Calcolo Esempi

$f (x) = 10 x^{2} - 10 \sin (2 x)$

Passaggio 1

Find the $x$ values where the second derivative is equal to $0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Trova la derivata seconda.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $10 x^{2} - 10 \sin (2 x)$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [10 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 10 \sin (2 x)]$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} (10 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 10 \sin (2 x))$

Passaggio 1.1.1.2

Calcola $\frac{d}{d x} [10 x^{2}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1.2.1

Poiché $10$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $10 x^{2}$ rispetto a $x$ è $10 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f' (x) = 10 \frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 10 \sin (2 x))$

Passaggio 1.1.1.2.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$f' (x) = 10 (2 x) + \frac{d}{d x} (- 10 \sin (2 x))$

Passaggio 1.1.1.2.3

Moltiplica $2$ per $10$ .

$f' (x) = 20 x + \frac{d}{d x} (- 10 \sin (2 x))$

Passaggio 1.1.1.3

Calcola $\frac{d}{d x} [- 10 \sin (2 x)]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1.3.1

Poiché $- 10$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 10 \sin (2 x)$ rispetto a $x$ è $- 10 \frac{d}{d x} [\sin (2 x)]$ .

$f' (x) = 20 x - 10 \frac{d}{d x} \sin (2 x)$

Passaggio 1.1.1.3.2

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = \sin (x)$ e $g (x) = 2 x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1.3.2.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $2 x$ .

$f' (x) = 20 x - 10 (\frac{d}{d u} (\sin (u)) \frac{d}{d x} (2 x))$

Passaggio 1.1.1.3.2.2

La derivata di $\sin (u)$ rispetto a $u$ è $\cos (u)$ .

$f' (x) = 20 x - 10 (\cos (u) \frac{d}{d x} (2 x))$

Passaggio 1.1.1.3.2.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $2 x$ .

$f' (x) = 20 x - 10 (\cos (2 x) \frac{d}{d x} (2 x))$

Passaggio 1.1.1.3.3

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $2 x$ rispetto a $x$ è $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f' (x) = 20 x - 10 (\cos (2 x) (2 \frac{d}{d x} (x)))$

Passaggio 1.1.1.3.4

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$f' (x) = 20 x - 10 (\cos (2 x) (2 \cdot 1))$

Passaggio 1.1.1.3.5

Moltiplica $2$ per $1$ .

$f' (x) = 20 x - 10 (\cos (2 x) \cdot 2)$

Passaggio 1.1.1.3.6

Sposta $2$ alla sinistra di $\cos (2 x)$ .

$f' (x) = 20 x - 10 (2 \cdot \cos (2 x))$

Passaggio 1.1.1.3.7

Moltiplica $2$ per $- 10$ .

$f' (x) = 20 x - 20 \cos (2 x)$

Passaggio 1.1.2

Trova la derivata seconda.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $20 x - 20 \cos (2 x)$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [20 x] + \frac{d}{d x} [- 20 \cos (2 x)]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (20 x) + \frac{d}{d x} (- 20 \cos (2 x))$

Passaggio 1.1.2.2

Calcola $\frac{d}{d x} [20 x]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.2.1

Poiché $20$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $20 x$ rispetto a $x$ è $20 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = 20 \frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- 20 \cos (2 x))$

Passaggio 1.1.2.2.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$f'' (x) = 20 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (- 20 \cos (2 x))$

Passaggio 1.1.2.2.3

Moltiplica $20$ per $1$ .

$f'' (x) = 20 + \frac{d}{d x} (- 20 \cos (2 x))$

Passaggio 1.1.2.3

Calcola $\frac{d}{d x} [- 20 \cos (2 x)]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.3.1

Poiché $- 20$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 20 \cos (2 x)$ rispetto a $x$ è $- 20 \frac{d}{d x} [\cos (2 x)]$ .

$f'' (x) = 20 - 20 \frac{d}{d x} \cos (2 x)$

Passaggio 1.1.2.3.2

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = \cos (x)$ e $g (x) = 2 x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.3.2.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $2 x$ .

$f'' (x) = 20 - 20 (\frac{d}{d u} (\cos (u)) \frac{d}{d x} (2 x))$

Passaggio 1.1.2.3.2.2

La derivata di $\cos (u)$ rispetto a $u$ è $- \sin (u)$ .

$f'' (x) = 20 - 20 (- \sin (u) \frac{d}{d x} (2 x))$

Passaggio 1.1.2.3.2.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $2 x$ .

$f'' (x) = 20 - 20 (- \sin (2 x) \frac{d}{d x} (2 x))$

Passaggio 1.1.2.3.3

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $2 x$ rispetto a $x$ è $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = 20 - 20 (- \sin (2 x) (2 \frac{d}{d x} (x)))$

Passaggio 1.1.2.3.4

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$f'' (x) = 20 - 20 (- \sin (2 x) (2 \cdot 1))$

Passaggio 1.1.2.3.5

Moltiplica $2$ per $1$ .

