Calcolo Esempi

$f (x) = 3 x^{4} - 8 x^{3} + 6 x^{2} + 1$

Passaggio 1

Find the $x$ values where the second derivative is equal to $0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Trova la derivata seconda.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $3 x^{4} - 8 x^{3} + 6 x^{2} + 1$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [3 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 8 x^{3}] + \frac{d}{d x} [6 x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} (3 x^{4}) + \frac{d}{d x} (- 8 x^{3}) + \frac{d}{d x} (6 x^{2}) + \frac{d}{d x} (1)$

Passaggio 1.1.1.2

Calcola $\frac{d}{d x} [3 x^{4}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1.2.1

Poiché $3$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $3 x^{4}$ rispetto a $x$ è $3 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$f' (x) = 3 \frac{d}{d x} (x^{4}) + \frac{d}{d x} (- 8 x^{3}) + \frac{d}{d x} (6 x^{2}) + \frac{d}{d x} (1)$

Passaggio 1.1.1.2.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 4$ .

$f' (x) = 3 (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 8 x^{3}) + \frac{d}{d x} (6 x^{2}) + \frac{d}{d x} (1)$

Passaggio 1.1.1.2.3

Moltiplica $4$ per $3$ .

$f' (x) = 12 x^{3} + \frac{d}{d x} (- 8 x^{3}) + \frac{d}{d x} (6 x^{2}) + \frac{d}{d x} (1)$

Passaggio 1.1.1.3

Calcola $\frac{d}{d x} [- 8 x^{3}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1.3.1

Poiché $- 8$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 8 x^{3}$ rispetto a $x$ è $- 8 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$f' (x) = 12 x^{3} - 8 \frac{d}{d x} x^{3} + \frac{d}{d x} (6 x^{2}) + \frac{d}{d x} (1)$

Passaggio 1.1.1.3.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 3$ .

$f' (x) = 12 x^{3} - 8 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (6 x^{2}) + \frac{d}{d x} (1)$

Passaggio 1.1.1.3.3

Moltiplica $3$ per $- 8$ .

$f' (x) = 12 x^{3} - 24 x^{2} + \frac{d}{d x} (6 x^{2}) + \frac{d}{d x} (1)$

Passaggio 1.1.1.4

Calcola $\frac{d}{d x} [6 x^{2}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1.4.1

Poiché $6$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $6 x^{2}$ rispetto a $x$ è $6 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f' (x) = 12 x^{3} - 24 x^{2} + 6 \frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (1)$

Passaggio 1.1.1.4.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$f' (x) = 12 x^{3} - 24 x^{2} + 6 (2 x) + \frac{d}{d x} (1)$

Passaggio 1.1.1.4.3

Moltiplica $2$ per $6$ .

$f' (x) = 12 x^{3} - 24 x^{2} + 12 x + \frac{d}{d x} (1)$

Passaggio 1.1.1.5

Differenzia usando la regola della costante.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1.5.1

Poiché $1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$f' (x) = 12 x^{3} - 24 x^{2} + 12 x + 0$

Passaggio 1.1.1.5.2

Somma $12 x^{3} - 24 x^{2} + 12 x$ e $0$ .

$f' (x) = 12 x^{3} - 24 x^{2} + 12 x$

Passaggio 1.1.2

Trova la derivata seconda.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $12 x^{3} - 24 x^{2} + 12 x$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [12 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 24 x^{2}] + \frac{d}{d x} [12 x]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (12 x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 24 x^{2}) + \frac{d}{d x} (12 x)$

Passaggio 1.1.2.2

Calcola $\frac{d}{d x} [12 x^{3}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.2.1

Poiché $12$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $12 x^{3}$ rispetto a $x$ è $12 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$f'' (x) = 12 \frac{d}{d x} (x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 24 x^{2}) + \frac{d}{d x} (12 x)$

Passaggio 1.1.2.2.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 3$ .

$f'' (x) = 12 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 24 x^{2}) + \frac{d}{d x} (12 x)$

Passaggio 1.1.2.2.3

Moltiplica $3$ per $12$ .

$f'' (x) = 36 x^{2} + \frac{d}{d x} (- 24 x^{2}) + \frac{d}{d x} (12 x)$

Passaggio 1.1.2.3

Calcola $\frac{d}{d x} [- 24 x^{2}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.3.1

Poiché $- 24$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 24 x^{2}$ rispetto a $x$ è $- 24 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f'' (x) = 36 x^{2} - 24 \frac{d}{d x} x^{2} + \frac{d}{d x} (12 x)$

Passaggio 1.1.2.3.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$f'' (x) = 36 x^{2} - 24 (2 x) + \frac{d}{d x} (12 x)$

Passaggio 1.1.2.3.3

Moltiplica $2$ per $- 24$ .

$f'' (x) = 36 x^{2} - 48 x + \frac{d}{d x} (12 x)$

Passaggio 1.1.2.4

Calcola $\frac{d}{d x} [12 x]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.4.1

Poiché $12$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $12 x$ rispetto a $x$ è $12 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = 36 x^{2} - 48 x + 12 \frac{d}{d x} (x)$

Passaggio 1.1.2.4.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$f'' (x) = 36 x^{2} - 48 x + 12 \cdot 1$

Passaggio 1.1.2.4.3

Moltiplica $12$ per $1$ .

