Calcolo Esempi

$f (x) = \frac{x + 1}{x - 1}$

Passaggio 1

Find the $x$ values where the second derivative is equal to $0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Trova la derivata seconda.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1.1

Differenzia usando la regola del quoziente, che indica che $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ è $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ dove $f (x) = x + 1$ e $g (x) = x - 1$ .

$f' (x) = \frac{(x - 1) \frac{d}{d x} (x + 1) - (x + 1) \frac{d}{d x} (x - 1)}{{(x - 1)}^{2}}$

Passaggio 1.1.1.2

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1.2.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $x + 1$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$f' (x) = \frac{(x - 1) (\frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (1)) - (x + 1) \frac{d}{d x} (x - 1)}{{(x - 1)}^{2}}$

Passaggio 1.1.1.2.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$f' (x) = \frac{(x - 1) (1 + \frac{d}{d x} (1)) - (x + 1) \frac{d}{d x} (x - 1)}{{(x - 1)}^{2}}$

Passaggio 1.1.1.2.3

Poiché $1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$f' (x) = \frac{(x - 1) (1 + 0) - (x + 1) \frac{d}{d x} (x - 1)}{{(x - 1)}^{2}}$

Passaggio 1.1.1.2.4

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1.2.4.1

Somma $1$ e $0$ .

$f' (x) = \frac{(x - 1) \cdot 1 - (x + 1) \frac{d}{d x} (x - 1)}{{(x - 1)}^{2}}$

Passaggio 1.1.1.2.4.2

Moltiplica $x - 1$ per $1$ .

$f' (x) = \frac{x - 1 - (x + 1) \frac{d}{d x} (x - 1)}{{(x - 1)}^{2}}$

Passaggio 1.1.1.2.5

Secondo la regola della somma, la derivata di $x - 1$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$f' (x) = \frac{x - 1 - (x + 1) (\frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- 1))}{{(x - 1)}^{2}}$

Passaggio 1.1.1.2.6

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$f' (x) = \frac{x - 1 - (x + 1) (1 + \frac{d}{d x} (- 1))}{{(x - 1)}^{2}}$

Passaggio 1.1.1.2.7

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$f' (x) = \frac{x - 1 - (x + 1) (1 + 0)}{{(x - 1)}^{2}}$

Passaggio 1.1.1.2.8

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1.2.8.1

Somma $1$ e $0$ .

$f' (x) = \frac{x - 1 - (x + 1) \cdot 1}{{(x - 1)}^{2}}$

Passaggio 1.1.1.2.8.2

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$f' (x) = \frac{x - 1 - (x + 1)}{{(x - 1)}^{2}}$

Passaggio 1.1.1.3

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1.3.1

Applica la proprietà distributiva.

$f' (x) = \frac{x - 1 - x - 1 \cdot 1}{{(x - 1)}^{2}}$

Passaggio 1.1.1.3.2

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1.3.2.1

Combina i termini opposti in $x - 1 - x - 1 \cdot 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1.3.2.1.1

Sottrai $x$ da $x$ .

$f' (x) = \frac{0 - 1 - 1 \cdot 1}{{(x - 1)}^{2}}$

Passaggio 1.1.1.3.2.1.2

Sottrai $1$ da $0$ .

$f' (x) = \frac{- 1 - 1 \cdot 1}{{(x - 1)}^{2}}$

Passaggio 1.1.1.3.2.2

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$f' (x) = \frac{- 1 - 1}{{(x - 1)}^{2}}$

Passaggio 1.1.1.3.2.3

Sottrai $1$ da $- 1$ .

$f' (x) = \frac{- 2}{{(x - 1)}^{2}}$

Passaggio 1.1.1.3.3

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$f' (x) = - \frac{2}{{(x - 1)}^{2}}$

Passaggio 1.1.2

Trova la derivata seconda.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.1

Differenzia usando la regola multipla costante.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.1.1

Poiché $- 2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- \frac{2}{{(x - 1)}^{2}}$ rispetto a $x$ è $- 2 \frac{d}{d x} [\frac{1}{{(x - 1)}^{2}}]$ .

$f'' (x) = - 2 \frac{d}{d x} \frac{1}{{(x - 1)}^{2}}$

Passaggio 1.1.2.1.2

Applica le regole di base degli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.1.2.1

Riscrivi $\frac{1}{{(x - 1)}^{2}}$ come ${({(x - 1)}^{2})}^{- 1}$ .

$f'' (x) = - 2 \frac{d}{d x} {({(x - 1)}^{2})}^{- 1}$

Passaggio 1.1.2.1.2.2

Moltiplica gli esponenti in ${({(x - 1)}^{2})}^{- 1}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.1.2.2.1

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f'' (x) = - 2 \frac{d}{d x} {(x - 1)}^{2 \cdot - 1}$

Passaggio 1.1.2.1.2.2.2

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$f'' (x) = - 2 \frac{d}{d x} {(x - 1)}^{- 2}$

Passaggio 1.1.2.2

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{- 2}$ e $g (x) = x - 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.2.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $x - 1$ .

$f'' (x) = - 2 (\frac{d}{d u} (u^{- 2}) \frac{d}{d x} (x - 1))$

Passaggio 1.1.2.2.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ è $n u^{n - 1}$ dove $n = - 2$ .

$f'' (x) = - 2 (- 2 u^{- 3} \frac{d}{d x} (x - 1))$

Passaggio 1.1.2.2.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $x - 1$ .