$f'' (x) = 20 - 20 (- \sin (2 x) \cdot 2)$

Passaggio 1.1.2.3.6

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$f'' (x) = 20 - 20 (- 2 \sin (2 x))$

Passaggio 1.1.2.3.7

Moltiplica $- 2$ per $- 20$ .

$f'' (x) = 20 + 40 \sin (2 x)$

Passaggio 1.1.3

La derivata seconda di $f (x)$ rispetto a $x$ è $20 + 40 \sin (2 x)$ .

$20 + 40 \sin (2 x)$

Passaggio 1.2

Imposta la derivata seconda pari a $0$ , quindi risolvi l'equazione $20 + 40 \sin (2 x) = 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1

Imposta la derivata seconda uguale a $0$ .

$20 + 40 \sin (2 x) = 0$

Passaggio 1.2.2

Sottrai $20$ da entrambi i lati dell'equazione.

$40 \sin (2 x) = - 20$

Passaggio 1.2.3

Dividi per $40$ ciascun termine in $40 \sin (2 x) = - 20$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.3.1

Dividi per $40$ ciascun termine in $40 \sin (2 x) = - 20$ .

$\frac{40 \sin (2 x)}{40} = \frac{- 20}{40}$

Passaggio 1.2.3.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.3.2.1

Elimina il fattore comune di $40$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.3.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{40 \sin (2 x)}{40} = \frac{- 20}{40}$

Passaggio 1.2.3.2.1.2

Dividi $\sin (2 x)$ per $1$ .

$\sin (2 x) = \frac{- 20}{40}$

Passaggio 1.2.3.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.3.3.1

Elimina il fattore comune di $- 20$ e $40$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.3.3.1.1

Scomponi $20$ da $- 20$ .

$\sin (2 x) = \frac{20 (- 1)}{40}$

Passaggio 1.2.3.3.1.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.3.3.1.2.1

Scomponi $20$ da $40$ .

$\sin (2 x) = \frac{20 \cdot - 1}{20 \cdot 2}$

Passaggio 1.2.3.3.1.2.2

Elimina il fattore comune.

$\sin (2 x) = \frac{20 \cdot - 1}{20 \cdot 2}$

Passaggio 1.2.3.3.1.2.3

Riscrivi l'espressione.

$\sin (2 x) = \frac{- 1}{2}$

Passaggio 1.2.3.3.2

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$\sin (2 x) = - \frac{1}{2}$

Passaggio 1.2.4

Trova il valore dell'incognita $x$ corrispondente all'inverso del seno presente nell'equazione assegnata.

$2 x = \arcsin (- \frac{1}{2})$

Passaggio 1.2.5

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.5.1

Il valore esatto di $\arcsin (- \frac{1}{2})$ è $- \frac{π}{6}$ .

$2 x = - \frac{π}{6}$

Passaggio 1.2.6

Dividi per $2$ ciascun termine in $2 x = - \frac{π}{6}$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.6.1

Dividi per $2$ ciascun termine in $2 x = - \frac{π}{6}$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{- \frac{π}{6}}{2}$

Passaggio 1.2.6.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.6.2.1

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.6.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{2 x}{2} = \frac{- \frac{π}{6}}{2}$

Passaggio 1.2.6.2.1.2

Dividi $x$ per $1$ .

$x = \frac{- \frac{π}{6}}{2}$

Passaggio 1.2.6.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.6.3.1

Moltiplica il numeratore per il reciproco del denominatore.

$x = - \frac{π}{6} \cdot \frac{1}{2}$

Passaggio 1.2.6.3.2

Moltiplica $- \frac{π}{6} \cdot \frac{1}{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.6.3.2.1

Moltiplica $\frac{1}{2}$ per $\frac{π}{6}$ .

$x = - \frac{π}{2 \cdot 6}$

Passaggio 1.2.6.3.2.2

Moltiplica $2$ per $6$ .

$x = - \frac{π}{12}$

Passaggio 1.2.7

La funzione del seno è positiva nel terzo e nel quarto quadrante. Per trovare la seconda soluzione, sottrai la soluzione da $2 π$ per trovare un angolo di riferimento. Poi, somma l'angolo di riferimento a $π$ per trovare la soluzione nel terzo quadrante.

$2 x = 2 π + \frac{π}{6} + π$

Passaggio 1.2.8

Semplifica l'espressione per trovare la seconda soluzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.8.1

Sottrai $2 π$ da $2 π + \frac{π}{6} + π$ .

$2 x = 2 π + \frac{π}{6} + π - 2 π$

Passaggio 1.2.8.2

L'angolo risultante di $\frac{7 π}{6}$ è positivo, minore di $2 π$ e coterminale con $2 π + \frac{π}{6} + π$ .