$f'' (x) = 36 x^{2} - 48 x + 12$

Passaggio 1.1.3

La derivata seconda di $f (x)$ rispetto a $x$ è $36 x^{2} - 48 x + 12$ .

$36 x^{2} - 48 x + 12$

Passaggio 1.2

Imposta la derivata seconda pari a $0$ , quindi risolvi l'equazione $36 x^{2} - 48 x + 12 = 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1

Imposta la derivata seconda uguale a $0$ .

$36 x^{2} - 48 x + 12 = 0$

Passaggio 1.2.2

Scomponi il primo membro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.2.1

Scomponi $12$ da $36 x^{2} - 48 x + 12$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.2.1.1

Scomponi $12$ da $36 x^{2}$ .

$12 (3 x^{2}) - 48 x + 12 = 0$

Passaggio 1.2.2.1.2

Scomponi $12$ da $- 48 x$ .

$12 (3 x^{2}) + 12 (- 4 x) + 12 = 0$

Passaggio 1.2.2.1.3

Scomponi $12$ da $12$ .

$12 (3 x^{2}) + 12 (- 4 x) + 12 (1) = 0$

Passaggio 1.2.2.1.4

Scomponi $12$ da $12 (3 x^{2}) + 12 (- 4 x)$ .

$12 (3 x^{2} - 4 x) + 12 (1) = 0$

Passaggio 1.2.2.1.5

Scomponi $12$ da $12 (3 x^{2} - 4 x) + 12 (1)$ .

$12 (3 x^{2} - 4 x + 1) = 0$

Passaggio 1.2.2.2

Scomponi.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.2.2.1

Scomponi mediante raccoglimento.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.2.2.1.1

Per un polinomio della forma $a x^{2} + b x + c$ , riscrivi il termine centrale come somma di due termini il cui prodotto è $a \cdot c = 3 \cdot 1 = 3$ e la cui somma è $b = - 4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.2.2.1.1.1

Scomponi $- 4$ da $- 4 x$ .

$12 (3 x^{2} - 4 x + 1) = 0$

Passaggio 1.2.2.2.1.1.2

Riscrivi $- 4$ come $- 1$ più $- 3$ .

$12 (3 x^{2} + (- 1 - 3) x + 1) = 0$

Passaggio 1.2.2.2.1.1.3

Applica la proprietà distributiva.

$12 (3 x^{2} - 1 x - 3 x + 1) = 0$

Passaggio 1.2.2.2.1.2

Metti in evidenza il massimo comune divisore da ciascun gruppo.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.2.2.1.2.1

Raggruppa i primi due termini e gli ultimi due termini.

$12 ((3 x^{2} - 1 x) - 3 x + 1) = 0$

Passaggio 1.2.2.2.1.2.2

Metti in evidenza il massimo comune divisore (M.C.D.) da ciascun gruppo.

$12 (x (3 x - 1) - (3 x - 1)) = 0$

Passaggio 1.2.2.2.1.3

Scomponi il polinomio mettendo in evidenza il massimo comune divisore, $3 x - 1$ .

$12 ((3 x - 1) (x - 1)) = 0$

Passaggio 1.2.2.2.2

Rimuovi le parentesi non necessarie.

$12 (3 x - 1) (x - 1) = 0$

Passaggio 1.2.3

Se qualsiasi singolo fattore nel lato sinistro dell'equazione è uguale a $0$ , l'intera espressione sarà uguale a $0$ .

$3 x - 1 = 0$

$x - 1 = 0$

Passaggio 1.2.4

Imposta $3 x - 1$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.4.1

Imposta $3 x - 1$ uguale a $0$ .

$3 x - 1 = 0$

Passaggio 1.2.4.2

Risolvi $3 x - 1 = 0$ per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.4.2.1

Somma $1$ a entrambi i lati dell'equazione.

$3 x = 1$

Passaggio 1.2.4.2.2

Dividi per $3$ ciascun termine in $3 x = 1$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.4.2.2.1

Dividi per $3$ ciascun termine in $3 x = 1$ .

$\frac{3 x}{3} = \frac{1}{3}$

Passaggio 1.2.4.2.2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.4.2.2.2.1

Elimina il fattore comune di $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.4.2.2.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{3 x}{3} = \frac{1}{3}$

Passaggio 1.2.4.2.2.2.1.2

Dividi $x$ per $1$ .

$x = \frac{1}{3}$

Passaggio 1.2.5

Imposta $x - 1$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.5.1

Imposta $x - 1$ uguale a $0$ .

$x - 1 = 0$

Passaggio 1.2.5.2

Somma $1$ a entrambi i lati dell'equazione.

$x = 1$

Passaggio 1.2.6

La soluzione finale è data da tutti i valori che rendono $12 (3 x - 1) (x - 1) = 0$ vera.

$x = \frac{1}{3}, 1$

Passaggio 2

Il dominio dell'espressione sono tutti i numeri reali tranne nei casi in cui l'espressione sia indefinita. In questo caso, non c'è alcun numero reale che rende l'espressione indefinita.

