $f'' (- 6)$ è positivo.

Funzione convessa su $(- \infty, - 4)$ poiché $f'' (x)$ è positivo

Passaggio 5

Sostituisci qualsiasi numero dell'intervallo $(- 4, 1)$ nella derivata seconda e calcola per determinare la concavità.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Sostituisci la variabile $x$ con $0$ nell'espressione.

$f'' (0) = - \frac{8}{{((0) + 4)}^{3}}$

Passaggio 5.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1

Semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1.1

Somma $0$ e $4$ .

$f'' (0) = - \frac{8}{4^{3}}$

Passaggio 5.2.1.2

Eleva $4$ alla potenza di $3$ .

$f'' (0) = - \frac{8}{64}$

Passaggio 5.2.2

Elimina il fattore comune di $8$ e $64$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.2.1

Scomponi $8$ da $8$ .

$f'' (0) = - \frac{8 (1)}{64}$

Passaggio 5.2.2.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.2.2.1

Scomponi $8$ da $64$ .

$f'' (0) = - \frac{8 \cdot 1}{8 \cdot 8}$

Passaggio 5.2.2.2.2

Elimina il fattore comune.

$f'' (0) = - \frac{8 \cdot 1}{8 \cdot 8}$

Passaggio 5.2.2.2.3

Riscrivi l'espressione.

$f'' (0) = - \frac{1}{8}$

Passaggio 5.2.3

La risposta finale è $- \frac{1}{8}$ .

$- \frac{1}{8}$

Passaggio 5.3

Il grafico è una funzione concava sull'intervallo $(- 4, 1)$ perché $f'' (0)$ è negativo.

Funzione concava su $(- 4, 1)$ poiché $f'' (x)$ è negativo

Passaggio 6

Sostituisci qualsiasi numero dell'intervallo $(1, \infty)$ nella derivata seconda e calcola per determinare la concavità.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Sostituisci la variabile $x$ con $4$ nell'espressione.

$f'' (4) = - \frac{8}{{((4) + 4)}^{3}}$

Passaggio 6.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.1

Semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.1.1

Somma $4$ e $4$ .

$f'' (4) = - \frac{8}{8^{3}}$

Passaggio 6.2.1.2

Eleva $8$ alla potenza di $3$ .

$f'' (4) = - \frac{8}{512}$

Passaggio 6.2.2

Elimina il fattore comune di $8$ e $512$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.2.1

Scomponi $8$ da $8$ .

$f'' (4) = - \frac{8 (1)}{512}$

Passaggio 6.2.2.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.2.2.1

Scomponi $8$ da $512$ .

$f'' (4) = - \frac{8 \cdot 1}{8 \cdot 64}$

Passaggio 6.2.2.2.2

Elimina il fattore comune.

$f'' (4) = - \frac{8 \cdot 1}{8 \cdot 64}$

Passaggio 6.2.2.2.3

Riscrivi l'espressione.

$f'' (4) = - \frac{1}{64}$

Passaggio 6.2.3

La risposta finale è $- \frac{1}{64}$ .

$- \frac{1}{64}$

Passaggio 6.3

Il grafico è una funzione concava sull'intervallo $(1, \infty)$ perché $f'' (4)$ è negativo.

Funzione concava su $(1, \infty)$ poiché $f'' (x)$ è negativo

Passaggio 7

Il grafico è una funzione concava quando la derivata seconda è negativa, mentre è una funzione convessa quando la derivata seconda è positiva.

Funzione convessa su $(- \infty, - 4)$ poiché $f'' (x)$ è positivo

Funzione concava su $(- 4, 1)$ poiché $f'' (x)$ è negativo

Funzione concava su $(1, \infty)$ poiché $f'' (x)$ è negativo

Passaggio 8