$2 x = \frac{7 π}{6}$

Passaggio 1.2.8.3

Dividi per $2$ ciascun termine in $2 x = \frac{7 π}{6}$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.8.3.1

Dividi per $2$ ciascun termine in $2 x = \frac{7 π}{6}$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{\frac{7 π}{6}}{2}$

Passaggio 1.2.8.3.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.8.3.2.1

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.8.3.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{2 x}{2} = \frac{\frac{7 π}{6}}{2}$

Passaggio 1.2.8.3.2.1.2

Dividi $x$ per $1$ .

$x = \frac{\frac{7 π}{6}}{2}$

Passaggio 1.2.8.3.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.8.3.3.1

Moltiplica il numeratore per il reciproco del denominatore.

$x = \frac{7 π}{6} \cdot \frac{1}{2}$

Passaggio 1.2.8.3.3.2

Moltiplica $\frac{7 π}{6} \cdot \frac{1}{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.8.3.3.2.1

Moltiplica $\frac{7 π}{6}$ per $\frac{1}{2}$ .

$x = \frac{7 π}{6 \cdot 2}$

Passaggio 1.2.8.3.3.2.2

Moltiplica $6$ per $2$ .

$x = \frac{7 π}{12}$

Passaggio 1.2.9

Trova il periodo di $\sin (2 x)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.9.1

Si può calcolare il periodo della funzione usando $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Passaggio 1.2.9.2

Sostituisci $b$ con $2$ nella formula per il periodo.

$\frac{2 π}{| 2 |}$

Passaggio 1.2.9.3

Il valore assoluto è la distanza tra un numero e zero. La distanza tra $0$ e $2$ è $2$ .

$\frac{2 π}{2}$

Passaggio 1.2.9.4

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.9.4.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{2 π}{2}$

Passaggio 1.2.9.4.2

Dividi $π$ per $1$ .

$π$

Passaggio 1.2.10

Somma $π$ a ogni angolo negativo per ottenere gli angoli positivi.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.10.1

Somma $π$ a $- \frac{π}{12}$ per trovare l'angolo positivo.

$- \frac{π}{12} + π$

Passaggio 1.2.10.2

Per scrivere $π$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{12}{12}$ .

$π \cdot \frac{12}{12} - \frac{π}{12}$

Passaggio 1.2.10.3

Riduci le frazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.10.3.1

$π$ e $\frac{12}{12}$ .

$\frac{π \cdot 12}{12} - \frac{π}{12}$

Passaggio 1.2.10.3.2

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{π \cdot 12 - π}{12}$

Passaggio 1.2.10.4

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.10.4.1

Sposta $12$ alla sinistra di $π$ .

$\frac{12 \cdot π - π}{12}$

Passaggio 1.2.10.4.2

Sottrai $π$ da $12 π$ .

$\frac{11 π}{12}$

Passaggio 1.2.10.5

Fai un elenco dei nuovi angoli.

$x = \frac{11 π}{12}$

Passaggio 1.2.11

Il periodo della funzione $\sin (2 x)$ è $π$ , quindi i valori si ripetono ogni $π$ radianti in entrambe le direzioni.

$x = \frac{7 π}{12} + π n, \frac{11 π}{12} + π n$ , per qualsiasi intero $n$

Passaggio 2

Il dominio dell'espressione sono tutti i numeri reali tranne nei casi in cui l'espressione sia indefinita. In questo caso, non c'è alcun numero reale che rende l'espressione indefinita.

Notazione degli intervalli:

$(- \infty, \infty)$

Notazione intensiva:

${x | x \in ℝ}$

Passaggio 3

Crea intervalli attorno ai valori di $x$ per cui la derivata seconda è zero o indefinita.

$(- \infty, \infty)$

Passaggio 4

Sostituisci qualsiasi numero dell'intervallo $(- \infty, \infty)$ nella derivata seconda e calcola per determinare la concavità.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Sostituisci la variabile $x$ con $0$ nell'espressione.

$f'' (0) = 20 + 40 \sin (2 (0))$

Passaggio 4.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.1.1

Moltiplica $2$ per $0$ .

$f'' (0) = 20 + 40 \sin (0)$

Passaggio 4.2.1.2

Il valore esatto di $\sin (0)$ è $0$ .

$f'' (0) = 20 + 40 \cdot 0$

Passaggio 4.2.1.3

Moltiplica $40$ per $0$ .

$f'' (0) = 20 + 0$

Passaggio 4.2.2

Somma $20$ e $0$ .

$f'' (0) = 20$

Passaggio 4.2.3

La risposta finale è $20$ .

$20$

Passaggio 4.3

Il grafico è una funzione convessa sull'intervallo $(- \infty, \infty)$ perché $f'' (0)$ è positivo.

Funzione convessa su $(- \infty, \infty)$ poiché $f'' (x)$ è positivo

Passaggio 5