Notazione degli intervalli:

$(- \infty, \infty)$

Notazione intensiva:

${x | x \in ℝ}$

Passaggio 3

Crea intervalli attorno ai valori di $x$ per cui la derivata seconda è zero o indefinita.

$(- \infty, \frac{1}{3}) \cup (\frac{1}{3}, 1) \cup (1, \infty)$

Passaggio 4

Sostituisci qualsiasi numero dell'intervallo $(- \infty, \frac{1}{3})$ nella derivata seconda e calcola per determinare la concavità.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Sostituisci la variabile $x$ con $0$ nell'espressione.

$f'' (0) = 36 {(0)}^{2} - 48 \cdot 0 + 12$

Passaggio 4.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.1.1

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$f'' (0) = 36 \cdot 0 - 48 \cdot 0 + 12$

Passaggio 4.2.1.2

Moltiplica $36$ per $0$ .

$f'' (0) = 0 - 48 \cdot 0 + 12$

Passaggio 4.2.1.3

Moltiplica $- 48$ per $0$ .

$f'' (0) = 0 + 0 + 12$

Passaggio 4.2.2

Semplifica aggiungendo i numeri.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.2.1

Somma $0$ e $0$ .

$f'' (0) = 0 + 12$

Passaggio 4.2.2.2

Somma $0$ e $12$ .

$f'' (0) = 12$

Passaggio 4.2.3

La risposta finale è $12$ .

$12$

Passaggio 4.3

Il grafico è una funzione convessa sull'intervallo $(- \infty, \frac{1}{3})$ perché $f'' (0)$ è positivo.

Funzione convessa su $(- \infty, \frac{1}{3})$ poiché $f'' (x)$ è positivo

Passaggio 5

Sostituisci qualsiasi numero dell'intervallo $(\frac{1}{3}, 1)$ nella derivata seconda e calcola per determinare la concavità.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Sostituisci la variabile $x$ con $0.67$ nell'espressione.

$f'' (0.67) = 36 {(0.67)}^{2} - 48 \cdot 0.67 + 12$

Passaggio 5.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1.1

Eleva $0.67$ alla potenza di $2$ .

$f'' (0.67) = 36 \cdot 0.4489 - 48 \cdot 0.67 + 12$

Passaggio 5.2.1.2

Moltiplica $36$ per $0.4489$ .

$f'' (0.67) = 16.1604 - 48 \cdot 0.67 + 12$

Passaggio 5.2.1.3

Moltiplica $- 48$ per $0.67$ .

$f'' (0.67) = 16.1604 - 32.16 + 12$

Passaggio 5.2.2

Semplifica aggiungendo e sottraendo.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.2.1

Sottrai $32.16$ da $16.1604$ .

$f'' (0.67) = - 15.9996 + 12$

Passaggio 5.2.2.2

Somma $- 15.9996$ e $12$ .

$f'' (0.67) = - 3.9996$

Passaggio 5.2.3

La risposta finale è $- 3.9996$ .

$- 3.9996$

Passaggio 5.3

Il grafico è una funzione concava sull'intervallo $(\frac{1}{3}, 1)$ perché $f'' (0.67)$ è negativo.

Funzione concava su $(\frac{1}{3}, 1)$ poiché $f'' (x)$ è negativo

Passaggio 6

Sostituisci qualsiasi numero dell'intervallo $(1, \infty)$ nella derivata seconda e calcola per determinare la concavità.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Sostituisci la variabile $x$ con $4$ nell'espressione.

$f'' (4) = 36 {(4)}^{2} - 48 \cdot 4 + 12$

Passaggio 6.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.1.1

Eleva $4$ alla potenza di $2$ .

$f'' (4) = 36 \cdot 16 - 48 \cdot 4 + 12$

Passaggio 6.2.1.2

Moltiplica $36$ per $16$ .

$f'' (4) = 576 - 48 \cdot 4 + 12$

Passaggio 6.2.1.3

Moltiplica $- 48$ per $4$ .

$f'' (4) = 576 - 192 + 12$

Passaggio 6.2.2

Semplifica aggiungendo e sottraendo.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.2.1

Sottrai $192$ da $576$ .

$f'' (4) = 384 + 12$

Passaggio 6.2.2.2

Somma $384$ e $12$ .

$f'' (4) = 396$

Passaggio 6.2.3

La risposta finale è $396$ .

$396$

Passaggio 6.3

Il grafico è una funzione convessa sull'intervallo $(1, \infty)$ perché $f'' (4)$ è positivo.

Funzione convessa su $(1, \infty)$ poiché $f'' (x)$ è positivo

Passaggio 7

Il grafico è una funzione concava quando la derivata seconda è negativa, mentre è una funzione convessa quando la derivata seconda è positiva.

Funzione convessa su $(- \infty, \frac{1}{3})$ poiché $f'' (x)$ è positivo

Funzione concava su $(\frac{1}{3}, 1)$ poiché $f'' (x)$ è negativo

Funzione convessa su $(1, \infty)$ poiché $f'' (x)$ è positivo

Passaggio 8