$f'' (x) = - 2 (- 2 {(x - 1)}^{- 3} \frac{d}{d x} (x - 1))$

Passaggio 1.1.2.3

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.3.1

Moltiplica $- 2$ per $- 2$ .

$f'' (x) = 4 ({(x - 1)}^{- 3} \frac{d}{d x} (x - 1))$

Passaggio 1.1.2.3.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $x - 1$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$f'' (x) = 4 {(x - 1)}^{- 3} (\frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- 1))$

Passaggio 1.1.2.3.3

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$f'' (x) = 4 {(x - 1)}^{- 3} (1 + \frac{d}{d x} (- 1))$

Passaggio 1.1.2.3.4

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$f'' (x) = 4 {(x - 1)}^{- 3} (1 + 0)$

Passaggio 1.1.2.3.5

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.3.5.1

Somma $1$ e $0$ .

$f'' (x) = 4 {(x - 1)}^{- 3} \cdot 1$

Passaggio 1.1.2.3.5.2

Moltiplica $4$ per $1$ .

$f'' (x) = 4 {(x - 1)}^{- 3}$

Passaggio 1.1.2.4

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.4.1

Riscrivi l'espressione usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (x) = 4 (\frac{1}{{(x - 1)}^{3}})$

Passaggio 1.1.2.4.2

$4$ e $\frac{1}{{(x - 1)}^{3}}$ .

$f'' (x) = \frac{4}{{(x - 1)}^{3}}$

Passaggio 1.1.3

La derivata seconda di $f (x)$ rispetto a $x$ è $\frac{4}{{(x - 1)}^{3}}$ .

$\frac{4}{{(x - 1)}^{3}}$

Passaggio 1.2

Imposta la derivata seconda pari a $0$ , quindi risolvi l'equazione $\frac{4}{{(x - 1)}^{3}} = 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1

Imposta la derivata seconda uguale a $0$ .

$\frac{4}{{(x - 1)}^{3}} = 0$

Passaggio 1.2.2

Poni il numeratore uguale a zero.

$4 = 0$

Passaggio 1.2.3

Poiché $4 \neq 0$ , non ci sono soluzioni.

Nessuna soluzione

Passaggio 2

Trova il dominio di $f (x) = \frac{x + 1}{x - 1}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Imposta il denominatore in $\frac{x + 1}{x - 1}$ in modo che sia uguale a $0$ per individuare dove l'espressione è indefinita.

$x - 1 = 0$

Passaggio 2.2

Somma $1$ a entrambi i lati dell'equazione.

$x = 1$

Passaggio 2.3

Il dominio è formato da tutti i valori di $x$ che rendono definita l'espressione.

Notazione degli intervalli:

$(- \infty, 1) \cup (1, \infty)$

Notazione intensiva:

${x | x \neq 1}$

Notazione degli intervalli:

$(- \infty, 1) \cup (1, \infty)$

Notazione intensiva:

${x | x \neq 1}$

Passaggio 3

Crea intervalli attorno ai valori di $x$ per cui la derivata seconda è zero o indefinita.

$(- \infty, 1) \cup (1, \infty)$

Passaggio 4

Sostituisci qualsiasi numero dell'intervallo $(- \infty, 1)$ nella derivata seconda e calcola per determinare la concavità.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Sostituisci la variabile $x$ con $0$ nell'espressione.

$f'' (0) = \frac{4}{{((0) - 1)}^{3}}$

Passaggio 4.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.1

Semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.1.1

Sottrai $1$ da $0$ .

$f'' (0) = \frac{4}{{(- 1)}^{3}}$

Passaggio 4.2.1.2

Eleva $- 1$ alla potenza di $3$ .

$f'' (0) = \frac{4}{- 1}$

Passaggio 4.2.2

Dividi $4$ per $- 1$ .

$f'' (0) = - 4$

Passaggio 4.2.3

La risposta finale è $- 4$ .

$- 4$

Passaggio 4.3

Il grafico è una funzione concava sull'intervallo $(- \infty, 1)$ perché $f'' (0)$ è negativo.

Funzione concava su $(- \infty, 1)$ poiché $f'' (x)$ è negativo

Passaggio 5

Sostituisci qualsiasi numero dell'intervallo $(1, \infty)$ nella derivata seconda e calcola per determinare la concavità.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Sostituisci la variabile $x$ con $4$ nell'espressione.

$f'' (4) = \frac{4}{{((4) - 1)}^{3}}$

Passaggio 5.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1

Semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1.1

Sottrai $1$ da $4$ .

$f'' (4) = \frac{4}{3^{3}}$

Passaggio 5.2.1.2

Eleva $3$ alla potenza di $3$ .

$f'' (4) = \frac{4}{27}$

Passaggio 5.2.2

La risposta finale è $\frac{4}{27}$ .

$\frac{4}{27}$

Passaggio 5.3

Il grafico è una funzione convessa sull'intervallo $(1, \infty)$ perché $f'' (4)$ è positivo.

Funzione convessa su $(1, \infty)$ poiché $f'' (x)$ è positivo

Passaggio 6

Il grafico è una funzione concava quando la derivata seconda è negativa, mentre è una funzione convessa quando la derivata seconda è positiva.

Funzione concava su $(- \infty, 1)$ poiché $f'' (x)$ è negativo

Funzione convessa su $(1, \infty)$ poiché $f'' (x)$ è positivo

Passaggio 7